高考函数知识点总结

高中函数大全

一元二次函数

定义域区间

定

义

对应法则一元二次不等式

值域

指

根式分数指数

映射数

函

数指数函数的图像和性质

指数方程

对数方程

函

数

性

质奇偶性

单调性

对数的性质

积、商、幂与周期性

根的对数

对数

反函数互为反函数的

函数图像关系

对

数

对数恒等式

和不等式

函

数常用对数

自然对数

对数函数的图像和性质

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设

A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的

元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设

A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一

确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A

(2)函数的定义域、值域

在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合

f(x)x A称为函数y f(x)的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|；

（2）*

A{x|x2,x N}，B y|y0,y N，

2

f:x y x2x2；

（3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x．

上述三个对应是A到B的映射．

例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个

例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与

它在

N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）

(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1） 2

f(x)x，

3 3 g(x)x；

（2）

x

f(x)，

x

g(x)

1

1

x

x

0,

0;

（3）212 1

n x n

f(x)，

2n x)

12n1

*）；g(x)(（n∈N

2

（4）f(x)x x1，g(x)x x；

2x2t （5）()2 1

f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数 f [ g(x)] 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f (x) 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2 x

例1．已知二次函数 f (x) 满足(2 1) 4 6 5

f x x ，求f (x) （三种方法）

1 x 例2．（09 湖北改编）已知)

f ( =

1 x 1

1

2

x

2

x

，则 f (x) 的解析式可取为

题型2：求抽象函数解析式

1

例1．已知函数 f (x) 满足( x ，求 f (x)

f x) 2 f ( ) 3

x

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的

交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优

先原则，实际问题的定义域不要漏写。

1 2 2

例1. （08 年湖北）函数 f (x) ln( 3 2 3 4)

x x x x

x

的定义域为( )

A. ( , 4) [2, ) ;

B. ( 4,0) (0 ,1) ；

C. [, 4,0 )(0 ,1] ;

D. [, 4,0) ( 0,1)

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．（2007·湖北）设 f x

2 x

lg ，则

2 x

f

x

2

f

2

x

的定义域为（）

A. 4,0 0,4 ；

B. 4, 1 1,4 ；

C. 2, 1 1,2 ；

D. 4,2 2,4

例2．已知函数y f (x)的定义域为[a，b] ，求y f ( x 2) 的定义域

例3．已知y f (x2) 的定义域是[a，b] ，求函数y f ( x) 的定义域

例4．已知y f (2x 1) 的定义域是（-2，0），求y f (2x 1) 的定义域

考点5：求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数y sin 2 x 2cos x4，可变为y sin 2 x 2cos x 4 (cos x 1)2 2解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

2 2

x

如函数 y log 1 ( x

2x 3) 就是利用函数 y

u

log

和u x

2

3的值域来求。

1

2

2

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数

2x 1

3

13 3

13

y

的值域 [ , ] 2

x

x

2

2

2

2

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数

2cos x 3

y

的值域，因为

cos x 1

（5）利用基本不等式求值域： 如求函数

3x

y

的值域

2

x

4 （6）利用函数的单调性求求值域：

如求函数 y

2x 4

x 2

2(x [ 1,2]) 的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数， 如 求函数 3 2

f (x) 2x 4x 40x ， x [ 3,3] 的最小值。（－ 48）

（9）对勾函数法 像 y=x+ m x

，（m>0）的函数， m<0 就是单调函数了

三种模型：（1）如

y x

4 x

，求（ 1）单调区间（ 2）x 的范围 [3,5] ，求值域（ 3）x

[-1,0 ) (0,4], 求值域

（2）如

y x

4 x 4 ，

求（ 1）[3,7] 上的值域

（2）单调递增区间（ x 0 或 x 4）

1

（3）如

y 2x

， （1）求[-1,1] 上的值域

（2）求单调递增区间 x

3

函数的单调性

（一）知识梳理

1、函数的单调性定义： 设函数 y

f (x) 的定义域为 A ，区间 I A ，如果对于区间 I 内的任意两个值

x ， x 2 ，当 x 1

x 2 时，都有

1

f (x 1) f (x 2 ) ，那么就说 y

f ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 y f (x) 的单调增区间； 如果对于区间 I

内的任意两个值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f (x 1 ) f (x 2 ) ，那么就说 y

