北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)
九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形
1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．
2．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．
（1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积；
（2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
4．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC．
（1）若DE＝1，CF＝，求CD的长；
（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，
求证：AF+CE＝AC．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
6．如图，在正方形ABCD中，点E在射线AB上，点F在射线AD上．（1）若CE⊥CF，求证：CE＝CF；
（2）若CE＝CF，则CE⊥CF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．
7．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．
8．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
9．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C
的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（Ⅰ）点B的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；
（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．
10．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF ＝GC ；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
11．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＞BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN ，CAFG ，连接EF 、GM 、ND ，设△AEF 、△BND 、△CGM 的面积分别为S 1、S 2、S 3． （1）猜想S 1、S 2、S 3的大小关系．
（2）请对（1）的猜想，任选一个关系进行证明；
（3）若将图1中的Rt △ABC 改为图2中的任意△ABC ，若S ABC ＝5，求出S 1+S 2+S 3的值； （4）若将图2中的任意△ABC 改为任意凸四边形ABCD ，若S △AEG +S △CNK +S △IBH +S △DFM ＝α，则四边形ABCD 的面积为 （直接用含α的代数式表示结果）
12．（1）如图1，已知DE∥BC，∠D：∠DBC＝2：1，∠1＝∠2．求∠DEB的度数．（2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF
＝∠F，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？
13．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF （1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
14．（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB 周长的最大值．
15．已知，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．
16．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N
（1）若AC＝AP，AC＝4，求△ACP的面积；
（2）若BC＝MC，证明：CP﹣BM＝2FN．
参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF＝BD，
∴▱EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，在Rt△AEB中，根据勾股定理，得
AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，＝BC•BE＝10×8＝80．
∴S
菱形
答：菱形ABCD的面积为80．
（3）∵EF⊥AB，垂足为G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∵OG⊥AB，∴∠AOG+∠OAG＝90°，
∴∠BOG＝∠OAG，∠AGO＝∠BGO＝90°，
∴△OBG∽△AOG
∴，
∴OG2＝AG•BG
∵在Rt△GOB中，根据勾股定理，得
OG2＝OB2﹣BG2
∴OB 2﹣BG 2＝AG •BG ， ∵OB ＝3
AG ，
∴BG 2+AG •BG ﹣90AG 2＝0 ∴（BG ﹣9AG ）（BG +10AG ）＝0
BG ＝9AG ，BG ＝﹣10AG （不符合题意，舍去）， AB ＝BG +AG ＝10AG ，
在Rt △AOB 中，根据勾股定理，得 OA 2＝AB 2﹣OB 2＝100AG 2﹣90AG 2＝10A G 2
∴OA ＝AG ∴＝
答：
的值为
．
2．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，
∵AE ⊥BC ，∠EAC ＝30°，
∴∠ACE ＝60°，AC ＝2EC ＝2
，
∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，
∴S 菱形ABCD ＝2•S △ABC ＝2××（2
）2＝6
．
（2）如图，连接GC ，作GM ⊥GF 交BF 于M ．
∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，∵AF ＝FC ， ∴BF ⊥AC ， ∴∠BF A ＝90°，
∵∠BGF +∠BCF ＝180°，∠AGF +∠BGF ＝180°， ∴∠AGF ＝∠ACB ，∵∠GAF ＝∠CAB ∴△AGF ∽△ACB ，
∴＝，
∴＝，∵∠CAG＝∠BAF，
∴△CAG∽△BAF，
∴∠CGA＝∠BF A＝90°，
∵AE⊥BE，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，
∴∠GBC＝∠GCB＝45°，
∴GB＝GC，
∵∠BGC＝∠MGF，
∴∠BGM＝∠CGF，
∵∠GBM＝∠GCF，
∴△BGM≌△CGF，
∴BM＝CF，GM＝GF，FM＝GF，
∵∠AGC＝90°AF＝FC，
∴GF＝FC＝BM，
∴BF＝BM+FM＝GF+GF＝（+1）GF．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
4．解：（1）设CD＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△BCF中，BC＝＝，
∵AC＝CE＝x+1，
在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+CD2，
∴（x+1）2＝x2+（）2，
∴x＝3，
∴CD＝3．
（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．
∵CA＝CE，AG＝EG，
∴CG⊥AE，∠ACG＝∠ECG，
∵∠AGC＝∠ABC＝90°，
∴∠AGC+∠ABC＝180°，
∴A、G、C、B四点共圆，
∴∠ABG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠ECG＝∠ABG，设∠ACG＝∠ECG＝∠ABG＝x，则∠BAH＝∠ACD＝2x，∠BHC＝∠BAH+∠ABG＝3x，
∵∠BHC+∠ABG＝60°，
∴4x＝60°，
∴x＝15°，
∴∠F AJ＝30°，∠DAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝75°，
∴∠EAD＝15°，
∵DE＝BF，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠DAE＝15°，
∴∠FCJ＝45°，
∴CJ＝FJ，设CJ＝FJ＝a，则AJ＝a，AF＝2a，AC＝a+a，
∴＝＝﹣1，
∴AF＝（﹣1）AC，
∴AF＝AC﹣AC，∵AC＝CE，
∴AF+CE＝AC．
5．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF＝DE＝2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE＝BF＝2﹣，
由（1）知：BE＝BC＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△DGE∽△BFE，
∴＝，
∴＝，
解得：DG＝3﹣4．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴CB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°
∵CE⊥CF
∴∠ECF＝90°
∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠BCF
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF．
