选定拟合模型
第一步选定拟合模型
1.1分析评估回归的显著性
（1）判断ANOVA表中的总效果
H0:模型无效，H1:模型有效
判断标准，主效应和2因子的交互作用至少有一项P小于0.05，应拒绝原假设，才能证明模型有效。
（1）看有没有失拟，H0：无失拟,H1：有失拟
判断标准：P大于0.05，表明无法拒绝原假设，判为无失拟，反之，说明模式漏掉了重要的项(高阶交互作用的项)
（2）看有没有弯曲，H0：无弯曲,H1：有弯曲
判断标准：P大于0.05，表明无法拒绝原假设，判为无弯曲，反之，说明数据有弯曲，模型中并没有平方项，应补上。
1.2分析评估回归的总效果
（1）两个确性系数R-sq,R-sq(adj) R-sq(adj)肯定小于
R-sq，两者越接近越好，如果差距很大，说明模型中有些不显著的项，可以删去（2）对于S值和S2的分析残差误差项的离差平方和（MSE）是σ2的无偏估计量，其平方根就是S S 越小越好，S先记录下来，与修改后的S值对比，如果修改后的S有降低，说明模型有改进。 1.3 判断各项效应的显著性可以根据各项对应的P-value判断，也可以根据Pareto图判断，或标准化效应图判断第二步，残差诊断 2.1观察残差对于以观测点顺序为横轴的散点图，看是否随机的在水平轴上下波动 2.2观察残差对于响应变
量拟合值的散点图，看是否有等方差，即是否有“漏斗型”或“喇叭型”
2.3观察残差的正态型检查图，看是否服从正态分布 2.4观察残差对于自变量的散点图，看是否有弯曲趋势第三步，判断模型是否要改进
3.1残差对于拟合值的诊断图中，是否有不齐性或弯曲，如有要对响应变量y做某种变换 3.2残差对于自变量的诊断图，是否有弯曲，如有，需要考虑增加x的平方项 3.3对各项效应的显著性分析，如果不显著，要从模型中删去 3.4对建立的新模型重复一、二、三步骤第四步，对选定的模型做解释
4.1输出各因子的主效应图，交互效应图 4.2输出各因子的等高线，响应曲面图 4.3实现最优化第五步判断目标是否已经达到如果没达到，重新做实验
插值与数据拟合模型
第二讲 插值与数据拟合模型 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。 一、插值方法简介 插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。 求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。 1．拉格朗日多项式插值 插值多项式 从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作 0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1） 对于节点),(j j y x 应有 n j y x L j j n ,,2,1,0,)( == （2） 为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有 ???????=++++=++++=++++---n n n n n n n n n n n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01110111110001010 （3） 记 T n T n n n n n n n n n n y y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111 100 ==?????? ? ??=---- 方程组（3）简写成 Y XA = （4） 注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得 ∏≤<≤-= n k j j k x x X 0)(det 因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A ，而是先构造一组基函数： n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i ,,2,1,0,) ())(()()())(()()(110110 =--------=+-+- （5） )(x l i 是n 次多项式，满足
选定拟合模型
第一步选定拟合模型 1.1分析评估回归的显著性 （1）判断ANOVA表中的总效果 H0:模型无效，H1:模型有效 判断标准，主效应和2因子的交互作用至少有一项P小于0.05，应拒绝原假设，才能证明模型有效。 （1）看有没有失拟，H0：无失拟,H1：有失拟 判断标准：P大于0.05，表明无法拒绝原假设，判为无失拟，反之，说明模式漏掉了重要的项(高阶交互作用的项) （2）看有没有弯曲，H0：无弯曲,H1：有弯曲 判断标准：P大于0.05，表明无法拒绝原假设，判为无弯曲，反之，说明数据有弯曲，模型中并没有平方项，应补上。 1.2分析评估回归的总效果 （1）两个确性系数R-sq,R-sq(adj) R-sq(adj)肯定小于 R-sq，两者越接近越好，如果差距很大，说明模型中有些不显著的项，可以删去（2）对于S值和S2的分析残差误差项的离差平方和（MSE）是σ2的无偏估计量，其平方根就是S S 越小越好，S先记录下来，与修改后的S值对比，如果修改后的S有降低，说明模型有改进。 1.3 判断各项效应的显著性可以根据各项对应的P-value判断，也可以根据Pareto图判断，或标准化效应图判断第二步，残差诊断 2.1观察残差对于以观测点顺序为横轴的散点图，看是否随机的在水平轴上下波动 2.2观察残差对于响应变
