无界弦振动的研究
无界弦振动的研究
马玉荣
摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。
关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法
一、引言
物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦[1]
的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。
通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多
[2-6]
。比如在运用特征线方法的基
础上利用线积分予以求解[3]
；有学者用分离变量法求解[4]
，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5]
、行波法[6]
等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab 软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。
二、无界弦的振动问题
无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I )和(II )它们都由泛定方程[1]
和初始条件[1]
构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I )中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II )中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中tt u 是弦的横向加速度；xx u 是u 关于x 的二阶导，质点间的牵连体现在xx u 上；a 是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t 时刻
作用于x 处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，)0,(x u t 是初始速度，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，由具体题目给定。
(I ) ???
??===-)3()()0,()2()
()0,()
1(02x x u x x u u a u t xx tt ψ? (II ) ???
??===-)
3()()0,()2()
()0,()1(),(2x x u x x u t x f u a u t xx tt ψ?
1、无界弦的自由振动问题
这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动在弦中传播的情况。其定解问题为(I )。 （1）行波法
[6]
错误！未找到引用源。式，从而求其通解。②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
???
??===-)
3()()0,()2()()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 泛定方程(1)的通解是
)4()
()(),(21at x f at x f t x u -++=
其中1f 和2f 是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定。将(4)式代入(2)式和(3)，有：
)
()()()0,()()()()0,('2'121x x af x af x u x x f x f x u t ψ?=-==+=
即 c d a
x f x f x
+=
-?ξξψ021)(1)()( 则?++=x c d a x x f 012)(21)(21)(ξξψ? ?--=x c
d a x x f 022
)(21)(21)(ξξψ? 则?++++=+at x c
d a at x at x f 012)(21)(21)(ξξψ?
?-+-+=-at x c
d a at x at x f 022
)(21)(21)(ξξψ?
所以，由(4)式得：
?+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( （5）
由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题，有其特殊优点。
-10-8-6-4-20246810
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
-10
-8-6-4-20246810
-0.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
u
例：现取初始位移??
???≤≤=)
(0)7473(
7sin )(其余l
x l x
l
x π?，初始速度0)(=x ψ，由达朗贝尔公式得
)](7sin )(7[sin 21),(at x l
at x l t x u -++=π
π，用matlab 作出图像如图1：
图1 初位移不为
0初速度为0的达朗贝尔公式的图形
现取初始位移0)(=x ?，初速度为???≤≤=)(0
)
10(1
)(其余x x ψ，用matlab 作图如下：
图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形
我们把图2分解为图3和图4，图3为开始时)(at x +ψ的波形，图4为开始时)(at x --ψ的波形。
图3 图4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.05
-0.04-0.03-0.02-0.0100.01
0.020.030.040.05-10
-8
-6
-4
-20246810
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
（2）、傅里叶变换法
[1][6]
Fourier 变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步： ①对方程和定解条件中的各项取变换，得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。 ②求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 ③求像函数的逆，即得到原定解问题的解。
???
??===-)
3()()0,()2()()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 上面定解问题，视t 为参数，对式(1)(2)(3)进行傅里叶变换，并记
)(~)]([)(~)]([),(~)],([ωψ
ψω??===x F x F t x u
t x u F 原方程组变为：
??
???===-)
6()(~)0,(~)5()
(~)0,(~)4(0~~2ωψωω?ωt xx
tt u
u u a u
(4)式的通解为t ia t ia e B e A t u
ωωωωω-+=)()(),(~ (7) 将(6)、(7)代入(8)式，有?
??=-=+)(~)()()(~)()(ωψωωωωω?
ωωaB i aA i B A 解之，得
)(~121)(~21)(ωψωω?ωi a A += )(~121)(~21)(ωψω
ω?ωi a B -=
所以，t ia t ia e i a e i a t u
ωωωψω
ω?ωψωω?ω--++=)](~121)(~21[)](~121)(~21[),(~ 而)],(~[),(1
t u
F t x u ω-=， 用延迟定理和积分定理求原函数，得
?+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( (8) 同行波法相比较，用傅里叶变换法的思路很清晰，对于求解无界弦的自由振动问题比较简便。
（3）、拉普拉斯变换法
[1]
如同Fourier 变换法一样，Laplace 变换法也可以用来求常微分方程、积分方程和偏微分方程的各类定解问题，特别适用于求解常微分方程的初值问题。而且，无论方程是何种类型（齐次还是非齐次，常微分方程还是偏微分方程），其求解步骤是一样的。
???