（2）若CE＝CF，则CE⊥CF不一定成立
当点E在线段AB上，且点F在AD延长线上或当点E在AB延长线上，且点F在线段AD上时CE⊥CF成立，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴CB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°
∵CE＝CF
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴∠ECB＝∠FCD，
∴∠ECB+∠BCF＝90°，
∴CE⊥CF；
当点E在线段AB上，且点F在线段AD上或当点E在线段AB延长线上，且点F在AD 延长线上时，CE⊥CF不成立，如图如下：
．
7．解：拓展：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形， ∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCD ＝∠A ，∠ECG ＝∠F ． ∵∠A ＝∠F ， ∴∠BCD ＝∠ECG ．
∴∠BCD ﹣∠ECD ＝∠ECG ﹣∠ECD ， 即∠BCE ＝∠DCG ． 在△BCE 和△DCG 中，
，
∴△BCE ≌△DCG （SAS ）， ∴BE ＝DG ．（6分）
应用：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ， ∵BE ＝DG ，
∴S △ABE +S △CDE ＝S △BEC ＝S △CDG ＝8， ∵AE ＝2ED ，
∴S △CDE ＝×8＝，
∴S △ECG ＝S △CDE +S △CDG ＝，
∴S 菱形CEFG ＝2S △ECG ＝．
故答案为：
．（9分）
8．解：（1）如图①AH ＝AB ．
（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM．
∴S
△AEM ＝S
△ANM
，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°．
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）
解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去）
∴AH＝6．
9．解：（Ⅰ）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6），
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，∴2×3.5＝7，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7﹣6＝1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；
故答案为（4，6），（1，6）．
（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2＝2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P 移动的时间是：（6+4+2）÷2＝6秒，
故在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4个单位长度时，点P 移动的时间是2秒或6秒．
（Ⅲ）如图1所示：
∵△OBP 的面积＝10，
∴OP •BC ＝10，即×4×OP ＝10． 解得：OP ＝5． ∴此时t ＝2.5s 如图2所示；
∵△OBP 的面积＝10，
∴PB •OC ＝10，即×6×PB ＝10．
解得：BP ＝．
∴CP ＝．
∴此时t ＝
s ， 如图3所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴BP•BC＝10，即×4×PB＝10．
解得：BP＝5．
∴此时t＝s
如图4所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴OP•AB＝10，即×6×OP＝10．
解得：OP＝．
∴此时t＝s
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或s或s或s．10．证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)
九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形 1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积； （3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值． 2．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H． （1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积； （2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F． （1）求证：OE＝CD； （2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长． 4．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC． （1）若DE＝1，CF＝，求CD的长； （2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°， 求证：AF+CE＝AC． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E， （1）求DE的长； （2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长； （3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
6．如图，在正方形ABCD中，点E在射线AB上，点F在射线AD上．（1）若CE⊥CF，求证：CE＝CF； （2）若CE＝CF，则CE⊥CF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明． 7．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．
北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答
2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边 形》培优试题与简答 一．选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A ．对角相等 B ．对边相等 C ．对角线相等 D ．对角线互相平分 2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点为O ，过O 作OF AC ⊥交AD 于点F ，交BC 于点E ，则四边形AECF -定是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．-般四边形 3．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，:1:3EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则DE 的长度是( ) A ．3 B ．5 C ．D ．2 4．如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ， 已知5AB BC CD DA ====千米，村庄C 到公路1l 的距离为4千米，则C 到公路2l 的距离是( ) A ．6千米 B ．5千米 C ．4千米 D ．3千米 5．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6BD =，则菱形ABCD 的面积是( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A ．对边分别平行 B ．对角线垂直 C ．对角线互相平分 D ．对边分别相等 7．如图，正方形ABCD 中，25DAF ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，那么BEC ∠等 于( ) A ．45︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．75︒ 8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( ) A ．43 B ．1 C ．56 D ．65 9．下列识别图形不正确的是( ) A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B ．有三个角是直角的四边形是矩形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是 (0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 在第一象限的坐标是( ) A ．(2,2) B ． C ．(3,2) D ．1 二．填空题（共6小题，每小题3分共18分） 11．等腰三角形纸片ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 是BC 边上的高，若将ABC ∆沿AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为 ． 12．如下图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，且CE AC =，连接AE ，则 E ∠= 度． 第7题图 第8题图 第10题图