f ( x) 在区间 I 上是单调减函数， I

称为 y

f (x) 的单调减区间。

如果用导数的语言来， 那就是： 设函数 y f (x)，如果在某区间 I 上 f (x) 0 ，那么 f (x) 为区间 I 上的增函数；

如果在某区间 I 上 f (x)

0，那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法 （取值――作差――变形――定号） ；②导数法 （在区间 (a,b) 内， 若总有 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；反之，若

f (x) 在区间 (a, b )内为增函数，则 f (x) 0 ，

b （2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意( 0

y ax a

x ,b 0) 型函数的图

b b

象和单调性在解题中的运用：增区间为( , ],[ , )

a a

（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减

b b

，减区间为

[ ,0),(0, ]

a a

.

（4）若 f (x) 与g (x) 在定义域内都是增函数（减函数），那么 f (x) g(x)在其公共定义域内是增函数（减

函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的x，x2 有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1 x2 (x1 x2 )；三是同属于

1

一个单调区间，三者缺一不可；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y 1

x

分别在( ,0)和(0, )内

都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即( ,0) (0, )内是单调递减的，只能说函数y 1

x

的单调递

减区间为( ,0) 和(0, )

。

4、函数的最大（小）值

设函数y f (x) 的定义域为A，如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有f ( x) f (x0 ) 恒成立，那么称

f 为y f (x)的最大值；如果存在定值x0 A，使得对于任意x A，有 f (x) f (x0 ) 恒成立，那么称(x0 )

f (x0 ) 为y f ( x) 的最小值。

（二）考点分析

考点 1 函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

例1．（1）求函数 2

y log ( x 3x 2) 的单调区间；

0.7

（2）已知 2

f (x) 8 2x x , 若

2

g( x) f (2 x ) 试确定g( x) 的单调区间和单调性．

例2. 判断函数f(x)= 1

2

x 在定义域上的单调性.

题型2：研究抽象函数的单调性

例1．已知函数 f (x) 的定义域是x 0的一切实数，对定义域内的任意x1, x2 都有f (x x ) f (x ) f (x ) ，且

1 2 1 2 当x 1时 f (x) 0, f (2) 1，

（1）求证： f (x) 是偶函数；（2）f (x) 在(0, ) 上是增函数；（3）解不等式 2

f (2 x 1) 2 ．

题型3：函数的单调性的应用

例1．若函数 f ( x) x2 2(a 1)x 2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是______

例2．已知函数 f ( x) a x

x

1

在区间2, 上为增函数，则实数 a 的取值范围_____ 2

考点 2 函数的值域（最值）的求法

求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分

子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

题型1：求分式函数的最值

例1．（2007 上海）已知函数 f (x) x 2 2x

x

a

, x [1, ).当

1

a 时，求函数 f (x) 的最小值。

2

题型2：利用函数的最值求参数的取值范围

2

x 2x a

例2．（2008 广东）已知函数 f (x) ,x[1, ).若对任意x [1, ), f (x) 0恒成立,试求实数 a 的

x

取值范围。

函数的奇偶性

（一）知识梳理

1、函数的奇偶性的定义：①对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x ，都有 f ( x) f (x) 〔或

f ( x) f (x) 0 〕，则称 f (x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x ，都有 f ( x) f (x) 〔或 f ( x) f (x) 0 〕，则称 f (x) 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2. 函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断 f (x) f ( x)

（2）利用定义的等价形式, f ( x) f ( x) 0，f( x)

f (x)

1（f (x) 0 ）

（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上

若有单调性，则其单调性恰恰相反.

