分式的意义及性质
分式的意义及性质
目标认知
学习目标
1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。
2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。
重点
分式的意义及其基本性质。
难点
分式的变号法则。
知识要点梳理
要点一：分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，
B叫做分母。
要点诠释：
（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
如可以表示(a－b)÷(a+b)；
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有
意义；
（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上
是分式。
要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件
1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；
2、分式无意义的条件是分式的分母为零；
3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
要点诠释：
（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不
为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即
这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
要点三：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
(其中)。
要点诠释：
（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必
须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发
生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。
知识点四：分式的变号法则
一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
要点诠释：
（1）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；
（2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的
相反数。
要点五：分式的约分
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
要点诠释：
（1）约分的依据是分式的基本性质；
（2）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；
（3）找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂；
（4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
要点六：分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
要点诠释：
（1）通分的依据是分式的基本性质；
（2）通分的关键是寻求几个分式的最简公分母：
①最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；
②寻求最简公分母应注意以下几点：
(ⅰ)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的；
(ⅱ)如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
(ⅲ)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
（3）通分的方法是：先求各分式的最简公分母，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得
的商去乘分式的分子、分母。
要点七：整式和分式
1、有理式的概念：整式和分式统称为有理式。
2、有理式的分类：
3、整式和分式的区别：
分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。
规律方法指导
１．关于分式强调两点：在中，第一，B中含有字母；第二，B不能为零。
２．分母的值是零，分式没有意义。
３．分子为零且分母不等于零时，分式的值等于零。
４．约分根据的是分式的基本性质，对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个手段，约分前后的分式值是不变的，约分的关键是确立分式的分子与分母的公因式。
５．约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
６．分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，通分前后的分式值是不变的，通分的关键是确立几个分式的最简公分母，一般地，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
经典例题透析
类型一：分式的定义
1．代数式，，，，中，属于分式的是____________。
思路点拨：要判断一个代数式是否是分式，关键点：(1)代数式中必须有字母；（2）分母中必须含有字母。注意分式的概念是针对原式，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍然是分式。解答本题的
易错点有两个：一个是，分母里的π是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个分式，因为它的分母中含有字母。
解析：分式有两个：，。
总结升华：正确理解分式的概念，不能只看形式，要抓住分母中是否含有字母这一关键条件，这是判断一个式子是否为分式的重要标准。
举一反三
【变式】下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)、；(2)、；(3)、；(4)、.
【答案】属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)。
类型二：分式有意义
2．x取何值时，下列分式无意义？
(1) 、(2)、(3) 、 (4)、
思路点拨：分式无意义的条件是：分母为0，与分式分子的值无关。
解析：(1)、如果＝0，那么＝0.
所以，＝0时，分式无意义
(2)、如果，那么.
所以，当时，分式无意义
(3)、分母无论取何值时，都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。
(4)、当x=0时，分式无意义。
总结升华：看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须考虑前提：被
约去的因式不能为零。
3．若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是( )。
A. B. C. D.
思路点拨：解决此类问题要遵从一个原则，即不论分母是一个字母、一个单项式还是一个多项式，都要考虑分母不为0这个条件，也就是说，使分式有意义的条件是分式的分母不为0。
解析：可用配方法，将变形为，即，
此时只要m>1，就恒大于0，分式就恒有意义，所以选B。
总结升华：由分式的概念可知，分式有意义的条件为：分母不能为0.
