文艺复兴时期数学发展的重要因素

第五讲文艺复兴时期的数学

1、学习珠算有现实意义吗?

对于这个问题，每个人都有自己的看法。在我的观点中，学习珠算是有现实作用的。

中国珠算是中华民族的一项伟大的发明，珠算作为一门应用学科对基础数学，对发展生产，适应生活需要起了推动作用。珠算内涵非常丰富，不但有良好的计算功能，它是中国应用数学。珠算是独立的学科，因而它应具有系统的体系。一是从算史上看，算盘计教原理是我国最早创造的。它是数形结合，以算为主。二是使用算盘具有中国数学的显著特点。中国古代数学体系是以它的应用性、直观性，算法的结构化、机械化，寓算理于算法之中的，而珠算正是这种特征的体现。

珠算作为中华民族的优秀文化瑰宝是凭借其计算功能才得以流传千百年至今，并在全世界传播的。然而在当今计算机时代，算盘的应用领域将发生变化。这就好比有了飞机还要有自行车，自行车要发展，要进入健身房。同样，有了计算机。也还要有算盘，算盘的功能将得到拓展，还要进入健脑房。我们有理由相信，在新的世纪中，计算机和算盘会长期共存，互助互补，各尽其职。

珠算是中华民族的优秀文化遗产，它有着数千年的光辉里程，在历史的进程中，珠算作为经济数学，为发展社会生产、经济，推进人类进步做出重大贡献，当今电子时代，由于珠算已起到变化，有其独特的功能将起著巨大的经济核算，学校教育，启迪人们智力水平的重要作用，但这一项古老又新生的科技产物，是利国利民的技术。珠算科技是随着这会经济的发展而发展。因此，关于培养经济核算人才，不单是培养计算的准快高水平问题，而应该理解为智慧的核算人才，珠算，珠心算不仅培养了计算高水平者，而且事实证明，由于学珠算，脑手眼并举，使人们更加脑明起，这就是所谓一科突出，多科受益的道理所在。

当今世界，经济在发展，社会在前进，人才在极需，而传统的珠算科技必然在发展。学习珠算，在方法上调动左右脑，特别脑印象活动，给右脑以激动的刺激，左右脑同时并用，这样可以起到很大潜力的脑力的开发，起到数学教育，启迪智力的良好的作用。

（06数教9号李爱平）

2、文艺复兴时期数学发展的重要因素。

公元5—11世纪，天主教是欧洲社会的绝对势力，封建宗教统治使一般人等信天国，追求来世，淡漠世俗生活，教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致理性的压抑，文明的停滞。

因教会教育的需要，教材中也有一些水平低下的算术和几何知识，1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发证发生了接触，十字军为掠夺土地的东征使，欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那了解到了希腊以及东方古典学术，古典学术的发现激起了他们极大的兴趣，对学术的需求、翻译和研究，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。

而我认为文艺复兴时期数学的高涨是因为科学中数学化趋势的增长。天文观测是文艺复兴时期的一个重要课题，而天文观测却要运用到大量的数学知识，从而推动数学曲线的发展，又如，文艺复兴时期个人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。中世纪宗教绘画具有象征性的超现实性，而，文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，使画家们将三维现实世界绘制到二维画布上。面临着这种问题，透视学的兴起，从而诞生了摄影几何学，而文艺复兴时期机械的普遍使用、武器的改进、航海事业的发展，都导致数学的不断发展，因而数学发展的重要因素是：文艺复兴时期其它事业的发展带动了数学的发展。

（07数教7号潘婷婷）

3、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。

欧几里得的《原本》成书于公元前300年左右，和中国得《竹书纪年》几乎同时。它是最早用公理化建立起数学体系得典范，是除了《圣经》以外，阅读人最多的一本书。

欧几里得的《原本》传入中国，首先应该归功于明末科学家徐光启。但遗憾得是徐光启并没有完成后9卷的翻译。徐光启和利玛窦于1606年完成了前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。就在二人想继续译完全书的时候，徐光启的父亲不幸去世，使得《原本》后9卷得翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整的引入中国。这对中国近代数学的发展起到了重要得作用。

