人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.

2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.

3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.

1.分类计数原理与分步计数原理

(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法

注意：○1分类计数原理又称为加法原理；

○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；

○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；

○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).

(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.

注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；

○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；

○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；

○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.

2.分类计数原理和分步计数原理的区别

辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。

类型一分类计数原理

例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？

[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.

练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种

A.3

B.5

C.9

D.12

[答案] Ｃ

[解析]只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.

练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（ ）

A .4种

B .5种

C .6种

D .7种

[答案]A

[解析]按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.

类型二分步计数原理

例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

[解析]从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N =3×2=6.

练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m , 800 m , 1 500 m 三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有()

A .43种

B .34种

C .12种

D .24种

[答案] Ａ

[解析]第一步,100 m 冠军有4种可能;第二步,800 m 冠军也有4种可能;第三步,1 500 m 冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=43种可能.

练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种

A .53

B .35

C .15

D .5

[答案] Ｂ

[解析]第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.

类型三分类计数原理与分步计数原理的区别

例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：

(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？

[解析](1)分三类：第一类从国画中选一幅，共5种；第二类从油画中选一幅，共有2种；第三类从水彩画中，选一幅，共有7种，由分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.

(2)分三步：第一步从国画中选一幅共5种；第二步从油面中选一幅共有2种；第三步从水彩画中选一幅共：7种，由分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.

练习1：已知集合{1,2,3},{4,5,6,7}.M N =-=--若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为()

A .18

B .16

C .14

D .10

[答案] Ｃ

[解析]取法可分为两类.

(1)以集合M 中的元素为横坐标,N 中的元素为纵坐标,从集合M 中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N 集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.

(2)以集合N 中的元素为横坐标,M 中的元素为纵坐标,从集合N 中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M 中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理

有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.

类型四两个原理的综合应用

例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.

[答案]242

[解析]任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本，

二、取语文、英语各一本，

三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解.

取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法；

取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8 = 72种不同取法；

取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80种不同取法.

综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242种不同取法.

练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.

A.40

B.56

C.124

D.129

[答案]Ｄ

[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种．

1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有()种不同乘车方法.

A.12

B.60

C.19

D.17

[答案]C

[解析]从A地到B地共分两类方法，第一类：直达班车4班；第二类，转车从A到C再到B，共有5×3=15种乘车方法，根据分类加法计数原理，共有4+15=19种不同的乘车方法.

2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有()

A.64种

B.46种

C.4种

D.24种

[答案]B

[解析]每个苹果有4种不同的投法，所以共有46种不同的投法

３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()

A.100个

B.90个

C.81个

D.72个

[答案]C

[解析]要使得点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同，故也有9种情况，故共可确定9×9=81个符合题意的点.

４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有()

A.336种

B.120种

C.24种

D.18种

[答案]A

[解析]我们可以一本一本的插入，先插第一本，可在原来的5本书形成的6个空中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8=336种不同的插法.

５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.

[答案]12

[解析]根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的走法.

６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.

[答案]1000

[解析]由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码.

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固

1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有)

A .4种

B .5种

C .6种

D .7种

[答案] Ａ

2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有

()

A .7种

B .5种

C .12种

D .35种

[答案] Ｃ

[解析](1)从有7本不同故事书的包内任取一本书的取法有7种;(2)从有5本不同教科书的包内任取一本书的取法有5种.综上,共有12种取法．

3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有()

A .10种

B .20种

C .30种

D .40种

[答案]Ｃ

[解析]由于每班火车、汽车、飞机、轮船都能完成从甲地到乙地这件事,因此这是一个分类问题,应采用分类计数原理,有10+15+3+2=30种,即一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地共有30种不同的走法.

4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为()

A .42

B .30

C .20

D .12

[答案]Ａ

[解析]原定的5个节目共有6个空位,将其中1个新节目插入有6种插法,然后6个节目形成7个空位,将另一新节目插入,由分步计数原理共有7×6=42种方法．

5.4名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有

()

A .34

B .43

C .12

D .4

[答案]Ａ

6.已知集合{1,2,3},{4,5,6,7}.M N =-=--若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为()

A .18

B .16

C .14

D .10

[答案] Ｃ

[解析] 取法可分为两类.

(1)以集合M 中的元素为横坐标,N 中的元素为纵坐标,从集合M 中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N 集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理

有3×2=6个点.

(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.

7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.

A.40

B.56

C.124

D.129

[答案]Ｄ

[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种.

8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.

[答案]组成四位数:个位数有9种选法,十位数有9种选法,百位数也有9种选法,千位数同样有9种选法,根据分步计数原理,四位数共有9×9×9×9=94个.同理,七位数共有97个.故第一个空填94,第二个空填97.

能力提升

1.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()

A．60种B．70种C．75种D．150种

[答案]Ｃ

2.卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A．12种B．16种C．24种D．36种

[答案]Ｄ

3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()

A．14B．13C．12D．9

[答案]Ｂ

4.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()

A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5

B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5

C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)

D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)

[答案]Ａ

5.集合P ＝{x,1}，Q ＝{y,1,2}，其中x ，y ∈{1,2,3，…，9}，且P ?Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()

A ．9

B ．14

C ．15

D ．21

【答案】B

6.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要()

A ．3360元

B ．6720元

C ．4320元

D ．8640元

[答案] Ｄ

7.集合A 、B 的并集A U B ={a ，b ，c }，当A ≠B 时(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A 、B )对的个数有多少？

[答案]因为A U B ={a ，b ，c }，所以对于元素a 而言，有a A ∈但,a B a B ?∈但a ?,A a A B ∈I 三种情况，同样b 和c 也有三种情况，由分步乘法计数原理可知，这样的集合对的个数共有3×3×3=27个.

8.已知在区间(400,800]上,问:(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数？

[答案](1)分三步:第一步,排个位有2种方法;第二步,排百位有4种方法;第三步,排十位有10种方法,又考虑到800符合题意,故共有2×4×10+1=81个能被5整除,且数字允许重复的整数.

(2)分两类:第一类,当个位数字为0时,百位数字是4,5,6,7中的一个,十位是其余8个数字中的一个,此类共有4×8=32个;第二类,当个位数字是5时,百位是4,6,7中的一个,十位是其余8个中的一个,此类共有3×8=24个.故共有32+24=56个能被5整除且数字不允许重复的整数.