（2）若奇函数 f (x) 定义域中含有0，则必有 f (0) 0. 故f (0) 0是f (x) 为奇函数的既不充分也不必要条

件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。

如设f (x) 是定义域为R 的任一函数，( ) ( ) ( )

f x f x

F x ，

2

f (x) f ( x)

G (x) 。

2

（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设 f (x) ，g(x) 的定义域分别是D1, D2 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=

偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

（二）考点分析

考点 1 判断函数的奇偶性及其应用

题型1：判断有解析式的函数的奇偶性

例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=| x+1| －| x－1| ；（2）f （x）=（x－1）·1

1

x

x

；

（3）

2

1 x

f (x) ；（4）

| x 2 | 2

f (x)

x(1

x(1

x)

x)

(

(

x

x

0),

0).

题型2：证明抽象函数的奇偶性

x y 例1 .(09 年山东)定义在区间( 1,1)上的函数 f (x) 满足：对任意的x, y ( 1,1) ，都有f (x) f (y) f ( ) .

1 xy

求证f ( x) 为奇函数；

例2．（1）函数 f (x) ，x R ，若对于任意实数a,b，都有 f (a b) f (a) f (b) ，求证： f (x) 为奇函数。

（2）设函数 f (x) 定义在( l ,l )上，证明 f ( x) f ( x) 是偶函数， f (x) f ( x)是奇函数。

考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用

例1．已知奇函数 f ( x) 是定义在( 2,2) 上的减函数，若 f (m 1) f (2m 1) 0，求实数m 的取值范围。

例2．设函数 f (x) 对于任意的x, y R，都有 f (x y) f (x) f ( y)，且x 0时f (x) 0, f (1) 2

（1）求证 f (x) 是奇函数；

（2）试问当 3 x 3时，f (x) 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

2+a+1)< f (3 a2－2a+1). 求a 的取例3．设函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，并在区间( －∞,0) 内单调递增， f (2 a

值范围，并在该范围内求函数y=( 1

2

) 2 a

a 3 的单调递减区间.

1

函数的周期性

（一）知识梳理

1．函数的周期性的定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x T) f ( x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

2．周期性的性质

（1 ）若y f (x) 图像有两条对称轴x a,x b(a b) ，则y f (x) 必是周期函数，且一周期为

T 2 |a b |；

（2）若y f (x) 图像有两个对称中心A( a,0), B (b,0)( a b) ，则y f (x) 是周期函数，且一周期为

T 2 |a b |；

（3）如果函数y f (x) 的图像有一个对称中心A( a,0) 和一条对称轴x b(a b) ，则函数y f ( x) 必是周期

函数，且一周期为T 4 |a b |；

（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=| b-a| ；②函数 f (x) 满足 f x f a x ，则f (x) 是周期为 2 a 的周期函数；

③若

1

f (x a) (a 0)

f (x)

恒成立，则T 2a；④若

1

f (x a) (a 0)

f (x)

恒成立，则T 2a.

（二）考点分析

考点 2 函数的周期性

3 3

例1．设函数 f (x) 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有)

f ( x) f ( x 成立

2 2

（1）证明：y f (x) 是周期函数，并指出周期；（2）若 f (1) 2，求 f (2) f (3) 的值

考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用

例1 . （09 年江苏题改编）定义在R上的偶函数 f (x) 满足 f ( x 2) f ( x) 1对于x R恒成立，且 f ( x) 0 ，则f (119) ________ 。

例2．已知函数 f (x) 的定义域为R，且满足 f (x 2) f (x)