《几何原本》是一部划时代得巨著。其在中国出版得历史意义在于它用公理

法建立起一个演绎推理的体系。因为再次之前中华大地所积累下来得数学知识，是零碎的、片段的。可以比作木石、砖瓦只有借助于逻辑发发，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间得内在联系，整理在一个严密得系统之中，才能建立巍峨得大厦。

《几何原本》在中国的出版和传播培养了一大批数学家。他们通过对西方数学和中国古代数学得研究，推动了中国数学得发展，由此出现了一大批研究数学的巨著；《几何原本》在中国的出版和传播对我国数学、天文学乃至中国思想文化得发展产生了深远的影响，具有重要得意义。

“字精金美玉，为千古不朽之作”，这是后人对《几何原本》的评价。它奠定了西方数学体系在中国发展的基础。更是促进了宋元数学的复兴。但最关键的是首次在中国引进了逻辑思想体系，这对推进中国数学得发展无疑是莫大的助力。

（07数教20号王长兴）

文艺复兴时期的数学(Mathematics in the Renaissance)

十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。

这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。其中最著名的代表人物有：意大利的达芬奇(Leonardo da Vinci)、阿尔贝蒂(Leone Battista Alberti)、弗朗西斯卡(Piero della Francesca)、德国的丢勒(Albrecht Durer)等。

文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。L·帕奇欧里(Pacioli)的《算术、几何及比例性质之摘要》(Summa de arithmetica，geometrica，proportioni et proportionalita，1494)是一本内容全面的数学书；J·维德曼(Widman)的《商业速算法》(1489)中首次使用符号「+」和「-」表示加法和减法；A·里泽(Riese)于1522年出版的算术书多次再版，有广泛的影响；斯蒂文(Simon Stevin)的《论十进》(1585)系统阐述了十进分数的理论。

代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》(Ars magna，1545)中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚(Tartaglia)。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari)发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利(Bombelli)在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。

符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达(Viete)完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了名著《分析方法入门》(In artem analyticam isagoge)，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione et emendatione，1615)中，改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

在文艺复兴时期，三角学也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯(George Joachim Rhaeticus)

文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

代数学在文艺复兴时期取得了重要发展，三、四次方程的解法被发现。意大利人卡尔达诺在他的著作《大术》中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔塔利亚。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里发现，在《大术》中也有记载。邦贝利在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。符号代数学是由１６世纪的法国数学家韦达确立的。他于１５９１年出版了《分析方法入门》，对代数学加以系统的整理，第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正中，改进了三、四次方程的解法，还建立了二次方程和三次方程方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。三角学在文艺复兴时期也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯的《论各种三角形》是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯在重新定义三角函数的基础上，制作了更多精密的三角函数表。法国人笛卡儿于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。其将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。在和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念

数学在文艺复兴中的作用

1 文艺复兴前的数学

1.1 数学的产生

数学作为一项技术出现，在西方文明眼中，应该是在4000多年前的巴比伦和埃及。理所当然，在计算自己的财产之外，在两河流域和尼罗河畔，人们都利用数学计算历法来预测这三条河流的泛滥。之后，人们更利用数学开始研究星空，产生了占星学，实际上，在古代，数学绝大多数时间都是服务于天文学也就是占星术的。人们认为天空中那永恒的星斗的运行，决定了人们的命运，因此，对于星星的研究是十分严肃和重要的。此外，数学还广泛利用于建筑领域，建造了宏伟的神庙和金字塔。虽然说这些建筑的几何特性十分的精确，但是不能说建造这些奇迹的劳动者们便是数学家，毕竟那只是设计上的事情，人们认为数学，特别是几何，是十分神圣的，它的亘古不变如同星斗，受到人们的尊敬。不过这门神圣的学问始终没有被广泛的认识到，因为它始终被掌握在了僧侣阶级手中，对于知识的垄断，造就了他们的地位。

