2019-2020学年广西南宁三中高二(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年广西南宁三中高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，方差为p，则下列说法中，错误的

是()

A. 数据2x1，2x2，2x3的中位数为2k

B. 数据2x1，2x2，2x3的众数为2m

C. 数据2x1，2x2，2x3的平均数为2n

D. 数据2x1，2x2，2x3的方差为2p

2.已知命题p：?x∈R，x2?x+1

4

≤0，命题q：?x∈R，sinx+cosx=√2，则下列判断正确的是()

A. p是真命题

B. q是假命题

C. ￢p是假命题

D. ￢q是假命题

3.5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取三张，则所取3张卡片上的数字的中位数为

3的概率为()

A. 1

5B. 3

10

C. 2

5

D. 1

2

4.命题“若x>1，则x2?2x+2>0”的逆否命题是()

A. 若x≤1，则x2?2x+2≤0

B. 若x2?2x+2>0，则x>1

C. 若x<1，则x2?2x+2>0

D. 若x2?2x+2≤0，则x≤1

5.将53化为二进制的数，结果为()

A. 10101(2)

B. 101011(2)

C. 110011(2)

D. 110101(2)

6.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆

内任投一点，此点落在星形区域内的概率为()

A. 4

π?1 B. 1

π

C. 1?1

π

D. √2

π

7.下列表格提供了两个变量x与y之间的一组对应值，已知x，y间存在线性相关关系，且求得y

关于x的线性回归直线方程为y?=0.7x+0.35，那么表中t的值为()

x3456

y 2.5 3.54t

3.15 C. 3.5 D. 4

8.运行如图所示的程序框图，则输出的s值为()

A. ?10

B. ?9

C. ?8

D. ?6

9. 若“p:x >a ”是“q:x >1或x

A. a ≥1

B. a ≤1

C. a ≥?3

D. a ≤?3 10. 以双曲线

x 2

a ?y 2

b =1(a >0,b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( ) A. 相交 B. 相离

C. 相切

D. 不确定

11. 若椭圆

x 2

m

+y?2

n

=1(m >n >0)和双曲线x 2

a ?

y?2b

=1(a >0,b >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是两

曲线的一个交点，则|PF 1|?|PF 2|等于( )

A. m ?a

B. 1

2(m ?a)

C. m 2?a 2

D. √m ?√a

12. 椭圆C:x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l:4x ?3y =0与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=6，点P 到l 的距离不小于6

5，则椭圆离心率的取值范围是( )

A. (0,√5

3

] B. (0,√3

2

]

C. (0,5

9]

D. (13,√3

2

]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某社区成年人中老年人140人，中年人210，青年350人，从所有成年人中采取分层抽样的方法

抽取m 人进行

问卷调查，已知老年人中抽取的人数位4人，则中年人中抽取的人数是______ 人． 14. 有下列几个命题：

①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x +y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则?2

15. 若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2?ax +2>0，则实数a 的取值范围是______ ．

16. 已知F 1、

F 2是椭圆C ：x 2

36+y

2

27

=1的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，|PF 1|=8，若M 为线段PF 1的中点，则线段OM 的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin2B =√2b sin A ．

(1)求B 的大小；

(2)若cosC=√5

，求sin(A?C)的值．

5

18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S8=22．

(1)求a n；

}，其中k1=1，且

(2)若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{a k

n

k1

19.为进一步贯彻落实“十九大”精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识

竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；

(2)若从竞赛成绩在[70,75)与[95,100]两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生

的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，求事件M发生的概率．

20. 如图所示的三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BC =√3BB 1=√3，B 1C 的中

点为O ，若线段A 1C 1上存在点P 使得PO ⊥平面AB 1C ．

(1)求AB ；

(2)求二面角A ?B 1C ?A 1的余弦值．

21. 已知双曲线C ：

x 2

a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3，点(√3,0)是双曲线的一个顶点

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线的右焦点F 2作斜率为1的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

