1-3单纯形法原理
单纯形法的综述及其应用-文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 单纯形法的综述及其应用 一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关 主题争论焦点） 1.写作目的 本文主要在于介绍单纯形法的历史背景，基本计算方法，改进的计算方法，以及单纯形法的应用．目的在于对单纯形法的历史背景，计算方法等进行综述，并总结单纯形法在生活各个领域的应用，单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法，通过对单纯形法的进一步了解，最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解． 2.有关概念 LP 问题的一般形式[1] ()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L ()()()11112211 211222221122 12..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥?? +++≤≥?? ??+++≤≥??≥? L L L L L 线性规划问题的标准型为[2] ()()()11221111221121122222 m1122 12min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++?+++=? +++=?? ??+++=??≥=? L L L L L L 为目标函数（1）为决策变量 其矩阵形式为 min s.t.0 S CX AX b X ==?? ≥?（2）
其中，()12,,,n C c c c =L ，决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L ． A 为约束条件中的系数矩阵, 即 1112121 22212 n n m m mm a a a a a a A a a a ??????=??????L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]：设矩阵A 的秩为m ，矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵，则B 为一个基矩阵．矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分，记成B x 和N x ，B x 的分量与B 的列对应，称为基变量；N x 的分量与N 中的列对应，称为非基 变量．在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时，得到解10B N x B b x x -?? ??==???????? ，称为相 应于B 的基本解． 定义2[3]：基本解得基变量都取非负值时，即满足1 0B x B b -=≥的基本解为基本可行解． 定义3[4]：满足式（1）各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1 min n j j j Z c x == ∑达到最大值的可行解称为最优解. 定义4[4]：设 A 为约束方程组1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ?阶系数矩阵， 设(n m >),其秩为m ，B 为矩阵A 中的一个m m ?阶的满秩子矩阵，称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性，设 11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα?? ??==?? ???? M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量；与基向量j α对应的变量j x 称为基变量. 基变量以外的的变量称为非基变量. 定义5[4] ：在约束方程组 1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑中，令所有非基变量
单纯形法基本原理
工程优化设计中单纯形法的基本原理 张云龙 （大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023) 摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。 关键词：线性规划图解法单纯形法大M法 THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGN ZHANG Y un-long (Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023) Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method. Key W ords: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method 1引言 在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。 虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误！未找到引用源。。 因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。 2线性规划问题 2.1数学模型 线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？ 表1-1 工时及利润简表
单纯形法求解原理过程
单纯形法 需要解决的问题： 如何确定初始基本可行解； 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降； 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基，即 与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：
F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行： 第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量； 第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10
单纯形法在经济管理中的应用
单纯形法在经济管理中的应用 [摘要]发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求，是合理利用现有的人力，物力资源,使经济效益达到最好的重要途径，而这些正是线性规划所研究的主要内容。本篇论文主要探讨单纯形法在经济管理中的应用，即应用单纯形法及其改进的方法来求解经济管理中的线性规划问题。详细介绍线性规划问题的基本思想和数学模型，深入研究单纯形法的原理和解法，将方法运用到生产计划模型和投资模型中。分析模型的求解结果，比较各种算法之间的优劣性，进一步说明单纯形法的实用性。 [关键字]线性规划单纯形法生产计划模型投资计划模型
The application of simplex method in economic management [Abstract]Development of productivity and economic efficiency are indispensable requirement of human development. Rational use of human and material resources is an important way to achieve the best economic benefits, which is the main contents the linear programming studies. This paper mainly discusses the application of the simplex method in economic management, namely Simplex method and the improved methods are applied to solving the economic management of the linear programming problem. The basic ideas and mathematical models of linear programming problems will be introduced in detail the research on the theory and solution of the simplex method is studied, and apply these methods to the production planning model and investment model . The results of the model will be analyzed. By comparing the advantages and disadvantages between various algorithms, the practicality of the simplex method is further illustrated. [Key words]Linear Programming Simplex Method Production planning model Investment Planning Model