??===-)
3()()0,()2()()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 对上面定解问题，对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件运用二阶导数定理也一并进行变换的结果是022=---xx u a p u p ψ? (4)
这个非齐次常微分方程的通解是： ??+++-+=---)(//)(////)]()([21)]()([21),(x a p a px x a p a px a
px a
px d p p e e a
d p p
e e a Be
Ae
p x u ξξ?ξψξξ?ξψξξ 考虑到u x ∞
→lim 不应为无限大，积分常数A 定为0； 考虑到u x -∞
→lim 也不应为无限大，积分常数B 也定为0。 为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限取为-∞。这样，
??∞---∞--+++-=x a
x p x a x p d p p
e a d p p e a t x u ξξ?ξψξξ?ξψξξ)]()([21)]()([21),(/)(/)( ]
)()()()([21/)(/)(/)(/)(ξξ?ξξ?ξξψξξψξξξξd p p
e d p p e d p e d p e a x x x x a
x p a x p a x p a
x p ????∞∞-∞∞---------+++=
第二个[]跟第一个[]相比较，)(ξ?代替了)(ξψ并且多了一个因子p 。因此，先对第一个[]进行反演，得到原函数之后，将ψ换成?，并对t 求导就得到第二个[]的原函数。 运用延迟定理于
p
1
≒)(t H p e a x p /)(--ξ≒???->+<=--)
(0
)
(1
)(at x at x a x t H ξξξ
于是，ξξψξd p e a x a
x p )(21/)(?∞--≒?+at x x d a ξξψ)(21
同理，ξξψξd p
e a x a
x p )(21/)(?∞---≒?-x at x d a ξξψ)(21
这样，完成反演
??+-+-??+=
at x at x at
x at
x d a t d a t x u ])(21[)(21),(ξξ?ξξψ ?+--+++=
at x at x at x at x d a )]()([21
)(21??ξξψ (5) 通过比较发现，Laplace 变换法求解无界弦振动问题时，解方程和反演变换积分很多，计算量很大，所以求解这类问题，拉普拉斯变换法不常用。
（4）、格林函数法
[1]
所谓格林函数，即是点源产生的场。Green 函数法就是将定解问题的解表示成含有其相应的Green 函数的积分表达式，通过算积分而求得相应原定解问题的解。
用格林函数法求解数理方程的定解问题其关键问题是如何求得各定解问题的Green 函数问题。
???
??===-)
3()()0,()2()()0,()1(0
2x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 上面方程的基本解满足下列定解问题
???
?
???-=??=??=??)()0,;0,(0
)0,;0,(2
2
222ξδξξx x t G
x G x G a t G （4） 其中函数)(x δ定义为：
??
?≠=∞=)
0(0
)0()(x x x δ
用傅里叶变换方法求得问题(4)的解为：
???
??>-≤-=)
(0
)(21)0,;,(at x at x a
t x G ξξξ (5)
于是，得到原方程组的解为：
??+∞∞-+∞∞-+??=
ξξξψξξξ?d t x G d t x G t t x u )0,;,()()0,;,()(),( ?+-+-++=at
x at x d a
at x at x ξξψ??)(21)]()([21 (6) 用格林函数法求解，不仅要把原定解问题转化为相应格林函数的定解问题，还要用到傅里叶变换法求解格林函数问题的解，最后求积分转化回原问题的解，步骤和计算都很繁琐。所以，这种方法不常用。
（5）、分离变量法
[4]
分离变量法应用很广，一般用于求解有界的且具有齐次边界条件得问题，很少用此方法求解无限长的弦振动问题，现尝试用此方法求解。
对于无界弦的自由振动问题 ???
??===-)
3()()0,()2()
()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 将分离变量形式解错误！未找到引用源。代入(1)式，得：
22
)
()
()(ω-=''=''x X x X t T a T (ω为任意实常数) (4) 故有:
??
?+=+=)
cos()sin()()
cos()sin()(2121at D at D t T x C x C x X ωωωω (5) 其中2121D D C C 、、、都是积分常数。由)(x X 表达式可见，ω取正实数即可。于是(1)式有特解：
)]cos()sin()][cos()sin([2121x C x C at D at D u ωωωωω++= (6)
所有可能特解得线性组合得通解：
?∞
+=0
)sin()]cos()()sin()([),(ωωωωωωd x at B at A t x u +
?
∞
+0
)cos()]cos()()sin()([ωωωωωωd x at D at C (7)
由初始条件得：
??∞∞
+=0
)cos()()sin()()(ωωωωωω?d x D d x B x
??∞∞
+=0
)cos()()sin()()(ωωωωωωωωψd x aC d x aA x
上式表示将函数)(x ?错误！未找到引用源。、)(x ψ展开为傅里叶积分[1]
，其中
ξωξξψπωωd a A ?
∞
∞
-=)sin()(1
)(
?
∞
∞-=ξωξξ?π
ωd B )sin()(1
)(
?
∞
∞
-=
ξωξξ?π
ωd D )cos()(1
)( (8)
将(8)式代入(6)式，得：
?
??∞
∞
∞
-∞∞-+=
)sin(])cos()sin()()sin()sin()(1[
1
),(ωωωξωξξ?ωξωξξψωπ
d x at d at d a t x u ?
??∞
∞
∞-∞∞-++0
)cos(])cos()cos()()sin()cos()(1[
1
ωωωξωξξ?ωξωξξψωπ
d x at d at d a
(9) 利用三角函数积化和差公式，并将上式中一、三项合并，二、四项合并，得：
?∞
∞-+---+-=ξξξξψd at x sign at x sign a t x u )]()()[(41),(
ξξδξδξ?d at x at x ?∞
∞
---++-)]()()[(21 (10)
交换上式积分次序并考虑到
?
?
∞
∞
==
)(cos 2
sin χπδωχωχ
π
ωχω
ω
d sign d (11)
(10)式化为：
?+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( (12) 注：??
?
??<-=>=)
0(1)0(0
)0(1χχχχsign 是符号函数。
2、无界弦的受迫振动问题
无界弦受迫振动的数理方程模型是：
???
??==>+∞<<-∞=-)
3()()0,()2()()0,()1()0,(),(2x x u x x u t x t x f u a u t
xx tt ψ? 同样，可以用积分变换法、格林函数法进行求解，还可采用叠加原理（其中用到行波法和齐次化原理）进行求解。
（1）、叠加原理运用行波法和齐次化原理
运用叠加原理，先把无界弦的受迫振动分解为自由振动和纯强迫振动问题，对两个问题分别求解，最后把它们的解叠加即可。
原问题???
