工程数学复变函数复习题

一、选择题

1.下列复数中，位于第三象限的复数是（ B ）

A ． 12i +

B ．12i --

C ． 12i -

D ．12i -+ 2.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面

C ．0arg 4

z π

<<

表示角形区域

D ．Im()0z <表示上半平面

3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ） A ．

z z e + B ．2

sin 1

z

z + C ．tan z z e + D.sin z z e +

4.已知3

1z i =+，则下列正确的是（ B ） A ．3

12

2i

z e π= B ．36

4

2i z e

π=

C ．73

12

2i z e

π=

D ．6

32i

z e π=

5.积分

||34

2z dz z =-?的值为（ A ）

A ． 8i π

B ．2

C ． 2i π

D ．4i π

6.0=z 是函数(1cos )

z e z z -的（ D ）

A ． 可去奇点

B ．一级极点

C ．二级极点

D ． 三级极点

7．

1

(2)

z z -在点 z =∞ 处的留数为（ C ）

A ．0

B ．1

C ． 12

D ．12

-

8.复数i z +=3的幅角主值为 （ A ）

A.

6π B ． 3π C ． 65π D ． 3

2π 9.函数)(z f w =在点0z 处解析的特征为 （ A ）

A. 在0z 的邻域内可导 B ．在0z 可导 C ． 在0z 连续 D ． 在0z 有界 10.复积分

?c

dz z f )(与路径无关的充分必要条件为 （ C ）

A. )(z f 连续 B ．)(z f 有界 C ． )(z f 解析 D ． )(z f 可积分 11.复变函数z z z f cos )(=的原函数为 （ B ）

A. z z z sin cos + B ．z z z cos sin + C ． )1(cos +z z D ． z z cos

12.下列函数中那一个为调和函数 （A ）

A. 22y x - B ．)sin(xy C ．)cos(y x + D ．xy x 22

+

13.下列级数绝对收敛的是（ B ）

A. ∑∞

=+1)1(1n n i

n B ．∑∞=1!)8(n n n i C ．∑∞

=??

?

??

?+-121)1(n n

n i n D ． ()∑∞

=+1

sin cos n n i n

14．下列命题正确的是（ A )

A. 若z 为纯虚数，则z z ≠ B ． i<2i C ．仅存在一个数z ，使得z

1

=z - D ．1z +2z =21z z + 15. 当i

i z -+=

11时，50

75100z z z ++的值等于（B ） A ．i B ．i - C ．1 D.1- 16.设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ B ）

A ．i +-

43 B ．i +43 C ．i -43 D.i --4

3 17. 函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 18.下列函数中，为解析函数的是( C )

A ．xyi y x 222--

B ．xyi x +2

C ．)2()1(22

2

x x y i y x +-+- D.3

3

iy x +

19. 幂级数∑∞

=++-0

1

1)1(n n n z n 在1

z + B ．)1ln(z - C ．z +11ln D. z

-11

ln 20．若幂级数

∑∞

=0

n n

n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A ) A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D.不能确定 21．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C ) A ．)(z f 在复平面上处处解析 B ．)(z f 以π2为周期

C ．2

)(iz

iz e e z f --= D.)(z f 是无界的

22.设复数z 满足3

)2(π

=

+z arc ，6

5)2(π

=

-z arc ，那么=z （ A ） A ．i 31+- B ．i +-3 C ． i 2321+-

D ．i 2

123+- 23.若z 为非零复数，则2

2z z -与z z 2的关系是（ C ）

A ．z z z z 222≥-

B ．z z z z 222=-

C ． z z z z 22

2≤- D ．不能比较大小

24.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( C )

A ．0

B ．1

C ． 2

D ．2- 25.满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（ D ） A ．有界区域 B ．无界区域 C ． 有界闭区域 D ．无界闭区域 26.方程232=-+i z 所代表的曲线是（ C ）

A ．中心为i 32-，半径为2的圆周

B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周

C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周

D ．中心为i 32-，半径为2的圆周

27.设c 为从原点沿x y =2

至i +1的弧段，则=+?

c

dz iy x )(2

( D )

A ．

i 6561- B ．i 6561+- C ． i 6

5

61-- D ．i 6561+ 28．1=z 是函数1

1

sin

)1(--z z 的( A ) A ．可去奇点 B ．一级极点 C ． 一级零点 D ．本性奇点

29.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ B ） A ．

22

1

=+-z z B.433=--+z z C ．

)1(11<=--a az

a

z D ．)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

30.设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1

)(2+-=的最小值为（ A ）

A ．3- B.2- C ．1- D ．1

31.函数)Im()(2

z z z f =在0=z 处的导数( A )

A ．等于0 B.等于1 C ．等于1- D ．不存在 32.z

e 在复平面上( D )

