复旦附中高二期中(2018.11)

复旦附中高二期中数学试卷

2018.11

一. 填空题

1. 直线2310x y +-=的倾斜角是

2. 若矩阵110A ?? ?=- ? ???

，()121B =，则AB =

3. 行列式431

25142

k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =

4. 已知x m y t =??

=?

是增广矩阵为3122012-?? ???的二元一次方程组的解，则m t += 5. 直线3:14l y x =-的一个单位方向向量是 6. 已知直线1:(1)30l kx k y +--=，2:(1)(23)20l k x k y -++-=，若12l l ⊥，则k =

7. 已知点P 在直线

6014

x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P 的坐标是 8. 若112lim 22n n

n n n t t

+-→∞-=+，则实数t 的取值范围是 9. 已知a ∈R ，则“16

a =”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行” 的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

10. 过点(3,2)P -且与直线210x y ++=的夹角为1arctan 2

的直线的一般式方程是 11. 已知实数1a 、1b 、2a 、2b 满足：1110a b -+=，2210a b -+=，且

1212)a a b b +=其中12a a >，则以向量11(,)a b 为法向量的直线的倾 斜角的取值范围是

12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q

的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），

P 是圆Q 上及其内部的动点，(,)BP mBC nBA m n =+∈R u u u r u u u r u u u r

，

则m n +的取值范围是

二. 选择题

13. 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[,]a b 上可

找到n （2n ≥）个不同的数1x , 2x , ??? , n x ，使得 1212()()()n n f x f

x f x x x x ==???=，则n 的范围为（ ） A. {3,4} B. {2,3,4}

C. {3,4,5}

D. {2,3}

14. 给出下列命题：

① 非零向量a r 、b r 满足||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角为30°；

② 将函数|1|y x =-的图像按向量(1,0)a =-r 平移，得到函数||y x =的图像；

③ 在△ABC 中，若()0AB AC BC +?=u u u r u u u r u u u r ，则△ABC 为等腰三角形；

其中正确命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，经过原点的直线l 将△ABC

分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则2122

(1)1S S +-取得最小值时，直 线l 的斜率（ ）

A. 等于1

B. 等于1-

C. 等于12

D. 不存在 16. 如图所示，已知0(0,0)A ，1(4,0)A ，对任何n ∈N ，点2n A +按照如下方式生成：123n n n A A A π

++∠=，1211||||2

n n n n A A A A +++=u u u u u u u u r u u u u u u r ，且n A ，1n A +，2n A +按逆时针排列， 记点n A 的坐标为(,)n n a b （n ∈N ），则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为（ ）

A. 2043(,)77

B. 43(3,)7

C. 53(3,

) D. 2053(,)7

三. 解答题

17. 已知m ∈R ，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线2l 的方程为

(31)(41)54m x m y m +--=+，当m 变化时，

（1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标；（2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.

18. 已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：

（1）直线l 的方程；

（2）直线l 关于直线:21m y x =-对称的直线方程.

19. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴x 、y 的交点为O ，与x 、

y 轴正方向同向的单位向量分别是i r 、j r ，且i r 与j r 的夹角为θ，其中(0,)(,)22ππθπ∈U ， 由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP u u u r ，存在唯一有序实数对(,)x y ，使得

OP xi y j =+u u u r r r ，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP u u u r 在斜坐标系

xOy 中的坐标，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方 程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ=?时，方程

2145

x y --=- 表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,5)-的直线. （1）若1arccos()3

θ=-，(2,1)a =r ，(,6)b m =r ，a r 与b r 夹角为锐角，求实数m 的取值范围； （2）若60θ=o ，已知点(2,1)A 和直线:320l x y -+=，

① 求l 的一个法向量；② 求点A 到直线l 的距离.

20. 在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列123,,,A A A L 和123,,,B B B L 满足：

①1(5,0)A ，2(4,0)A ，12145

n n n n A A A A +++=u u u u u u u u r u u u u u u r （*n ∈N ）；② 1(1,1)B ，1(1,1)n n B B +=u u u u u u r （*n ∈N ）. （1）求点3A 和3B 的坐标；

（2）求向量n OA u u u u r ，n OB u u u u r 的坐标；

（3）对于正整数k ，用k a 表示无穷数列{||}n OA u u u u r 中从第1k +项开始的各项之和，用k b 表示 无穷数列11n n OB OB +???

?

???????

u u u u r u u u u u r 中从第k 项开始的各项之和，即123||||||k k k k a OA OA OA +++=+++u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r L ，11223111k k k k k k k b OB OB OB OB OB OB +++++=+++???u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r L ， 若存在正整数k 和p ，使得k k a b p =，求k 、p 的值.

21. 已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l 、2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直 线1l 、2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =和21:2

l y x =-是一组“1O -共轭线对”， 其中O 是坐标原点.

