积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用

系别数学系

专业数学与应用数学姓名韩凤

指导教师张润玲

职称副教授

日期2011年6月

国内图书分类号：

吕梁学院本科毕业论文（设计）

积分中值定理的推广与应用

姓名韩凤

系别数学系

专业数学与应用数学

申请学位学士学位

指导教师张润玲

职称副教授

日期2011年6月

摘要

在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用.

关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT

The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems.

Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

目录

引言 ...........................................................................错误!未定义书签。第一章积分中值定理的推广 ................................. 错误!未定义书签。

积分中值定理................................................................ 错误!未定义书签。

积分第一中值定理的推广 ............................................ 错误!未定义书签。第二章积分中值定理的应用 ................................. 错误!未定义书签。

证明方面的应用............................................................ 错误!未定义书签。

具有某些性质的点的存在问题................................. 错误!未定义书签。

用于证明积分不等式 ................................................ 错误!未定义书签。

在计算方面的应用........................................................ 错误!未定义书签。

与极限有关的问题 .................................................... 错误!未定义书签。

利用高阶导数计算定积分 ........................................ 错误!未定义书签。

用于级数的敛散性........................................................ 错误!未定义书签。结束语 ........................................................................ 错误!未定义书签。参考文献 .................................................................... 错误!未定义书签。谢辞 ........................................................................ 错误!未定义书签。

引言

在数学分析中,中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.学好微积分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础.从引入积分中值定理入手,并对积分第一中值定理进行各种推广且扩大积分第一中值定理应用范围,增强其实际范围,使积分第一中值定理发挥更大作用.此外还对传统的微积分教材中关于定积分理论部分的这种模式:由连续函数的介值性?积分中值定理?微积分基本定理?牛顿—莱布尼兹公式.这一模式至少存在着如下的缺陷:它消弱了积分中值定理的结论从而限制了这一重要定理的应用,不便于对积分中值定理进行推广等等.本文将对上述传统顺序稍作调整后对积分中值定理进行各种推广.我们将会看到,这小小的调整不仅会使上述各种缺陷得到克服而且可以使积分中值定理的重要作用得到充分的发挥!进而提高我们的发散思维能力和创新能力.

第一章 积分中值定理的推广

积分中值定理

积分第一中值定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则至少存在一点ξ∈[],a b ,使得

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?. 积分第二中值定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 上可积.

()1若函数()g x 在[],a b 上为减函数,且()g x ≥0，则存在ξ∈[],a b ,使得

()()()()b a a f x g x dx g a f x dx ξ=??;

()2若函数()g x 在[],a b 上为增函数,且()g x ≥0，则存在η∈[],a b ,使得

()()()()b b a f x g x dx g b f x dx η=??.

积分第一中值定理的推广

对于积分第一中值定理是否可以将条件闭区间[],a b 减弱到开区间(),a b ,是否对间断函数也有上述的积分中值定理呢我们将证明这个定理中ξ一定可以在开区间(),a b 上取到,并把这个定理推广到间断函数上去.

定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则在开区间(),a b 内至少有一点ξ,使得

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?. 证明 设()()x

a F x f t dt =?,由微积分基本定理知()F x 在[],a

b 上可微且()()F x f x '=,由拉格朗日微分中值定理可得,在(),a b 内存在一点ξ使

()()()()F b F a F b a ξ'-=-.

因为()()b

a F

b f x dx =?,()0F a =以及()()F f ξξ'=, 所以

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?,a b ξ<<. 定理 若函数()f x 在开区间(),a b 上连续,而在x a =及x b =为第一类间断点,或只有一个第一类间断点而另一端点是连续点,则在(),a b 上至少有一点ξ,使得

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?.

