广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期月考(一)数学(理)试题

南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（一）

理科数学试题

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 11cos

6

π

=（ ）． A. 12

-

B.

12

C.

32

D. 32

-

【答案】C 【解析】 【分析】

根据诱导公式，直接化简求解，即可得出结果. 【详解】113cos cos 2cos cos 66662πππππ????=-=-== ? ?????

. 故选：C.

【点睛】本题主要考查根据诱导公式化简求值，属于基础题型. 2. 已知集合{}0,1,2,3,4S =，{}

2

4|T x x x =<，则S

T （ ）

A. {}1,2

B. {}1,2,3

C. {}1,2,3,4

D. {}0.1,2,3,4

【答案】B 【解析】 【分析】

先求集合T ，再求S

T .

【详解】2404x x x

故选：B

【点睛】本题考查集合交集，属于基础题型. 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：

0a =，10b =，a b <，判断框条件不成立，开始执行循环体；

8b =，1a =，a b <，继续循环；6b =，2a =，a b <，继续循环；

4b =，3a =，a b <，继续循环；2b =，4a =，a b >，跳出循环，输出2b =.

故选：D.

【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 222石 B. 220石 C. 230石 D. 232石

【答案】C 【解析】 【分析】

根据米255粒内夹谷29粒，求得频率，再根据频率计算这批米内夹谷量.

【详解】根据米255粒内夹谷29粒，则频率为29255

， 则这批米内夹谷约为29

2020230255

?=（石）. 故选：C.

【点睛】本题考查了用样本估计总体，属于基础题.

5. 设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列说法错误．．的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n ； B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥； C. 若//m α，//n α，则//m n ； D. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥．

【答案】C 【解析】 【分析】

直接由直线平面的定理得到选项,A B 正确；对于选项C ， m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误；对于选项D ，m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确.

【

详解】对于选项A ，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，所以该选项正确； 对于选项B ，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，所以该选项正确；

对于选项C ，若//m α，//n α，则m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误； 对于选项D ，若m α⊥，//m β，则m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确. 故选：C ．

【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. a ，b ，c ，d R ∈，则下列不等关系中一定成立的是（ ）

A. 若0a b +>，则c a c b +>-

B. 若a b >，c a <，则b c >

C. 若a b >，c d >，则a b

c d

< D. 若22a b >，则a b >

【答案】A 【解析】 【分析】

利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A ，若0a b +>，则a b >-，a c c b +>-，故A 正确； 对选项B ，令5a =，2b c ==，满足a b >，c a <，不满足b c >，故B 错误； 对选项C ，令5a =，3b =，2c =，0d =，此时满足a b >，c d >， 则

a b

c d

<无意义，故C 错误； 对选D ，令5a =-，1b =满足22a b >，不满足a b >. 故选：A

【点睛】本题主要考查不等式的性质，特值法为解题的关键，属于简单题. 7. 在四面体OABC 中，空间的一点M 满足11

46

OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（ ） A.

7

12

B.

13

C.

512

D.

12

【答案】A 【解析】 【分析】

利用空间四点共面可知11

146

λ++=，直接求λ的值. 【详解】因为M ，A ，B ，C 共面，则11

146λ++=，得712

λ=.

故选：A

【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.

8. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）

A. 2

21

()f x x x

=- B. 2

21()f x x x

=

- C. 31

()f x x x

=

- D. 3

1()f x x x

=-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数的奇偶性、单调性进行判断即可.

【详解】由图象可知，该函数为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增，

因为函数2

2

1()f x x x

=-和2

21()f x x x =-为偶函数，排除A ，B ； 又31

()f x x x

=

-为奇函数，在(0,)+∞上单调递减，排除C ； 而3

1

()f x x x

=-为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增. 故选：D.

【点睛】本题考查根据函数的图象判断函数的解析式，考查学生对于函数单调性、奇偶性的判断，较简单.

9. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰梯形

D. 平行四边形

【答案】C 【解析】 【分析】

根据平面的基本性质作交点、交线．根据平面的位置关系确定线线位置关系．

【详解】如图，过AB 和1OO 中点M 作截面ABM ，1,D D 分别是11,AB A B 中点，

111,O DC O D C ∈∈，直线DM 是截面ABM 与平面11DD C C 的交线，在平面11DD C C 中延长DM

与1CC 相交于点H ，由于

13DO DC =，∴13OM CH =，而11

2

OM CC =，因此H 在1CC 的延长线上，连接BH 交11B C 于E ，连接AH 交11A C 于F ，连接,,AF FE EB ，四边形ABEF 为截面．由正三棱柱的性质可得//EF AB ，AF BE =，四边形ABEF 是等腰梯形． 故选：C ．

【点睛】本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键．要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出．同样平行线也只能在同一平面内才能作出． 10. 已知函数()2sin 24x x f π??