（1）已知1l 、2l 是一组“3O -共轭线对”，求1l 、2l 的夹角的最小值；

（2）已知点(0,1)A 、点(1,0)B -和点(1,0)C 分别是三条直线PQ 、QR 、RP 上的点（A 、

B 、

C 与P 、Q 、R 均不重合）

，且直线PR 、PQ 是“1P 共轭线对”，直线QP 、QR 是 “4Q 共轭线对”，直线RP 、RQ 是“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；

（3

）已知点(1,Q -，直线1l 、2l 是“2Q -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到 直线1l 、2l 的距离之积的取值范围.

参考答案

一. 填空题 1. 2arctan 3π- 2. 121121000?? ?--- ? ???

3. 3

4. 10

5. 43(,)55

± 6. 1或3- 7. (1,2) 8. [2,2)- 9. 充分非必要 10. 30x -=，3410x y +-= 11. 3[0,)(,)24

πππU

12. [1+

二. 选择题

13. B 14. D 15. D 16. A

三. 解答题

17. （1）将直线1l 的方程改写为0)()32(=++--y x y x m ，

令?

??=+=--,0,032y x y x 得直线1l 过定点)1,1(-；同理，直线2l 过定点（3,1）； （2）联立方程，得??

?+=--+=--+,45)14()13(,3)12()1(m y m x m m y m x m 2(2)D m m =-，2(1)(2)x D m m =---，2(21)(2)y D m m =-+-

当0≠m 和2时，0≠D ，两直线相交；

当0=m 时，0,0≠=x D D ，两直线平行；

当2=m 时，0===y x D D D ，两直线重合。

18.（1）由已知，直线l 的斜率存在，且小于0，设直线)1(3-=-x k y ，其中0

与x 轴交于点)0,31(k

-

，与y 轴交于点)3,0(k -， 故6]9)(6[21)3)(31(21≥-+-+=--=k k k k S ，等号成立的条件是3-=k ， 相应地，:360l x y +-=；

（2）显然所求直线的斜率存在，设为k ，则k k 2122)3(123+-=?-+--，得3

1=k

又由???-==-+,

12,063x y y x 得l 与m 的交点为)59,57(，该点也在所求直线上， 故所求直线为043=+-y x ；

19.（1）由已知，2,6a i j b mi j =+=+r r r r r r ，且526(12)()203

a b m m i j m ?=+++?=+>r r r r ， 得5

6->m ；若a r 和b r 同向，则存在正数t ，使得(2)6t i j mi j +=+r r r r ， 由i r 和j r 不平行得，???==,

6,2t m t 得12=m ，故所求为12,56≠->m m ； （2）① 方程可变形为

3

210-=-y x ，方向向量为(1,3)d =u r ， 设法向量为(,)n a b =r ，由0n d ?=r u r ，得02725)3(213=+=+++b a b a b a ， 令5,7=-=b a ，(7,5)n =-r ； ② 取直线l 上一点)2,0(B ，则(2,1)BA =-u u u r

，所求为||||BA n n ?==u u u r r r r r .

20.（1）231244(,0)55A A A A ==-u u u u u r u u u u r ，故32416(,0)(,0)55OA OA =+-=u u u u r u u u u r ，即)0,516(3A ； 2312(1,1)B B B B ==u u u u u r u u u u r ，故312(1,1)(3,3)OB OB =+=u u u u r u u u u r ，即)3,3(3B ；

（2）由已知，1111244()((),0)55n n n n A A A A --+==-u u u u u u r u u u u r ，故 112231221444(5,0)(1()(),0)555

4(5(),0)5

n n n

n n OA OA A A A A A A ---=++++=-++++=u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u u u u r L L 而112231(,)n n n OB OB B B B B B B n n -=++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u u u r L ；

（3）14||5()5n n OA -=u u u u r ，111111()2(1)21n n n n n n OB OB +==-++?u u u u r u u u u u r ，故45()4525()4515

k k k a ==-， 112k b k =?，由已知，kp k 2)5

4(25=，所以，左边为正整数，故1=k 或2； 当1=k 时，202=p ，得10=p ；当2=k 时，164=p ，得4=p

21.（1）设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为k

3-，两直线的夹角为α，则 3)||3|(|21|)3(13

|tan ≥+=-+--

=k k k k α， 等号成立的条件是3±=k ，所以最小值为3π； （2）设直线QR PQ PR ,,的斜率分别为321,,k k k ， 则?????===,9,4,11

33221k k k k k k 得6,32,23321===k k k 或6,32,23321-=-=-=k k k . 当6,32,23321===k k k 时，直线PR 的方程为)1(2

3-=x y ， 直线PQ 的方程为13

2+=x y ，联立得，)3,3(P ； 当6,32,23321-=-=-=k k k 时，，直线PR 的方程为)1(23--=x y ，直线PQ 的方程为 132+-=x y ，联立得，)53,53(P ；故所求为)3,3(P 或)53,53(P ； （3）设)1(22:),1(2:21+-=++=+x k

y l x k y l ，其中0≠k ，故 549124591245442)4)(1(|2|241|22|1|2|2224224242222221++-=++-=+++-=++-=+--?+-=k k k k k k k k k k k k k

k k k d d 由于95422≥++k

k （等号成立的条件是22=k ）， 故2291[0,1)45k k

-∈++，)2,0[21∈d d .