举一反三
【变式1】当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)； (2)。
【答案】 (1)由x－2 ≠ 0得x ≠2，即当x ≠2时，分式有意义。
(2)由4x+1≠0，得x ≠时，分式有意义。
【变式2】当x取何值时，分式有意义？
【答案】当x ≠－6且x≠－1时，分式有意义。
【变式3】取何值时，分式有意义？
【答案】如果，那么
所以，当时，分式有意义
类型三：分式的值为零
4．当x是什么数时，分式的值是零？
思路点拨：讨论何时分式的值为零时须同时考虑以下两点：(1)字母取值使得分子值为零；(2)字母取值使得分母值不为零。
解析：由分子x+2＝0，得x＝－2，而当x＝－2时，分母2x－5＝－4－5≠0，
所以当x＝－2时，分式的值是零。
总结升华：
(1)讨论分式的值必须在分式有意义的前提下进行，分式有无意义取决于分母中字母的取值，所以需讨
论分母中字母的取值情况。
(2)求分式中字母的取值范围时，切不可将原分式的分子，分母进行约分，否则字母的取值范围可能会
被扩大。
举一反三
【变式】下列各分式，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？
解：(1)令3x+5＝0，得 x＝－，∴当时，有意义。
令x－2＝0，得x＝2
又当x＝2时，3x+5≠0，∴当时，的值为零。
(2)令x2－1＝0，得x
1＝1，x
2
＝－1，∴当且时，有意义。
令x2－x－2＝0，得x
1＝2，x
2
＝－1
又当x＝2时，x2－1≠0，当x＝－1时，x2－1＝0
∴当时，的值为零。
类型四：分式基本性质的应用
5．下列各式是怎样从左边变形到右边的？
思路点拨：这里的变形都是恒等变形，必须符合分式的基本性质。首先比较等式两边分式的分子或分母发生了怎样的变化，然后根据分式的基本性质，分式的分母或分子也应发生相同的变化。
解析：(1)、∵y≠0
∴
(2)、∵x≠0
∴
总结升华：分式的基本性质是分式化简和分式运算的基础，应用分式的基本性质时，要注意理解“同”这个字的含义：（1）分子、分母同时变形；（2）同时变形时，必须是同一个不为零的整式。
举一反三
【变式1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
(1)、； (2)、。
【答案】 (1)、.
(2)、
【变式2】下列各式与相等的是( )
A、 B、C、D、
解析：只有C选项是由的分子、分母都乘变形得到的，故选C。
【变式3】填空：
(1)、； (2)、.
解析： (1)、∵a≠0，∴，即填a2+ab。
(2)、∵x≠0，∴，即填x。
【变式4】把分式中的，同时扩大2倍，则分式的值( )﹒
(A)扩大2倍 (B)改变(C)缩小2倍 (D)不改变
解析：用，分别替换原式中的，，得：
＝＝，由分式的基本性质，
原式＝，故应选(D)。
类型五：分式的变号法则的应用
6．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。
(1)、； (2)、； (3)、.
思路点拨：
(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
(2)、添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项
都变号。
解析：(1)、。
(2)、.
(3)、.
总结升华：按步骤解题，首先降幂排列，然后提负号，最后运用变号法则。
举一反三
【变式】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
(1)、； (2)、； (3)、.
【答案】(1)、.
(2)、.
(3)、.
类型六：与约分有关计算
7．约分
(1)、 (2)、
思路点拨：(1)分式中的分子和分母都是单项式，直接可以看出，分子、分母的系数有最大公约
数2，分子、分母中都含有因式b2，因此公因式是2b2，分子、分母都除以2b2.. (2)分式的分子、分母是多项式，需先分别分解因式再确定分子和分母的公因式，因为x3－2x2y＝x2(x－2y)，x2y－2xy2＝xy(x－2y)，所以分子和分母的公因式是x(x－2y)，利用分式的基本性质，把分子，分母同时除以x(x －2y)，即达到了约分的目的。
解析：(1)、
(2)、
总结升华：化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂.如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分.化简的最后结果应是最简分式或整式.
举一反三
【变式1】约分
(1)、；(2)、
思路点拨：分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去，为此，首先要找出分子与分母的公因式。
【答案】(1)、＝－＝－
(2)、＝＝
【变式2】化简(1)、(2)、(3)、
【答案】⑴、
(2)、，
(3)、
类型七：与通分有关的计算
8．通分：
(1)、，；(2)、，；
思路点拨：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。
解析：(1)、与的最简公分母为a2b2，所以
＝＝，
＝＝.
(2)、与的最简公分母为(x－y)(x+y)，即x2－y2，所以
＝＝，
＝＝.
