全等三角形解题方法与技巧

“三步曲”证全等

牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL

一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离

出基本图形）

二看条件：

（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。）

1、利用公共边（或公共角）相等

例1：如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？

练习1：已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。

D

A E C

B

2、利用对顶角相等

例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？

练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。

3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等

例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．

练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。

A

E

D C

B

A B

C

D

E

F

O

4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等

例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数．

练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

（二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。

例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ． 求证：ABC DEF △≌△．

例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ．

例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．

图1

图2

C

E

B

F

D

A

E

练习1：已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。

A

B

C

D E F O

练习2：已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。

O

B A

C

D

E

练习3：如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD

练习4：如图，已知AD 是△ABC 的中线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证：

(1)AD 是∠BAC 的平分线；(2)AB=AC ．

练习5：已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD

相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=1

2BF (3)CE与BG的大小

关系如何。

三创条件：条件与结论联系不明显，直接证明难度大，考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角

形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于

证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连

接起来，利用三角形面积的知识解答．

1、倍长中线（线段）造全等

△ABC中,AD是BC边中线

方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长

D

C

B A

1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD

例1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

课堂练习1：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

课堂练习2：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

B

_

D _

F _

C _ B _

E _

A

课堂练习3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，

课后作业1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

课后作业2：在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

课后作业3：如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM

M

E D C

B

A

B

A

C

B

A

C

2、截长补短

例2：如图，已知在△ABC内，

60

BAC

∠=，0

40

C

∠=，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ 分别是BAC

∠，ABC

∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

课堂练习1：如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

课堂练习2：如图，ABC

?中，AB=2AC，AD平分BAC

∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC

课堂练习3：如图，AD∥BC，

AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

C

D O

E

C

B

A

课后作业1：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： ?=∠+∠180C A

课后作业2：已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

课后作业3：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点

N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？

N

C

D

E

B M A