??==>+∞<<-∞=-)
3()()0,()2()
()0,()1()0,()
,(2x x u x x u t x t x f u a u t
xx tt ψ? 可以分解为：
（I ）???
??===-)()0,()()0,(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? (II)
???
??===-0)0,(0)0,(),(2x u x u t x f u a u t
xx tt
(I)的解已在前面求出，为：
?+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),(1 (4)
用冲量定理化(II)式为
???
??=====-),(),(0
),(02τττx f t x u t x u u a u t
xx tt 使?=
t
d t x t x u 0
);,(),(ττυ，令τ-=t T ，则定解问题化为：
???
??=====-),()0,(0
)0,(02τυυυx f T x T x u a T
xx tt 由达朗贝尔公式，得出：
?+-=
at
x at x d f a
t x ξτξτυ),(21);,( (5) 所以，
??-+--=t t a x t a x d d f a t x u 0)
()
(2),(21),(τττατα (6)
所以，采用叠加原理，有),(),(),(21t x u t x u t x u +=，从而得出受迫弦振动问题的解是：
???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0)
()
(),(21)(21)]()([21),(ττταταξξψ?? (7)
（2）、傅里叶变换法
[5]
???
??==>+∞<<-∞=-)
3()()0,()2()()0,()1()0,()
,(2x x u x x u t x t x f u a u t
xx tt ψ? 记：),(~)],([t u
t x u F λ=，),(~
)],([t f t x f F λ= )(~)]([λ?
?=x F ， )(~)]([λψψ=x F 对于上面定解问题，关于变量x 作傅里叶变换，得到下面的二阶线性非齐次常微分方程的定解问题：
??
???='==+''==)(~),(~)
(~),(~)
,(~),(~),(~0022λψλλ?λλλλλt t t u
t u t f t u a t u (4) 显然，相应于问题(4)的齐次方程的两个线性无关的解为：
t a t u t a t u λλλλsin ),(~cos ),(~2
1== 计算得它们的朗斯基行列式为：
λλλλλωa t u t u t u t u t =''=)
,(~)
,(~),(~),(~)(2
1
2
1
引理：函数错误！未找到引用源。)()(t q t p 、是连续函数，则常微分方程定解问题：
?
??='==+'+''==b t y a t y t f t y t q t y t p t y t t 00)()()
()()()()()( (5) (5)式的解为：
??+-'+'=
t t t t d f y t y d f y t y t y b t y a
t y t t y t y b
t y a
t t y 00)
()()()()()()()()()()()(1)()()()(1)(1221201010102020ττωττττωττωω (6)
这里, 函数错误！未找到引用源。为相应于问题（5）的齐次方程的两个线性无关的特解, 而函数)(t ω为)(),(21t y t y 的朗斯基行列式。
由式（6）可得（4）式的解为：
?-++=t d a t a f a t a t a t x u 0
)(sin ),(sin )(~cos )(~),(~τλ
τλτλλλλψλλ? (7) 利用卷积定理，有：
τλ
τλτλλψλ?λd a t a F x f a t a F x t a F x t u F t x u t ?-++==----0
1111])(sin [*),(]sin [*)(][cos *)()],(~[),( 以下分别计算上式各项。由傅里叶逆变换的定义直接计算得：
)]()([2
1
][cos 1x at x at t a F --+-=-δδλ
利用?
∞
∞
-∞-∞∈-=
),()()(*2121L dt t f t x f f f 及Dirac 函数)(x δ的性质有：
ξξδξδξ?λ?d at x at x t a F x ?∞
∞--+-+--=)]}([)]([){(21][cos *)(1
)]()([2
1
at x at x -++=??
现在计算第二项。为此，先计算函数错误！未找到引用源。的傅里叶变换：
λλ
λ
λπλλλπλλλd a x at x at d e a t a a t a F t i ??∞∞-∞--++==01)sin()sin(21sin 21]sin [
??∞∞-∞-+-+-+=01)sin()sin()(21]sin [*)(ξλλ
λξλξξψπλλψd d a x at x at a t a F x ξλλλξλξξψπd d a at x at x a ??∞
∞-∞+----=0)](sin[)](sin[)(21 为简便起见，记：
?
∞
+----=0
)](sin[)](sin[),(λλ
λ
ξλξξd at x at x x g
由Dirichlet 积分：
?
∞
=0
2
sin π
dx x x
，可得：
当错误！未找到引用源。),(),(∞+?--∞∈at x at x ξ时，02
2
),(=-
=π
π
ξx g
当),(at x at x +-∈ξ时，ππ
π
ξ=+
=2
2
),(x g
所以，?+--=at
x at x d a
a t a F x ξξψλλ?)(21]sin [*)(1
类似的，有
?-+---=-)
()
(1
),(21])(sin [*),(ττξτξλτλτt a x t a x d f a a t a F x f
所以，问题（II ）的解为
???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a
d a at x at x t x u 0)
()(),(21)(21)]()([21),(ττταταξξψ?? (8)
（3）、拉普拉斯变换法
???
??==>+∞<<-∞=-)
3()()0,()2()
()0,()1()0,()
,(2x x u x x u t x t x f u a u t
xx tt ψ? 记：?
∞
-==
),(~),()],([p x u dt e t x u t x u L pt ，?