量拟合值的散点图，看是否有等方差，即是否有“漏斗型”或“喇叭型” 2.3观察残差的正态型检查图，看是否服从正态分布 2.4观察残差对于自变量的散点图，看是否有弯曲趋势第三步，判断模型是否要改进 3.1残差对于拟合值的诊断图中，是否有不齐性或弯曲，如有要对响应变量y做某种变换 3.2残差对于自变量的诊断图，是否有弯曲，如有，需要考虑增加x的平方项 3.3对各项效应的显著性分析，如果不显著，要从模型中删去 3.4对建立的新模型重复一、二、三步骤第四步，对选定的模型做解释 4.1输出各因子的主效应图，交互效应图 4.2输出各因子的等高线，响应曲面图 4.3实现最优化第五步判断目标是否已经达到如果没达到，重新做实验
第三次作业AR模型拟合
实验报告 报告题目：ＡＲ模型拟合 课程名称：应用时间序列分析 专业：统计学 年级：统计１２１ 学号：65 学生姓名：陈江余 指导教师：胡尧 学院：理学院 实验时间：2015年5月２６日
学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷 课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安 静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地 吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用 品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习 者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。
离散数据拟合模型
辽宁工程技术大学上机实验 报告
（2）取定t0=1790，拟合待定参数x0和r； 程序代码： >> p=@(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790)); >> t=1790:10:2000; >> c=[,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,]; >> r0=[,]; >> r=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).^2); >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口（单位：百万）') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') 程序调用： >> r r = >> sse sse = +003
（3）拟合待定参数t0, x0和r.要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 程序代码： >> p=@(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790+1.*r(3))); >> t=1790:10:2000; >> c=[,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,]; >> r0=[,,1]; >> [r,x]=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).^2); >> a=1790+1.*r(3); >> subplot(2,1,1) >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口（单位：百万）') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') >> subplot(2,1,2) >> plot(t,x,'k+',[1790:2000],[0,0],'k') >> axis([1790,2000,-20,20])
AMOS结构方程模型分析
Amos 模型设定操作 在使用 AMOS 进行模型设定之前，建议事先在纸上绘制出基本理论模型和变量影响关系路径图， 并确定潜变量与可测变量的名称，以避免不必要的返工。 1.绘制潜变量 使用建模区域绘制模型中的潜变量，在潜变量上点击右键选择Object Properties，为潜变量命名。 2.为潜变量设置可测变量及相应的残差变量 使用绘制。在可测变量上点击右键选择对应的是数据的变量名，在残差变量上右键选择Object Properties为可测变量命名。其中 Object Properties为残差变量命名。 Variable Name
3.配置数据文件，读入数据 File—— Data Files—— File Name—— OK。 4.模型拟合 View—— Analysis Properties—— Estimation—— Maximum Likelihood 。 5.标准化系数 Analysis Properties—— Output—— Standardized Estimates——因子载荷标准化系数。
6.参数估计结果 Analyze—— Calculate Estimates。红色框架部分是模型运算基本结果信息，点击 View the Output Path Diagram查看参数估计结果图。 7.模型评价 点击查看 AMOS 路径系数或载荷系数以及拟合指标评价。 路径系数 /载荷系数的显著性 模型评价首先需要对路径系数或载荷系数进行统计显著性检验。 模型拟合指数 模型拟合指数是考察理论结构模型对数据拟合程度的统计指标。拟合指数的作用是考察理论模型与数据的适配程度，并不能作为判断模型是否成立的唯一依据。拟合优度高的模型只能作为参考，还需要根据所研究问题的背景知识进行模型合理性讨论。
matlab_数学实验_实验报告_数据拟合