（1）求证： f (x) 是周期函数；

1 1

（2）若 f (x) 为奇函数，且当0 x 1时，f (x) x ，求使 f ( x) x 在0, 2009 上的所有x 的个数。

2 2

2.5 二次函数

（一）知识梳理

1．二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式： f(x)=ax

2+bx+c(a ≠0)。 (2)顶点式（配方式） ：f(x)=a(x-h) 2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式（因式分解） ：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中 x 1,x 2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。 2．二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴

x

b 2a

2

b 4a

c b

，顶点坐标 ( , ) 2a 4a

b （1）a>0 时，抛物线开口向上，函数在

] (

,

2a

b

上单调递减，在 [

, ) 2a

上单调递增， x b 2a

时，

f

2

4ac b (x)

min

；

4a

b （2）a<0 时，抛物线开口向下，函数在

] (

,

2a

b

上单调递增，在 [

, ) 2a

上单调递减，

x

b 2a

时，

f

2

4ac b (x)

max

。 4a

3．二次函数 f(x)=ax

2

ac

2

+bx+c(a ≠0)当

b 4

0 时图象与 x 轴有两个交点 M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)

2

M 1M

x

x

( x x )

4x 1x 2

。

2

1

2

1

2

a

4． 根分布问题 : 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：

令 f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，

(1)x 1<α,2x<α则,

b /( 2a) ;

(2)x 1>α,2x>α

则, b /( 2a) af ( ) 0

af ( ) 0

(3) α<1

, α<2x < ,则

f f ( ( 0 ) ) b

0 /( 2a) (4)x 1<α,2x> ( α<),则 f

f ( ( 0

) )

0 0 (5）若 f(x)=0 在区间 ( α,)内只有一个实根，则有 f ( ) f ) 0

5 最值问题：二次函数 f(x)=ax 2+bx+c 在区间[ α, ] 上的最值一般分为三种情况讨论，即：

(1) 对称轴 b/(2a) 在

区间左边，函数在此区间上具有单调性； ;(2) 对称轴 b/(2a) 在区间之内 ;(3) 对称轴在区间右边 要注意系数 a 的

符号对抛物线开口的影响

6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： ① 0 f(x)=ax 2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ax 2+bx+c=0 无实根 ax 2+bx+c>0(<0) 的解集为

或者是 R;

② 0 f(x)=ax 者是 R; 2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ax 2+bx+c=0 有两个相等的实根 ax 2+bx+c>0(<0) 的解集为

或

③

f(x)=ax

2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ax 2+bx+c=0 有两个不等的实根 ax 2+bx+c>0(<0)

的解集为 ( , ) ( ) 或者是 ( , )U( , )

（二）考点分析

考点 1．求二次函数的解析式

例 1．已知二次函数 f(x) 满足f (2)= -1 ，f(-1)= -1 且 f(x) 的最大值是8，试确定此二次函数。

法一：利用一般式

4a 2b c

1 a 4

设 f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0) ，由题意得：

a b 4ac 4a c

2 b 1 8 解得： b c 4 7 ∴ f(x)= - 4x 2+4x+7 法二：利用顶点式 ∵f(2)= f(-1)

∴对称轴

2 ( 1) 1

x

又最大值是8

2

2

1

1

2

a

2

x 2

x ∴可设

f ( x) a(x ) 8 (

0) ，由 f(2)= -1 可得 a= - 4

f (x) 4( x ) 8 4 4 7

2

2

2

-ax-2a-1, 又 法

三 ： 由 已 知 f(x)+1=0 的 两 根为x 1=2,x 2=-1 ， 故 可 设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)

即 f(x)=ax

2

4a( 2a 1) a

y

8即

8得 a= - 4 或 a=0( 舍) ∴f(x)= - 4x

max

4a

2+4x+7

例 2．已知二次函数的对称轴为x

2 ，截 x 轴上的弦长为4，且过点 (0, 1) ，求函数的解析式．

2

解：∵二次函数的对称轴为x 2 ，设所求函数为f x a x

b ，又∵ f (x) 截 x 轴上的弦长为4 ，

( ) ( 2)

∴ f (x) 过点 ( 2 2,0) ， f (x) 又过点 (0, 1) ，

4a b 0 ，

2a b

1

a b

1 2

∴

，

2

∴

1 2

f (x) (x

2)