∞-==0
),(~),()],([p x F dt e t x f t x f L pt )],(~)()([1),(~~222p x F x x p a
p x u a p u xx ++-=-ψ? (4)
这是一关于变量x 的带有变量p 的二阶线性非齐次常微分方程，由常数变异法，我们可求得其解为：
?++-+=--ξξξψξ?d p F p e p
e a Be Ae p x u x a p
x a p
x a
p
x a p
)],(~)()([121),(~
?+++-ξξξψξ?d p F p e p
e a x a p
x a p )],(~
)()([121 (5)
又原方程应带有有限性自然边界条件→∞
→x u
有限，
故其像函数自然也应满足→∞
→x p x u
),(~有限，
代入(5)式，得0==B A ，于是，
??∞∞-----+++++-=x x a x p a x p d p F p e p a d p F p e p a p x u ξ
ξξψξ?ξξξψξ?ξξ)],(~)()([121)],(~)()([121),(~/)(/)(])(1)(1[21])(1)(1[21)()()()(????∞---
∞--
∞∞---
--
?+?++=x
a
x p x a
x p x x
a
x p a
x p d p e
p
d p e
p
a d e
p
d e p
a ξξ?ξξ?ξξψξξψξξξξ
]),(~
1),(~
1[21)()(??∞
∞-----++x x a
x p a
x p d p F e
p
d p F
e p
a ξξξξξξ
因为 ???+>+<=--
-at x at x e
p
L a
x p ξξξ01]1
[)(1，???-<->=---at
x at
x e p L a x p ξξξ0
1]1[)
(1
所以，??
?+-∞
∞---
---=+at
x at
x x
x
a
x p a
x p d d e
p
d e p
L ξξψξξψξξψξξ)(])(1)(1[
)
()(1
(6)
而 ]})(1)(1[{)()(1
??
∞---
∞
---+x
a
x p x
a
x p d e
p
d e p
p L ξξ?ξξ?ξξ
?+--++=??=
at
x at x at x at x a d t
)]()([)(??ξξ? (7) ???
?-+--∞
∞-----
-=+t t a x t a x x a
x p a
x p d d f p F e
p
d p F
e p
L 0)()
(0
)()(1
),(]),(~
1),(~
1[ττξξτξτξξξξ (8)
对错误！未找到引用源。的结果取逆变换后将(6)(7)(8)式一并代入得原定解问题的解，为：
???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a
d a at x at x t x u 0)
()(),(21)(21)]()([21),(ττταταξξψ?? (9)
（4）、格林函数法
???
??==>+∞<<-∞=-)
3()()0,()2()()0,()1()0,(),(2x x u x x u t x t x f u a u t
xx tt ψ? 将上面方程组化解为：
（I ）???
??===-)()0,()
()0,(02x x u x x u u a u t xx tt ψ? （II ）???
??===-0)0,(0
)0,(),(2x u x u t x f u a u t
xx tt
对于（I ）的解在无界弦的自由振动问题中已求出：
?+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),(1 (4) 对于问题（II ）已知算符22
222x
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()
(),(21)(21)]()([21),(ττταταξξψ?? (6)
三、结果与讨论
本文用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解了无界弦的自由振动和受迫振动问题。无论用何种方法，均能得出：
无界弦的自由振动问题：
???
??===-)
3()()0,()2()()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψ? 的通解为：
?+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( 无界弦的受迫振动问题：
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xx tt ψ? 的通解为：
???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0)
()
(),(21)(21)]()([21),(ττταταξξψ??
上述计算表明：对于无界弦的自由振动问题，采用行波法和傅里叶变换法求解比较简便；对于无界弦的受迫振动问题，采用叠加原理用行波法求解最简便。行波法对于求解弦振动问题有其突出的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。各类书籍和文献中很少用分离变量法、拉普拉斯变换法和格林函数法求解这两类问题，对此，本文给出了具体求解过程，以供参考。
参考文献：
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[2]李永平.关于一维无界空间中自由振动问题的讨论[J].河北师范大学学报( 自然科学版)1996年12月第20卷增刊123-124
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[7]Bao Zhu Guo and Jian Xin Wang.The Unbounded Energy Solution for Free Vibration of an Axially Moving String.[J] Journal of vibration and control, 2000, 6(5).651-665
致谢
我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是在王莉老师全面、具体的指导下进行的。王莉老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘。王老师严谨的治学态度和对工作兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。
感谢我的指导教师王莉对我的关心、指导和教诲！
感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助！
The unbounded string vibration research
Ma Yurong Directed by Prof. Li Wang professor assistant Abstract: Use the traveling wave method, the integral transform method (the Fourier transform method and the Laplace transform method), the separation of variables method and the green function method to solve the unbounded string of free vibration and forced vibration problems. The calculation and analysis show that: for free vibration problem of the unbounded string, traveling wave method and Fourier transform method are straightforward, and they are the common method to solve these problem. To the problem of unbounded string forced vibration,the superposition principle with the traveling wave method and the homogeneous chemical principle is the most simple .The traveling wave method for solving unbounded string vibration problem has its special advantages. Namely, With the traveling wave method we have known the d'Alembert formula to solve the free vibration problem of the unbound string and the forced vibration problem of the unbounded string.The d'Alembert formula is universal, as long as the specific issues the function into the calculation of the initial conditions.