1.2 数学的发展

古巴比伦人和埃及人的数学十分的发达，但是始终属于试验和经验的总结，没有严密的证明。当数学被传播到希腊时，事情就变得不同了。希腊人有着非同寻常的理性，他们追求完美，在从埃及人和巴比伦人那里获得了数学之后，他们几乎完全抛弃了他们所得到的，因为他们认为那些东西如同建立在沙丘上的城堡，是靠不住的。希腊人发明了演绎法，这样一来，他们便可以从一个自明的公理出发，把数学的根基打下，建立起自己牢固的数学体系。伟大的毕达哥拉斯学派和欧几里得这些希腊学者，为数学的发展做出了不可磨灭的贡献。但是可以看到，希腊数学始终把几何作为数学的核心，其演绎法始终围绕几何方法展开，虽然解决的无理数等难题，但是始终没有把算学也就是代数方法发展起来，这成为了希腊数学的遗憾。

1.3 数学的衰落

柏拉图将数学的地位抬升到一个很高的高度，数学作为一个哲学家的必修课出现在人们眼前。但是，随着希腊文明的衰落和罗马的兴起，一切发生了变化。罗马人是天生的建筑师，他们建造竞技场，建造引水渠，建造宽阔的道路。但是他们完全是使用主义者，《几何原本》在他们看来毫无意义。虽然亚历山大利亚的希腊学者们受到罗马的尊敬，但是也是在需要他们出面解决问题的时候，当凯撒们发现一次一次的求教希腊人不是办法的时候，已经为时已晚，数学由于环境的恶劣已经不再有过去的辉煌，可以说罗马时期是所有历史时期里对于数学的发展起作用最少的一个，这从他们杀死了希腊最伟大数学家之一的阿基米德这件事上就可以略知一二。

随着罗马帝国的崩溃，以及土耳其人对于亚历山大利亚博物馆的洗劫。（阿拉伯人认为可兰经包含一切真理。数学作为一门学科，如果他不再可兰经里，那他就不是真理，就要被消灭。如果他是，那么他就应该已经包含在可兰经里了，所以就是多余的，都应该销毁）成千上万的希腊典籍被烧毁。帝国崩溃后作为唯一的有统治力的组织，教会执掌了欧洲的历史。可是基督徒们似乎不太喜欢研究数学。他们认为一切都是由上帝制造的，所以一切知识真理都是可以理解的。但是必须通过《圣经》来完成。对于大自然的观察和研究是罪恶的，人不应该贪图尘世，而是应该关注于赎罪和死后的天堂。因此，数学再次被孤立冷藏起来。但是到了后期，教会发现数学作为对于神学的工具还是十分重要的，因此还是被利用了起来。当然和在埃及一样，僧侣阶级掌握垄断了这门学问，作为对教民的一种统治手段。

2 文艺复兴和数学

2.1 数学的重生

当人们对基督教失去信心，教会日益腐化时，宗教改革被历史选择了。人们再度获得了思想上的自由，教会的约束不再如此强烈。当尘世生活变得再次重要时，人们的欲望开始膨胀，物质的需求开始增加。手工劳动者和工厂主们为了寻求提高生产力的方法，再度将眼光投向了环抱他们的大自然。对于自然的研究开始流行，并且成为了一项运动。为了突破宗教的思想束缚，人们急需找到一个新的思想宝藏，希腊的学术

宝库被发现了，大量的阿拉伯文的希腊文献被翻译过来，以此为基础，人们获得了新的精神，新的思想和新的世界观。

2.2 “回归自然”运动

弗朗西斯?培根和笛卡儿这两个伟大的哲学家，勇敢地提出了征服自然的口号。人们开始响应他们的号召，投身于研究自然的事业中。但是，为了学习自然的真理，人们必须利用理性来重建知识，必须在确定是确信无疑的知识基础上建立新的知识系统。作为同亘古不变的星星一样的数学理所当然被选取作为通向自然真理和征服自然的钥匙。

