高职高专 高等数学第一章教案

第一章

函数、极限、连续

教学要求

1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。

2.理解数列极限、函数极限的定义。

3.掌握极限的四则运算法则。

4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。

5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。

6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点

函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点

函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容

第一节 函数 一、函数的定义与性质

1.集合；

2.邻域；

3.常量与变量；

4.函数的定义；

5.函数的特性。 二、初等函数

1.反函数；

2.复合函数；

3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质

1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法：

列举法 12{,,,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系:

若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠

A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。

4常见的数集

N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例

{1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C =

不含任何元素的集合称为空集, 记作?

例如, 2

{,10}x x R x ∈+==?

规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律

(1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A

(2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R}

表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2

R

7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+

点a 的去心δ邻域记做0()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。

注意：邻域总是开集。 8常量与变量:

在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.

x

δ

δ

1） 常量与变量的表示方法：

用字母x, y, t 等表示变量，通常用字母a, b, c 等表示常量。 9函数的定义：

设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集。如果对于每个给定的数x D ∈，变量y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作y=f(x). x 叫做自变量，y 叫做因变量。 数集D 叫做这个函数的定义域，

数集f R (){|(),}f D y y f x x D ===∈叫做函数的值域。

注意：

1）当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。 如2()lg f x x =和()2lg f x x =就不是同一个函数。

2）求定义域的方法：

应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。如

()[1,1];()(1,1)f x D f x D ==-=

=-

如果在D 中任取一个x 对应的函数值都只有一个,这种函数称单值函数，否则称多值函数。 例如，2y x =为单值函数

.y = 凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数 10 函数的特性 1）有界性:

若()f x 在I 上有定义，0M ?>，x I ?∈有()f x M ≤成立则称函数()f x 在I 上有界， 否则称无界。

2）单调性

设函数()f x 在区间I 上有定义，如果对于区间I 上任意两点12x x <，恒有12()()f x f x < 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；恒有12()()f x f x >则称函数()f x 在区间I 上 是单调减少的

x

3）奇偶性

设D 关于原点对称，对于x D ?∈，有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数。

设D 关于原点对称，对于x D ?∈，有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数。

4）周期性

设函数()f x 的定义域为D ()f x ，如果存在一个不为0的常数T ，对任意的x D ∈均有

()()F x T f x +=则称()f x 为周期函数，T 为()f x 的周期。（通常说周期函数的周期是

指其最小正周期） 二、初等函数

通常把常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数六种函数

称为基本初等函数．

I

偶函数

由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．初等函数以外的函数，称为非初等函数，最常见的是分段函数．

（1） 初等函数的几个特例 设)(x f 和)(x g 都是初等函数，则

① 绝对值函数 |()|y f x =

：是初等函数，因为2[()]y u f x =

=．

② 最大值函数 ()max{(),()}M x f x g x =：是初等函数．因为

1

()m a x {(),

()}[()()|()()|]

2

M x f x g x f x g x f x g x =

=++-． ③ 最小值函数 ()min{(),()}m x f x g x =：是初等函数．因为 （1） 1

()min{(), ()}[()()|()()|]2

m x f x g x f x g x f x g x ==

+--． ④ 幂指函数 ()[()] (()0, ()1)g x y f x f x f x =>?：是初等函数，因为

()(

)l n ([()]g x g x f

x

f x e =．

（2）非初等函数的几个特例

① 符号函数 1, 0

sgn : sgn 0,

01,

x y x x x x ì>???

===í??-

[3.1]3,

[3.8]3,

[3]3,

[ 3.2] 4.y y y y =======-=-

取小数函数 ()[]y x x x ==-：表示“x 的非负小数部分”，即 (3.1)0.1,

(3.8)0.8,

(3)0,

( 3.2)0.8y y y y =======-=．

显然，对于任意x R ?，有

[]11x x x <+?．

③ 狄利克雷（Dirichlet ）函数：

1, ()0, x D x x ì??=í

???为有理数

为无理数

． ④ 黎曼（Riemann ）函数（定义在]10[，）：

1, (, , )

