积分中值定理的推广及其应用
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摘要··························································································错误！未定义书签。关键词··························································································错误！未定义书签。Abstract·······················································································错误！未定义书签。Keywords ····················································································错误！未定义书签。前言······························································································错误！未定义书签。
1.积分中值定理 (1)
1.1 积分第一中值定理 (1)
1.2积分第二中值定理 (2)
2积分中值定理的推广 (4)
2.1 积分第一中值定理的推广 (4)
2.2 积分第二中值定理的推广 (6)
3积分中值定理的应用 (8)
3.1积分第一中值定理的应用 (8)
3.1.1用于确定数列极限 (8)
3.1.2用于确定函数极限 (8)
3.1.3用于判别级数的收敛性·······································错误！未定义书签。
3.2积分第二中值定理的应用·············································错误！未定义书签。
3.2.1定理的直接应用···················································错误！未定义书签。
3.2.2积分第二中值定理在不等式中的应用···············错误！未定义书签。参考文献······················································································错误！未定义书签。
积分中值定理的推广及其应用
摘 要：本文根据讨论积分中值定理及其若干改进与推广形式,结合积分中值定理及其推广形式的相关证明,例举了积分中值定理的一些典型应用.
关键词：积分中值定理;推广;应用
The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading and
Application
Abstract: This paper discusses the integral mean value theorem and its improved and promoted form, combining the integral mean value theorem and its promoted form, and giving examples for its typical applications. Keywords : the integral mean value theorem ；spreading; application
前言
积分中值定理是数学分析中的一个基本定理之一，对一元函数的积分中值定理进入了深入讨论，更加深对此问题的理解，同时对于学习重积分及曲线曲面积分的中值定理都有很大的意义.
本文将借助积分上限函数的性质及微分中值定理证明积分中值定理，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,使我们对它有了更深一层的理解.
1.积分中值定理
1.1 积分第一中值定理
定理1 若()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点[],a b ξ∈,使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?.
证 由于()f x 在[],a b 上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由
()[],,m f x M x a b ≤≤∈,
使用积分不等式性质得到
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?,
或
()1b
a m f x dx M
b a
≤
≤-?. 再由连续函数的介值性，至少存在一点[],a b ξ∈,使得
()()1b
a
f f x dx b a ξ=-?,
即有
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?.
定理2 若()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?.
证 由于()f x 在[],a b 上连续，从而()f x 在[],a b 上可积.设其原函数为
()F x ，则根据原函数存在定理可知，()F x 在[],a b 上连续，且()F x 在[],a b 上可导，由由拉格朗日中值定理知存在一点(),a b ξ∈使得，
()()()
F b F a F b a
ξ-'=
-，
则得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?．
显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些,这不仅是由于在很多应用中要用到这个“内”字,而且也与微分中值定理的叙述相一致. 1.2积分第二中值定理
积分中值定理无论在理论上还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面给出该定理与其证明.
定理3 设函数()f x 在[],a b 上可积，()g x 在[],a b 上单调且在,a b 上连续，那么存在一点[],a b ξ∈，使得()f x 在[],a b 上可积
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=+???. ()
1证 假设()g x 在[],a b 上单调减少且非负，将区间[],a b 分成几部分，即
012;n a x x x x b =<<<=
而()11,2,k k k x x x k n -?=-= ,记{}1max n x x λ=?? 则:
()()()()[]1
10
1
lim ,,k
k n
b
x k
k k k a
x k f x g x dx g f x dx x x λ
ξξ--→==∈∑??,
由于()g x 在[],a b 上单调减少且非负,即()()()120n g g g ξξξ≥≥≥ 而
()()()()1
1
inf
sup k
k n
x
x x
k a
x a
a x
b a x b k f u du g f x dx f u du ξ-≤≤≤≤=≤≤∑?
?
?,
根据阿贝尔引理有:
()()()()()()11inf
sup x
b x
a
a
a
a x
b a x b g f u du f x g x dx g f u du ξξ≤≤≤≤≤≤?