2

2

考点 2．二次函数在区间上的最值问题

例 1．已知函数 f(x)= - x

2+2ax+1-a 在 0≤ x ≤ 1 时有最大值 2，求 a 的值。 例 2．已知 y=f(x)=x

2-2x+3, 当 x ∈ [t,t+1] 时，求函数的最大值和最小值。

例 3．已知函数

2

a 1

y sin x a sin x

的最大值为2 ，求 a 的值 ．

4 2

考点 3．一元二次方程根的分布及取值范围

2+2mx+2m+1=0 例

1．已知关于x 的二次方程x

(1) 若方程有两根，其中一根在区间（-1 ，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。

(2) 若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。

思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴3

2 在（- 1 ，1）上有实根，求k 的取值范围。

练习：方程

x x k

2 x

b

2a

与区间相对位置。

【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。

例2．已知函数 2 2

f (x) x (2a 1)x a 2 与非负x 轴至少有一个交点，求 a 的取值范围．

指数与指数函数

（一）知识梳理

1．指数运算

m m

a a ； 1

a

n m

n n

m

a

n ；0 1

a ；

r s r s r s rs

a ?a a (a0, r、s Q) ；(a ) a (a 0, r、s Q) ；

r r s

( a b) a b (a0, r、s Q)

2.指数函数：y（a 0,a 1），定义域R，值域为（0, ）.⑴①当a 1，指数函数：y a x 在定

a

x

义域上为增函数；②当0 a 1，指数函数：y a x 在定义域上为减函数.⑵当a 1时，x

y a 的 a 值越大，越靠近y轴；当0 a 1时，则相反.

（二）考点分析

m n (2) 0.2m 0.2n 例

1．已知下列不等式，比较m ，n 的大小：（1）2 2

变式1：设1 1 1

b a

( ) ( ) 1

2 2 2

，那么（）

A.a a b a a

＜a ＜b

B.a ＜ b a b

＜a

b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a C.a

例2．函数x

y a 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（）

1 1

A ． B.2 C.4 D.

2 4

例 3 ．已知函数y f ( x) 的图象与函数y a x （a 0 且a 1 ）的图象关于直线y x 对称，记

1

g( x) f ( x)[ f (x) 2 f (2) 1] ．若y g( x) 在区间[ ,2] 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（）

2

1 1

A ．[2, ) B．(0 ,1) (1, 2) C．[ ,1) D．(0, ]

2 2

对数与对数函数

（一）知识梳理

1．对数运算：

M

log a (M N ) log a M log a N ；log a log a M log a N

N

n

；log a M n l og a M ；

1

n

log a M log a M

n

；

log a N

a N ；

log N

b

换底公式：log N ；推论：log a b log b c log c a 1

a

log a

b

b ，数b 就叫做以 a 为底的N 的对数，记作log a N b

2．对数函数：如果a（a 0,a 1 ）的b 次幂等于N，就是 a N

（a 0,a 1，负数和零没有对数）；其中 a 叫底数，N 叫真数.

当

a1时，y log a x 的 a 值越大，越靠近x 轴；当0 a 1时，则相反.

（二）考点分析

例1．已知函数( ) log ( 1)

f x x ，g( x) lo

g a(1 x)( a0 ，且a 1)

a

（1）求函数 f (x) g(x) 定义域

（2）判断函数 f (x) g( x) 的奇偶性，并说明理由.

例2．已知 f (x) (3a 1)x 4a, x 1

是( , ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log x,x 1

a

A. (0,1)

B.

1

(0, )

3

C.

1 1

[ , )

7 3

D.

1

[ ,1)

7

例3．若

3

log a 1(a 0 ，且a 1)，求实数a的取值范围.