=

+ ???

.则（ ）

A. ()f x 的最大值为2

B. ()f x 的图象关于直线52

x π

=对称 C. 4f x π??

- ??

?

为奇函数 D. ()f x 的最小正周期为π

【答案】B 【解析】 【分析】

A. 根据[]sin 1,124π??+∈- ???

x 判断；

B.根据正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈判断；

C.利用函数奇偶性定义判断；

D.利用最小正周期公式判断. 【详解】因为当sin 124x π??

+=

??

?时，()f x 取得大为2，故A 错误； 因为()2sin 24x x f π??

=+ ???

的对称轴满足242x k πππ+=+，k Z ∈，当1k =时，52x π=

，故B 正确. 因为12sin 2sin 424428x f x x ππππ???

?

????

-

=-+=+ ? ? ????

???????

， 1332sin 2sin 2sin 424

42828

x x f x x ππππ

π

??????????

-=-+=-+=-- ? ? ? ???????????

??，则

44

f x f x

ππ

????

-≠--

? ?

????

，即

4

f x

π

??

-

?

??

不是奇函数，故C错误；

因为()

f x的最小正周期

2

4

1

2

T

π

π

==

，故D错误；

故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11. 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字为正方形的边长）．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列，如图2．若一圆锥底面圆的周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，且轴截面为等边三角形，则该圆锥的高为（）

A. 273

B.

273

2

C.

533

4

D.

533

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图1可以求出螺旋线的长度，再根据其等于圆锥底面圆的周长可以求出底面圆的半径，然后根据轴截面为等边三角形可求出圆锥的高，从而得解．

【详解】图1中螺旋线的长度为()

2358132127

2

π

ππ

++++++=，圆锥底面圆的半径为r，则227

r

ππ

=，解得

27

2

r=．因为轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为

273

3

2

r=．

故选：B．

【点睛】本题以数学文化为背景让学生欣赏数学的美，主要考查弧长公式、圆锥的基本知识，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．

12. 如图，四棱锥P ABCD

-中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD

=，Q是

线段PC 上的点(不含端点).设AQ 与BC 所成的角为α，AQ 与平面 ABCD 所成的角为β，二面角Q AB C --的平面角为γ，则（ ）

A. αβγ<<

B. βαγ<<

C. γβα<<

D. βγα<<

【答案】D 【解析】 【分析】

根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小．

【详解】如图，取AD 中点E ，连接PE ，∵PA PD =，∴PE AD ⊥，而平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ，

连接EC ，作//QO PE 交EC 于O ，则QO ⊥平面ABCD ，

∵//AD BC ，∴DAQ ∠为直线AQ 与BC 所成的角，即DAQ α∠=，作QN AD ⊥于E ，∴sin QN

QA

α=

， 连接AO ，则QAO ∠是直线AQ 与平面ABCD 所成的角，即QAO β∠=，显然QO OA ⊥， ∴sin QO

AO

β=

， 作//OM BC 交AB 于M ，则OM AB ⊥，连接QM ，由OQ ⊥平面ABCD 得QO AB ⊥，

QO OM O =，∴AB ⊥平面AOM ，∴AB QM ⊥，∴QMO ∠是二面角Q AB C --的平面

角，即QMO γ∠=，同样QO OM ⊥，sin QO

OM

γ=

， 由图可知OQ QN <，∴sin sin αβ>，αβ>（,αβ都是锐角）， OM AO <，∴sin sin βγ<，βγ<（γ也是锐角）

，

又cos

NA

QA

α=，cos

OM

QM

γ=，根据上面作图过程知OMAN是矩形，OM AN

=，∴cos cos

αγ

<，∴αγ，

综上βγα

<<．

故选：D．

【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上）

13. 设x，y满足约束条件

20

10

x y

x y

y

-≥

?

?

-≤

?

?-≤

?

，则2

z x y

=+的最大值是________.

【答案】5

【解析】

【分析】

首先作出可行域，再根据2

y x z

=-+表示斜率2

k=-的一组平行线，根据平移求出最优解，再求目标函数的最大值.

【详解】作出x，y满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中()

2,1

A，()

1,1

B，O为坐标原点设(),2

z F x y x y

==+，2

y x z

=-+表示斜率2

k=-的一组平行线，将直线:2

l z x y

=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值()

max

2,12215

z F=?+=

=.

故答案为：5

【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.