??,
当0λ→时,有()()1g g a ξ→即:
()()()()()()inf
sup x b x
a
a
a
a x
b a x b g a f u du f x g x dx g a f u du ≤≤≤≤≤≤???,
所以，当()0g a ≠时有:（()0g a =时成立的）
()()()()()1inf
sup x
b
x a
a a
a x
b a x b f u du f x g x dx f u du g a ≤≤≤≤≤≤?
??,
而当()0g a =时也成立.
由介值定理知连续函数()x
a f u du ?在[],a
b 上某点ξ处取得上、下确界之间的中间
值即：
()()()()b
a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=?? ()
2令()()()G x g x g b =-,由于()g x 单调减少,则()G x 单调减少且非负,由()2得：
()()()()()()()()b b a
a
a
f x G x dx f x
g x g b dx g a g b f x dx ξ
=-=-?
??????????, 即
()()()()()()()b
b a
a
a
f x G x dx
g b f x dx g a g b f x dx ξ
=+-?????
??
()()()(),b
a
g a f x dx g b f x dx ξξ
=+??[],a b ξ∈
如果()g x 在,a b 处不一定连续,则公式()1可改写为:
()()()()()()00b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=++-???.
如果()g x 在[],a b 上具有连续导数,()f x 在[],a b 上连续则上述定理可用一个较简单的方法证明,在证明过程中主要使用分部积分法和积分第一中值定理.
证 由于()f x 在[],a b 上连续,则()()x
a F x f x dx =?为其原函数,现对
()()b
a
f x
g x
d x
?使用分部积分,其中令 ()()u x g x =,()()()()b a
v x F x f x g x dx =?()()b
a
g x dF x =?,
对()()b a
F x dg x ?使用积分第一中值定理()()()()b b
a
a
F x dg x F dg x ξ=??
所以
()()()()()()()b b a
a
a
f x
g x dx g b f x dx g b g a f x dx ξ
=--?
?????? =()()()()()b a a a g b f x dx f x dx g a f x dx ξξ
??-+????
??? ()()()(),b
a
g a f x dx g b f x dx ξξ
=+??[],a b ξ∈.
2积分中值定理的推广 2.1 积分第一中值定理的推广
定理4 若()f x 在[],a b 上连续且单调,则存在唯一一点(),a b ξ∈,使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?.
上述定理4是在加强了定理1与定理2的条件的基础上得出的.
定理5 若函数()f x 与()g x 在[],a b 上连续且()g x 在[],a b 上不变号,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ
ξ=??.
注 若本定理中的条件“()g x 在[],a b 上连续”减弱为“()g x 在[],a b 上可积” 时,定理仍然是成立的.
定理5的逆命题为:若函数()f x 在[],a b 上连续且严格单调,且()g x 在[],a b 上可积且不变号,则任意的一点[],a b ξ∈,必存在[][],,a b αβ?,使得[],ξαβ∈,且满足
()()()()b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ
ξ=?
?.
在该定理中()f x 的条件“严格单调”的条件是必不可少的,否则便不能保证结论成立.
定理6 若()f x 在[],a b 上连续,()g x 在[],a b 上可积且不变号,则至少存在一点[],a b ξ∈,使得()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??.
注 ()f x 在[],a b 上连续且严格单调,()g x 在[],a b 上可积且不变号,则任意的一点[],a b ξ∈,必存在[][],,a b αβ?,使得[],ξαβ∈,且满足
()()()()f x g x dx f g x dx β
β
α
α
ξ=??.
相对于定理6 中的结论,本文进一步讨论如下一些更一般的推广结论. 定理7 若()f x 在[],a b 上连续,()g x 在[],a b 上可积且不变号,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??.
为了给出积分第一中值定理的推广形式,先引入下面的两个引理:
引理1 设()f x 是[],a b 上有的Riemann 可积的非负函数且()0b
a f x dx =?，那
么对任意0ε>，存在[],a b 的子区间[],αβ，使得对任意的[],x αβ∈都有
()0f x ε≤<.