A ．无可导点 B.有可导点，但不解析 C ．有可导点，且在可导点集上解析 D ．处处解析 33.设R c ∈，那么由调和函数2

2y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D )

A ．c iz +2 B. ic iz +2 C ．c z +2 D ．ic z +2

34.=-],[Re 12

i e

z s i

z ( B)

（A ）i +-

61 B.i +-65

C ．i +61

D ．i

+65

35.积分

=?=1

2

1sin z dz z z ( C ) （A ）0 B.6

1

-

C ．3i π-

D ．i π-

36.设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ） A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线 37.使得2

2

z z

=成立的复数z 是（ D ）

A ．不存在的

B ．唯一的

C ． 纯虚数

D ．实数 38.函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( B )

A ．解析的

B ．可导的

C ． 不可导的

D ．既不解析也不可导 39.设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则

=?+=dz z z

c c c 2

12sin ( B ) A ．i π2- B ．0 C ． i π2 D ．i π4 40.下列级数中，绝对收敛的级数为( D )

A ．∑∞

=+1)1(1n n i

n B ．∑∞

=+-1

]2)1([n n n i n C ． ∑∞=2ln n n n i D ．∑∞=-12)1(n n

n n i 41.级数

+++++2

2111z z z

z 的收敛域是( B ) A ．1

42．∞=z 是函数2

3

23z

z z ++的( B ) A ．可去奇点 B ．一级极点 C ． 二级极点 D ．本性奇点 43.复数i z 31+-=的幅角主值为（ D ） A ．

6π B ． 3π C ． 65π D ． 3

2π

44.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面

C ．0arg 4z π

<<

表示角形区域

D ．Im()0z <表示上半平面

45.函数1

1

)(2++=z z z f 的不解析点为（ A ）

A ． i z ±=

B ． 1=z

C ． i z =

D ． 1-=z

46.复积分

?c

dz z f )(与路径无关的充分必要条件为（ C ）

A ．)(z f 连续

B ． )(z f 有界

C ．)(z f 解析

D ．)(z f 可积分 47.复变函数z z z f cos 2)(+=的原函数为（ B ）

A ．z z z sin cos +

B ．z z z cos sin +

C ． )1(cos +z z

D ． z z sin 2

+

48.设0=z 为函数z

z e x

sin 142

-的m 级极点，那么=m ( C )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 49．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）

A ．2

1)(z e z f z -= B ．z z z z f 1

sin )(-

= C ．z z z z f cos sin )(+= D ．z e z f z 111)(--= 50.设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ B ）

A ．i +-

43 B ．i +43 C ．i -43 D.i --4

3

51.复数)2

(tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（ D ） A ．)]2

sin(

)2

[cos(

sec θπ

θπ

θ+++i B ．)]2

3sin()23[cos(

sec θπ

θπθ+++i C ．)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i D.)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 52.使得2

2

z z =成立的复数z 是（D ）

A ．不存在的

B ．唯一的

C ．纯虚数

D.实数

53.如果)(z f '在单位圆1

D.任意常数

54.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ）

A ．

z z e +

B ．

2

sin 1

z z + C ．tan z z e + D.sin z

z e + 55.设α是复数，则( C )

A ．αz 在复平面上处处解析

B ．α

z 的模为α

z

C ．α

z 一般是多值函数

D.α

z 的辐角为z 的辐角的α倍

56．∞=z 是函数2

3

23z z z ++的( B )

A ．可去奇点

B ．一级极点

C ．二级极点

D.本性奇点

二、填空题

1. 1

1

)(2

+=

z z f ，则)(z f 的定义域为 C z i z ∈±≠, . 2．函数z

e 的周期为.i k π2 3. 若n n n

i n n z )1

1(12++-+=

，则=∞→n z n lim ei +-1 .

4.=+z z 2

2

cos sin 1.

5. 设1-=z

e ，则=z i k π)1(2+ . 6. =i

i .)

22

(ππ

k e +-

7．设i i i i z -+-=

11，则)Re(z = 2

3-. 8. =--→z e z z cos 11

lim

2

02

1 . 9.

?=1

sin zdz z sin1-cos1.

10. 函数)

2)(1()

4)(3()(----=

z z z z z f 在0=z 的邻域内展开成幂级数，则收敛域为 1

11.设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π .

12.设4

3)arg(,5π

=

-=i z z ，则=z i 21+- . 13.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i - 处可导 . 14.方程01=--z

e

的全部解为 i k π2 .

15.设5cos 1)(z z z f -=

，则=

]0),([Re z f s 24

1

- . 16.方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x .

17. 若解析函数iv u z f +=)(的实部2

2y x u -=，那么=)(z f ic z +2

.

18.设2

233)(y ix y x z f ++=，则=+-

')2323(i f i 8

27427- . 19.幂级数

∑∞

=+0

12)2(n n n z i 的收敛半径=R

2

2

. 20.设0=z 为函数3

3sin z z -的m 级零点，那么=m 9 .