单纯形法在线性规划中的实际应用
单纯形法在线性规划中的实际应用 摘要:线性规划是以数学模型为基础，研究如何在一定条件下实现目标最优化，而单纯形法是求解线性规划问题的主要方法，有效提升了数学规划的应用。本文介绍了线性规划的基本理论及单纯形法的基本理论和具体算法，然后将两者结合进行实际的应用。最终以的公交排班表和蛋糕店的加工计划为例通过模型的建立与求解制定了更加合理的公交排班时刻表和各时段的司机分配数量；解决在激烈竞争市场中如何利用有限的资源、人力、时间进行统筹安排，提高效率，降低成本使总的经济效益达到最佳。 关键词 : 线性规划；单纯形法；最优性；Lingo Abstract:Linear programming is based on the mathematical model to study how to achieve th e goal optimization under certain conditions, and the simplex method is the main method to solve t he linear programming problem, which effectively improves the application of mathematical progra mming. This paper introduces the basic theory of linear programming and the basic theory and spec ific algorithm of simplex method, and then combines the two into practical application. Finally, the bus schedule and the processing plan of the cake shop in Chongqing second Teachers ' College (Na nshan Campus) are used as examples to establish a more reasonable bus scheduling timetable and t he number of drivers assigned to each period. To solve the problem of how to make use of the limit ed resources, manpower and time in the competitive market to improve the efficiency Reduce costs to achieve the best overall economic benefits. Key words: Linear programming; Simplex method; Optimality; Lingo
单纯形法求解思路及重要参数的推导
单纯形法求解线性规划的思路及重要参数 的推导 在求解线性规划问题的算法中，单纯形法是一种成熟、简便、有效的算法，在目前应用最为广泛。因此，我们组通过查阅资料以及小组讨论的形式，分工合作，共同探讨出单纯形法求解线性规划的思路。 一般线性规划问题有时具有线性方程组的变量数大于方程个数 的情况, 这时就使得方程有不定的解。这时就可以使用单纯形法来求解，从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步 选择的单纯形。在这其中每一个单纯形所对应的解其实都相当于n维空间图形中的一个顶点，我们就是要一个顶点，一个顶点的找到使目标函数值更好的顶点, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样问题就得到了最优解。 具体的求解步骤来说有6步：1：建立基本可行解。2：计算变量的检验数。3：判断是否最优。4：若不是最优解，则换基。5：计算新的基本可行解。6：迭代计算直到求的最优解或者可判断无最优解为止。 接下来，我们通过具体的事例来详细介绍具体的求解步骤，并列出重要参数以及定理的推导过程。 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品, 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗, 如下表所示。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2 元, 每生产一件产品Ⅱ可获利3元, 问应如何安排计划使该工厂获利最多? 解：根据题意建立其标准型： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 (1) x1 +2x2 +x3 = 8 4x1 + x4 = 16 (2) 4x2 +x5 = 12 x j ≥0 , j = 1 , 2 , ? , 5 一、建立基本可行解 在标准型中x3 , x4 , x5为转化为标准型时加入的松弛变量，从(2)式中可以看到x3, x4 , x5的系数列向量 1 0 0 P3 = 0 , P4 = 1 , P5 = 0 0 0 1 而这些列向量就可以看做一个初始可行基 1 0 0 B = ( P3 , P4 , P5 ) = 0 1 0 0 0 1
单纯形法及其应用
单纯形法及其应用 摘要 单纯形法是一种主要的解决线性规划问题的方法，它在生活的成本问题、交通选择或规划学术问题等方面得到广泛应用.本文系统的研究了单纯形法的相关概念以及原理.并阐述了用单纯形法解决线性规划问题的步骤与方法及不同方法的特殊性.正确的应用单纯形法解决问题能够提高准确率，从而进行合理的规划安排，使得效果或收益达到期待化或最优化. 关键词：单纯形法；单纯形表；最优性
The Simplex Method and its Application Abstract:Simplex method is a main to solve linear programming problems, it in life cost, the choice of traffic or academic planning problems are widely used. This paper study the simplex method of the related concepts and principles. It describes the steps and methods to use simplex method to solve linear programming problems, and the different method. Correct application of the simplex method problem solving is able to improve the accuracy, in order to carry out reasonable planning arrangements, makes the effect or income reached expectations or optimization. Keywords:simplex method;simplex tableau;optimality
单纯形法在线性规划中的应用
单纯形法在线性规划中的应用 摘要 求解线性规划问题，就是在各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法，图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题，文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，适合于求解大规模的线性规划问题，本文作了重点描述，对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述，在此基础上，介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。 关键词：线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解
正文 引言 在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。 解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x 1为横坐标轴，x 2 为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面 坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，图解法虽然直观、简便，但当变量数多于三个以上时，其实用意义不大。
单纯形法课程论文
最优化方法课程论文 题目：单纯形法的发展及其应用 系别：理学院 专业：信息与计算科学 姓名： 班级：信息101班