总结升华：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。
举一反三
【变式1】分式的最简公分母是：_________________.
答案：
【变式2】对下列各式通分：（1）（2）
解：（1）∵ 8，12，20的最小公倍数为120，
字母因式、、的最高次幂分别为、、，所以最简公分母是。
∴，
；
。
（2）将分母分解因式：；。
∴最简公分母为，
∴，
∴，
∴。
类型八：综合提高
9．若实数、满足：，则的值为___________．思路点拨：本题可有两种解法．解法1：根据分式的基本性质，把待求值式的分子和分母分别除以，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可得解；解法2：对条件式进行变形，可得
，整体代入待求值式即可．
解法1：由知，
∴=．
解法2：由知，，∴．
∴=．
总结升华：仔细观察发现式子中隐含的规律，总结规律要从整体、部分两个方面入手。
举一反三
【变式1】已知，求的值．
解：设=，则，，．
∴=．【变式2】已知，，，求的值．
思路点拨：由已知条件式取倒数可得，把待求值式取倒数化成
的代数式，进而求值．
解：将已知条件的两边分别取倒数，得
即
①＋②＋③，得=6．
把待求值式取倒数，得==6，∴．【变式3】（1）已知，求的值．
（2）若，求的值．
思路点拨：（1）中的两项恰有对称性，且互为倒数，由此联想到完全平方公式即
，∴=．从而求得；（2）求，只要求出的值，然后求倒数即可．
解：（1）∵，又∵x≠0，两边同除以x，得，即．∴==
（2）解法一：由，两边平方，得，∴=7．
又∵，∴．
解法二：由，两边平方，得，∴=7．
将所求分式的分子、分母都除以，得=．
学习成果测评
基础达标
选择题
1．要使分式有意义，则x应满足（）．
A．x≠-1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠-1且x≠2
2．要使分式的值为零，则x的取值为（）．
A．x=1 B．x=-1C．x≠1且x≠-2D．无任何实数
3．要使分式无意义，则x的取值为（）．
A．x=0 B．x=2C．x=±2 D．x=-2
4．x为任意实数时，分式一定有意义的是（）．
A．B．C．D．
5．已知a=1-，b=1-，则用a表示c的代数式为（）．
A．a=B．c=1-C．c=D．c=
填空题
6．当x=__________时，分式的值为零．
7．当x=__________时，分式的值为零．
8．当a=__________时，分式的值为零．
9．当a≠__________时，分式有意义．
10．当x=__________时，分式无意义．
11．当m=__________时，分式的值为零．
12．若+=（a≠b≠0），用含a、b的代数式表示m，则m＝__________．
13．已知x=2时，分式的值为零，则k=__________．
14．x=2时，分式的值为0，则a=_________，b≠__________．
判断题(下列运算正确的打“√”，错误的打“×”)
15．是分式．（）
16．分式是两个整式的商，它的分子可含也可不含字母，而分母必须含有字母．（）17．在分式中，只要分子的值为0，分式的值就一定是0．（）
18．不论x取什么值，分式的值总不会是0．（）
解答题
19．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，x2y-2xy2，-，，，，，（x-y），（x2+1）．20．当x为何值时，分式有意义？当x为何值时，此分式的值为零？
21．x为何值时，下列分式的值为零？
⑴；⑵；⑶．
22．判断下列有理式中，哪些是分式？
（1-x），，，，
23．求使下列分式有意义的x的取值范围．
⑴；⑵；⑶；⑷．
24．当x为何值时，下列分式的值是零？
⑴；⑵．
能力提升
解答题
1．已知a+=5，求分式的值．
2．已知=0，化简求的值．
3．当x取什么值时，分式无意义？分式的值为零？
4．若分式的值为0，求x的值．
综合探究
解答题
1．有这样一道题：计算的值，其中x=2008，甲同学把“x=2008”错抄成“x=2080”，但他的计算结果也是正确的．这是怎么回事呢？
2．若，求的值．
答案与解析
基础达标
选择题
1．D（提示：分式有意义的条件是分母不等于零．）
2．D（提示：分式的值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零．）
3．C（提示：分式无意义与分式有意义的条件正好相反：分母等于零．）
4．C（提示：要在x取任意实数时，分式一定有意义，说明分母永远不会等于零，而x2+1恒大于零，正好
满足条件．）
5．B（提示：将第二个等式代入第一个等式，消去字母b，然后化简，即可得出正确结论．）
填空题
6．2 （提示：分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．）
7．-1（提示：先将分子、分母按x的降幂排列，然后因式分解．）
8．±1（提示：分子等于零且分母不等于零．）
9．2（提示：分式有意义的条件是分母不等于零．）
10．0（提示：分式无意义是分母等于零．）
11．0 （提示：分子等于零，且分母不等于零．）
12．（提示：将等式的左侧通分，化成一个分式，然后等式两边同时取倒数．）
13．-6（提示：将x的值代入，然后令分子等于零，即可求出k的值．）
14．2 , -2 （提示：将x的值代入，然后令分子等于零，即可求出a的值，同时分母不等于零，可以求出b的不能等于的值．）
判断题
15．×
16．∨(提示：与分式的定义形式不同，但本质含义是一样的．)
17．×（提示：没有考虑到分母不能为零．）
18．∨（提示：因为分子是1，分式值不可能是0．）
解答题
19．整式：，x2y-2xy2，，，，（x2+1）
分式：，-，，（x-y）．
（提示：考察分式的定义．用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式．注意中分母是常数不是未知数．）
20．当x≠2且x≠1时，分式有意义；当x=3时，分式的值为0．
（提示：分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．）
21．⑴0 ⑵无任何实数⑶-4
（提示：分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零）
22．，，
（提示：考察分式的定义．用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式．）
23．⑴x ≠⑵x≠±2 ⑶x ≠2且x ≠-⑷x为一切实数
（提示：分式有意义的条件是分母不等于零．）
24．⑴x=-⑵不存在（提示：注意将分子的x=3代入分母．）
能力提升
解答题
1．24 （提示：将a+=5，两边平方，然后将的分式各项除以a2即可．）
2．0（提示：由=0，得到x=-3，将化简得x+3，然后将x=-3代入即可．）
3．解：由分母x2－x－6=0，得(x－3)(x+2)=0，∴x=－2或x=3．
∴当x=－2或x=3时，分式无意义．
要使分式的值为零，必须满足两个条件：，解得x=2，
∴当x=2时，分式的值为零．
4．1（提示：由|x|-1=0，得x=1或x=-1，但x=-1时，分母等于零所以舍去．）
综合探究
1．由可知，只要x的取值使这个代数式
有意义，其值就为0．故错抄x的值不影响结果．
2．解：由已知条件可知，，根据分式的基本性质，
将的分子与分母同除以，
原式====．
分式的意义及性质
