高中数学方法讲解之反证法

反证法

从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证

明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得

()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单

峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数

()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的

方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥

，则2(0,)x 为含

峰区间；若12()(),f x f x ≤则1(,1)x 为含峰区间；

【巧证】：设'x 为()f x 的峰点，则由单峰函数定义可知,()f x 在[0,']x 上单调递增， 在[',1]x 上单调递减。

当

12()()

f x f x ≥时，假设

2

'(0,)x x ?

，则

12',

x x x <≤从而

21(')()(),f x f x f x ≥>

这与12()()f x f x ≥矛盾，所以2'(0,)x x ∈，即2(0,)x 是含峰区间。

当

12()()

f x f x ≤时，假设

1

'(,1)

x x ?，则

12

'x x x ≤<，从而

12(')()(),f x f x f x ≥>

这与12()()f x f x ≤矛盾，所以1'(,1)x x ∈，即1(,1)x 是含峰区间。

例2. 求证：函数f(x)=sinx 的最小正周期是2π． 【巧证】：由诱导公式知，对任意x ∈R ，有

sin(x ＋2π)=sinx ，

即2π是函数sinx 的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx 的最小正周期，

假设还有一个正数T 也是sinx 的周期，且0＜T ＜2π，则对任意x ∈R 都有

sin(x ＋T)=sinx ．

特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx 的周期，故sinx 的最小正周期是2π．

注：若直接证明比较困难，因适合0＜T ＜2π的正数有无

穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．

例3 x y x y 221y 2若、都是正数，且＋＞，求证：＜和

＋＜中至

少有一个成立．

1 x y

x

证明：如果

＋＜和

＋＜都不成立，则有

＋≥和

＋≥同时成立，因为、均为正数，故必有

1x

21y 21x 21y 2

x y y

x

y

x

1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ． 两式相加，得2＋(x ＋y)≥2(x ＋y)， 即2≥x ＋y ，这与已知矛盾，故

1x 21y 2＋＜和

＋＜中至少有一个成立．

y

x

注：“集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是“集合M 中所有元素都具有性质a ”．反之亦对．因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形．因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a 、b 都不是零”的否定是“a ，b 中至少有一个是零”．

例4 ABC A B C sinA sinB sinC 在已知锐角△中，＞＞，求证：＞，＞

，且＜

．

32

22

32

证明：结论的否定是≤

，或≤

，或≥

．

sinA sinB sinC 32

22

32

若≤

，因△是锐角三角形，

sinA AB C 32

∴C ＜B ＜A ≤60°．

∴A ＋B ＋C ＜180°，这不可能．

∴＞

．

sinA 32

同理可证＞

，＜

．

sinB sinC 22

32

注：这里最容易出现的错误是把对结论的否定说成“若≤

，

sinA 32 sinB sinC x A

≤

，≥

”．注意“且”的否定是“或”．例如“∈22

32

或∈，即∈∪”的否定是“∪，即且”．

x B x A B x A B x A x B ???

例5. [88.全国理]给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝

x ax --11

(其

中x ∈R 且x ≠1a

)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴； ②.这个函数的图像关于直线y ＝x 成轴对称图像。。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。

【巧证】：①设M

1(x

1

,y

1

)、M

2

(x

2

,y

2

)是函数图像上任意两个不

同的点，则x

1≠x

2

,

假设直线M

1M

2

平行于x轴，则必有y

1

＝y

2

，即x

ax

1

1

1

1

-

-

＝x

ax

2

2

1

1

-

-

，整

理得a(x

1－x

2

)＝x

1

－x

2

∵x

1≠x

2

∴ a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，

因此假设不对，即直线M

1M

2

不平行于x轴。

②由y＝x

ax -

-

1

1

得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝

y ay -

-

1

1

，

即原函数y＝x

ax

-

-

1

1

的反函数为y＝x

ax

-

-

1

1

，图像一致。

由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝

x ax -

-

1

1

的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平

行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

【巧证】：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，∴必有a > 0

同理可证：b > 0, c > 0

例7. 求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．

【巧证】：如图1-8-6，设平面α∥β．直线AB∩α=A，下面用反证法证明AB与β相交．

假设AB与β不相交，则必须考虑两种情形：

(1)若AB∥β，过AB作平面γ，使β∩γ=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，设α∩γ=AB'．

又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ内过A点有两条直线AB与AB'分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾．∴AB不能平行于平面β．

若β，∵∩α，则∈α，且∈β，于是α与β

(2)AB AB=A A A

相交于过点A的一条直线，但与已知α∥β矛盾，∴AB不在β内．

由(1)、(2)可知，直线AB与平面β相交．

注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法．

巧练一：

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根

B.至少一个实根

C.一个实根

D.无实根

2. 已知a<0,－1ab> ab 2 B. ab 2>ab>a C. ab>a> ab 2 D. ab> ab 2>a

3. 已知α∩β＝l ，a α，b β，若a 、b 为异面直线，则_____。 A. a 、b 都与l 相交 B. a 、b 中至少一条与l 相交

C. a 、b 中至多有一条与l 相交

D. a 、b 都与l 相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)

A. 150种

B. 147种

C. 144种

D. 141种 十三、反证法

巧练一：【巧解】：1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ；

2小题：采用“特殊值法”，取a ＝－1、b ＝－0.5，选D ； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B ；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C 104－C 6

4×4－3－6,选D 。

巧练二：设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于41

巧练二：【巧证】：设(1 - a)b >4

1, (1 - b)c >4

1, (1 - c)a >4

1

,

则三式相乘：ab < (1 - a)b ?(1 - b)c ?(1 - c)a <

64

1 ①

又∵0 < a, b, c < 1 ∴4

12)1()1(02

=??

?

???+-≤-

同理：4

1)1(≤-b b , 4

1)1(≤

-c c

以上三式相乘： (1 - a)a ?(1 - b)b ?(1 - c)c ≤64

1 与

①矛盾

∴原式成立

巧练三：若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。 巧练三：【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【巧解】： 设三个方程均无实根，则有：

△△△12

222

2

2

164430140

4420=--+<=--<=--

<->-

<

???

??

???3212113

20

a a a a 或,即－3

2

所以当a ≥－1或a ≤－3

2

时，三个方程至少有一个方程有实根。

【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正

面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。