22. 已知离心率为1

2的椭圆C:x 2

a 2+y

2

b 2

=1(a >b >0)的右焦点与抛物线E:y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2．

(1)求C 的方程；

(2)若直线l 与C 交于M,N 两点，与E 交于A,B 两点，且OA ????? ?OB

?????? =?4(O 为坐标原点)，求ΔMNF 面积的最大值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：

【分析】

本题考查中位数、众数、平均数、方差的应用，解题时要认真审题，是基础题．利用中位数、众数、平均数、方差的性质求解．

【解答】

解：若数据x1，x2，x3的方差为p，

则由方差的性质知数据2x1，2x2，2x3的方差为4p．

故选D．

2.答案：D

解析：解：∵x2?x+1

4=(x?1

2

)2≥0，

∴命题p：?x∈R，x2?x+1

4

≤0是假命题，

∵sinx+cosx=√2sin(x+π

4

)，

当x+π

4=2kπ+π

2

,k∈Z时，sinx+cosx=√2，

∴命题q：?x∈R，sinx+cosx=√2是真命题．

∴￢q是假命题．

故选：D．

由已知条件得命题p：?x∈R，x2?x+1

4

≤0是假命题，命题q：?x∈R，sinx+cosx=√2是真命题．

本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数的合理运用．

3.答案：C

解析：解：5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取三张，

基本事件总数n=C53=10，

所取3张卡片上的数字的中位数为3包含的基本事件有：

(1,3，4)，(1,3，5)，(2,3，4)，(2,3，5)，共4个，

∴所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率为p=4

10=2

5

．

故选：C．

5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取三张，基本事件总数n=C53=10，由此能求出所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率．

本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

4.答案：D

解析：

【分析】

本题考查的知识点是四种命题间的逆否关系，熟练掌握四种命题的定义及结构形式是解答的关键．根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题

【解答】

解：原命题“若p，则q”，逆否命题“若?q，则?p”.

所以命题“若x>1，则x2?2x+2>0”的逆否命题是“若x2?2x+2≤0，则x≤1”，

故选D．

5.答案：D

解析：解：53÷2=26 (1)

26÷2=13 0

13÷2=6 (1)

6÷2=3 0

3÷2=1 (1)

1÷2=0 (1)

故53(10)=110101(2)

故选：D．

利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．

本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．

6.答案：A

解析：由题空白部分的面积为4×[2(1

4π?1

2

×1×1)]=2π?4，则阴影部分的面积为π×12?(2π?

4)=4?π，由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为4?π

π=4

π

?1．

7.答案：D

解析：解：∵x=3+4+5+6

4=9

2

=4.5，

线方程为y?=0.7x+0.35，

故y=2.5+3.5+4+t

4

=0.7×4.5+0.35=3.5，

解得t=4，

故选：D．

根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出t值．

本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个中档题，这种题目解题的关键是求出最回归直线方程，数字的运算不要出错．

8.答案：A

解析：解：第一次，k<5成立，s=2?1=1，k=2，

第二次，k<5成立，s=2?2=0，k=3，

第三次，k<5成立，s=2×0?3=?3，k=4，

第四次，k<5成立，s=2×(?3)?4=?10，k=5，

第五次，k<5不成立，输出s=?10，

故选：A．

根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．

本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．

9.答案：A

解析：

【分析】

本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

根据“x>a”是“x>1或x

【解答】

解：∵“x>a”是“x>1或x

∴a≥1，

故选：A．

10.答案：C

解析：解：由题意，圆F的方程为：(x+c)2+y2=b2，双曲线的渐近线方程为：bx±ay=0∴F到渐近线的距离为d=

√a2+b2

=b

∴圆F与双曲线的渐近线相切

故选C．

确定圆F的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论．

本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．

11.答案：A

解析：解：∵椭圆x2

m +y?2

n

=1(m>n>0)和双曲线x2

a

?y?2

b

=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1，F2，

P是两曲线的一个交点，

∴|PF1|+|PF2|=2√m，|PF1|?|PF2|=2√a，

|PF1|?|PF2|=(|PF1|+|PF2|)?2?(|PF1|?|PF2|)?2?