()0, 0,1, p p x p q q q q R x x ì??=?=í??=???当为正整数为既约分数当无理数

．

高等数学主要的研究对象是初等函数．

1.初等函数、复合函数的关系与分解

（1）初等函数与复合函数的关系

复合函数与初等函数是并列的概念．是复合函数，可以是初等函数，也可以不是初等函数；是初等函数，可以是复合函数，也可以不是复合函数．一个函数，可属于多种函数分类．

（2）函数的分解

函数的分解形式依分解要求不同而不同．一般地，高等数学中要求掌握两类函数的分解．

①复合函数的分解：把一个复合函数（一层或多层）分拆成几个函数，称为复合

函数的分解．

②初等函数的分解：把一个初等函数分拆成几个函数，称为初等函数的分解．

或y=sin u，u=t

v

，t=x3，v=sin w，w=

l

s

，l=x2，s=sin x．（许康P61）

【注意问题】

①对于由两个函数构成的函数，可以讨论它是否为复合函数．对一个复杂函数笼

统地问是否复合函数是没有意义的，应具体地问这个复杂函数的哪一层是否复

合关系．复合关系只是针对所论层的内函数与外函数两个函数之间的相互关系，

而不涉及该层以外的函数是否复合函数．如函数y=

y=f(u)=u=g(x)=x+

按复合函数的定义，f(u)和u=g(x)可以复合成复合函数；但

u=x+

中既有四则运算，又有复合运算，是初等函数，而无法说它是不是复合函数．

②又如问y=2x是否复合函数，因为复合函数是两个函数间的复合，如果不指明

问是否某两个函数的复合函数，如何回答呢？要是指明问y=2x是否由y=u和

u=2x复合而成的复合函数，则可以回答是两者的复合函数（当然这种复合无实

际意义．对于简单函数不再讨论其复合性）．

2.三角函数

（1）基本三角函数关系

①对角线两端二函数的乘积为1（倒数关系）．

②周界上任一函数等于它相邻两函数的乘积．

③阴影三角形中两上顶角函数的平方和等于下角函数的平方．

（2）任意三角函数的诱导公式（可记为：奇变偶不变，正负看象限．）sin(90?+α)=cosα，sin(180?+α)=-sinα，sin(270?+α)=-cosα

sin(90?-α)=cosα，sin(180?-α)=sinα，sin(270?-α)=-cosα（3）两角和的三角函数

sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin y，cos(x±y)=cos x cos y?sin x sin y

tan(x ±y )=

tan tan 1tan tan x y x y ± ， cot(x ±y )=cot cot 1

cot cot x y y x

±

（4） 倍角的三角函数

sin2x =2sin x cos x

，

cos2x =cos 2x -sin 2x =1-2sin 2x =2cos 2x -1

tan2x =22tan 1tan x

x

-， cot2x =2cot 12cot x x -

（5） 三角函数的和、差化积公式

sin x +sin y =2sin ()2x y +cos ()2x y -， sin x -sin y =2cos ()2x y +sin ()2

x y

- cos x +cos y =2cos ()2x y +cos ()2

x y

-， cos x -cos

y =-2sin ()2x y +sin ()2

x y

-

tan x ±tan y =sin()cos cos x y x y ±， cot x ±cot y =±sin()

sin sin x y x y

±

sin x ±cos x

=x ±

4π)=

x ?4

π

) （6） 三角函数的积化和、差公式

2sin x ?cos y =sin(x +y )+sin(x -y )， 2cos x ?sin y =sin(x +y )-sin(x -y ) 2cos x ?cos y =cos(x +y )+cos(x -y )， -2sin x ?sin y =cos(x +y )-cos(x -y ) （7） 反三角函数的运算公式

arcsin()arcsin ,arccos()arccos ,[1,1];

arctan()arctan ,arccot()arccot ,(,);sin(arcsin ),cos(arccos ),[1,1];tan(arctan ),cot(arccot ),(,

);

arcsin(sin ),[,2x x x πx x x x x πx x x x x x x x x x x x πx x x -=--=-?-=--=-?ゥ==?==?ゥ=?];arctan(tan ),(,);222arccos(cos ),

[0,];arccot(cot ),(0,).

πππx x x x x x πx x x π=?=?