证明 设

()()()()lim lim x a x b f x F x f x f x +-

→→???=????(),x a b x a x b ∈==

因为()f x 在x a =及x b =为第一类间断点,所以()F x 是在[],a b 上的连续函数.对()F x 用积分中值定理并结合定理1有

()()()b

a F x dx F

b a ξ=-?,() a,b ξ∈. 由于在(),a b 上()()F x f x =以及() a,b ξ∈;所以有

()()b a b

a F x dx f x dx =??,()()F f ξξ=. 故上式即为

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?,() a,b ξ∈. 注 上述定理说明了当端点为第一类间断点时积分中值定理依旧成立,若x a =或x b =为第二类间断点,则因为a 与b 是区间端点,故()f x 在x a =的右极限或在x b =的左极限不存在,所以对于重新定义()F x 使得()F x 在[],a b 上连续不能实现,故对于端点为第二类间断点不加以讨论,但若端点为无穷型间断点,且广义积分()b

a f x dx ?收敛时,则()f x 在(),a

b 上的积分中值定理是否仍成立下面定理回答了这一事实.

定理 若()f x 在(),a b 上连续,x a =是连续点或第一类间断点,x b =为瑕点,且广义积分()b

a f x dx ?收敛,则在(),a

b 上仍有 ()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?. 证明 由广义积分定义知

()()0lim b b a a f x dx f x dx εε-→=??.

所以 ()()0lim b b a a f x dx

f x dx b a b a εε-→=--??

()()()0lim b a

f x dx b a b a b a εεεε-→??--??=???---????

?

()()()0lim ,0,1b a f a b a b a εεθεθ→--??=+--∈??????-??

()0

lim f a b a εθε→=+--????, 由题意知:等式左边存在，所以等式右边也应存在.

记()()0

lim f f a b a εξθε→=+--????,() a,b ξ∈.所以有 ()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?,() a,b ξ∈. 注 上述定理的条件若设为x a =为无穷型间断点,x b =是连续点或第一类间断点,而其不变,则上述定理的结论仍成立.

在上一定理中只有一端端点为无穷型间断点,若两端点都为无穷型间断点时情形呢 定理 设()f x 在(),a b 上连续x a =及x b =都为无穷型间断点且广义积分()b

a f x dx ?收敛,则在(),a

b 上至少有一点ξ,使得 ()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?. 证明 由上一定理知

()()()b

c

b

a a c f x dx

f x dx f x dx b a b a

+=--??? ()()c b

a c f x dx f x dx c a

b

c b a c a b a b c

--=?+?----?? ()()12c a b c f f b a b a

ξξ--=+--. 其中()()()12,,,,,c a b a c c b ξξ∈∈∈,显然[]()12,,a b ξξ?,所以有()f x 在[]12,ξξ上连续，

设()()12f f ξξ≤,因为c a b a --0>,b c b a

--0>.所以有 ()()()()()()111222c a b c c a b c c a b c f f f f f f b a b a b a b a b a b a

ξξξξξξ------+≤+≤+------ 即 ()()()()1122c a b c f f f f b a b a

ξξξξ--≤+≤--. 因此对在[]12,ξξ上连续函数()f x 使用介值定理得

()()12c a b c f f b a b a

ξξ--+--()f ξ=,ξ∈[]()12,,a b ξξ?. 所以有

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?,() a,b ξ∈.

若设()()12f f ξξ>,证法相同.

通过我们对积分第一中值定理中ξ一定可以在开区间(),a b 上取到并使得

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-?成立,而且我们在分析证明时注意到 ()()()b

a f x dx f

b a ξ=-? 实际上还可表为

()()()()()()()b

a f x dx F

b F a F b a f b a ξξ'=-=-=-?,() a,b ξ∈. 这样,就能把N-L 公式,微分中值定理,积分第一中值定理统一起来,大大加强了它们之间的联系,并在一定条件下可以相互转化,更为重要的是我们可以利用微积分基本定理对定理进行推广.

定理 函数()f x 在闭区间[],a b 有p 阶导数,则至少存在(),c a b ∈使

()()()()()()()()()()()()1212!!1!p p b

p p a f a f a f c f x dx f a b a b a b a b a p p -+'=-+

-++-+-+?… 证明 ()()x a

F x f t dt =?则[],x a b ?∈,有 ()()F x f x '=,(

)()()()1k k F x f x +=, 1,2,k =…p . 又()F x 在点x a =的p 阶泰勒公式为

()()()()()()()()()()()11!1!p p p p F a F F x F a F a x a x a x a p p ξ++'=+-++

-+-+…,(),a x ξ∈. 注意到()()b a

F b f x dx =?,()0F a = 故在上式中令x b =,得 ()()()()()()()

()()()

()()1212!!1!p p b

p p a f a f a f c f x dx f a b a b a b a b a p p -+'=-+-++-+-+?….其中

(),c a b ∈.