Key words: the unbounded string traveling wave method Fourier transform method Laplace transform method separation of variables method Green's function method
弦振动研究试验(教材)
弦振动研究试验 传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。 本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。 2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。 3. 测量弦线的线密度。 4. 测量弦振动时波的传播速度。 【实验原理】 张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。 图 1
为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ) 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft ······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。 由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0 2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波节的位置为： X＝（2K＋1）λ /4 ······②而相邻两波节之间的距离为： X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 ·····③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2π(X / λ) | =1 2πX / λ＝Kπ ( K=0. 1. 2. 3. ······) 可得波腹的位置为： X＝Kλ / 2＝ 2kλ / 4 ·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。 １
弦振动实验报告
弦振动的研究 '、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密p、弦长L和弦的张力T的关系，并进行测 量。 、、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 、实验原理 为了研究问题的方便，认为波动是从A 点发出的，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射 波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传 播时将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置?弦线上 的波就形成驻波。这时, 弦线上的波被分成几段形 成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传 播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向 图（2）左传播的用细虚线 表示，它们的合成驻波用粗 实线表示。由图可见，两个 波腹间的距离都是等于半 个波长，这可从波动方程推
导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y i = Acos2 (ft —x/ ) Y2 = Acos[2 (ft + x/ "+ ] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波 叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y i + 丫2 = 2Acos[2 (x/ ) + /2]Acos2 ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动， 它们的振幅为丨2A cos[2 (x/ )+ /2] | ，与时间无关t，只与质点的位置 x有关。 由于波节处振幅为零，即：丨cos[2 (x/ ) + /2] | =0 2 (x/ ) + /2 = (2k+1) / 2 (k=0. 2. 3. …) 可得波节的位置为： x = k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： X k+1 —X k = (k + 1) 12—k / 2 = / 2③又因为波腹处的质点振幅为最大，即I cos[2 (x/ ) + /2] | =1
弦振动实验终结报告
“弦振动实验”实验报告 一、实验目的 1、观察弦振动形成的驻波并用实验确定弦振动时共振频率与实验条件的关系。 2、学习用一元线形回归和对数作图法对数据进行处理。 3、学习检查和消除系统误差的方法。 二、实验原理 一根柔软的弦线两端被拉紧时，加以初始打击之后，弦不再受外加激励，将以一定频率进行自由振动，在弦上产生驻波，自由振动的频率称为固有频率。如果对弦外加连学的周期性激励，当外激励频率与弦的固有频率相近的时候，弦上将产生稳定的较大振幅的驻波，说明弦振动系统可以吸收频率相同的外部作用的能量而产生并维持自身的振动，外加激励强迫的振动称为受迫振动。当外激励频率等于固有频率时振幅最大将出现共振，最小的固有频率称为基频。实验还发现，当外激励频率为弦基频的2倍，3倍或者其他整数倍时，弦上将形成不同的驻波，如图1所示，这种能以一系列频率与外部周期激励发生共振的情形，在宏观体系（如机械、桥梁等）和微观体系（如原子、分子）中都存在。弦振动能形成简单而典型的驻波。 弦振动的物理本质是力学的弹性振动，即弦上各质元在弹性力的作用下，沿垂直于弦的方向发生震动，形成驻波。弦振动的驻波可以这样简化分析：看作是两列频率和振幅相同而传播方向相反的行波叠加而成。在弦上，由外激励所产生的振动以波的形式沿弦传播，经固
定点反射后相干叠加形成驻波。固定点处的合位移为零，反射波有半波损失，即其相位与入射波相位相差π，在此处形成波节,如图1中的O和L两个端点所示。距波节处入射波与反射波相位相同，此处合位移最大，即振幅最大，形成波腹。相邻的波节或者波腹之间为半波长。两端固定的弦能以其固有频率的整数倍振动。因此弦振动的波长应满足： 式中L为弦长，N为正整数。因波长与频率之积为波的传播速度v，故弦振动的频率为： 由经验知，弦振动的频率不仅与波长有关，还与弦上的张力T和弦的密度ρ有关，这些关系可以用实验的方法研究。用波动方程可最终推出弦振动公式为： 三、实验装置 本实验使用的XY弦音计是代替电子音叉的新仪器。它带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形和传感器接收的波形，观察波动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。
弦振动实验报告
弦振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系， 并进行测量。 三、 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程
分别为： Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos[2π (ft＋x/λ)+ π] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos[2π（x/ λ）+π/2]Acos2πft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2π（x/ λ）+π/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2π（x/ λ）+π/2] |＝0 2π（x/ λ）+π/2＝(2k+1) π/ 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝kλ /2 ② 而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)λ/2－kλ / 2＝λ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2π（x/ λ）+π/2] | =1 2π（x/ λ）+π/2 ＝kπ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)λ/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝nλ/ 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： λ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝λf，将⑤式代入可得弦线上横波的
无界弦振动的研究
无界弦振动的研究 马玉荣 摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。 关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法 一、引言 物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦[1] 的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。 通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多 [2-6] 。比如在运用特征线方法的基 础上利用线积分予以求解[3] ；有学者用分离变量法求解[4] ，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5] 、行波法[6] 等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab 软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。 二、无界弦的振动问题 无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I )和(II )它们都由泛定方程[1] 和初始条件[1] 构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I )中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II )中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中tt u 是弦的横向加速度；xx u 是u 关于x 的二阶导，质点间的牵连体现在xx u 上；a 是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t 时刻
均匀弦振动实验报告
实验八 固定均匀弦振动的研究 XY 弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。 [实验目的] 1. 了解均匀弦振动的传播规律。 2. 观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。 3. 测量弦上横波的传播速度。 4. 通过驻波测量，求出弦的线密度。 [实验仪器] XY 型弦音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。 [实验原理] 设有一均匀金属弦线，一端由弦码A 支撑，另一端由 弦码B 支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动， 假设波动是由A 端朝B 端方向传播，称为行波，再由B 端 反射沿弦线朝A 端传播，称为反射波。行波与反射波在同 一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码B 到 适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成 几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅 最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波 腹。驻波的形成如图4-8-1所示。 设图4-8-1中的两列波是沿x 轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图4-8-1可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。 下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿x 轴正方向传播的波为行波，沿x 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在x =0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为： )(2cos 1λπx ft A y -= )(2cos 2λ πx ft A y += 式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，λ为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： 图 4-8-1