教会的影响依然存在，人们的教育背景还是宗教的。如此一来，数学家们对于自然的研究，成了对于上帝语言、方法和意志的研究。笛卡尔补充道，世界的和谐就是上帝的数学安排，自然定律是永恒不变的，因为上帝永远无法改变。这样，科学的目的是为了发现所有自然现象的数学关系，也就是说，数学被当作了一切事物的真理，也是检验一切真理的工具，是上帝建造世界的依据。数学的地位再一次被抬高，而且比从前抬的高得多了。

如今人们认为文艺复兴式的研究便是实验和总结，其实所有的文艺复兴科学家都是数学家，他们都是通过纯数学的研究来达到研究自然的目的。对他们来说，演绎法所得到的答案，远远比从实验所获得的经验总结来的可靠得多。伽利略说，他很少做实验，即便是做了实验，也是为了反驳那些不相信数学的人。

3 总结

总的来说，数学在文艺复兴的作用应该是占第一位的。作为一项被誉为上帝的方法的学科，被广泛采纳用于研究自然。对于他的研究的正确方法，也促成了文艺复兴时期生产力的快速发展，人类知识的快速膨胀。可以说，数学是帮助欧洲走出黑暗时代的明灯，也是带领欧洲进入黄金时期的向导。

第二章数学思想与方法的几次重要突破

学习要求

1．知道算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性；

2．了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展；

3．理解变量数学产生的意义、确定数学与随机数学的区别、随机数学产生的意义.

主要内容指导

一、西方资本主义社会初期的数学思想

罗马帝国衰亡，西欧进入了封建社会。由于宗教统治的不断强化，人们的思想受到禁锢，科学受到排斥，数学不但没有新的进展，而且连古希腊人的成果也都失去了。

直到公元10～11世纪，西欧封建制度才稳定下来，生产力有了较大的发展，11～12世纪，欧洲城市经济有了大的发展。从11～13世纪延续进行多次的“十字军东征”，它对科学的两个直接后果是：（1）使欧洲人接触到东方文化，并通过阿拉伯人，把古希腊文化传回欧洲，出现了翻译古希腊文献的“大翻译运动”，对文艺复兴的形成产生了重要作用。（2）使中国古代的四大发明——纸，印刷术、火药和指南针传人欧洲，对欧洲科学文化的发展起了极其重要的作用。

14世纪末，意大利的一些沿海城市已出现资本主义因素，15世纪则遍及西欧。15世纪中叶以后，西方进行了大规模的海上探险活动。这些航海活动带来了“地理大发现”。恩格斯指出，“只是在这个时候才真正发现了地球，奠定了以后的世界贸易以及从手工业过渡到工场手工业的基础，而工场手工业又是现代大工业的出发点。”

15世纪中期(1453年)，土耳其人攻占了伊斯坦布尔，东罗马帝国灭亡。许多希腊罗马者携带古代手稿来到欧洲，西方又一次接触古希腊文化，引发了遍及欧洲各国、史称“文艺复兴”的伟大思想解放运动。

文艺复兴运动也是科学复兴和发展的运动。数学也有了很大的发展。数学思想进入一个新阶段。

二、代数学的发展

文艺复兴运动是一场伟大的思想解放运动，也是科学的复兴和发展的运动。科学的发展既是这场运动的结果，又是它的一个极大的推动力。

1543年，哥白尼发表了著名的《天体运行论》，提出了宇宙的日心说。这一发现当然是由于航海和贸易活动对天文观测的需要，因为原来的托勒密的地心说已越来越与观测事实不符，而且计算复杂，不能满足人们的需要了。这一发现对人的思想的解放也是一个十分重要的因素，因为它证明了宗教迷信的荒谬。1609年开普勒提出了行星运动三大定律，使天文计算更加准确。

文艺复兴也是数学科学的复兴。人们继承了从“大翻泽运动”所重新得到的古希腊数学，作了大量的创造性工作，使数学思想有了重要的新发展。

12世纪初，欧几里得的《几何原本》由布思的阿德尔哈德(英国，Adelhard of Bath，1120年)从阿拉伯文译成拉丁文，后来成为欧洲中世纪大学的标准教科书。但是，在文艺复兴中首先得到发展的却是由阿拉伯人传来的代数学的思想方法，整个16世纪以至于17世纪的数学都表现出这种倾向。这一时期代数学的发展有如下几个重要的成果。