分式的意义及性质 目标认知 学习目标 1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。 2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。 重点 分式的意义及其基本性质。 难点 分式的变号法则。 知识要点梳理 要点一：分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子， B叫做分母。 要点诠释： （1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。 如可以表示(a－b)÷(a+b)； （2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。 （3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有 意义； （4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上 是分式。 要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件 1、分式有意义的条件是分式的分母不为0； 2、分式无意义的条件是分式的分母为零； 3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。 要点诠释： （1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。 （2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不 为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。 （4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即 这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。 要点三：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是： (其中)。 要点诠释： （1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必 须满足2x+1≠0。 （2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。 （3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发 生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。 知识点四：分式的变号法则 一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 要点诠释： （1）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号； （2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的 相反数。 要点五：分式的约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 要点诠释： （1）约分的依据是分式的基本性质； （2）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式； （3）找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂； （4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质 要点一、分式的概念 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x 是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分 母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷==?÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a -=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b -互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
分式的基本概念及性质
分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质
分式概念及意义
分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.〔1〕分式：，当B=0时，分式无意义。 〔2〕分式：，当B≠0时，分式有意义。 〔3〕分式：，当时，分式的值为零。 〔4〕分式：，当时，分式的值为1。 〔5〕分式：，当时，即或时，为正数。 〔6〕分式：，当时，即或时，为负数。 〔7〕分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的根本性质： 1、学习分式的根本性质应该与分数的根本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：〔M为不等于零的整式〕 3、学习根本性质应注意几点： 〔1〕分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； 〔2〕易犯错误是只乘〔或只除〕分母或只乘〔或只除〕分子； 〔3〕如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法那么的依据是分式的根本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如以下式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的根本性质。 3、约分的方法： 〔1〕如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中一样因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出以下各式中哪些是整式，那些是分式？〔1〕〔2〕〔3〕 〔4〕
分式的意义和性质
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分式的意义和性质 分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。 这就是分式的概念。 研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。 分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。 一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3、（1）分式： ，当 B=0 时，分式无意义。 （2）分式： ，当 B0 时，分式有意义。 （3）分式： ，当时，分式的值为零。 （4）分式： ，当时，分式的值为 1。 （5）分式： 1 / 10
，当时，即或时，为正数。 （6）分式： ，当时，即或时，为负数。 （7）分式： ，当时或时，为非负数。 二、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。 不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为： （M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 三、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。 就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
分式及基本性质