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等） 一. 实验目的 1. 观察弦上形成的驻波 2. 学习用双踪示波器观察弦振动的波形 3. 验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系 二. 实验仪器 XY弦音计、双踪示波器、水平尺 三实验原理 当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示： ρ 1 另外一方面，波的传播速度v 和波长λ及频率γ之间的关系是：
v= λ γ -- ② 将②代入①中得 γ =λ1 -- ③ρ 1 又有L=n* λ/2或λ =2*L/n 代入③得γ n=2L --- ④ρ 1 四实验内容和步骤 1. 研究γ和n 的关系 ①选择 5 根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。 ②设置两个弦码间的距离为60.00cm ，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm 的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。 ③将1kg 砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必
要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g 是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则 T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg??. ）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1 时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5 时的共振频率，做γn 图线，导出γ和n 的关系。 2. 研究γ和T 的关系保持L=60.00cm，ρ 1 保持不变，将1kg 的砝码依次挂在第1、2、3、4、5 槽内，测出n=1 时的各共振频率。计算lg r 和lgT，以lg2 为纵轴，lgT 为横轴作图，由此导出r 和T 的关系。 3. 验证驻波公式 根据上述实验结果写出弦振动的共振频率γ与张力T、线密度ρ关系，验证驻波公式 1、弦长l1 、波腹数n 的 五数据记录及处理
弦振动的研究
弦振动的实验研究 弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。 本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。 预备问题 1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？ 3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？ 4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的： 1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法： 3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。 二、实验原理 一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程 ()2222t y dx dx x y T ??=??ρ （1） 若令ρ/2 T v =， 上式可写为 2222 21t y v x y ??=?? （2） x x+dx T T x y dl 图1
弦振动实验报告
实验13 弦振动的研究 任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的 1. 观察弦振动所形成的驻波。 2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器 电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。 三. 实验原理 1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒 定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，
将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。 2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： （3-13-1） （3-13-2）式中为波的振幅，为频率，λ为波长，为弦线上质点的坐标位置。 两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： （3-13-3）由上式可知，入射波与反射波合成后，弦线上各点都在以同一频率作 简谐振动，它们的振幅为，即驻波的振幅与时间无关，而与质
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弦 振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L 和弦的张力Τ的关系，并进行测量。 三、波。示。轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O ”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y 1＝Acos2(ft －x/ ) Y 2＝Acos[2 (ft ＋x/λ)+ ]式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y 1 ＋Y 2＝2Acos[2（x/ ）+/2]Acos2ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2（x/ ）+/2] |，与时间无关t ，只与质点的位置x 有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2（x/ ）+/2] |＝0
2（x/ ）+/2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)/2－k / 2＝ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2（x/ ）+/2] | =1 2（x/ ）+/2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度： V＝2Lf/n ⑥ 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为： V＝(T/ρ)1/2 ⑦ 式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 再由⑥⑦式可得 f =（T/ρ）1/2（n/2L） 得 T＝ρ / (n/2Lf )2 即ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧ 由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。 四、实验内容 1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据 2、测定11个砝码的质量，记录数据
弦振动实验-报告
弦振动实验-报告
实验报告 班级姓名学号 日期室温气压成绩教师 实验名称弦振动研究 【实验目的】 1.了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2.测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3.测量弦线的线密度 4.测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λ πx =2 y- cos A ft 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λ πx cos =2 y+ A ft
式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλπ2cos 2cos 22 1=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λπx A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关，即各点 的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λπx A ，可得波节的位置坐标为 () 412λ +±=k x Λ2,1,0=k 令12cos 2=λπx A ，可得波腹的位置坐标为 2λ k x ±= Λ 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端 点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λ n L = 或 n L 2=λ Λ2,1,0=n
弦振动实验的研究.
论文题目来源： 国家自然科学基金项目 编号： 四川省自然科学研究项目 编号： 校级自然科学研究项目 编号：
弦振动实验的研究 学生：王彬 指导老师：吴英 摘要：弦振动实验存在着诸多困难，弦的张力会因弦的振动发生变化，弦的线密度会发生微小变化，当波腹数增多时现象不明显，低频信号器共振频率读取不准确等。本研究通过文献综述、理论研究、比较研究等方法，针对上述原因，利用实验室的装置验证弦振动理论采集相应数据并进行结果处理，通过在体验实验过程和数据处理方面的困难，对本实验装置提出切合实际的改进方法，以克服主观和客观方面的困难，使实验现象更加明显。 关键字：弦振动；共振；波腹；张力；线密度
The Research of String Vibration Experiment Undergraduate:Wang Bin Supervisor:Wu Ying Abstract:String vibration experiment is an important experiment of college physics. The experiment is also a deep exploration and application of string vibration knowledge. There are many difficulties in the experiment. For example, string tension will change because of the vibration of the string. And the linear density of the string will inevitably have subtle change. Besides, we can not get precise data of the resonance frequency of low frequency signal generator when the increase of the wave loop is not obvious. As for the above reasons, this research, with the following methods, such as literature review, theoretical research and comparative approach and so on, uses the equipments in the lab to prove the theory of string vibration and collects relevant data and then deal with the data. After knowing the difficulties in the experiment and in dealing with the data, I will propose some practical methods to improve and reform the experiment equipments so that we can overcome subjective and objective difficulties and so that the experimental phenomenon can become more obvious. Key words:string vibration; resonance frequency; wave loop; string tension; linear density.