（1）采用印度一阿拉伯数字

印度—阿拉伯数字就是我们现代通用的数字，它用10个数码1，2，3，4，5，6，7，8，9，0就可以表示任何数。当然，现在采用的形式是经过漫长的历史发展的结果。这种数字最初产生于印度，印度人对数学的一大贡献是认识了零并发明了“0”号。8世纪左右，这种数字传入阿拉伯世界，经阿拉伯人的改造，于12世纪传人欧洲。欧洲人当时认为是从阿拉伯人传来的，称为“阿拉伯数字”，至今仍有这种称呼。但由于封建社会的保守性和宗教势力的抵制，长时期没有推行开，直到13世纪末(1299年)意大利佛罗伦萨的法令中仍禁止银行使用印度—阿拉伯数字，有的国家直到16世纪还在抵制它。不过，到文艺复兴时期，大多数国家都采用了这种数字。

印度—阿拉伯数字的采用为数学思想方法带来了重大的变革。首先是使记数和算术运算得以简化；其次，印度—阿拉伯数字的采用又在数学中引入了笔算法。这对数学的发展也具有重要的意义。罗马数字太复杂，也不适合笔算，罗马人用算盘来计算。运用计算工具进行计算最著称的还是中国人，算筹和算盘在计算工具史中占有重要的地位，但正是由于计算工具先进售中国古代并没有发展起笔算来，只是用笔把计算结果记在纸上。笔算固然不如算器算得快，但却能保留计算过程，使人们得以深入研究计算的过程和计算的实质。一方面，为创造更有效的计算工具打下基础；另一方面，关于计算的理论也是在采用笔算后才取得较好的发展的。计算方法在数学中的广泛应用，与笔算的引入也有重要的关系。

（2）系统采用数学符号

我们现在通用的数学符号体系，就是在这个时期奠定了基础的。许多数学符号，是在这一时期发明或开始采用的。例如“+”号和“一”号最早见于1484年德累斯顿(德国城市D 北sdell)手稿中，1489年捷克人维德曼(Widman)首先在印刷书籍中采用了这种记号。其他符号也纷纷出现了，这对发展数学符号体系具有特殊意义。符号表示一个完全抽象的东西，如，这里的符号(字母)是表示某一指定了的运算对象，而这种对象具有上式所表示的更一般的性质。另一方面，一个符号一个意思，因而保证我们能正确无误地指明我们想指明的那一类对象，这无疑提高了我们的统摄一类对象的抽象能力。例如我们说“形如的数”，不用

符号大概很难表达出来，表达不出也就是实际上没有“掌握”它们。所以数学符号所代表的抽象能力是数学发展中不可缺少的。

其次，数学符号便于进行变换操作，而这种变换操作是对符号所表示的数学概念进行深入认识的基本方式。例如现代数学中对某一集合的认识实际上在于按其性质进行分类，即根据变换操作找出它在这一性质之下的所有等价的形式(等价类)等等。这是数学中认识数学概念的基本方式。

（3）数学基础的新起点

这一时期的数学逐渐脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法。这一方面是因为古希腊人在数学中虽然不承认直观，并力图排除直观，但实际上他们的公理法是依赖于感性直观及对这种直观的信念的。文艺复兴时，数学进一步向抽象发展了多就无法依赖这些由感性直观及对直观的信念得来的东西了。这时人们“所关注的新东西是属于现在所谓代数和分析这些数学部门，他们思想里的基本概念是函数依赖的概念，尽管他们一开始不能用抽象的一般性来表达这种概念，他们完全是被—种要求解决力学问题的欲望所鼓舞，例如他们遗留给我们的‘变元’这个术语就表明了这一点。”这样一来，代数学倒被人认为是依据人们的感性直观得来的一种按某种规则操作符号的技巧。但是代数学的依据究竟是什么呢？这是从代数学产生就令人感到兴趣又感到困惑的问题，这就产生了新的基础问题。当然，这时的数学还无法解决这个问题，它是在19世纪解决的。但问题的提出仍有重大的意义：人们得到了本质上不同于古希腊数学基础的新数学，实际上是进入了新的抽象层次。