分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使B A =0的条件是：A=0，B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B= A·M B·M = A÷M B÷M，其中M（M≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数 的最大公约数，相同字母的最低次幂； 如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分； （3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b= a -b=－ a b；（2） -a -b= a b；（3）－ -a -b= - a b
分式的定义与性质
分式的定义与性质 一、分式的定义 如果整式A 除以整式B,可以表示成A/B 的形式.且除式B 中含有字母, 那么称式子A/B 为分式. 其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。 例题 1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ （1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）9 1-x 是分式的有 ； 2、下列各式中使分式的是______________. πm y x x x 2)3(;8)2(;)1(2 + 3、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 二、分式有意义的条件 对任意一个分式，若使分式有意义，则分母都不能为零。 例1、当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2 522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ； 2．使分式224 x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在 3 、 对于分式5 312-+x x ， （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式的值为0； （3）当 时，分式的值为1； 2、 当x 为何值时，分式x x x --21 || 的值为0？ 三、分式的基本性质 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变 1、（1）填充分子，使等式成立；() 222(2)a a a -=++ （2）填充分母，使等式成立：()2223434 254x x x x -+-=--- 2、不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。 （1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322 283a b a b -- 3、把分式x x y +（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 4、下列等式正确的是 （ ） A ．22b b a a = B ．1a b a b -+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b --=++ 5、将分式22x x x +化简得1x x +，则x 必须满足_________________________。
初中数学：分式的意义、性质及综合计算
1 / 19 分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分．在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利．与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用． 一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B 时，可以表示为 A B ．如果B 中含有字母，那么A B 叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母． 在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分母中必然含有字母； （2）分式的分母的值不为0； （3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 2、分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式 分式的意义、性质及综合计算 知识结构 知识精讲 内容分析
无意义．例如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 3、分式值为零的条件： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不 变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 二、分式的乘除： 1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表 示为：A C AC B D BD ?=． 2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即 n n n A A B B ?? = ? ?? ． 3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用 公式表示为：A C A D AD B D B C BC ÷=?=． 4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】 1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算． 2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算． 三、分式的加减： 1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则： （1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母． （2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简． 四、分式的综合运算： 与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
分式的意义及分式的基本性质
分式的意义及分式的基本性质 从分数到分式 知识领航：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式 B A 才有意义；当B=0时，分式B A 无意义.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零． 分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是： C B C A B A ⋅⋅= C B C A B A ÷÷= （0≠C ）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质． 习题一： 1、 当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）4 22+x x . 2、已知分式2 4 2+-x x ，当X 为何值时，分式无意义？当X 为何值时，分式有意义？当X 为何值时，分式的值为 零？当X=-3时，分式的值是多少？ 3、式子① x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有-----------------------------（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④