引理 2 设()f x 是[],a b 上有的R i e m a n n 可
积的非负函数,而且有[](){},:
0A x a b f
x =∈=;则()0b
a
f x dx =?的充要条件是A 在[],a b 中稠密.
定理8 设()f x 是[],a b 上有原函数的Riemann 可积函数,()g x 在[],a b 上
Riemann 可积且不变号,且()0b
a f x dx =?,则至少存在一点(),a
b ξ∈,使得
()()()()b b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??.
上述定理8与定理7、定理6相比较,()f x 在[],a b 上连续的条件被减弱为
()f x 在[],a b 上存在原函数,而且结论中的点ξ精确到(),a b 内,这不仅方便应用而且与微分中值定理相一致.
注 由积分中值定理知,若函数()f x 和()g x 在[],a b 上连续,()x ?在[],a b 上
可积且不变号,则有
()()()()1
1
,b b
a
a
f x x dx f x dx a b ?ξ?ξ
=<
故有等式
()()()()21b b
a
a
g x dx f x dx ξ?ξ?=??.
式中1ξ与2ξ一般不相等,但如下的定理给出了一般性结论.
特别地,当()1g x ≡时,就是定理8.
定理9 设()f x 与()g x 都是[],a b 上的Riemann 可积函数,且()g x 在[],a b 上不变号,则至少存在一点[],u m M ∈,使得
()()()b b
a
a
f x
g x dx u g x dx =??. ()3
其中()inf a x b
m f x ≤≤=,()sup a x b
M f x ≤≤=.
特别地，当()f x 在[],a b 上连续时，()3式可以改写为
()R ()()()()b b
a a f x g x dx f g x dx ξ=??.
定理10 若函数()()f x x ?和()()g x x ?分别在(),a b 内连续且在[],a b 上可积,在(),a b 内()0x ?≠,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得
()()()b a
g f x x dx ξ?=?()()()b
a
f g x x dx ξ??.
定理11 若()()()1,2,3,,i f x x i n ?= 在(),a b 内连续且在[],a b 上可积,在
(),a b 内()0x ?≠,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得
()()()()()
()
2121
21210b
b
n i i a
a
i i i f x x dx f x x dx f f ??ξξ-=--=?
?
∑.
2.2 积分第二中值定理的推广
上面我们介绍了积分第二中值定理及其证明,下面我们把它推广,于是我们有以下定理.
定理12 ()1函数()f x 在[],a b 上可积,()g x 在[],a b 上单调递减,且
()0g x ≥,则存在[],a b ξ∈,使得:
()()()()b a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=??.
()2 函数()f x 在[],a b 上可积,()g x 在[],a b 上单调递增,且()0g x ≥,则存
在[],a b ξ∈,使得:
()()()()b b
a
f x
g x dx g b f x dx ξ=??.
定理13 函数()f x 在[],a b 上可积,()g x 在[],a b 上单调,则存在[],a b ξ∈,使得:
()()()()()()b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+???.
定理14 函数()f x 在[],a b 上连续可微,()g x 为连续可微的单调函数,则存在[],a b ξ∈,使得:
()()()()()()b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+???.
注:与定理13相比,这里的条件要强的多.
定理15 ()1设函数()f x 在[],a b 上单调递增且非负,()g x 在[],a b 上可积,n R ∈且1n ≥,则存在[],a b ξ∈,使得:
()()()()b b
a
f x
g x dx nf b g x dx ξ=??
()2设函数()f x 在[],a b 上单调递减且非负,()g x 在[],a b 上可积,n R ∈且
1n ≥,则存在[],a b ξ∈,使得:
()()()()b a
a
f x
g x dx nf b g x dx ξ
=??
定理16 设函数()f x 在[],a b 上单调且非负,()g x 在[],a b 上可积,,m n R ∈且1m n ≤≤,则有以下几点:
()1函数()f x 在[],a b 上单调递增时,存在[],a b ξ∈,使得
()()()()()()b b
a
a
f x
g x dx mf a g x dx nf b g x dx ξξ=+???.