北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)
期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形 1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）． （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤； （2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值． （提示：连结MN：＝+1，＝﹣1） 解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵点B（﹣1，0），A（0，1）， ∴D（1，0），C（0，﹣1）； 过N作NH⊥BD于h， ∴∠NHB＝90°， ∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN， ∴∠NBH＝60°，BM＝BN， ∴NH＝BN＝t， ∵0＜t≤2， ∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤； 故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；
（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H， 由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴MN＝BM， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝BA，∠ABE＝60°， ∴∠ABM＝∠EBN， ∴△ABM≌△EBN（SAS）， ∴AM＝EN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， ∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长， 又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°， ∴∠EBH＝30°， ∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1， ∴BH＝＝＝， ∴CH＝2+， ∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．
第1章特殊平行四边形 解答题培优提升专题训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册(答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 解答题培优提升专题训练（附答案） 1．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G．（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形． （2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD． 2．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB 交AE的延长线于点D． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积． 3．如图，在等腰△ABC中，D是底边BC上异于C点的任意一点，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD交AN于E． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）将题中“D是底边BC上异于C点的任意一点”改为“D是底边BC上的中点”，则四边形ADCE是什么四边形？为什么？ （3）在（2）中，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并证明．
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED＝4，求证：四边形AFCE为菱形． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA ＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB． （1）求证：四边形DBFC是菱形； （2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC． 6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB 交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE的长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF． （1）求证：四边形CFBD是菱形； （2）连接AE，若CF＝6，DF＝4，求AE的长．
北师大新版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形 单元培优卷 含解析
第一章特殊的平行四边形 一．选择题（共6小题） 1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（） A．8 B．10 C．3D．4 2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（） A．6 B．3 C．3D．6﹣6 4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个 5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（） A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形 C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形 D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形 6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（） A．9.5 B．10 C．10.5 D．11 二．填空题（共7小题） 7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm． 8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连
2019年北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形培优专题(中考真题)(含答案)
2019年北师大版九年级上册 第一章 特殊的平行四边形培优专题（中考真题）（含答 案） 一、单选题 1．（2019·广西中考真题）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ，则下列结论错误的是（ ） A ．2 12S S CP += B ．2AF FD = C ．4C D PD = D ．3cos 5 HCD ∠= 2．（2019·江苏中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方， 对角线BD 的长是 103 ，点()2,0E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点()0,6F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ） A ． 103 B C ． 163 D ．3 3．（2018·四川中考真题）如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．（2019·天津中考模拟）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为BC 边的中点，M 为对角线BD 上的一个
动点。则下列线段的长等于1 2 AM BM + 最小值的是（ ） A ．AD B ．AE C ．B D D ．BE 5．（2019·河南省实验中学中考模拟）如图①，在菱形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B→C→D→B 运动．设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于（ ） A ． B ．37 C ．5 D ．4 6．（2019·河南省实验中学中考模拟）如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（8，6），以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 、AO 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 1 2 MN 长为半径画弧两弧交于点Q ，作射线AQ 交y 轴于点D ，则点D 的坐标为（ ） A ．()0,1 B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()0,2 7．（2019·辽宁中考模拟）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，点P 和点Q 分别从点B 和点C 出发，沿射线BC 向右运动并且始终保持BP=CQ ，过点Q 作QH ⊥BD ，垂足为H ，连接PH ，设点P 运动的距离为x （0＜x≤2），△BPH 的面积为s ，则能反映s 与x 之间的函数关系的图象大致为 （ ）