4、分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是---------------------------------------（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 5. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是------------------------------------------------------( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 6.如果分式 x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是------------------------------------------( ) A.21≤x B.21
分式的概念与基本性质
分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开． 分式有意义的条件 两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式 1 x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m b b m ÷=÷(0m ≠)． 注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠； ②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？ 1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，32 3a a a + 【考点】分式的基本概念 【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母， 由此可知1t ,2211x x x -+-，24x x +，21 321x x x +--，323a a a +为分式． (2)x x +， 5a ,2m ，3x -为整式． 【答案】1t ，1x -，24x x +,21 321x x x +--,3a 为分式
分式的意义和性质
分式的意义和性质 分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。 一、分式的意义： 1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。 2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。例如， $\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。 3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。这种表示方法在计算中特别有用。 4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75 二、分式的性质： 1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。对于正的分式，分母越大，分数越小。例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相 同的数。例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。约分可以简 化计算，并且使得分式更加简洁。 5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新 的分式。例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。倒数的意义是 将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。 总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。它可以表示数的部分、比率和除法运算，可以表示小数，还可以进行大小 比较、约分、加减乘除等运算。分式的认识和理解对于数学的学习和实际 应用有很大的帮助。
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算 一. 知识精讲及例题分析 （一）知识梳理 1. 分式的概念 形如A B （A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，B叫 分式的分母。 注： （1）分式的分母中必须含有字母 （2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A B A M B M = ⨯ ⨯ ， A B A M B M = ÷ ÷ （M为整式，且M≠0） 4. 分式的约分与通分 （1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 （2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤： ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 （1）乘除运算 （2）分式的乘方 （3）分式的加减运算 （4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ，- - x x y ， x+1 π， 1 4 () x y -， 1 y a b () +， 1 2 a- 例2. 下列分式何时有意义 （1）x x - + 1 2 （2） 1 1 ||x- （3） 4 1 2 x x- （4） x x x 22 + 例3. 下列分式何时值为零 下列各式中x为何值时，分式的值为零？
分式的性质及意义
分式的性质及意义 分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母 都可以是数或者代数式。 1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写 法的不同而改变。 2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。 3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没 有相同的因子。 4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并 将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。 5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它 们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。 分式的意义： 1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。 2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。分子表示比例中的前 一个数，分母表示比例中的后一个数。例如，2/3表示两个数的比值为2：3