弦振动地误差分析报告方案设计
弦振动中误差的研究 实验目的： （1）研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的； （2）研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误差。 实验原理： 如图（1）实验时在①和⑥间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮⑩结上砝码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是半波长倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状态（弦振动面与磁场方向完全垂直），使弦线形成明显的驻波。此时我们认为磁 波。
到适合位置．弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成 驻波用粗实线表示。由图可见， 这可从波 动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y1＝Acos2 (ft－x/ ) Y2＝Acos[2 (ft＋x/λ)+ ] 式中A为简谐波的振幅，f为频率， 为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos[2 （x/ ）+ /2]Acos2 ft ……………①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2 （x/ ）+ /2] |，与时间无关t，只与质点的位置x 有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2 （x/ ）+ /2] |＝0 2 （x/ ）+ /2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. …) 可得波节的位置为： x＝k /2 ……………②
弦振动实验-报告
实 验 报 告 班级 姓名 学号 日期 室温 气压 成绩 教师 实验名称 弦 振 动 研 究 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2. 测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3. 测量弦线的线密度 4. 测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λπx ft A y -=2cos 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λπx ft A y +=2cos 式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλ π 2cos 2cos 221=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λ π x A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关， 即各点的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ π x A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λ π x A ，可得波节的位置坐标为 ()4 12λ +±=k x Λ2,1,0=k 令12cos 2=λ π x A ，可得波腹的位置坐标为
2 λ k x ±= Λ2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λn L = 或 n L 2=λ Λ2,1,0=n 式中，L 为弦长；λ为驻波波长；n 为半波数（波腹数）。 另外，根据波动离乱，假设弦柔性很好，波在弦上的传播速度v 取决于线密度和弦的张力T ，其关系式为 μ T v = 又根据波速、频率与波长的普遍关系式λf v =,可得 μ λT f v = = 可得横波传播速度 n L f v 2= 如果已知张力和频率，由式可得线密度 2 2??? ? ? ?=Lf n T μ 如果已知线密度和频率，可得张力 22?? ? ??=n Lf T μ 如果已知线密度和张力，由式可得频率 μ T L n f 2= 【实验内容】 一、实验前准备 1. 选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U 型槽中，把带孔的一端套到调 整螺旋杆上圆柱螺母上。 2. 把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L 的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一 端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。 3. 在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂 的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。 二、实验内容
弦振动的研究
实验四弦振动的研究 【实验目的】 1.观察弦振动时形成的驻波； 2.用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测量的结果； 3.验证弦振动的波长与张力的关系。 【实验仪器和用具】 电振音叉(频率约为100Hz)，弦线，分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺【实验原理】 如图12-1所示，将细弦线的一端固定在 电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音 叉振动时，强迫弦线振动(弦振动的频率应与 音叉的频率f相等)，形成一系列向滑轮端前 进的横波，在滑轮处反射后沿相反的方向传播，在音叉与滑轮间往返传播的横波的叠加形成一定的驻波。适当调节砝码的重量或弦长(音叉到滑轮间的弦线距离)，在弦上将出现稳定的、强烈的振动，即弦线与音叉的共振。弦线共振时，驻波的振幅最大，音叉端为振动的节点(非共振时，音叉端不是驻波的节点)，若此时弦上有n个半驻波，则有n l/ 2 = λ，弦上的波速υ则为 υfλ = (12-1) 或 2l υf n = (12-2) 根据波动理论，横波在弦线上的传播速度υ与弦线张力T及弦线的线密度ρ之 间的关系为 υ=（12-3） 将式(12-3)代入(12-1)得： (124) f==- 式(12-4)表示，以一定频率振动的弦，，其波长λ将随张力T及线密度ρ的变化而变
化的规律。同时也表示出，弦长l 、张力T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于 ,3,2,1=n 的 321,,f f f 等多种频率。其中1=n 的频率称作基频， 3,2=n 的频率称作第一、第二谐频，但基频较其它谐频强的多，因此它决定弦的频率，而各谐频决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只在弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的的能量分布可以不同，所以音色不同。 当弦线在频率为f 的音叉策动下振动时，适当改变T l 、和ρ，和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三 、谐频，此时在弦线上出现2，3，4 ，个半波区。 【实验内容】 1.测量弦线的线密度 取2米长和所用的弦线相同的线，在分析天平上称出其质量m ，求出它的线密度ρ。 2.观察弦线上的驻波 根据已知音叉频率f (一般为100Hz )和已知的线密度ρ，求出弦长在20cm 30~附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力T 。 选取弦线长在130cm 左右，根据上述计算的张力T 值，选择适当的砝码挂在弦线上，给电振音叉的线圈通以50Hz ，电压为2~1V 的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下观测： (1)使弦线长从20cm 左右开始逐渐增加(拉动音叉移动)，当4,3,2,1=n 个半波区的几种情况下弦线共振时，分别测出弦长并计算出波长λ。 (2)使弦长l 大于1=n 共振时的弦长，小于2=n 共振时的弦长，从这种情况下振动的弦上，测出波长λ，并和上面的测量结果相比较(注意：此时音叉端点不是弦的节点)。 3.弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦线长使之出现共振，测出弦线长l ，算出波长λ。