三、解析几何的产生

人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。而解析几何的产生，通常以笛卡儿《几何学》一文(发表于1637年的《方法论》的附录)为标志。

解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线旷这些科学的发展都提出研究各种曲我的要求，最起码的是画出这些曲线。笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。实际上，笛卡儿在《方法论》的另两个附录《论折光》和《流星论》中分别探讨了透镜曲线和气象的—些问题。

（1）解析几何的基本思想

解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。

（2）解析几何的意义

解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。

●在数学中引入了变量概念

建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。

●提供了一种解决一般问题的方法

古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存

在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。

●为数学思想的发展开辟了新的天地

欧几里得《几何原本》建立了第一个数学理论体系，在数学思想发展中占有重要的地位。解析几何的建立则把数学理论推向一个新的高度，为新数学思想的发展开辟了新天地。

首先是数学概念得到进一步概括。例如“曲线”概念，古希腊人只限于能用一些简单工具(直尺售圆规及少数其他机械)作出来的图形。而解析几何则把“曲线”概括为任意的几何图形，只要它们对应的代数方程是由变量的有限次代数运算所构成的。这样，开辟了用代数方法研究几何问题的新思路。

其次，再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路。笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对( )之间的对应，按同样的思想，不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组( )之间的对应关系。现实的空间仅限于三维，由于解析几何中采用了代数方法，平面上的点对应于有序实数对，空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可以与此类比，构成一个四维空间，由此类推，提出了高维空间的理论。这是现代数学极重要的思想，开拓了数学的新领域。

●揭示了数学内在的统一性

虽然在欧几里得那里几何和算术(代数)是不加区分的，但他主要是应用后采称之为几何学的方法来处理各种数学问题。16世纪代数学有了较大的发展，但人们把代数和几何严格地区分开来，例如塔尔塔利亚坚持要区别数的运算和几何图形的运算。韦达也认为数的科学和几何量的科学是平行的，但是有区别的，连牛顿也反对把几何和代数混淆起来。这种情况反映了数学的分化和各学科深入发展的需要。

解析几何把几何和代数结合起来，几何概念可用代数方式表示，几何的目标，可通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，使代数语言变得直观，易于理解。解析几何是近代统一数学的第一次尝试，它符合数学发展的规律，所以它有力地促进了数学理论的发展和数学在科学及实践中的应用。

四、微积分产生的影响

文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展，到17世纪已达到相当程度，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求就必须有相应的科学知识，例如流体力学(与矿井的通风和排水有关)，机械力学等都有了突飞猛进的发展，资本主义社会的商品生产，贸易活动占有重要的地位与此相关的是海运事业的发展，而向外扩张的军事需要，也促进了航海的发展。航海需要精确而方便地确定位置(经纬度)售预报气象，天文学因而发展起来，对经纬度测量的需要使人们进行了这样一些研究：(1)对月亮与太阳及某一恒星距离的计算；(2)对木星卫星蚀的观察；(3)对月球穿越子午圈的观测；(4)摆钟及其他航海时计在海上的应用等等。由于这些研究，产生了近代力学售天文学等的系统理论。

所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求表现为一些亟待数学解决的问题，这些问题可以分为四种类型：（1）已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。（2）已知曲线求其切线。这不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求：物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。（3）已知函数求函数的极大值和极小值。这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点夕抛射体的最大射程和最大高度等问题都可归结为这种类型的问题。（4）求曲线的长度。这是以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积为代表；求物体的重心售求两个天体之间的引力等问题。