3.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。分子表示 具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。例如，1/4表示一个量的值 为1，单位为4个。 4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相 加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的 比例关系等。 分式在日常生活中的应用非常广泛，如： 1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。 2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就 是使用分数表示的。 3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作 分数的形式。 4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。 综上所述，分式是数学中一种特殊的表达形式，具有唯一性和不可为 零的性质。它可以表示分数、比值、量和运算等多种意义，在日常生活中 应用广泛。了解分式的性质和意义，可以帮助我们更好地理解和运用分式。
分式的意义及性质
分式的意义及性质 分式是数学中的一种表示数的形式，由分子和分母组成，分子表示被 除数，分母表示除数。分式的意义是表示一个数是由两个整数的比例构成的。 分式的性质如下： 1.值的性质：分式的值可以是有理数也可以是无理数，取决于分子和 分母的值。 2.约分性质：对于一个分式，如果分子和分母有公约数，可以进行约分，即将两者同时除以最大公约数，使得分式的值保持不变。 3.逆运算性质：分式与整数的乘、除运算可以通过通分和约分来进行。 4.运算性质：分式与分式的加、减、乘、除运算可以通过通分和约分 来进行。 5.负号性质：可以对分式的分子或分母加负号，改变分式的正负性。 6.相等性质：两个分式是否相等可以通过交叉相乘法（求两个分式的 乘积，判断是否相等）来进行判断。 7.近似性质：将分式转化为小数形式可以进行近似计算，这在实际问 题中往往更为方便。 1.比例关系：分式可以表示比例关系，如一个矩形的长与宽的比可以 表示为一个分式。 2.图形的类比：分式可以表示图形的类比关系，如一个三角形的边长 比例可以表示为一个分式。
3.百分比：百分比可以看作是一个以100为分母的分式，表示一个量与总量之间的比值。 4.速度计算：速度可以表示为距离与时间的比率，可以用一个分式来表示。 5.金融计算：利率、折扣等金融概念可以通过分式来表示。 6.科学计算：科学领域中常常需要进行精确的计算，分式可以提供更准确的表达和计算结果。 7.概率与统计：概率和统计中的概率、频率等概念也可以通过分式来表示。 分式在数学学习中是一个重要的概念，掌握分式的意义和性质可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。因此，在学习分式时，我们需要注意理解分式的定义和性质，并通过实际问题的解决来加深对分式的认识。
分式的基本性质和概念
分式的基本性质和概念 一、分式的基本性质和概念 1、分式的概念 一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。 2、分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。 3、分式的值为0的条件 当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时， 分式$\frac{A}{B}=0$。 4、分式的基本性质 （1）分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。 （2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分 式的约分。 （3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去 分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式 的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。 （4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 （5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式，叫做分式的通分。 （6）通分法则：把两个或者几个分式通分，①先求各个分式的最简公分母（即各分 母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。②再利用分式的基本 性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分
分式的意义及性质
分式的意义及性质 分式（fraction）是由两个整数构成的表达式，称为分子（numerator）和分母（denominator），分母不能为零。分式的形式通常 为a/b，读作a除以b，其中a为分子，b为分母。分子表示分式的份数 或部分数，分母表示每个份数或部分的均等分割数。 分式在数学和实际生活中都有重要的意义。它们可以用于表示比例、 比率、百分比、概率等。以下是分式的一些重要性质和应用： 1.表示比例和比率：分式可以表示两个数或量之间的比例关系。例如，如果一个班级有30个学生，其中男生有15个，则男生在班级中的比例可 以表示为15/30，或简化为1/2、这个分式表示男生和总学生数之间的比率。 2.表示百分比：分式也可用于表示百分比。例如，如果项考试有50 道题，一个学生答对了25道，则答对的百分比可以表示为25/50，或简 化为1/2，即50%。 3.表示部分与整体：分式可以表示部分与整体的关系。例如，一个披 萨被平均分成8份，一个人吃了2份，则这个人吃了2/8的披萨。 4.运算性质： -加法：两个分数相加时，需要先化为相同的分母，然后将分子相加。例如，1/3+1/4=4/12+3/12=7/12、结果可以简化为最简分式。 -减法：两个分数相减时，也需要先化为相同的分母，然后将分子相减。例如，2/5-1/3=6/15-5/15=1/15
-乘法：两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。例如， 2/3*3/4=2*3/3*4=6/12、结果可以简化为1/2 -除法：两个分数相除时，将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母，第一个分数的分母乘以第二个分数的分子。例如， 2/3÷1/4=(2/3)*(4/1)=8/3、结果可以简化为22/3 5.约分和最简分式：约分是将分式化为最简形式的过程。即在分子和 分母同时除以它们的最大公约数，使分子和分母没有共同的因数。例如， 8/12可以约分为2/3 6.逆运算：分式的逆运算是求其倒数。例如，分数1/2的倒数是2/1，或简化为2、逆运算可以帮助我们解决一些问题，例如计算速度的倒数是 时间。如果一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，那么它每分钟前进1公里，其速度的倒数是1/60。 7.比较大小：可以通过比较分数的大小来比较两个数的大小。例如， 比较1/2和3/4，我们可以将它们化为相同的分母，然后比较它们的分子。1/2可以化为2/4，因此2/4<3/4 总结起来，分式在表示比例、比率、百分比和部分与整体关系方面非 常有用。它们还适用于加法、减法、乘法和除法等运算中，并且可以通过 约分和比较大小来进一步操作。在实际生活和各学科的问题中，我们常常 需要使用分式来表示和解决各种数学和现实世界中的比例和关系。