21.以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 33 . 22. 设z i z z f )1(5

1)(5

+-=

，则方程0)(='z f 的所有根为

3,2,1,0),4

24

sin 4

24

(cos 28

=+++k k i k ππ

ππ

.

23.=-)}43Im{ln(i 3

4a r c t a n - .

24.双边幂级数∑∑∞

=∞

=--+--11

2

)21()1()2(1)1(n n n n

n

z z 的收敛域为 211<-

exp{)(22

z

z z f +

=，则=]0),([Re z f s 0 . 26.复数2

2)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 θ

16i e . 27. 若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic z +2

. 28.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?

c

dz z 2 2 .

29.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 1

201

2)1(+∞

=∑+-n n n z n .

30.积分

=?=1

13

z z

dz e z

12

i

π . 31.设121,13z i z i =-=+，求12

z z ??=

?

??

43121++-i . 32. 若0z 是)(z f 的极点，则=→)(lim 0

z f z z ∞ .

33. 函数cos z 的周期为_____π2___ .

34.已知 4

1z i =-，则z 所有取值为3,2,1,0),4

24

sin

4

24

(cos 28

=+-

++-

k k i k ππ

ππ

.

35.设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)

()

([

Re a z f z f s m - . 36. 设1

1

)(2+=

z z f ， 则)(z f 的孤立奇点有__i ± . 37．若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0， 则z 0是)('z f 的__1-m _零点.

38. 若n n n

i n n z )1

1(12++-+=

，则=∞→n z n lim ie +-1 .

39.设(cos sin )z r i θθ=+， 则n

z =____)sin (cos θθn i n r n +_____.

40. 设i e z

-=，则=z π)12(+k i .

三、计算题

1.求复数1

1

+-=z z w 的实部与虚部. 2.设)

2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在{}10<<=z z D 内的罗朗展式.

3.试求幂级数

n

n n

z n

n ∑+∞

=!的收敛半径. 4.设1

)(2+=z e z f z

，求)),((Re i z f s ．

5.将复数i z 212--=化为三角表示式与指数表示式（辐角用主值表示）．

6.设())(2

3

2

3

lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，试确定l,n,m,的值．

7.把函数z z f sin )(=展开成1-z 的幂级数．

8.计算积分?=+221z z dz z ze

9.求2

2

2121??

? ??-+??? ??+i i .

10.

?=+-2||2))(9(z dz i z z z

.

11.求函数

(1)(2)

z

z z --在1||2z <<内的罗朗展式.

12.设2()z

e f z z

=，求Re ((),0).s f z ．

13.设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. 14.已知2

2

y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 15.计算积分

12sin (1)z z z

dz z e =-?．

16.求幂级数∑∞

=12n n

z n 的和函数，并计算∑∞

=12

2

n n n 之值.

17.若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围. 18.解方程i z i z 4cos sin =+. 19.将函数

)

1()

2ln(--z z z 在110<-

20.计算积分

?=++2

2422z z z dz

． 21.将直线方程0=++C By Ax （B A ,不全为0），化为复数方程表示．

22.已知函数144),(33+-=xy y x y x v ，验证),(y x v 为调和函数；并求一解析函数)(z f ，使得

),()(Im y x v z f =，且i f =)0(．

23. 试把函数)

2)(1(1

)(--=

z z z f 在0=z 处展开为泰勒级数，并求其收敛半径．

24.设函数)

2)(2()(2++=

z z z

z f ，利用留数定理计算复积分

z d z f z ?=4

)(．

25.求具有形式??

?

??=x y f u 的所有调和函数),(y x u ． 26.函数)2()1()(2

2y xy i x y x z f ++++-=，试问)(z f 是否解析？若解析，求其导数．

27.将6

1

2)(2---=

z z z z f 在23<

28. 求幂级数∑∞

=++11

1n n n z 的和函数以及其收敛半径．

29.计算2lim 6n

n i →∞

-??

???

． 30.求函数

(1)(2)

z

z z --在12z <<内的罗朗展式.

31.设3

2

3

2

()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上解析，求n m l ,,的值．

32.设1

)(2+=z e z f z

，求)),((Re i z f s -．

四、证明题

1.函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数．

2.如果)('z f 在区域D 处处为零，则)(z f 在D 内为一常数．

3.设函数)(z f 在区域D 内解析，试证：)(z f 在D 内为常数的充分必要条件是)(z f 在D 内解析．

4.设函数)(z f 在区域D 内解析，试证：)(z f 在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

5.设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．．

6. 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数． 7．若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析， (,)v x y 等于常数， 则()f z 在D 内恒等于常数． 8.若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析， (,)u x y 等于常数， 则()f z 在D 恒等于常数．