上述定理只说明了函数()f x 有p 阶导数,若函数()f x 有p (偶数）阶连续导数时情形呢

定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 有p （偶数）阶连续导数,则至少存在一点(),c a b ∈使

()()()()()()()()()()23112222223!21!21!p p b

p p p p a a b a b f f f c a b f x dx f b a b a b a b a p p --+-++????'' ? ?+??????=-+-++-+- ???-?+??

?… 证明 设()()x

a F x f t dt =?,则[],x a

b ?∈,有 ()()F x f x '=,(

)()()()1k k F x f x +=,1,2,k =…p . 设02

a b x +=,则()F x 在点0x x =的p 阶泰勒公式为 ()()()()()

()()()

()()()

()()121000000002!!1!p p p p F x F x F F x F x F x x x x x x x x x p p ξ++'''=+-+-++-+-+…

其中(),a x ξ∈.特别，在上式中分别令x b =和x a =,则分别得

()()()()()()()()()

()()()

()()1210010000002!!1!p p b p p a F x F x F f x dx F b F x F x b x b x b x b x p p ξ++'''==+-+-++-+-+?…()1

和

()()()()()()()()()()()()()12100200000002!!1!

p p p p F x F x F F a F x F x a x a x a x a x p p ξ++'''==+-+-++-+-+…()2 其中()10,x b ξ∈,()20,a x ξ∈.由()1式-()2式得

()()()()()()()220000002!b

a f x f x dx f x

b x a x b x a x ''??=---+---++?????

??… ()()

()()()()()()()()

()()111

0120000!1!1!p p p p p p p f x f f b x a x b x a x p p p ξξ-++??---+---??++()3 因为p 为偶数,且对q N ∈,有

()

()222200022q q q q b a a b b x a x --????---=-= ? ?????. ()

()()2121212121002222q q q q q q b a b a a b b x a x +++++---????---=-= ? ?????

故由()3式得 ()()()322223!b

a a

b f a

c f x dx f b a b a +??'' ?+????=-+-+ ????

?…

()()()()()()()()()211122221!221!

p p p p p p p a b f f f b a b a p p ξξ-+--+?? ?+-??+-+??-+ . ()4 依题设,()()p f x 在[],a b 连续且

()()()(){}()()()()()()()(){}

121212min ,max ,2p p p p p p f f f f f f ξξξξξξ+≤≤. 由连续函数的介值性，知存在一点[]()12,,c a b ξξ∈?使()()()()()()122

p p p f f f

c ξξ+=以此代入()4，即得证.

第二章 积分中值定理的应用

证明方面的应用

具有某些性质的点的存在问题

在积分学的学习过程中,有关定积分具有某种性质的点的存在性的论证是学生学习的一难点.一般,我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意利用微分中值定理,积分中值定理等途径,从而达到有关问题的证明.

例1 ()f x 在[]0,1连续,在()0,1可导,且()()1

2

12f xf x dx =?,试证明在()0,1存在一点ξ,使()()1

f f ξξξ'=-成立.

分析 结论()()1

f f ξξξ'=-()()()00x f f xf x ξξξξ=''?+=?=????,可构造辅助函数()()F x xf x =.但是，()00F =,()()11F f =,()F x 在[]0,1不满足罗尔定理的条件.可在[]0,1内寻找满足罗尔定理的条件的子区间.

证明 ()()F x xf x =,则()F x 在[]0,1连续,在()0,1可导.由积分中值定理知

()()()1

2

012f xf x dx f ηη==?,()0,1η∈.

因为 ()()()()11F f f F ηηη===.

所以由罗尔定理知,存在()()0,0,1ξη∈?,使()0F ξ'=则()()1f f ξξξ'=-

. 例2 函数()f x 在[]0,π上连续,且()00f x dx π=?,()0cos 0f x xdx π

=?,试证:在()0,π内至少存在两个不同的点1ξ,2ξ使()()120f f ξξ==.