()
2函数()f x 在[],a b 上单调递减时，存在[],a b η∈，使得
()()()()()()b b
a
a
f x
g x dx nf a g x dx mf b g x dx ηη=+???.
定理17 设()f x 是[],a b 上有原函数,()g x 在[],a b 上Riemann 可积且不变号,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得:
()()()()()()b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+???.
3积分中值定理的应用
积分中值定理的理论非常复杂,证明方式也很多,这里不做过多的讨论,下面我们给出它在各个方面的应用. 3.1积分第一中值定理的应用 3.1.1用于确定数列极限
例1 证明1
0lim 0.1n
n x dx x
→∞=+? 分析 此数列通项含有定积分,而定积分不易求出,可用推广的积分第一中值定理化解积分.
证 应用推广的积分第一中值定理有
1
1
00
1
lim lim 11n n n n n
x dx x dx x ξ→∞→∞=++??
11
lim 0.11n n
n ξ→∞=
=++ 3.1.2用于确定函数极限
例2 设函数()f x 连续,且()00f ≠,求极限()()()0
lim x
x x x t f t dt x f x t dt
→--??.
分析 先做变量代换,然后用罗比塔法则,因为不能判断()0f '是否存在,所以不能用罗比塔法则,可用积分中值定理.
解 令,x t u -=则
()()()()00
x x
x
f x t dt f u d u f t dt -=-=???
因为所求函数极限为0
行=型不定式，由罗比塔法则及积分中值定理有
()()()()()()0
lim lim x x x
x
x
x x x t f t dt f t dt tf t dt x f x t dt x f x t dt
→→--=--?????
()()()
()()()
lim
lim
x
x
x x f t dt
f x
f x xf x f t dt xf x ξξ→→==++??
()()()0
01
lim
002
x f f f →==+
此处ξ在0与x 之间,由于函数()f x 连续有()()0
lim 0x f f ξ→=.
例 3 设()f x 在[],a b 上不恒为零,且其导数()f x '连续,并有
()()0f a f b ==,试证明:存在一点()()
()2
1
b
a
f f x dx b a ξ'>
-?,使得 ()()
()2
1
b a
f f x dx b a ξ'>
-?. 证 由()0f a =及()f x 在[],a b 上不恒为零,可知()f x 在[],a b 上不恒为常数.
如果()0b
a
f x dx ≤?,则结论成立.下面考虑()0b
a
f x dx >?的情形.
由定理2、()0f a =及拉格朗日中值定理可知,存在一点()1,x a b ∈,使得
()()()1
b
a
f x dx f x b a =-?=()()()1
f x f a b a --?
???=()()()1
f x a b a ξ'--, 其中()()1,,a x a b ξ∈?,于是得到
()()()()
()()
2
1b
b
a
a
f x dx
f x dx f x a b a b a ξ'>
>---?
?.
注 显然本题的条件可以减弱,结论可以加强. 3.1.3用于判别级数的收敛性
例 3 设()f x 单调下降且非负,1a >,证明()1
k f k ∞
=∑与()1
k k k a f a ∞
=∑有相同的
敛散性.
分析 此题目的关键在于:由积分判别法将()1k f k ∞
=∑的敛散性等价于
()1
f x dx +∞
?
的敛散性,而将()1
f x dx +∞
?
表示为积分项级数,再利用积分中值定理及
函数的非负递减性即可.
证 ()()()()1
1
11
1
n k k n
a a k k k a
k k f x dx f x dx f a a ξ++∞
-====-∑∑?
?
()()()11
1,,k k k k k k a f a a a ξξ∞
+==-∈∑
因为()f x 递减非负,则有
()()()10,0,1,,k k k f a f f a k n ξ+≤≤≤= ，故有
()()()()111
100
11n n n a k k k k k k a f a a f x dx a f a a a +++==-≤≤-∑∑? 这表明()1
f x dx +∞
?