14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为_______. 【答案】10

5

【解析】 【分析】

根据1111ABCD A B C D -是正方体，易得1

1BC AD ，则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角

或其补角，然后在三角形1AED 中，利用余弦定理求解. 【详解】因为1111ABCD A B C D -是正方体， 所以1

1BC AD ，连接1AD ，1D E ，如下图所示：

则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为2，

在三角形1AED 中，2222215AE AD DE =+=+=，15D E AE ==，

2212222AD =+=.

所以222111110

cos 25

AD AE D E D AE AD AE +-∠=

=?. 又异面直线夹角的范围为0,

2π??

??

?

，

故异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为

10

5

.

故答案为：

105

【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法以及余弦定理的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.

15. 在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ?的值为__________. 【答案】1- 【解析】 【分析】

由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ， 在正四面体中1

(),2

PE a b BC c b =

+=-，根据向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，

在正四面体中1

(),2

PE a b BC c b =

+=-， 所以211

()()()22

PE BC a b c b a c a b b c b ?=+?-=?-?+?-

0001

(22cos6022cos6022cos6022)12

=?-?+?-?=-. 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

16. 已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2AB =.平面α⊥平面β，

αβ

直线AB ，

若平面α、β截球O 所得的截面分别为

1O 和2O ，则12OO =________.

【答案】3 【解析】 【分析】

将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，通过解三角形推出结果即可. 【详解】解：将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，如图所示：

平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ,

则2AB OA OB ===，可得114AC BD ==，设BC a =，1CC h =， 则22224a h ++=，得2212a h +=，

则22

22

1212322h a O O OO OO ????=+=+= ? ?????

.

故答案

：3.

【点睛】本题考查球的截面问题，空间两点距离公式的应用，考查转化思想及空间想象能力，计算能力．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步聚）

17. 学校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会，你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；

（2）利用样本估计总体的方法，估计全校每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）. 【答案】（1）按照1：2进行名额分配，理由见解析；（2）8.99a ≈； 【解析】 【分析】

根据每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5的差异明显，采用分层抽样的方法，再根据两者频率分别为0.1，0.2求解.

（2）根据0.030.10.20.350.680.5+++=>，由中位数[)8.5,9.5a ∈求解.

【详解】（1）每周阅读时间为[)6.5,7.5的学生中抽取2名，每周阅读时间为[)7.5,8.5的学生中抽取4名.

理由：每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本， ∵两者频率分别为0.1，0.2，∴按照1：2进行名额分配. （2）∵0.030.10.20.350.680.5+++=>， ∴中位数[)8.5,9.5a ∈，

由()0.030.10.28.50.350.5a +++-?=， 解得0.50.33

8.58.990.35

a -=

+≈.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及分层抽样方法，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

18. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．

【答案】（1）21n a n =-；（2）2

31

2

n n -+. 【解析】 【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；

（2）由（1）求得1

(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到

数列{}n c 和．

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得3

2

3b q b =

=，所以2212333n n n n b b q ---==?=， 又由111a b ==，14427a b ==，所以141

2141

a a d -=

=-，

所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-?=+-=-．

（2）由（1）知21n a n =-，13n n b -=，可得1

(21)3n n n n c a b n -=+=-+，

则数列{}n c 的前n 项和为

1

2

(121)1331[13(21)](1393)2132

n n n n n n n -+---+++-++++

+=+=+

-． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

19. 如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点，//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，

1CD SD ==，又SD ⊥面SAB .

（1）证明：//CM 面SAD ； （2）求四棱锥S ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）3

2

. 【解析】 【分析】

（1）作AS 的中点为G ，可以证明四边形GMCD 为平行四边形，从而//GD CM ，也就是//CM 平面SAD ；

（2）取AB 的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T ，可以证明ST ⊥平面

ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高，从而求得S ABCD -的体积.

【详解】（1））如图，取AS 的中点为G ，连接,,GD GM MC . 因为,G M 为,AS BS 的中点，所以1

//,2

GM AB GM AB =. 又1

2

CD AB =

，所以//,GM CD GM CD =，故四边形GMCD 为平行四边形， 所以//GD CM .

又CM ?平面SAD ，DG ?平面SAD ，故//CM 平面SAD .

（2）如图，

取AB 的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T .

在梯形ABCD 中，//,HB CD HB CD =，所以四边形BHDC 为平行四边形， 又DC CD ⊥，所以四边形BHDC 为矩形，故CD HD ⊥. 因为SD ⊥面SAB ，所以SD AB ⊥.//CD AB

所以CD SD ⊥，HD SD D ?=，所以CD ⊥ 平面SDH . 又CD ?平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面SDH .

因为ST DH ⊥，ST ?平面SDH ，平面SDH ?平面ABCD HD =，所以ST ⊥平面ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高.

