椭圆与双曲线常见题型归纳
(川)设P 是该椭圆上的一个动点，求
PBF 1的周长的最大值.
椭圆与双曲线常见题型归纳
曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解
1.向量综合型
例1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0, .3),(0, .3)的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线
uuu uuu
(I)写出C 的方程；(U)若OA OB ，求k 的值
2
例2?设F i 、F 2分别是椭圆— y 2
1的左、右焦点?(I)若P 是该椭圆上的一个动点,
4
的最大值和最小值；(U)设过定点M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角 (其中O 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围
2
例3.设F 1、F 2分别是椭圆— y 2 1的左、右焦点，B(0, 1) . (I)若P 是该椭圆上的一个动点,
4
UJU UUU
y kx 1与C 交于A, B 两点。
UULT UULU 求 PF PF
求PF1 PF2的最大值和最小值；(U )若C为椭圆上异于B 一点，且BF1 CF1，求的值；(川)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值.
例4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，3,0)
(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线I : y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且
OA OB 2(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
2
2
広
例5?已知椭圆 笃 爲(a >b >0)的离心率e —，过点A (0, - b )和B (a , 0)的直线与原点 a b 3
一
的距离为 —.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E
(-1 , 0),若直线y = kx + 2 (k 工0)与椭圆交于
2
C 、
D 两点?问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过
E 点？请说明理由.
2?“中点弦型”
例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率e , 3，焦距为2.3
(I )求该双曲线方程.(II )是否定存在过点P (1 , 1)的直线I 与该双曲线交于A , B 两点，且点 P 是线段AB 的中点？若存在，请求出直线I 的方程，若不存在，说明理由. 例8?已知椭圆的中心在原点，焦点为 F i （0,
2冋,F 2 （0, 2罷）,且离心率e 亠。 3
（I ）求椭圆的方程；（II ）直线I （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且线段AB 中点 的横坐标为-，求直线I 倾斜角的取值范围。
2
2 2
例6.已知椭圆—y 4 3
1 ,试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线
y 4x m 对称。
3?“弦长型”
2
例9 ?直线y = kx + b与椭圆寸1交于A、B两点，记△ AOB勺面积为S.
4
（I）求在k = 0, 0v b v 1的条件下，S的最大值；（U ）当| AB|= 2, S= 1时，求直线AB的方程.
y
ur r ir r 2
例10.已知向量m i = （0，x ），n i= （1，1），m2 = （x，0），n2= （y，1）（其中x，y 是实数），又
设向量m= m1+ .、2 n2，n=m2 — .、2 n1，且m〃n，点P （x，y）的轨迹为曲线 C. （I）求曲线 C 的
方程；（U）设直线I :y kx 1与曲线C交于MN两点，当也护4运时，求直线|的方程.
3
例14. k 代表实数，讨论方程kx 2 2y 2 8 0所表示的曲线.
“基本性质型”
2 2
例12. P 为椭圆L Z 1上一点，F 1、F 2为左右焦点，若 F 1PF 2 60 25 9 (1)求厶F t PF 2的面积；(2)求P 点的坐标.
2 2
例13.已知双曲线与椭圆—仏
49 24
2 2
例11 ?设双曲线G 的方程为笃爲 a b
1(a 0,b 0) , A 、B 为其左、右两个顶点, P 是双曲线C i 上的
任一点，弓I QB PB, QA PA , AQ 与 BQ 相交于点Q (1)求Q 点的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹为C 2 , C 1
C 2的离心率分别为?
e 2，当?
. 2时，求e 2的取值范围
1共焦点，且以y
-x 为渐近线，求双曲线方程. 3
例1.解：（I）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0, J3）,（Q J3）为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴 b ； 22C- 3）21，故曲线C的方程为x2n)设A%, yj, B(x2, y2),其坐标满足
x2
2
y
4
kx
1
1消去y并整理得
1.