与()0
n
k f k =∑有相同的敛散性,另一方面,根据积分判别法
()1
f x dx +∞
?
与()0
n
k f k =∑有相同的敛散性,由此即得所要的结论.
3.2积分第二中值定理的应用 3.2.1定理的直接应用
例 5 若()f x 在[],a b 上可积,()g x 在[],a b 上单调递增且非负,在,a b 上连续,则存在[],a b ξ∈,使()()()()b
b
a f x g x dx g
b f x dx ξ
=??.
证 令x b t =-，()()()()()()0
b b a
a
g b t h t f x g x dx f b t h t dt --==-??
因为()h t 非负且单调递减()0t b a <<-利用公式()2有:
()()()()0
0b a
f b t h t dt h f b t dt η
--=-?
?
()()()0b
b g b f x dx b a η
η-=<<-?
.
而由a b b ξη<<-<即()()()()b b
a
f x
g x dx g b f x dx ξ
=??.
3.2.2积分第二中值定理在不等式中的应用
例6 证明0x >时
21sin x c
x
t dt x
+≤
?
.
证 取2u t =,t =
t dt ==
由积分中值定理及其推广可得: 2
sin sin
x c
x c
x
x
x
t dt udu ξ
++=
=?
?
? ()2121cos cos 22x x x x
ξ=
-≤= 例7 证明极限1
0lim 0.1n
n x dx x
→∞=+? 证 由积分中值定理和它的推论可得：令()()1
,1n f x g x x x
=
=+可知()g x 在[]0,1上连续，而且不变号，所以存在ξ使得：
()()()()1
1
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
因此有以下式子
()()
1
1
00
11
1
0011111
n n x dx x dx x n n ξ
ξ≤=
=
≤
→+++++??
. 则有
1
0lim 0.1n
n x dx x
→∞=+? 注:在一些比较复杂的极限证明过程中应用积分第二中值定理可以都到很
好的结果,而且计算过程简单易懂.
参考文献
[1]吉林大学数学系.数学分析（上册）[M ].北京:人民教育出版社，1979:191 207. [2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M ].北京:高等教育出版社，2001,6. [3]金渝光.关于积分中值定理[J ].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998,15（增刊）：36 37. [4]原华丽.关于积分中值定理的探究[J ].山东师范大学学报（自然科学版）,2004，19（3）:83 85.
[5]邢富冲.定积分第一中值定理的改进与应用[J ].中央民族大学学报（自然科学版），2008，
17（3）：17 21
[6]原华丽.关于积分中值定理的探究[J].山东师范大学学报（自然科学版），2004，19（3）：83 85.
[7]李仁琼,梁波.定积分第一中值定理的证明及其推广[J].重庆文理学院学报（自然科学版）,2006,15（3）：26 35.
[8]马亚利.谈积分中值定理中的位置[M].陕西师范大学学报（自然科学版）,2006,15（增刊）：18 37.
积分中值定理的推广与应用
积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用
ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.