单纯形法的发展及其应用 一．单纯形法简介： 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 二．单纯形法在线性规划中的应用 1.单纯形法解线性规划问题 在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对
于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 (1)单纯形法解线性规划问题的理论根据是： 线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 (2)单纯形法的基本思想是： 先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 (3)单纯形法的一般解题步骤可归纳如下： ①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到
单纯形法的简述及应用
单纯形法的简述及应用 摘要 自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来，他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量。针对这一问题，本文提出了改进单纯形法（一），在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时，传统单纯形法占据较大的内存空间，且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法（二），能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去，又能克服上述单纯形法的不足，是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。 关键词：线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。 绪论 引言 运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中最重要的一种数量方法，其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说，也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下，求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。 与其他的数学学科相比，线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后，线性规划在理论上趋向成熟，在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法，都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。 线性规划基础及单纯形法 线性规划问题及数学模型 凡是同时满足以下三个条件的问题，就叫做线性规划问题： （1）可用一些变量表示问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此，可将这些变量称为决策变量，并往往要求它们为非负的。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。 （3）有一个期望达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，根据具体问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望，简称线性规划模型。期一般形式如下：
单纯形法matlab程序
算法实现与分析 算法1．单纯形法 具体算例： min z=?3x1+x2+2x3 3x1+2x2?3x3=6 x1?2x2+x3+x5=4 x1,x2,x3≥0 标准化后： min z=?3x1+x2+2x3+Mx4+Mx5 3x1+2x2?3x3+x4=6 x1?2x2+x3+x5=4 x1,x2,x3,x4,x5≥0 用单纯形法求解，程序如下： clear clc M=1000000; A=[3,2,-3,1,0;1,-2,1,0,1];%系数矩阵 C=[-3,1,2,M,M,0];%价值矩阵 B=[6;4]; Xt=[4 5]; for i=1:length(C)-1 D=0; for j=1:length(Xt) D=D+A(j,i)*C(Xt(j)); end xi(i)=C(i)-D; end s=[]; for i=1:length(xi) if xi(i)<0 s=[s,i]; end end f=length(s); h=1; while(f) for k=1:length(s) j=1; A x=[]; for i=1:length(Xt) if A(i,s(k))>0
x(j)=i; j=j+1; end end x if(length(x)+1==1) break; end y=1 x for i=1:length(x) if B(x(i))/A(x(i),s(k)) 目录 第一章单纯形法的提出…………………………………………………………… 1.1 单纯形法提出背景……………………………………………………………第二章单纯形法的一般原理……………………………………………………… 2.1 单纯形法的基本思路………………………………………………………… 2.2 确定初始基本可行解………………………………………………………… 2.3 最优性检验…………………………………………………………………… 2.4 基变换………………………………………………………………………… 2.5 解的判别定理………………………………………………………………… 2.6 单纯形法求解线性规划问题的程序框图……………………………………第三章表格单纯形法……………………………………………………………… 3.1单纯型表求解………………………………………………………………… 3.2 用单纯形法求解线性规划问题的举例………………………………………第四章人工变量及其处理方法…………………………………………………… 4.1大M法………………………………………………………………………… 4.2两阶段法……………………………………………………………………… 4.3无最优解和无穷多最优解…………………………………………………… 4.4退化与循环……………………………………………………………………第五章单纯形法的矩阵表示………………………………………………………总结……………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………………… 单纯形法原理及步骤 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。 概述： 根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止 目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 求解步骤： （1）确定初始基可行解 ①从线性规划标准形的系数矩阵中能直接找出m个线性独立的单位向量； ②对约束条件全为“<=”连接的LP，化为标准形，左端添加松弛变量后即形成一个单位子矩阵； ③约束条件中含有“<=”或“=”连接的方程，在插入剩余变量后找不到单位矩阵，则必须采用 单纯形算法的一般原理 单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。 考虑到如下线性规划问题： 其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。 根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。 Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解 （即可行域顶点）中。 其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解， 然后转会到步骤（2）。 求解思想如下图所示： maxZ=CX AX=b X 0??≥? 确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定 为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即 Ａ=（ＢＮ），其中 Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基， Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。 那么约束方程AX=b 就可表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解 B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ?? ???-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-?? ???-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→单纯形法
单纯形法原理
单纯形算法一般原理