知识讲解复数基础

高考总复习：复数

【考纲要求】

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；

2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、复数的有关概念

1.虚数单位i :

（1）它的平方等于1-，即2

1i =-；

（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；

（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；

（4）i 的周期性：41n i

=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.

2. 概念

形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：

对于复数z a bi =+（,a b R ∈），

当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；

当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；

当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；

当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.

所以复数的分类如下:

z a bi =+（,a b R ∈）?(0)(0)00b b a b =??

≠?=≠?实数；虚数当且时为纯虚数

5.复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：

如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+?==且.

特别地: 00a bi a b +=?==.

应当理解:

（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

6.共轭复数：

两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：

复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。

考点二：复数的代数表示法及其四则运算

1.复数的代数形式:

复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。

2.四则运算

()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；

()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；

复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：

2222

()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。

考点三：复数的几何意义

1. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数z a bi =+←???

→一一对应

复平面内的点(,)Z a b

这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2.复数的几何表示

（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；

（2）向量表示:以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.

向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即||||0z OZ ==≥u u u r .

要点诠释:

（1）向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应；

（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3.复数加法的几何意义：

如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OP u u u r ，那么以

1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量。

4.复数减法的几何意义：

两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

要点诠释:

1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；

2.求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题

3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用

4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。

【典型例题】

类型一：复数的有关概念

【例1】设复数22

lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求实数m 取何值时，复数z 分别满足：

(1)z 是纯虚数； (2)z 对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】

(1)当22lg(22)0320m m m m ?--=??++≠??即3m =时，复数z 是纯虚数；

(2)当22lg(22)0320

m m m m ?--??即11m -<<-13m <<时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：z a bi R =+∈?0b =?z z =?

20z ≥(,a b R ∈)；z a bi =+是纯虚数?00a b =≠且?0z z +=（0z ≠）?20z <；

举一反三：

【变式1】复数

12ai i +-为纯虚数，则实数a 为( )．

A ．2

B ．－2

C ．－12 D. 12

【答案】A

【解析】

1(1)(2)2212(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+， 由纯虚数的概念知：

25

a -＝0，∴a ＝2.

【变式2】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：

（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。

【解析】

（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；

（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；

（3）当?????≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数.

【变式2】已知复数z 满足||1z =且21z ≠-,则复数

1

2+z z （ ）

A.必为纯虚数

B.是虚数但不一定是纯虚数

C.必为实数

D.可能是实数也可能是虚数

【答案】

[法1] 设z a bi =+（,a b R ∈），有221a b +=,0a ≠.

则22221121222z a bi a bi R z a abi b a abi a ++===∈++-++，故应选C 。

[法2] ∵2||1z z z ?==,∴2211()z z z R z z z z z z z z z

===∈++?++.

[法3] ∵2||1z z z ?==，∴ 2211(1)z z z R z z z z z

?==∈++?+.

类型二：复数相等

【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a 2-1）+(b+2)｝同时满足M ∩N

≠

?M ，M ∩N ≠Φ，求整数a,b

【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。

【解答】

2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得…………………………①

或2

8(1)(2)a b i =-+…………………………………………②

或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++…………………………③

由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2

由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b =-2不合题意，∴a=3,b=-2;

由③得222231401230

a a a a

b b b b ??+=---=????-=+--=????即,此方程组无整数解。

综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。

【总结升华】

1、a+bi=c+di ?(,,,)a c a b c d R b d =?∈?

=?.

2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。

注：对于复数z ，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b ∈R)。

举一反三：

【变式】已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.

【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i.

类型三：复数的代数形式的四则运算

【例3】计算：(12)(34)i i +÷-

【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。

【解析】 2212(12)(34)386451012(12)(34)34(34)(34)342555

i i i i i i i i i i i i +++-++-++÷-=

====-+--++

【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用21i =-进行运算。

举一反三：

【变式1】8)3122(

i i -+

【答案】：原式=8)23211(i i +-+

【变式2】复数

512i i =-( )

.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+

【解析】选C 解法一：

55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i i i i i i +-+===-+--

解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案.

【例4】已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，12z z 2i

+＝

,且|z 2|＝52z 2.