4

=m?a．

故选A．

由题意知|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|?|PF2|=2a，由此可知|PF1|?|PF2|= (|PF1|+|PF2|)?2?(|PF1|?|PF2|)?2?

4

=m?a．

本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

12.答案：A

解析：

【分析】

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：AF′=BF ，BF′=AF ，可得|AF′|+|AF|=|BF|+|AF|=6=2a ，解得a =3.根据点P 到直线l 的距离不小于6

5，可得√42+(?3)2≥6

5，解得b 范围，根据离心率e =c a =√1?b 2

a

2即可得出．

【解答】

解：设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：|AF′|=|BF|，|BF′|=|AF|，

∴|AF′|+|AF|=|BF|+|AF|=6=2a ，解得a =3． ∵点P 到直线l 的距离不小于6

5， ∴

√42+(?3)2

≥6

5，解得b ≥2， 又b

3≤

b a

<1．

∴离心率e =c a =√1?b 2

a 2∈(0,√53]． 故选：A ．

13.答案：6

解析： 【分析】

本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据．

利用所给的条件列出比例式，解出结果．

解：设中年人中抽取的人数x ，根据题意可得4

140=x

210，解得x =6． 故答案为6．

14.答案：②③

解析：

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，根据题意一一判断即可． 【解答】

解：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，当a =?1，b =1时，该命题不成立，故为假命题．

②原命题的逆命题为“x ，y 互为相反数，则x +y =0”，为真命题．

③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤?2，则x 2≥4”，为真命题． 故答案为②③． 15.答案：(?∞,5)

解析：解：令f(x)=2x 2?ax +2

若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2?ax +2>0， 则f(1)>0，或f(2)>0

即4?a >0，或10?2a >0， 即a <4，或a <5 故a <5

即实数a 的取值范围是(?∞,5) 故答案为：(?∞,5)

构造函数f(x)=2x 2?ax +2，若存在实数x ∈[1,2]满足2x 2?ax +2>0，则f(1)>0，或f(2)>0，进而可得实数a 的取值范围

本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题(特称命题)，转化为不等式问题是解答的关键． 16.答案：2

解析：解：F 1、F 2是椭圆C ：

x 236

+

y 227

=1的两个焦点，可得F 1(?3,0)，F 2(3,0).a =6．

点P 为椭圆C 上的点，|PF 1|=8，则，|PF 2|=4， M 为线段PF 1的中点，则线段OM 的长为：1

2|PF 2|=2．

故答案为：2．

求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 17.答案：解：(1)因为asin2B =√2bsinA ，

由正弦定理 a sinA =b

sinB 得2sinAsinBcosB = √2

sinBsinA ．

因为A ，B 为△ABC 的内角， 所以sinA ≠0，sinB ≠0， 所以cosB =

√2

2

，

又因为B 为△ABC 的内角， 所以0

4，

(2)因为cosC =√5

5

，C ∈(0,π)，

所以sinC = √1?cos 2C = √5

5)

=2√55，

sin2C =2sinCcosC =2×

2√5

5

×

√55

=4

5，

cos2C =2cos 2C ?1=2×(√

5

5)2?1=?3

5，

因为B=π

4，所以A+C=3π

4

，

从而A?C=(3π

4?C)?C=3π

4

?2C，

因此sin(A?C)=sin(3π

4?2C)=sin3π

4

cos2C?cos3π

4

sin2C=√2

2

×(?3

5

)?(?√2

2

)×4

5

=√2

10

．

解析：本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换在解三角形中的应用，属于基础题．

(1)利用正弦定理化简，即可求出B;