(k24)x2 2kx 3 0,故x
1x2
2k
k2 4 ,x1x2
uuu uuu
若OA OB，即X1X2 y i y2 y〃2 k 2x1x2k(x i X
2)
1
曰
是x^2 y』2
3
k2 4
3k22k2
k2 4
1 0，化简得4k20,所以k
例2. 解：（I）解法一：易知2,b 1,c F
1
.3,0 ,F2 设P x, y
uui r PF1 uuun -
PF2 3 x, y , .3 x, x2y2 3 x2
2
1 x_
4
8因为x 2,2 ，故
当
x 0，即点P为椭圆短轴端点时, uui
r
PF
1
uun
PF2有最小值即点P为椭圆长轴端点时,
umr UJIH
PF1PF2有
最大值1解法二：易知a 2,b 1,c .3，所以F1.3,0 ,F2 .3,0 ，设P x,y，则
uuir uuur PF1 PF 2 uuir uuuu
PF1 PF 2 cos F1PF2
2 x y2 x 32 y2 12
显然直线0不满足题设条
件,
消去y，整理得: k21 2
x 4kx 4
由4k2 2
4k 3 0得: uuu uuu
二OA
OB %x
2
yy 0 又y“2
uuu
r
PF1
uuu
u PF 2
uuir 2
PF」
2
x2y23 （以下同解法一）
可设直线kx 2,A 为丛，B X2, y?,联立
kx
X2
4k
.2 1 k 4
X2
k2
k^ 2 kx2k2%x2
A0B
2k x1
90°
X
2
cos A0B
uu uur
OA OB 0,
4斗
k2丄
4
k 2 1 3 k 2 1
0，即 k 2
1 k
2 1 k 2 1 k 2
4 4 4 例3. 解: （I ）易知a 2,b h c
■.；
3 , uuir uuu u PF 1 PF 2 ,3 x,
y ,- 3 x, y 诱 因为: X 2,2，故当 x 0, 即点P 为木
椭 4 所以 即点P 为椭圆长轴端点时, 2, 2 X ??? 2 k 2,
F i c （ X 0，y °）， B(0, 1) F i x 0 ,y o 7( J3,O , F 2 uur uum PF 1 PF 2有最大值 1 x 02
—,又— 4 （川）因为 .3,0 2 y 0 由BF 1 x 2 1 uur PF 1 故由①、②得2 k -2或拧k 2
2 x 4 uuu u CF 1得 |BF 2| 值为 8. 例4.解: 故双曲线 PBF 1周长最大，最大 PF 2有最小值 2670解得 =4 - |PF 2| + |PB| < 所以有 + |PB| 1 0舍去）
PBF 1周长w 4 +|BF 2| + |B F 1| w &所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时, （I ）设双曲线方程为 IP F 1 (a 0,b 0).由已知得 a , 3, c 2,再由a 2 b 2 22,得 b 2 1. 2
C 的方程为— 3
1. (□) kx 1得 (1 3k 2)x 2 6.2kx 9 0.由直线 I 与双曲线交于不同的两点得 A(X A ,y A ),B(X B ,y B )
，则 X A 3k 2 (6.2k)2 6 2k
X B 0, 而 X A X B y A y B X A X B (kX A (k 2 1)务 1 3k 2 1 k 2
3.② 3 由①、②得 1 2 1且k 2 1.① 3 即k 2
0. 2 3k ) 36(1 k 2) 9 uuu uuu 厂由OA OB 1 3k 1)X A X B ■2k (X A X B ) 2 7
2,即逬9 3k 2 1 3k 2
36(1 2, X A X B
1 3k
、2)(kx B .2) 3k 2 7 3k 2 1. 1 . 2
k 3 1. 2得 X A X B 『A Y B 2,
(k 2 3k[ 2 故k 的取值范围为 例5.解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab = 0.依题意 a
_6
3， ab 、a 2 b 2 2
椭圆方程为— 3
y 2
1 . （2）假若存在这样的 k 值，由
kx 3y 2
(12k)2 36(1 3k 2) 0 ?① 设 C(X 1 , yj 、D(X 2 ,
y 2），
则
( 1, 2, 3
X 1
得(1 3k 2)
2
x 12kx 9
.
X
2
X 2
12k 1 3k
?②而 9 1 3k 2
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
圆锥曲线常见题型与答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,,
双曲线题型归纳含(答案)
三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ．
归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程
双曲线-题型归纳-含答案
三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值． 解：Θ双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009 山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．45 B ．5 C ． 2 5 D ．5
解析：双曲线 12 222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+?，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选 D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009 全国Ⅰ理）设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐 近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )356解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选C ． 例4（2009 江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 2 B ．2 C ．52 D ．3
(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)
）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
双曲线重难点题型归纳
双曲线常考重难点题型归纳 必考点1： 双曲线的定义 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) 图形 例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ． 22 2 B 410 C 7 D 10 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，2 2 2 413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()2 2 103 y x x -=>，而点P 还在函数 2 34y x =-()2 2210334y x x y x ???->-==??，解得13233 2x y ?=? ???=??，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22 :149 x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚 轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．
【解析】根据题意，双曲线 22 :1 49 x y C-=的左焦点(13,0) F-，所以点(13,0) A是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图： ||||24 PF AP a -==①||||24 QF QA a -==②而||12 PQ=，①＋②得： ||||||8 PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32 PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32． 【小结】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 双曲线的标准方程 例题3：已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（） A. 22 1 412 x y -= B. 22 1 124 x y -= C. 2 21 3 x y -= D. 2 21 3 y x-= 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222 2 tan603 c c a b b a ? ?= ? =+ ? ? ?== ? ，解得：22 1,3 a b ==， 双曲线方程为： 2 21 3 y x-=.本题选择D选项.