（1）微积分的初步思想

17世纪牛顿和莱布尼茨所创建的微积分的主要思想就是用求导数和求积分的方法来解决前面提出的四种类型的问题。

●牛顿的微积分思想

牛顿提出的思想有两个新的内容。(1)通过考虑在点处的面积的瞬时增量得出面积的表达式，而不采取过去的那种用无限小面积之和来求面积的表达式的方法。也就是说，牛顿把确定变化率作为基本的步骤，换言之，以导数作为基本概念来定义积分。(2)他证明了过去被看成无限小面积之和的面积能够通过一点的变化率由微分(求导数)的逆过程得到，这一事实就是我们现在所说的微积分基本定理。

●莱布尼茨的微积分思想

与牛顿同时，莱布尼茨也独立地建立了微积分理论。他是从求曲线的切线和求曲边梯形面积着手研究的。他注意到求曲线的切线时需要确定曲线的纵坐标之差和横坐标之差的比，而求曲边梯形的面积则要确定曲线的纵坐标之和。他最先认识到，作为求和过程的积分是微分的逆，牛顿已用反微分求面积夕莱布尼茨则正确地表述了求和与微分的关系。莱布尼茨还创造了现在通用的微分和积分的符号，提出了主要的求导法则等。

莱布尼茨的微积分思想与牛顿的微积分思想是有差异的，但是互补的，形成了后来的微积分学。牛顿是从无穷小增量之比出发作为求流数(或导数)的手段，他是从流的变化率来考虑的，这里实际要用到无穷小增量之比的极限(但牛顿并没有得到极限概念，所以产生了一系列问题)；而莱布尼茨则直接用了和的无穷小增量(即现代的微分)求出它们的关系。这个差别反映了牛顿是从力学应用着手的，变化率源于速度售加速度等力学问题的要求；莱布尼茨是一个哲学家，他的无穷小增量(微分)的思想与他的哲学单子(物质的最终的微粒)论观点是不无关系的。关于积分的理解，他们两个人也各有侧重，牛顿把“流”定义为给定的流数所由生成的量，或者说是流数的逆，实际上是以导数为基础的，牛顿以求导过程及其逆来解决各种问题；莱布尼茨则主要从求和出发，所以他的重点是定积分，而牛顿重点研究的是不定积分。

难点解析

确定数学和随机数学的区别是本章的难点。确定数学是研究确定性现象数量关系的数学分支，随机数学是研究随机现象数量关系的数学分支。因此区别确定数学和随机数学的关键是区别确定性现象和随机现象。确定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即在一定的条件下必然会发生，或者必然不会发生某种结果。这种现象的条件和结果之间存在着必然的联系，而随机现象的条件和结果之间不存在这种必然性，其特点是：在一定的条件下，可能发生，也可能不发生某种结果，带有一定的偶然性。因此随机现象无法用确定数学来研究。

思考题：解析几何的核心思想是什么？它的历史意义是什么? 促使微积分产生的科学问题有哪几类？牛顿微积分理论的逻辑矛盾是什么？中国古代数学观与古希腊数学观与什么不同？

文艺复兴时期的欧洲数学

从14世纪到16世纪末，欧洲兴起了文艺复兴运动，这是一场思想解放运动，这场运动最早从意大利兴起，逐渐扩展到德国、法国、英国、西班牙、荷兰，以至整个欧洲大陆。文艺复兴以反基督教思想体系为中心，推崇人文主义，颂扬人，蔑视神，赞美人性，贬抑神性，提倡人权，否定神权，标榜人道，批判神道。因此，中世纪束缚人们自由思想的经院哲学和神学教条逐渐被推毁，开始出现科学、文学和艺术发展的高潮。在数学史上，文艺复兴时期的欧洲数学是初等数学向近代数学跃进的一个转折点。

首先，人们在思想观念上冲破了宗教思想的束缚，恢复了古希腊哲学关心自然界的传统，倡导了科学实验的方法。许多学者提出了把数学演绎和科学实验结合起来的方法，认为数学是揭开自然奥秘的强有力的工具，这无疑推动了数学的发展。