【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.

z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，

∵|z 2|＝52

∴|z 2(5＋5i)|＝50，

∴z2(5＋5i)＝±50，

【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(2)记住以下结论，可提高运算速度：

①(1±i)2=±2i；

1i1i a bi

i i b ai

1i1i i

+-+

==-=--+

②;③;④;

⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).

2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。

举一反三：

【变式1】设,a b R

∈，

117

12

i

a bi

i

-

+=

-（i为虚数单位），则a b

+的值为

【解析】因为

117(117)(12)

53

125

--+

+===+

-

i i i

a bi i

i，

所以

5,38 ==∴+= a b a b

【答案】8

【变式2】设i为虚数单位，则复数34i

i

+=

A . 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -

【解析】选D.

234(34)43i i i i i i ++==-.

类型三：复数的几何意义

【例5】已知复数2

(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.

【思路点拨】 在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），z 所对应的点在第四象限等价于z 的实部大于零而虚部小于零。

【解析】∵2(352)(1)z m m m i =-+--

∴ ???<-->+-0

)1(02532m m m ，解得1m >.

∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.

【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

举一反三：

【变式1】若i i m i m z 6)4()1(2

-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）

A.)(3,0

B.)(2,-∞-

C.)(0,2-

D.)(4,3

【答案】：∵i m m m m z )6()4(22--+-=所对应的点在第二象限

∴042<-m m 且062>--m m ，∴40<m m 或

∴)(

3,4m ∈，故选D

【变式2】在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )．

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i

【答案】C

【解析】复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为

B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点

C (2,4)，故点C

对应的复数为2＋4i.

类型四：化复数问题为实数问题

【例6】已知,x y 互为共轭复数，且2()346x y xyi i +-=-,求,x y .

【思路点拨】设z a bi =+（,a b R ∈）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程。

【解析】设x a bi =+（,a b R ∈），则y a bi =-, 代入原等式得：222(2)3()46a a b i i -+=-

∴?????-=+-=6)(344222b a a ，解得：???==11b a 或???-==11b a 或???=-=11b a 或???-=-=11b a ，

∴ ???-=+=i y i x 11 或???+=-=i y i x 11 或???--=+-=i y i x 11 或???+-=--=i

y i x 11。

【总结升华】

复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。

举一反三：

【变式1】已知复数1z i =+，求实数,a b 使22(2)az bz a z +=+

【答案】：∵1z i =+, ∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-

∵,a b R ∈, ∴22424(2)

a b a a a b a ?+=+?-=+?，解得21a b =-??=-?或42a b =-??=?

【变式2】令z C ∈,求使方程||236z z i +=-成立的复数z .

【答案】：令z x yi =+(,x y R ∈)，则原方程化为:i yi x y x 63)(22

2-=-++

即i yi x y x 632)2(22-=-++，

∴?????==++6

23222y x y x ，解之有03x y =??=?或43x y =??=?(舍去）

∴当0,3x y ==时，复数3z i =.

【例8】求使关于x 的方程2

(2)(2)0x m i x mi ++++=至少有一个实根的实数m .

【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。

【解析】设0x 为方程的一个实根，则有

200(2)(2)0x m i x mi ++++=即2000(2)(2)0x mx x m i ++++=

∴?????=+=++0

2020020m x mx x

，解得m =±

【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。

举一反三：

【变式】已知方程2

2(21)()0x i x m i --+-=有实根，求实数m .

【答案】：设实根为0x , 则

2002(21)()0x i x m i --+-=,即2000(2)(21)0x x m x i ++-+=

∴ ???=+=++012020020x m x x ，解得?????=-=0

210m x

∴ 0m =为所求.

【变式2】已知a R ∈，方程2

20x x a ++=的两根为α、β，求||||αβ+.

【答案】：∵a R ∈，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用?来判定方程有无实根。

(1)当440a ?=-≥，即1a ≤时，方程的根α、β为实数根，

由韦达定理??

?=αβ-=β+α.2a ，

又∵||||0αβ+≥

∴ ||||2|)||(|||||222β?α+β+α=β+α=

β+α

①当01a ≤≤时，||||2αβ+=,

②当0a <时，||||αβ+=.

(2)当440a ?=-<,即1a >时，方程的根α、β为虚根i a 11-±-。