高中数学数列综合专项练习讲义

高中数学数列综合专项

练习讲义

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

专题数

列综合

考点精要

会求简单数列的通项公式和前n 项和．

热点分析

数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法．

知识梳理

1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、

数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111

n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）

（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n

a 可用累加法

（5）逐项作商求积法（累积法）;已知

)2)((1

≥=-n n f a a n n

，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法.

（6）转化法

2几种特殊的求通项的方法 （一）1n n a ka b +=+型。

（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++

（2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。

例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。

（二）、1()n n a ka f n +=+型。

（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知{}n a 满足111

1,(1)

n n a a a n n +=-=

+，求{}n a 的通项公式。

（2）当1k ≠时，可设[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则{}()n a g x +构成等比数列，求出

{}()n a g x +的通项，进一步求出{}n a 的通项。（注意()g x 所对应的函数类型）

例：已知{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-，求{}n a 的通项公式。 （三）、1()n n a f n a +=型。

（1）若()f n 是常数时，可归为等比数列。 （2）若()f n 可求积，可用累积法化简求通项。

例：已知：11121

,,(2)321

n n n a a a n n --==≥+，求数列{}n a 的通项。

（四）、11n n n ma a k

m a --=+型。两边取倒数，可得到111n n k k

a a m -=+，令1

n n

C a =，则{}n C 可转化为1n n a ka b +=+型

例：已知：11121

,,(2)

32n n n a a a n a --==≥+，求数列{}n a 的通项。

3.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，

再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通

项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，

那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①

111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k

=-++ ③

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =--++++

例题精讲:

例1、（1）已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，求n a

（2）已知数列{}n a 中，11=a ，n a a n n 31+=+，求n a 例2、（1）已知数列{}n a 中，11=a ,n n a a 21=+，求n a （2）已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+,求n a 例3、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ,求n a 例4（快速回答）

1、已知{}n a 满足111,21n n a a a +==+，求通项公式。 2.已知{}n a 的首项111,2n n a a a n +==+，求{}n a 通项公式。 3、已知{}n a 中，112,2

n n n

a a a n +==+，求数列{}n a 通项公式。 4、数列{}n a 中，1

11

21,,(2)1n n n a a a n a --==

≥+，求{}n a 的通项。 5、数列{}n a 中，1

11

21,,(2)2n n n n n a a a n a --==≥+，求{}n a 的通项。

6、数列{}n a 中，111

1,21,(2)2

n n a a a n n -==+-≥，求{}n a 的通项公式。

7、已知{}n a 中，113,2n n n a a a +==+，求{}n a 。

8、已知{}n a 中，111,32,(2)n n a a a n -==+≥，求{}n a 。 9、已知{}n a 中，111,22,(2)n n n a a a n -==+≥，求{}n a 。

例5已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121()n n a S n N *+=+∈,等差数列{}n b 中

0n b >(*)n N ∈，且12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列.

（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和T n .

例6已知等比数列{}n a 的公比1q >

，1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为

6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．

例7在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值； ⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．

针对训练

1．若数列{}n a 满足：()111,2N n n a a a n *+==∈，则5a =________；前8项的和

8S =______________（用数字作答）

2．已知数列{}n a 的前n 项和公式为21n S n =+，则他的通项公式n a =________________

3．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，

，，，则此数列的通项公式为______________；数列{}n na 中数值最小的项是第______________项． 4．在数列{}n a 中，111,1

n

n n a a a a +==

+，则此数列的第二、三、四项分别为______________，n a =______________

5．若数列{}n a 的前n 项和公式为()3log 1n S n =+，则5a 等于________________ 6．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n

+=++，则n a =

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

7．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S =__________ 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =

+，则5S 等于

A ．1

B ．56

C ．16

D ．

130

9、已知数列{}n a 的首项3

2

1=

a ，121+=+n n n a a a ， 3,2,1=n

（1）证明：数列???

???-11n a 是等比数列；

（2）求数列?

??

???n a n 的前n 项和n S 。

答案:例1(1)32n

n a =-(2)23322

n n n a -+=例2(1)1

2n n a -=(2)(1)

22n n n a -=

例3123n n a +=- 针对训练：2,121,2

n n a n n =?=?-≥?211n -342341111

,,,234n a a a a n ====

536log 5

6A7(51)

2n n +-

8B9（1）略（2）2(1)222

n n n n n S ++=-+ 高考链接

1（05北京文）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求

（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a +++

+的值.

2（10北京文）（本小题共13分）

已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求||n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 3（07北京）（本小题共13分）

数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．

（I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式．

4（全国）已知数列{}n a 的首项32

1=

a ，121+=+n

n n a a a ， 3,2,1=n

（1）证明：数列???

???-11n a 是等比数列；

（2）求数列???

???n a n 的前n 项和n S 。

答案

1解：（I ）由a 1=1，11

3

n n a S +=，n=1，2，3，……，得

211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116

()3327

a S a a a ==++=

， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14

3

n n a a +=（n ≥2），

又a 2=31

，所以a n =214()33

n -(n ≥2),

∴数列{a n }的通项公式为2

1

114()2

33n n n a n -=??

=???≥；

（II ）由（I ）可知242,,

,n a a a 是首项为31

，公比为24()3

项数为n 的等比数列，∴

2462n a a a a +++

+=2224

1()1343[()1]4373

1()3

n n -?

=--. 2（北京文）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。 因为366,0a a =-=

所以112650a d a d +=-??+=?解得110,2a d =-=

所以10(1)2212n a n n =-+-?=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=-即q =3

所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)

4(13)1n n n b q S q

-=

=-- 3（共13分）

解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．

当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于

21a a c -=， 322a a c -=， 1(1)n n a a n c --=-，

所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=++

+-=

． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，

，． 当1n =时，上式也成立，

所以22(12)n a n n n =-+=，

，． 4（1）略（2）2(1)

222

n n

n n n S ++=-

+