证明 ()0f x ≡,[]0,x π∈结论显然成立.

假使()0f x ≠由积分中值定理知存在()10,ξπ∈使

()()()1000f x dx f π

ξπ=-=?. 即()10f ξ=,若在()0,π内()0f x =只有一个实根1ξ,由()00f x dx π

=?可知,()f x 在()10,ξ与()1,ξπ内异号,不妨设在()10,ξ内()0f x >,在()1,ξπ内()0f x <,而cos x 在()0,π为单调

下降,所以

()()()()11000cos cos cos cos f x xdx f x dx f x x dx π

ππ

ξξ-=-???

()()()()11

110cos cos cos cos 0f x x dx f x x dx ξπξξξ=-+->??.与()0cos 0f x xdx π

=?,()00f x dx π

=?.矛盾,于是除1ξ外,在()0,π内()0f x =至少还有一个实根2ξ,故至少存在两个相异的实根1ξ,2ξ∈()0,π使

()()120f f ξξ==.

例3 函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导且

()()()1b a

f a f b f x dx b a ==-?. 试证:存在一点ξ∈(),a b 使()0f ξ''=.

证明 在[],a b 上()0f x ≡,则结论显然成立.

假设[],a b 上()0f x ≠,由积分第一中值定理知,在[],a b 上至少存在一点c （实际上在开区间(),a b 内一定存在这样的c ）使得()()()b

a f x dx f c

b a =-?,所以 ()()()()1b a f x dx f a f b f

c b a

===-?. 又因()f x 在[],a c ,[],c b 上连续,在(),a c ,(),c b 内可导.由罗尔中值定理,存在

()()12,,a b ξξξ∈?使()0f ξ''=.

用于证明积分不等式

积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并统一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵活运用积分中值定理以达到证明不等式成立的目的.

例4 ()f x 在[],a b 上连续,单调增加.证明

()()2b b a a

a b xf x dx f x dx +≥?

? 证明 积分中值定理得 ()()()22b

b b a a a a b a b xf x dx f x dx x f x dx ++??-=- ???

???.

()()2

222a b

b a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++????=-+- ? ????

??? ()()2

12222a b

b a b a a b a b f x dx f x dx ξξ++++????=-+- ? ??????

?

()()()22102b a f f ξξ-=-≥????. (()f x 是单调增加) 其中122

a b a b ξξ+≤≤≤≤故 ()()2b b a a a b xf x dx f x dx +≥?

?. 例5 ()f x 在[]0,1上是连续,非负,严格单调减函数.证明

()()0a b a a f x dx f x dx b

>??. 证明 积分第一中值定理可以得到

()()()10a f x dx af af a ξ=>?,()10a ξ<<;

()()()()()2b a f x dx b a f b a f a ξ=-<-?,()2a b ξ<<.

由以上两个不等式可以得到

()()()011a b a

f x dx f a f x dx a b a >>-??; ()()01a b a b f x dx f x dx a ??-> ???

??. 两边乘以a b

得 ()()01a b a a a f x dx f x dx b b ??-> ???

??. 因为01a b <

<,所以11a b

-<,又由于()f x 在[]0,1上是连续,非负函数.所以()00a f x dx >?.所以 ()()0a b a a f x dx f x dx b >??. 在计算方面的应用

与极限有关的问题

无论是数列极限还是函数极限的计算中,若含有定积分式,首先用定积分的相关知识

即积分中值定理等把积分式简化,然后运用解决极限问题的各种方法,以达到解决问题的目的.

例6 明sin lim 0n p n n x dx x +→∞=?

,p 为某实数. 分析 数列通项含有变限积分,而被积函数属于“积不出”的类型,可用积分第一中值定理化解积分.

证明 由积分第一中值定理,有sin sin n p n n n x dx p x ξξ+=??