4

2

1 a

变式1：若 a 0，则a 的取值范围是（）

log

2 a

1

1 1 1 A．( , ) B．(1,) C．( ,1) D．(0, )

2 2 2 幂函数

（一）知识梳理1、幂函数的概念

一般地，形如y x (x R) 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质

y x y x2 3

y x y x 1

2 y x 1

定义域R R R

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限的增减性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减

幂函数y x (x R, 是常数)的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数y x (x R, 是常数) 的图像都过点(1,1)；

②当0时函数y x 的图像都过原点(0,0) ；

③当1时，y x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2 ）；

④当2,3 时，y x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1 ）

⑤当1

2

时，y x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3 ）

⑥当1时，y x 的的图像不过原点(0,0) ，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）

3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展

当0时，幂函数y x 有下列性质：

（1）图象都通过点(0,0) ，(1,1)；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的； 1 0时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当

0时，幂函数y x 有下列性质：

（1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数y x 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

（二）考点分析

考点1：利用幂函数的单调性比较大小

例1．已知0，试比较1

2

,0.2 ,2 的大小；

例2．已知点( 2，2) 在幂函数 f (x) 的图象上，点

1

2，，在幂函数g(x) 的图象上．4

问当x 为何值时有：（１） f (x) g(x) ；（２） f (x) g(x) ；（３） f (x) g(x) ．

函数图象

（一）知识梳理

1．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本

讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周

期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、

方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，

以及确定怎样的变换，这也是个难点

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数y f (x a) 的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x轴方向向左(a0) 或向右(a 0)

平移|a|个单位即可得到；

左移右移h

h

y=f( x+h)；2）y=f( x) y=f(x h)；1）y=f(x)

Ⅱ、竖直平移：函数y f (x) a 的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x轴方向向上(a0) 或向下(a 0)

平移|a|个单位即可得到；

上移h h

下移

1）y= f(x) y=f(x)+h；2）y= f(x) y= f(x) h。

Ⅰ、函数y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于y 轴对称即可得到；

y

轴

y= f(x) y= f( x)

Ⅱ、函数y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于x 轴对称即可得到；

x

轴

y=f (x) y= f (x)

Ⅲ、函数y f ( x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于原点对称即可得到；

原点

y=f (x) y= f( x)

Ⅳ、函数x f ( y)的图像可以将函数y f (x) 的图像关于直线y x对称得到。

y=f( x) 直线y x x=f (y)

Ⅴ、函数y f (2a x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于直线x a 对称即可得到；

直线x a

y= f(x) y= f(2a x)。

③翻折变换：

Ⅰ、函数y | f (x) |的图像可以将函数y f (x) 的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y f (x) 的x 轴上方部分即可得到；

y

y

y=f(x)

y=|f(x)|

a o

b

c a o

b c

x x

Ⅱ、函数y f (| x |) 的图像可以将函数y f (x) 的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y轴左边部分并

保留y f (x) 在y 轴右边部分即可得到

y

y

y=f(x)

y=f(|x|)

a o

b

c x a o b c x

Ⅰ、函数y af (x) (a 0) 的图像可以将函数y f (x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1) 或压缩（0 a 1）为原来的 a 倍得到；

y a

y= f(x) y=af( x)

Ⅱ、函数y f ( a x) (a 0) 的图像可以将函数y f (x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a 1) 或

压缩（0 a 1）为原来的1

a

倍得到。

x a

f ( x) y=f ( x)

y=f ( ax )

（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

（二）考点分析

例1．（08 江苏理14）

设函数 3

f ( x) ax 3x 1(x R) ，若对于任意的x 1,1都有 f ( x) 0成立，则实数 a 的值为

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图

像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；

例2．（2009 广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车

的速度曲线分别为v v

甲和（如图 2 所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）乙

A. 在t1时刻，甲车在乙车前面

B. t1时刻后，甲车在乙车后面

C. 在t0 时刻，两车的位置相同

D. t0 时刻后，乙车在甲车前面

（2）. (2009 山东卷理) 函数y

x x

e e

x x

e e

的图像大致为( ).

y

y

y

y

1 1 1

1

x

O 1

1 O

x O 1

x O

x

1

D

B

A C