因为SD ⊥平面SAB ，SH ?平面SAB ，所以SD SH ⊥. 在矩形BHDC 中，2HD BC ==.

在Rt SHD ? 中，22

132

SD SH DH SD ST DH DH ??-===

，

所以()1133

1223222

S ABCD V -=

?+??=

. 【点睛】（1）要证明立体几何中的线线垂直，我们可以有下面几种途径：①平面几何中的垂直关系（如果勾股定理等）；②利用线面垂直得到线线垂直；③如果一条直线垂直于两条平行线中一条，那么也垂直另一条.

（2）线面平行的证明，可以通过在平面中找出与已知直线平行的直线（用平行投影或中心投影）来证明，也可以把已知的直线放置在一个平面中，通过证明面面平行来证明. （3）体积的计算关键是高，可以通过构建面面垂直来作出高. 20. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB BC CD ===，3AD =

.

（1）若6

A π

∠=

，求sin BDC ∠；

（2）求3cos cos A C -.

【答案】（1）3

2

；（2）1. 【解析】 【

分析】

(1)在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，进而在BCD 中求出sin BDC ∠；

(2)在ABD △和BCD 中分别使用余弦定理表示BD ，联立方程组可得出3cos cos A C -的值． 【详解】(1)在ABD △中，3AD =

，1AB =，6

A π

∠=

，

23

1323cos

42316

2

BD π

=+-?=-?

=，得1BD =， 所以1BD BC CD ===，3

BDC π

∠=

，3sin 2

BDC

； (2)在ABD △中，由余弦定理得21323cos 423cos BD A A =+-=-，

在BCD 中，由余弦定理得2112cos 22cos BD C C =+-=-，423cos 22cos A C -=-， 得3cos cos 1A C -=，所以3cos cos A C -为定值1.

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题． 21. 如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，

1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面

FBDH .

（1）求线段DM 的长度；

（2）求二面角H AM F --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）3

3

. 【解析】 【分析】

（1）以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设

()0,,0M t ，由已知得AM BD ⊥，利用0AM BD ?=可求得线段DM 的长度.

（2）分别求平面HAM 和平面AMF 的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可. 【详解】以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，

由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，易知1AD =. 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， （1）设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，

()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--，10AM BD t ?=-=，解得1t =，

所以线段DM 的长度为1.

（2）设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =， 则1100200

x y n AM x z n AH ?-+=?=??

??

?-+=?=???，可取()12,2,1n =，

同理，设()2,,n u v w =是平面AMF 的一个法向量，

则220000

u v n AM u w n MF ?-+=?=?????

+=?=???，可取()21,1,1n =-.

则12

12

12

3

cos,

3

n n

n n

n n

?

==，显然二面角H AM F

--为锐二面角，

所以二面角H AM F

--的余弦值为

3

3

.

【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.

22. 圆()

22

:10

C x a x y ay a

-++-+=.

（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；

（2）已知1

a>，圆C与x轴相交于两点,

M N（点M在点N的左侧）.过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆22

:9

O x y

+=相交于两点,A B.问：是否存在实数a，使得ANM BNM

∠=∠？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）220

x x y

-+=或225440

x y x y

+--+=；（2）存在，9

a=

【解析】

【分析】

（1）先将圆转化为标准方程，由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，列出方程求解即可；

（2）先求出,

M N两点坐标，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB

方程为()1

y k x

=-，代入229

x y

+=，用韦达定理根据NA，NB斜率之和为0，求得实数a的值，在检验成立即可.

【详解】解：（1）由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等.故先将圆C的方程化成标准方程为：

22222

11221

22244

a a a a a a

x y a

++-+

??????

-+-=+-=

? ? ?

??????

，

∵22210a a -+>恒成立，∴

211

22122

a a a +=-+求得0a =或4a =， 即可得到所求圆C 的方程为：2

2

0x x y -+=或2

2

5440x y x y +--+=；

（2）令0y =，得()2

110x a x a -++=，即()()10x x a --=所以()1,0M ，(),0N a

假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，

代入22

9x y +=得，(

)2

2

221290k

x

k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y 从而212221k x x k +=+，2122

9

1k x x k

-=+， 因为

()()()()()()

122112121211k x x a x x a y y x a x a x a x a --+--????+=----

而()()()()()()1221121211212x x a x x a x x a x x a --+--=-+++

()22222

92218

212111k k a a a k k k

--=-++=+++ 因为ANM BNM ∠=∠，所以

12120y y x a x a +=--，即2

21801a k -=+，得9a =. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立. 故存

9a =，使得ANM BNM ∠=∠.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆，圆与圆的综合性问题.