(2)利用三角形内角和定理以及二倍角公式，两角和与差的公式即可求出．

18.答案：解：(1)设等差数列的公差为d，

则S8=8a1+1

2

×8×7d=8+28d=22，

解得d=1

2

，

所以a n=a1+(n?1)d=1+1

2(n?1)=n+1

2

，

即a n=n+1

2

；

(2)解法一：因为{a k

n }为公比q的等比数列，a k

1

=1

，所以a k

n

=q n?1，

又a k

n =k n+1

2

，所以

a k n+1

a k n

=

k n+1+1

2

k n+1

2

=q，即k n+1=qk n+q?1，

所以，

又k1=1，k1+1=2≠0，

所以{k n+1}是公比q的等比数列，

所以k n=2×q n?1?1，

因为k n?2,k n∈N?，所以2×q n?1?1?2，且公比q为正整数，

解得q?2，所以最小的公比q=2.所以k n=2n?1．

解法二：因为数列{a n}是正项递增等差数列，所以数列{a k

n

}的公比q>1，

若k2=2，则由a2=3

2，得q=a2a

1

=3

2

，此时a k

3

=a2q=(3

2

)2=9

4

，

由n+1

2=9

4

，解得n=7

2

?N?，所以k2>2，

若k2=3，则由a3=2，得q=2，此时a k

n

=2n?1，

另一方面，a k

n =k n+1

2

，所以k n+1

2

=2n?1，即k n=2n?1，

所以对任何正整数n，a k

n

是数列{a n}的第2n?1项，所以最小的公比q=2，

所以k n=2n?1．

解析：本题考查等差数列的通项公式，等差数列的求和，等比数列的通项公式，等差与等比数列的综合应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．

(1)根据题意求出公差d可得a n=n+1

2

；

(2)解法一：由{a k n }为公比q 的等比数列，a k 1=1，得a k n =q

n?1

，又a k n =

k n +12

，推得

a k n+1a k n

=

k n+1+1

2k n +12

=q ，

即k n+1=qk n +q ?1，得{k n +1}是公比q 的等比数列，求出k n =2×q n?1?1，再由k n ?2,k n ∈N ?可得q ?2，可得结论．

解法二：因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q >1，k 1=1，若k 2=2，则由

a 2=32，得q =a 2

a 1

=32，此时a k 3=a 2q =(32)2=94，由

n+12

=94，解得n =7

2?N ?，所以k 2>2，若k 2=3，

则由a 3=2，得q =2，此时a k n =2n?1，另一方面，a k n =

k n +12

，所以

k n +12

=2n?1，即k n =2n ?1，

符合题意即可．

19.答案：解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以5×(0.01+0.02+0.02+0.04+0.05+a)=1， 解得a =0.06；

(2)成绩在[70,75)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A,B ， 成绩在[95,100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C,D,E,F ， 在两个分数段内随机选取两名学生，所有的基本事件为： {A,B },{A,C },{A,D },{A,E },{A,F }， {B,C },{B,D },{B,E },{B,F }，

{C,D },{C,E },{C,F }{D,E },{D,F }{E,F }共15种， 事件M 包含的基本事件有：

{A,B },{C,D },{C,E },{C,F }{D,E },{D,F }{E,F }共7种， 事件M 发生的概率为P(M)=7

15．

解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，以及古典概型的概率计算． (1)利用频率分布直方图，即可得； (2)利用古典概型的概率计算，即可得．

20.答案：解：(1)设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，BB 1两两垂直，

以B 为原点，BC ，BB 1，BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0，t)，C(√3,0,0)，B 1(0,1，0)，

