七年级数学 平行线的性质与判定的证明 练习题及答案

平行线的性质与判定的证明

温故而知新：

1.平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补.

2.平行线的判定

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行互补.

例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；

（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．

解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.

（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°）

解：（1）∵AB∥CD∥EF，

∴∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°，

∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，

又NQ平分∠MNP，

∴∠MNQ=1

2

∠MNP=

1

2

×140°=70°，

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，

∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，

∴∠MNQ=1

2

∠MNP=

1

2

（∠AMN+∠EPN），

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND

=1

2

（∠AMN+∠EPN）-∠AMN

=1

2

（∠EPN-∠AMN），

即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.

小结：

在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.

解析：（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）

答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）

证明：因为∠AGD=∠ACB，

所以DG∥BC，

所以∠1＝∠DCB，

又因为CD⊥AB,EF⊥AB，

所以CD∥EF，

所以∠2＝∠DCB，

所以∠1=∠2.

小结：

在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．

（1）解析：动画过点C作CF∥AB

由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)

答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）解析：动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.

（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）

答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

证明：如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

小结：

在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.

例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

解析：动画过点B作BD∥AE，

答案：

解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，

∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°

∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，

∴∠2=30°，

∴∠C=180°-30°=150°．

小结：

把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.

举一反三：

1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）

A.60°

B. 72°

C. 90°

D. 100°

解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.

答案:B.

2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.

解析：

解:∵AB∥EF∥CD,

∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.

∵∠B+∠BED+∠D=192°,

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,

∴2(∠B+∠D)=192°, 即∠B+∠D=96°.

∵∠B-∠D=24°,

∴∠B=60°,

即∠BEF=60°.

∵EG平分∠BEF,

∴∠GEF=1

2

∠BEF=30°.

3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．

解析：标注AB∥EF，BC∥ED

答案：证明：∵AB∥EF，

∴∠E=∠AGD.

∵BC∥ED，

∴∠B=∠AGD，

∴∠B=∠E.

例5如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．

解析：标注 AB ∥CD ，∠1=∠2

答案：方法一：（标注CF ∥BE ） 解：需添加的条件为CF ∥BE ， 理由：∵AB ∥CD ， ∴∠DCB=∠ABC. ∵CF ∥BE ，

∴∠FCB=∠EBC ， ∴∠1=∠2；

方法二：（标注CF ，BE ，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE ）解：添加的条件为CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线． 理由：∵AB ∥CD ， ∴∠DCB=∠ABC.

∵CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线， ∴∠1=∠2．

小结：

解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.

例6 如图1-7，已知直线1l 2l P ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别

交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。

（1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。

（2） 如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。 （3） 如果点P 在AB 两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不

重合）

4.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由．

解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD

答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF

解：EF平分∠DEB．理由如下：

∵DE∥AC，EF∥CD，

∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，

∠BEF=∠DCE.

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCE=∠ACD，

∴∠DEF=∠BEF，

即EF平分∠DEB．

5.如图1-12，CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,

求证：AB∥GF

解析：如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.

6.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度

数．

解析：（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD 答案：解：过E点作EF∥CD，

∴∠ECD+∠CEF=180°，

而∠ECD=125°，

∴∠CEF=180°-125°=55°，

∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.

∵AB∥CD，∴AB∥EF，

∴∠ABE=∠BEF=75°．