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，BF＝．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF 与AD相交于点H． （1）求证：AD⊥EF； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由． 5．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长． 6．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB 的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由． （2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． （3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练(附答案)
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG． （1）当α＝20°时，求∠DAE的度数； （2）判断△AEG的形状，并说明理由； （3）当GF＝1时，求CE的长． 2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE ⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G． （1）证明△AED≌△BF A； （2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由； （3）若OG的长为1，求BE的长度． 3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE； （2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1． （1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形； （2）求△BMN面积的最小值． 5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．（1）求证：CH＝AF； （2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．
北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形(含答案)
期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形 1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）如图1，求证：AE＝EF； （2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长． 2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状； （2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．
3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G． （1）求证：△ACE≌△CBF； （2）求∠CGE的度数． 4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状． （2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD． 5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点． （1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF； （2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．
6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等） （1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝； （2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2 ①求△PRQ的面积； ②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论； ③六边形花坛ABCDEF的面积是m2． 7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H． （1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE． （2）当BH平分DE时，求GC的长．
北师大版数学九年级上册：第一章 特殊平行四边形——特殊平行四边形的折叠问题(含答案)
第一章特殊平行四边形 特殊平行四边形的折叠问题 ▶类型一菱形中的折叠问题 1.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图1-ZT-1所示,O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为() 图1-ZT-1 A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图1-ZT-2,将菱形ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠AEF=°. 图1-ZT-2 3.如图1-ZT-3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为. 图1-ZT-3 ▶类型二矩形中的折叠问题 4.[2020·枣庄]如图1-ZT-4,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE 折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是() 图1-ZT-4
A.3√3 B.4 C.5 D.6 5.[2020·青岛]如图1-ZT-5,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为() 图1-ZT-5 A.√5 B.3 2 √5C.2√5D.4√5 6.[2020·衢州]如图1-ZT-6,把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为() 图1-ZT-6 A.√2 B.√2+1 2C.√5+1 2 D.4 3 7.如图1-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF 折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,求折痕EF的长. 图1-ZT-7 ▶类型三正方形中的折叠问题
九年级上期末专题复习《第一章特殊平行四边形》单元试卷有答案
期末专题复习：北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为（） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3 2.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（） A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B. 两组对边分别相等，且有一组邻角相等 C. 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直 D. 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角 3.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（） A. 矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 菱形 4.下列说法中，正确的是（）. A. 相等的角一定是对顶角 B. 四个角都相等的四边形一定是正方形 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线一定垂直 5.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是( ) A. 20 B. 40 C. 24 D. 48 6.如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（） A. 80° B. 75° C. 70° D. 60° 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（） A. 75° B. 65° C. 55° D. 50°
8.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（） A. √3cm B. 2cm C. 2 √3 cm D. 4cm 9.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形； ③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论有（）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣b2 ；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2； a ⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共10题；共30分） 11.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为________cm2． 12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）． 13.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的解，则菱形ABCD的周长为________． 14.（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章末专题训练【含答案】