双曲线知识点及题型总结[生产目录]
双曲线知识点及题型总结 目录 双曲线知识点 (2) 1双曲线定义： (2) 2.双曲线的标准方程： (2) 3.双曲线的标准方程判别方法是： (2) 4.求双曲线的标准方程 (2) 5.曲线的简单几何性质 (2) 6曲线的内外部 (3) 7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3) 8双曲线的切线方程 (3) 9线与椭圆相交的弦长公式 (3) 高考题型解析 (4) 题型一：双曲线定义问题 (4) 题型二：双曲线的渐近线问题 (4) 题型三：双曲线的离心率问题 (4) 题型四：双曲线的距离问题 (5) 题型五：轨迹问题 (5) 高考例题解析 (6) 练习题 (10)
双曲线知识点 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2.双曲线的标准方程： 12 22 2=- b y a x 和 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里2 22a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2 x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运 用待定系数法求解. 5.曲线的简单几何性质 2 2a x － 2 2b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为 12 22 2=- b y a x ?渐近线方程 ?=- 02 22 2b y a x x a b y ± = ②若渐近线方程为x a b y ±=? 0=± b y a x ?双曲线可设为 λ=- 2 22 2b y a x ③若双曲线与12 22 2=- b y a x 有公共渐近线，可设为λ=- 2 22 2b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点 在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线， 可设为λ=-2 2y x ；y =a b x ，y =－ a b x ⑸准线：l 1：x =－ c a 2 ，l 2：x = c a 2 ，两准线之距为2 122a K K c =?
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
双曲线题型归纳含(答案)
二、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 分别是双曲线的左、右焦点?若 | PF i | 3，则 |PF 2 | ( B . 6 C . 7 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出 | PF 2 |的值. Q| PF 1 | 3, |PF 2| 0, |PF 2 | 7. 故选C . 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 则双曲线的离心率为（ B . 5 设P 是双曲线 2 x ~2 a 2 — 1上一点，双曲线的一条渐近线方程 为 9 3x 2 y 0，F 1、F 2 2 x 解析：双曲线— a 2 y b 2 1的一条渐近线为 y b x ，由方程组 a — x a ，消去 y ,得 x 2 1 x 2 b x 1 a 0有唯一解，所以△ K 所以— a .5，故选D . D . 9 a 的值，利用双曲线的定义求出 2 x 解： 双曲线V a 2 才1 渐近线方程为y = 3 x ，由已知渐近线为3x 2y 0 , a a 2, ||PF 1| | PF 21| 4 , |PF 2| 4 |PF i |. 例2（2009山东理）设双曲线 2 x ~ 2 a 2 与 1的一条渐近线与抛物线 b 2 1只有一个公共点, C .
归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 因此选c. 合思想的应用. （三）求曲线的方程 切, 2 x 例 3 （2009全国I理）设双曲线2 a 则该双曲线的离心率等于（） 2 y b2 1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相 B.2 C. 5 y o 解析：设切点P（X o,y o），则切线的斜率为y |x X0 2x o ?由题意有 y 。 X0 2X0 .又有 2 2 b x 1，联立两式解得：x01, 2, e a (b)2 a .5 ? 2 x 例4 （2009江西）设F-i和F2为双曲线一2 a 2 y b21(a 0,b 0）的两个焦点, % F2 , P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ B. 解析：由tan6 c 2b f 有3c2 4b2 4(c2a2)，则e 2 ，故选B. 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, 从而得出tan c '一3 2b 3， 体现数形结 D. 3
椭圆与双曲线常见题型归纳
椭圆与双曲线常见题型归纳 一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型 例 1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线 1y kx =+与C 交于,A B 两点。 （Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥u u u r u u u r ，求k 的值。 例2．设1F 、2F 分别是椭圆142 2=+y x 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?u u u r u u u u r 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例3． 设1F 、2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?u u u r u u u u r 的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ?的周长的最大值.