推广的积分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 目录 摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1) 1预备知识 (1) 1.1相关定理 (1) 2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2) 2.1 曲线积分中值定理的推广 (2) 2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2) 2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4) 2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5) 2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7) 2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7) 2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7) 结论 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式. 关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理?错误!未定义书签。 1.１ 微分中值定理?错误!未定义书签。 １．2 积分中值定理?错误!未定义书签。 ２ 微积分中值定理的应用 ...................... 错误!未定义书签。 ４.1 证明方程根(零点)的存在性?错误!未定义书签。 4．2 进行估值运算?错误!未定义书签。 ４.3 证明函数的单调性?错误!未定义书签。 ４.4 求极限?8 4．５ 证明不等式?错误!未定义书签。 引言? Ｒo ｌle 定理,La ｇｒange 中值定理，Cauch ｙ中值定理统称为微分中值定理。微 分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(R ｏll ｅ)定理: 若函数f 满足如下条件 （ⅰ)f 在闭区间[a ，b]上连续; (ⅱ）f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf . 朗格朗日（Lagr ａn ｇe)中值定理： 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[ａ,ｂ］上连续; （ⅱ)f 在开区间(a,b)上可导； 则在(a,ｂ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --=') ()()(ξ． 柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在［a,b]上都连续； (ⅱ)在(ａ，ｂ)内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零; (ⅳ))()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ，使得 )()() ()()()(a g b g a f b f g f --= ''ξξ． 微分中值定理的推广 罗尔定理的推广 定理１: 设函数)(x f 在(ａ,b)内可导,且有 )()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+ →→或为有限值或A A x f b f a f x f b x a x ,则存在点 ),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf . 证明：首先对A 为有限值进行论证: 令? ? ?==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()( 则易知函数)(x f 在[a,ｂ]上连续，在(a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Ro ｌle 定理可知,在（a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ,而在(a,b)内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+(∞-）进行论证： 由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值(最大值）.此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值(极大值)．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fer ｍａt 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证. 定理2: 设函数)(x f 在(ａ,∞+)，内可导，且)(lim )(lim x f x f x a x +∞ →→=+，证明:在（a ，∞+） 中存在一点ξ,使得0)(='ξf ． 定理3: 设函数)(x f 在(∞-,ｂ),内可导，且)(lim )(lim x f x f b x x -→-∞ →=，证明：在（∞-,ｂ) 编号 2010011202 毕业论文（设计） （ 2014 届本科） 论文题目：积分中值定理 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2010级本科（2）班 作者姓名：曹强 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日 目录 诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3 1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6 1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15 3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ． 《数学分析》自主研究课题： 二、三重积分中值定理的证明和应用 摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言 在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用. 二、积分第一中值定理（一重积分中值定理） (积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得 )()()(a b f dx x f b a -=? ε. ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得 ? ?=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ε （明显当1g ≡） （x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出 二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存 在D ∈） ηε,(，使得 ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ, 这里S D 是区域D 的面积. 证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得 mS D ≤??D d y x f σ),(≤MS D , 即 m ≤ ??D D d y x f S σ),(1 ≤M. 再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈） ηε,(,使 ??= D D d y x f S f ,),(1 ),(σηε 即 对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2） 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 积分第一中值定理及其推 广证明 Newly compiled on November 23, 2020 积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间 [,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得 成立。 证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有 成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到 ()()()()b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=? ?， 命题得证。 积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在 [,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得 成立。 推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。 证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x a F x f t g t dt =?，()()x a G x g t dt =?，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续。并且 2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),()b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤? ? 成立。 证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤ 成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到 ()()()()b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有 ()()()b b a a f x g x dx g x dx μ=? ? 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=? ?， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数， ()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),(,)b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=∈? ? 海南大学 毕业论文（设计） 题目：积分中值定理的推广及应用 学号： 姓名： 年级： 学院：信息科学技术学院 系别：数学系 专业：信息与计算科学 指导教师： 完成日期：年月日 摘要 本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。 我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。 在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,] f x的积分中值 a b讨论函数() 定理情形转换为在开区间(,) f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一 a b上讨论函数() 些实际的数学问题更为方便。不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。 有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。 对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。 关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性 Abstract The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem. We have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem, the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theorems process. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has a significant role in the discussion of practical issues in general. In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integral mean-value theorem of function () a b in the case of f x in the initial closed interval [,] discussing it in the open interval(,) a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem. About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the other process of proving has been expressed in brief. According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integral value ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integral value, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet test Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive(完整版)中值定理的应用方法与技巧
二元函数的积分中值定理的探究
微分与积分中值定理及其应用
积分中值定理
微分与积分中值定理及其应用
二、三重积分中值定理的证明与应用
对积分中值定理的一点思考
积分中值定理的推广与应用
积分第一中值定理及其推广证明
积分第一中值定理及其推广证明
积分中值定理的推广及应用