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章末专题训练 变式讲练1:以菱形为背景的证明 例1已知：如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E, F, G, H分别 是OA, OB OC OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.（P7页第2题） 题意探析：以菱形为已知，菱形的性质一定是解题的依据之一；生成中位线，三角形中位线定理一定也是解题的得力知识源，菱形作结论，菱形的判定定理自然是证明中条件完备的目标，只要满足其一，结论自然得证 . 解法直播：因为四边形ABCD1菱形，所以AB=BC=CD=DA因为点E, F, G H分别是OA OB OC OD 的中点，所以EF,FG,GH,HE^别是^ OAB,A OBC,AOCDAODA勺中位线， 所以EF=- AB,FG=- BC,GH=1CD,EH=1 DA,因为AB=BC=CD=D丽以EF=FG=GH=HE 2 2 2 2 所以四边形EFGHB!形. 点拨与提升：习题往往具有典型性，本题就具有这样的潜质，当变换中点的位置，中点的个数 将会别有洞天，有意想不到的收获，变式学习法也正是数学学习的最有效方法之一^ 变式1:已知：如图2,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E, F, G, H分别是OD, AB, OB CD的中点.试猜想四边形EFGH的形状，并证明. 分析：遇到中点的连线，首先考虑是否满足三角形的中位线定理，这是解题的一个主要解题方 向. 解：四边形EFGH^平行四边形. 理由如下：因为点E, F, G, H分别是OD AB, OB, CD的中点，所以EH,GF分别是三角形DOC 和三角形AOB勺中位线，所以EH// OC,EH=1 OC,FG// OA,FG=1 OA,因为四边形ABCD^菱形，所 2 2 以OC=O颂以EH=FG,EW FG,所以四边形EFGH^平行四边形.
2021-2022学年北师大版九年级数学上册 《第1章特殊平行四边形》单元综合训练含答案
2021北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》单元训练 1．▱ABCD中，AC、BD交于点O，再添加一个条件，不一能判定四边形ABCD是菱形的是（） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD 2．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，从以下四个条件：①OA＝OC，OB＝OD； ②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC；④AB⊥BC中选两个，能推出四边形ABCD是矩形的 是（） A．①②B．②③C．①④D．①③ 3．下列说法正确的是（） A．矩形的对角线相等垂直B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等D．菱形的四个角都是直角 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是边BC上一点，sin∠AEB＝，若ED平分∠AEC，则CE的长为（） A．2B．4C．6D．8 5．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（） A．（0，1）B．（0，﹣1） C．（0，2）D．（0，﹣2） 6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝4，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（） A．5B．6C．8D．12 7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设
∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（） A．α＝βB．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°8．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，2），B（0，4），C（2，2），则正方形ABCD的顶点D的坐标是（） A．（﹣2，4）B．（2，4）C．（0，0）D．（0，﹣2） 9．如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE； ③EM＝BC；④AE+BM＝EM．其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为． 11．如图，矩形ABCD中，AD＝，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG ＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝． 12．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个
北师大版九年级上册 第一章 单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)
单元练习题：《特殊的平行四边形》 一．选择题 1．下列说法中错误的是（） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．矩形的对角线互相平分 2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形 3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（） A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm 4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（） A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km
5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（） A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF 7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．12 8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（） A．3 B．2C．3D．6 9．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（） A．100°B．120°C．135°D．150° 10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（） A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5° 11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形菱形及其性质 同步练习(含答案)
第一章：特殊平行四边形（典型题汇总） 菱形的性质与判定 第1课时菱形及其性质 1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 图1 2．若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为() A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm 3．②如图1，在菱形ABCD中，已知∠ABD＝20°，则∠C的大小是________度． 4．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求这个菱形的边长． 5．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，则另一条对角线的长是() A．4 cm B．2 3 cm C．3 cm D.3 cm 6．如图3所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是() 图3
A．(5，0)，(8，4) ;B．(4，0)，(8，4) ;C．(5，0)，(7，4) ;D．(4，0)，(7，4) 7．2017·高密市二模如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，垂足为E，则AE的长为() 图4 A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2 8．2017·东安县模拟如图5，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠DCF的度数为________度． 图5 9．如图6，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数． 图6 10.如图7，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为() A．1 B．2 C．3 D．4