其次，当时初等数学的各个领域都有了不起的进展。在算术方面，人们不仅总结了印度数学和阿拉伯数学的计算技巧，而且英国数学怪杰纳皮尔破天荒地发明了对数，取得了计算技术的突破。在代数方面，人们继承了阿拉伯数学的精华，又发掘了古希腊丢番图代数的遗产，取得了两项创新的成就。其一是在解一次、二次代数方程的基础上，意大利数学家塔泰格利亚、卡丹对三次方程求解，费拉里对四次方程的求解都进行了系统、深入的研究，并能得到三次、四次方程的求根公式。另一个是法国数学家韦达对丢番图缩写代数进行了改造，有意识地引进代数符号系统，建立“类”的概念，用一般的“类”，取代特殊的“数”。按韦达的说法，也就是用“类的筹算术”取代“数的筹算术”，或者说把求解方程x2+10x =39，演变成求解方程x2+ax=b 的初等代数推向成熟的发展阶段，并酝酿着更新的突破。在三角学方面，继阿拉伯数学之后，德国数学家雷琼蒙塔努斯完成了包括平面三角和球面三角的《三角全书》，使三角学彻底地独立于天文学。在几何方面，恢复了几何与实践的联系，并从建筑和绘画的需要出发，意大利数学家阿尔贝蒂提出了透视法的数学原理，开创了一个崭新的领域——透视几何学，为以后射影几何开辟了道路。

总的说来，到16世纪末，由于上千年来世界各民族人民的共同努力，初等数学得到全面发展，日趋成熟，并且为近代数学的产生和发展创造了条件。

文艺复兴时期的数学

文艺复兴（大约在1400—1600年）可以说是欧洲历史上的一次深深的震撼，也是欧洲现代文明的开始，开创了几乎所有领域的繁荣。其中的变革应该有以下几点:

一、几乎每一个国家都经历了革命的洗礼，而就在这种战争的革命中腐旧的事物也受到了冲击，新鲜的事物得到了生长的机会，所以在十五六世纪被战争，阴谋，屠杀搞的支离破碎、混乱不堪的意大利成了复兴的源地。

二、在宗教思想和自然科学的冲撞中，宗教虽然没有被打败但至少做出了让步，基督改成“上帝是根据数学原理创建了世界”，也就是说上帝崇拜一个说学家，从而数学便有了生存的空间，研究和发现自然真理成为一种虔诚的宗教活动。Copernicus,brahe,kepler,Galileo,pascal,Descartes,Newton,leibniz都在三谈到上帝是根据他的数学方案给世界以和谐。

三、社会的发展要求科技上的伟大复兴。

在当时虽然社会还主要出于封建时期与希腊、罗马、埃及的奴隶制时期但独立的手工业者、商人、雇主的队伍不断的而壮大，他们迫切的要求节省劳动力、改善生产方法。

四、活版印刷和造纸术的引进为文化的发展提供了良好的条件。

五、古典论著各种地方性语言的译本是贵族独享的科学进入了更加普遍的更需要科学的底层工商业者、手工业者阶层。

六、科学方法论上的变革。

在复兴的浪潮中有些科学家意识到要获得科学的真正发展就必须，摆脱经院派哲学和无批判的接受希腊知识。首先提出这一点的是语言学家、植物学家、动物学家、解剖学家、地质学家、音乐学家、绘画家、雕塑家、发明家、建筑学家和工程师leonardo da vinci。

经验主义的兴起：由于上述第四点的原因，科学家摆脱了对事物终极原因的研究怪圈，而转向问题的一般解法。数学从此和哲学分离和物理学结缘。

事实上不想其他学科数学在文艺复兴时期并没有取得令人瞩目的长足进展，而是在两个世纪后的十八实际进入了辉煌时期。在文艺复兴时期数学的主要进展由一下几个方面：

一、在几何方面，由于绘画要求从超现实的风格转向忠实再现现实而高于现实的方向，使得透视法产生和发展起来。

二、受印度-阿拉伯的影响，代数在这个时期很受重视，出现了像cardan这样的数学家。

三、在三角方面做了三角函数表，并将球面三角推进到平面三角。

四、在天文上copernicus和kapler发现了日心说