例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且 2>?OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。 例5．已知椭圆22 22b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点 的距离为 2 3 ．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由． 2．“中点弦型” 例6.已知椭圆22 143 x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称。 例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率3=e ，焦距为32 （I ）求该双曲线方程.（II ）是否定存在过点P 1(，1）的直线l 与该双曲线交于A ，B 两点，且点 P 是线段AB 的中点？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
高中数学双曲线题型归纳
高中数学双曲线题型归纳 类型一 双曲线的定义 【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 1-1设P 是双曲线120 162 2=- y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对 1-2已知F 是双曲线112 42 2=- y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．9 1-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 类型二 几何性质 【例2】设F 1，F 2分别为双曲线122 22=-b y a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右 支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±3y ＝0 D ．5x ＋4y ＝0
2-1若双曲线()01322 2>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4 1，则该双 曲线的虚轴长是（ ） A .2 B .1 C . 5 5 D . 5 5 2 2-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线122 22=-b y a x (a ＞0， b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．
椭圆与双曲线常见题型归纳知识讲解
椭圆与双曲线常见题型归纳 一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型 例1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。 （Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥u u u r u u u r ，求k 的值。 例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0， 为焦点，长半轴为2的椭圆．它 的短半轴1b = =， 故曲线C 的方程为2 2 14 y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 2 214 1.y x y kx ?+ =???=+? ， 消去y 并整理得2 2 (4)230k x kx ++-=， 故1212 2223 44 k x x x x k k +=- =-++，． 若OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=． 而2 121212()1y y k x x k x x =+++， 于是22 12122 2233210444 k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2 410k -+=，所以12 k =± ． 例2．设1F 、2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线 l 的斜率k 的取值范围 例2．解： （Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c === 所以( )) 12 ,F F ，设(),P x y ，则 ( )) 2212,, ,3PF PF x y x y x y ?=--=+-u u u r u u u u r ()22 21 133844 x x x =+--=-
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂 直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的2 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2104 k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴211(,0)22 E k -到直线AB 的距离d 。 AB =Q 2k =g d == 解得k =满足②式此时053 x =。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直 k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题2、已知椭圆12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳 考点一 双曲线标准方程及性质 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。 （1）距离之差的绝对值. （2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。 2双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图形 性 质 焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o 焦距 | F 1F 2|=2c 2 22c b a =+ 范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,|| 对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （-a ，0）。（a ，0） （0，-a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 通径 22b d a = 22b d a = 渐近线 x a b y ± = x b a y ± =
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结 平面内到两个定点,错误!未找到引用源。的距离之差的绝对值是常数2a(2a<) 的点的轨迹。 莁方程 蒀简图 肈 蚃 薄范围 肈顶点 虿焦点 袃渐近线 螁离心率 袀对称轴 蒈关于x 轴、y 轴及原点对称 袃关于x 轴、y 轴及原点对称 膂准线方程 薂a 、b 、c 的 关系 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 膃_ 蚀x 蚆_ 螃y 薄_ 螂x 羈_ 袇y
（1） （2） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （3） （4） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （5） （6） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点() 3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a = =54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ-= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ=
高中数学解析几何常考题型整理归纳
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一:圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型. 【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D.x 2 －y 23＝1 (2)若点M (2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 27＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值为________. (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， 若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________. 答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1 解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一个焦点为F (2，0)， 则a 2＋b 2＝4，① 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ， 由题意得2b a 2＋ b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D. (2)设点B 为椭圆的左焦点，点M (2，1)在椭圆内，那么|BM |＋|AM |＋|AC |≥|AB |＋|AC |＝2a ，所以|AM |＋|AC |≥2a －|BM |，而a ＝4，|BM |＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM |＋|AC |)最小＝8－26.
(自己整理)圆锥曲线常考题型总结-配有大题及练习
圆锥曲线大综合 第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） 题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,22b x a -=
二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等 4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2 2b a ，抛物线2p ②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时12 2tan 2 F PF S b θ =? p 在双曲线上时12 2/tan 2 F PF S b θ = 四．常结合其他知识进行综合考查 1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
圆锥曲线常见综合题型(整理)
学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 2h 课 题 圆锥曲线综合复习 教学目标 1. 求轨迹方程 2. 直线与椭圆的位置关系 3. 弦长问题 4. 中点弦问题 5. 焦点三角形（定义和余弦定理或勾股定理） 6. 最值问题 【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系 注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。 即： 1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐 进性平行； 2． 二次方程，?? ???>?=??≠且a 此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。
二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由???+==n kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。 则弦长公式为： 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=。 三、用点差法处理弦中点问题 设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 【典型例题】 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22 236x y +=有两个公共点有一个公共点没有公共点 例2． 已知直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围。 变式1：过点P(0,1)的直线与双曲线1542 2=-y x 有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围。