C 1(√3,1,0)，O(√

32

,1

2,0)，A 1(0,1，t)，

∴B 1C ??????? =(√3,?1,0)，AC ????? =(√3,0,?t)，A 1C 1????????? =(√3,0,?t)，

设A 1P ??????? =λA 1C 1????????? =(√3λ,0,?λt)，

解得P(√3λ,1,t ?λt)，∴OP ????? =(√3λ?√32,12,t ?λt)，

∵PO ⊥平面AB 1C ，B 1C,AC ?平面AB 1C ， ∴PO ⊥B 1C,PO ⊥AC ，

∴{OP ????? ?B 1C ??????? =√3×√3(λ?12)?1

2=0

OP ????? ?AC

????? =√3×√3(λ?1

2

)?t 2(1?λ)=0, 解得t =√62

，λ=2

3，∴AB 的长为√6

2

．

(2)由(Ⅰ)知OP ????? =m ??? =(√36,1

2,√

6

6)是平面AB 1C 的一个法向量， B 1C ??????? =(√3,?1,0)，B 1A 1????????? =(0,0，√62)，

设平面A 1B 1C 的法向量n

? =(x,y ，z)， 则{n ? ?B 1C ??????? =√3x ?y =0n

? ?B 1A 1????????? =√62

z =0，取x =1，得n ? =(1,√3,0)， 设二面角A ?B 1C ?A 1的平面角为θ， 则cosθ=|m ??? ?n ?? |

|m

??? |?|n ?? |

=2√3

32×

√22

=

√6

3

， ∴二面角A ?B 1C ?A 1的余弦值为√6

3

．

解析：本题考查线段长、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为原点，BC ，BB 1，BA 所在直线为x ，

y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB 的长．

(2)求出平面AB 1C 的一个法向量和平面A 1B 1C 的法向量，利用向量法能求出二面角A ?B 1C ?A 1的余弦值．

21.答案：解：(1)∵双曲线的一个顶点为(√3,0)，离心率为√3， ∴a =√3，c =3，∴b 2=c 2?a 2=6． ∴双曲线方程为

x 23

?

y 26

=1．

(2)双曲线的右焦点为F 2(3,0)． ∴直线l 的方程为y =x ?3．

联立方程组{y =x ?3

x 23

?y 26

=1

，消元得x 2+6x ?15=0．

设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=?6，x 1x 2=?15． ∴|AB|=√1+1√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√2√36+60=8√3．

解析：(1)由题意可知a =√3，利用离心率公式计算c ，得出b ，即可得出双曲线方程；

(2)求出右焦点坐标，得出直线l 的方程，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，利用弦长公式计算|AB|．

本题考查了双曲线的性质，弦长公式的应用，属于中档题．

22.答案：(1)因为点F 到E 的准线的距离为2，所以p =2,?F(1,0)， 设椭圆C 的右焦点坐标为(c,0)，

由{c =1

c a =12a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3, 所以C 的方程为

x 24

+

y 23

=1．

(2)由(1)知抛物线E 的方程为y 2=4x ．

要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，

可设l 的方程为x =my +n ，由{x =my +n,

y 2=4x,得y 2?4my ?4n =0，

所以Δ=(?4m )2+16n >0，得m 2+n >0． 设A (x 1,y 1),B (x 2.y 2)，则{y 1+y 2=4m,

y 1y 2=?4n, 所以x 1x 2=

y 124

?

y 224

=

(y 1y 2)216

=

16n 216

=n 2，

因为OA ????? ?OB

?????? =?4，所以x 1x 2+y 1y 2=?4，所以n 2?4n =?4， 所以n =2，所以直线l 的方程为x =my +2， 所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，

不妨设M (2,0),N (x 3,y 3)，?√3≤y 3≤√3，且y 3≠0， 所以

，当且仅当y 3=±√3时，

．

解析：本题考查了椭圆和抛物线的标准方程，考查了圆锥曲线中的综合问题，是综合题． (1)根据离心率以及a ，b ，c 的关系求得标准方程．

(2)联立直线和抛物线结合OA ????? ?OB ?????? =?4，求出直线经过定点(2,0)，然后可求面积的最大值．