高中数学-反证法练习

高中数学-反证法练习

基础达标(水平一)

1.若a,b,c不全为0,则只需().

A.abc≠0

B.a,b,c中至少有一个为0

C.a,b,c中只有一个是0

D.a,b,c中至少有一个不为0

【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0.

【答案】D

2.若两个数之和为正数,则这两个数().

A.一个是正数,一个是负数

B.都是正数

C.至少有一个是正数

D.都是负数

【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C.

【答案】C

3.有以下结论:

①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;

②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.

下列说法中正确的是().

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确;②的假设错误

D.①的假设错误;②的假设正确

【解析】用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故①的假设错误,②的假设正确.

【答案】D

4.若a2+b2=c2,则a,b,c().

A.都是偶数

B.不可能都是偶数

C.都是奇数

D.不可能都是奇数

【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即

a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数.

【答案】D

5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设.

【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”.

【答案】x=a或x=b

6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:

①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误;

②所以一个三角形不能有两个直角;

③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.

上述步骤的正确顺序为.

【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②.

【答案】③①②

7.过平面α内的一点A作直线a,使得a⊥α,求证:直线a是唯一的.

【解析】假设直线a不唯一,则过点A至少还有一条直线b,使得b⊥α.

因为直线a与直线b是两条相交直线,所以直线a与直线b可以确定一个平面β.

设α和β相交于过点A的直线c,

因为a⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c.

因此,在平面β内,过直线c上的点A就有两条直线a,b垂直于直线c,这与“平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线”矛盾,所以假设不成立,

故直线a是唯一的.

拓展提升(水平二)

8.设a,b,c为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若P>0,Q>0,R>0,则必有PQR>0;反之,若PQR>0,也必有P>0,Q>0,R>0.因为当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则P,Q,R中必有两个负数,一个正数.不妨设P<0,Q<0,R>0,即

a+b0,Q>0,R>0.

【答案】C

9.已知a,b,c∈(0,1),则对于(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,下列说法正确的是().

A.不能同时大于

B.都大于

C.至少有一个大于

D.至多有一个大于

【解析】假设三个式子同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘得

(1-a)b(1-b)c(1-c)a>. ①

因为0

同理,0

所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤. ②

因为①与②矛盾,所以假设不成立,故选A.

【答案】A

10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖.有人走访了这四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.

【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.

【答案】丙

11.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:,,不能构成等差数列.

【解析】假设,,能构成等差数列,则有=+,即bc+ab=2ac. ①

而由a,b,c构成等差数列,得2b=a+c. ②

联立①②两式,得(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0,于是得a=c,这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立,因此,,不能构成等差数列.