弦振动实验_报告
弦振动的研究报告 班级：工程力学二班 学号：120107020045 姓名：康昕程
实 验 报 告 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2. 测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3. 测量弦线的线密度 4. 测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λπx ft A y -=2cos 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λπx ft A y +=2cos 式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλ π 2cos 2cos 221=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λ π x A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关， 即各点的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ π x A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λ π x A ，可得波节的位置坐标为 ()4 12λ +±=k x 2,1,0=k 令12cos 2=λ π x A ，可得波腹的位置坐标为 2 λ k x ±= 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。
弦振动的研究
弦振动的研究 １．测量驻波波长时，为了更准确测量取其形成驻波哪一段弦。用米尺进行多次测量， 其平均值，然后除以半波长的的数目得到半波长。 ,/2 1mg２．用作图法处理数据是依据：作图，以为纵标座标，以为横座M,,,f,标，为了使图作得更好，横座标邓点要均匀一些，最好尽可能多地用不同砝码测出其相应的 波长，然后取点作图较好。 ３．弦线越细则柔韧性越好，越接近理想条件，所以弦细一点好。弦线的弹性对实验的 影响较大。由于作实验时，需加不同的砝码，如果弦线有弹性则不同的砝码弦线拉长的程度 就不一样。弦线的长度改变，则弦线的线密度也相应改变。由于计算频率时是按线密度为常 数计算的，所以弦线的弹性对实验有较大影响。 ４．弦线的线密度是弦振动，实验计算时重要参量，为了准确地测量弦线的线密度，其 测量的方法，可用弦振动实验测量。 由公式：nTnT可导出 f,,,222L,2fL 由于砝码质量，音叉振动频率，弦长Ｌ和n均可以较准确测量，所以此法测弦线线密度较为准确。 ,1T５．因为,又 L,,,2f, 1T 则： L,2f,
11 对上式两边取对数，有 IgL,IgT,Ig4,,Igf22 所以，从Ig,IgT图的截距可以求得f。 1．η代表在单位面积、单位速度梯度下的内摩擦力。假如两种液体，它们的速度梯度 及两流层接触面积相同，而摩擦力不同，则可以说它们是有不同的粘性；反过来；不同流体， 它们的粘性不同，它们的比例系数η也就不同，因而称描述粘性大小比例的比例常数η为流 体的粘滞系数。 2．由于泊肃叶公式应用的条件要求，液体沿均匀管稳定流动的过程中，管两端的压强差 是恒定的，流速不随时间改变，流过流管截面的液体体积Ｖ随时间ｔ成线性变化。但是，对 于奥氏粘度计，在液体沿竖直毛细管流动的过程中，毛细管两端液体的压强差随液面的下降 而减小，流速也逐渐减小，因此，体积Ｖ不再随时间成线性变化，并且公式的推导也未考虑 其它能量的损失，经理论推导和实验证实，计算公式只能说是一个近似公式。 1答：若悬线不是固定在盘边上，则盘的向何半径跟有效半径是不相等的。由于园盘 中心不易确定，可测出悬孔间的平均距离 R,d/3，然后通过几何关系算出 d 2待测物的转动惯量比下盘小得多时，相对空盘测周期时所得周期值变化不大。
弦振动实验研究报告
弦振动地研究 一、实验目地 1观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时地波形，加深驻波地认识? 2 了解固定弦振动固有频率与弦线地线密 p、弦长L和弦地张力T地关系, 并进行 测量? 二、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 三、实验原理 为了研究问题地方便，认为波动是从A 点发 出地，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再 由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波.入 射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时 将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置?弦线上地 波就形成驻波.这时，弦线上地波被分成几段形 成波节和波腹.驻波形成如图（2）所示.b5E2RGbCAP 设图中地两列波是沿X轴相向方向传播地振 幅相等、频率相同振动方向一致地简谐波.向右 传播地用细实线表示，向左传播地用细虚线表 示，它们地合成驻波用粗实线表示.由图可见， 两个波腹间地距离都是等于半个波长，这可从波 动方程推导出来QEanqFDPw 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述 .设沿X轴正方向传播地波为入射波，沿X轴负方向传播地波为反射波，取它们振 动位相始终相同地点作坐标原点 “0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们地波动方程
分别为：DXDiTa9E3d Y i = Acos2二(ft — x/ ) 丫2= Acos[2 二(ft + x/ 入)+ -：] 式中A为简谐波地振幅，f为频率，■为波长，X为弦线上质点地坐标位置.两波叠加后地合成波为驻波，其方程为：RTCrpUDGiT Y i + 丫2 = 2Acos[2 二(x/ ■) + 二/2]Acos2二ft① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们地振幅为丨2A cos[27：(x/ ■) +二/2] 与时间无关t,只与质点地位置x有关.5PCzVD7HxA 由于波节处振幅为零，即:| cos[2二(x/ ■) +二/2] | = 0 2 二(x/ ■) + 二/2 = (2k+1)二/ 2 ( k=0. 2. 3. …) 可得波节地位置为： x = k /2 ② 而相邻两波节之间地距离为： X k +1 — X k= (k + 1)和./2 — k". / 2=和"/ 2 ③ 又因为波腹处地质点振幅为最大，即| cos[2二(x/ ■) +二/2] |=1 2二(x/ ) + 二/2= k二(k=0. 1.2. 3.…) 可得波腹地位置为： x = (2k-1) /4④ 这样相邻地波腹间地距离也是半个波长.因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间地距离，就能确定该波地波长.jLBHrnAILg 在本实验中，由于固定弦地两端是由劈尖支撑地，故两端点称为波节，所以，只有当弦线地两个固定端之间地距离(弦长)等于半波长地整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波地条件，其数学表达式为：XHAQX74J0X L= n / 2 ( n=1.2. 3. …) 由此可得沿弦线传播地横波波长为： =2L/n ⑤ 式中n为弦线上驻波地段数，即半波数. 根据波速、频率及波长地普遍关系式：V = f，将⑤式代入可得弦线上横波地传播速度：