,n ξ为介于n 与n p +之间的某值.则111n n n p ξ≤≤+或111n n n p

ξ≥≥+,而sin 1n ξ≤,由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量,由迫敛性得

sin lim 0n p

n n x dx x

+→∞=?. 例7 设函数()f x 连续,且()00f ≠,求极限. ()()()000

lim x

x

x x t f t dt x f x t dt →--??. 分析 先作变量替换,然后用洛比达法则,因为不能判断()0f 是否存在,所以不能再用洛比达法则,可用积分中值定理.

解 令x t u -=,则

()()()()000x x

x f x t dt f u d u f t dt -=-=???. 因为所求函数极限为00

型不定式,由洛比达法则及积分中值定理有 ()()()000lim x x x x t f t dt x f x t dt →--??()()()000

0lim x x x x xf t dt tf t dt x f x t dt →-=-???

()()()000lim x x x f t dt f t dt xf x →=+??

()()()

0lim x xf xf xf x ξξ→=+ ()()()0

0lim 00x f f f →=+

12

= 此处ξ 介于0与x 之间.由()f x 连续有()()0

lim 0x f f ξ→=. 利用高阶导数计算定积分

前面对积分第一中值定理进行了各种推广,现在通过以下几个例子来揭示推广了的积分中值定理的应用.

例8 计算()5

21321I x x dx =++? 解 记()2321f x x x =++，则由定理知

()()()231114442!3!

f f I f '''=?+?+? 648864=?+?+

152=.

当然还可用定理来计算.

例9 积分()40I f x dx π

=?,其中()44sin cos f x x x =+. 解 得()()14cos 42n n n f x x π-??=+ ???

,n N ∈.特别,当n 为偶数时,有 ()14cos 0822n n n f πππ-????=+= ? ?????

, 故 443sin cos 8488416I f ππππππ????=?=+?= ? ????

?. 例10 积分2

10x I e dx -=?的近似值. 解 记()2

x f x e -=.可以求得 ()n f x ()()()()()()()()224112312221!2!n n n n x n n n n n n e x x x -------??=--+-???????

,n N ∈. 于是,由定理得

()()462461*********!

25!27!f f f I f ??????'' ? ? ?????????=++++ ??????…

1

42461131123!25!27!e -??=-++-??????????

. 若取前两项来近似I ,即I 14110.7463524e -??≈-≈ ???

. 用于级数的敛散性

例11 函数()f x 在()0∞，+单调下降,且非负,1a >证明:()1k f k ∞=∑与()1

k k k a f a ∞=∑有

相同的敛散性.

分析 此题目关键在于:由积分判别法将()1k f k ∞=∑的敛散等价于()1f x dx +∞?的敛散，

而将()1f x dx +∞

?表示为积分项级数,再利用积分中值定理及函数的非负递减性即可.

证明 由积分中值定理有

()()1

10

k k a a k f x dx f x dx +∞+∞

==∑??

()()10

k k k k f a a ξ∞+==-∑

()()0

1k k k a f a ξ∞==-∑,1,k k k a a ξ+??∈??. 0,1k =……又

因()f x 非负递减,所以()()()10k k k f a f f a ξ+≤≤≤.故

()()()()11100

11k k k k k k a f a a f x dx a f a a a ∞∞+∞++==-≤≤-∑∑? 即()1f x dx +∞

?与()0

k k k f a a ∞

=∑有相同的敛散性. 另一方面,根据积分判别法,()1f x dx +∞?与()1k f k ∞

=∑有相同的敛散性,于是结论得证. 例12 设函数()f x 在[)0,+∞为连续的,0c ?>,有()c f x dx x

+∞?

收敛. 证明()()0f ax f bx dx x

+∞-?收敛并求其值,()0,0a b >>.

证明 因0c ?>,()c f x dx x

+∞

?收敛,所以0δ?>有 ()()f ax f bx I dx x

δδ+∞

-=? ()()f ax f bx dx dx x x

δδ+∞+∞=-?? ()()()b a b a f x f x f x dx dx dx x x x δδ

δδ+∞

+∞=-=??? 由积分中值定理,存在δξ介于a δ与b δ之间,使

()()ln b a dx b I f f x a

δδδδδξξ==?. 又因()f x 在[)0,+∞上连续,从而有

()()()00lim 0ln f ax f bx b dx I f x a

δ++∞→-==?

.