数据的分析之数据的拟合 一、实验项目：Matlab 数据拟合 二、实验目的和要求 1、掌握用matlab 作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法。 2、通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意差值方法的区别。 3、鼓励不囿于固定的模式或秩序，灵活调整思路，突破思维的呆板性，找到打破常规的解决方法。并在文献检索 动手和动脑等方面得到锻炼。 三、实验内容 操作一：Malthus 人口指数增长模型 用以上数据检验马尔萨斯人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。 马尔萨斯模型的基本假设是人口的增长率为常数，记为r 。记时刻t 的人口为()x t ，且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程 (0)dx rx dt x x ?=???=? 需要先求微分方程的解，再用数据拟合模型中的参数。 一、分析 有这个方程很容易解出0()*rt x t x e = r>0时，是表示人口箭杆指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 将上式取对数，可得y=rt+a ，y=lnx ，a=lnx0 二、用matlab 编码 t=1790:10:1980; x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x,'r',t,x1,'b')
三、结果和图像 0.0214r = 0 1.2480016x e =- 1780 1800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250 300 350 操练二：旧车价格预测 分析用什么形式的曲线来拟合数据，并预测使用4、5年后的轿车平均价格大致为多少。 一、分析 用matlab 编码绘制出点图，预测图像大致形状。
2013年数学建模数据拟合方法
数据拟合 问题的提出及最小二乘原理 取 x 的n 个不全相同的值n x x x ,,,21 作独立试验，得到样本 ()11,y x ，()22,y x ，…，()n n y x ,，则 i i i bx a y ε++=， 设()2 ,0~σεN i ，各 i ε 相互独立 于是 () 2 ,~σi i bx a N y +， n i ,,2,1 =。且由 n y y y ,,,21 的独立性，知n y y y ,,,21 的联合概率密度为 ()?? ? ?? ?---??? ??=∑=n i i i n bx a y L 12 2 21exp 21σπσ （1） 现用最大似然估计法来估计未知参数 b a ,。对于任意一组观察值 n y y y ,,,21 ，（1）式就是样本的似然函数。显然，要L 取最大值， 只需函数 ()() ∑=--=n i i i bx a y b a Q 12 , 取最小值。 如果 y 不是正态变量，则直接用（1）式估计b a ,使 y 的观察值 i y 与 i bx a + 偏差的平方和 ()b a Q , 为最小。这种方法叫最小二乘法。 如果y 是正态变量，则最小二乘法与最大似然估计法给出相同的结果。 取 ()b a Q ,分别关于b a ,的偏导数，并令它们等于0，得到b a ,
应满足方程 ()()???????=---=??=---=??∑∑==020211n i i i i n i i i x x b a y b Q x b a y a Q （2） （2）式称为正规方程组。解此方程组即可确定 b a ,，从而得到直线方程 bx a y +=*。 对一组测定数据用最小二乘原理找出其合适的数学公式，可以分以下几步： 1． 由观测数据作出散点图 2． 根据散点图确定近似公式的函数类 3． 用最小二乘原理确定函数中的未知参数 这一方法称为数据拟合法。 常用的曲线（函数类）有直线、多项式、双曲线、指数曲线等，实际操作中可以在直观判断的基础上，选几种曲线分别做拟合，然后比较看哪条曲线的最小二乘指标最小。 一． 多变量的数据拟合 若影响变量 y 的因素不只是一个，而是几个，譬如有 k 个因素 k x x x ,,,21 ，这时通过n 次实验可以得到数据表： 实验 1x 2x … k x y 1 11x 21x … 1k x 1y 2 12x 22x … 2k x 2y … … … … … … n n x 1 n x 2 … kn x n y
用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)
实验题目： 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的 本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于： （1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况； （2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法； （3）熟悉使用matlab 进行算法的实现。 2 实验步骤 2.1 算法原理 所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。反过来说，对测量 的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。 最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有：1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。 给定一组测量数据()i i y x ,，其中m i ,,3,2,1,0Λ=，共m+1个数据点，取多项式P （x ），使得 min )]([020 2=-=∑∑==m i i i m i i y x p r ，则称函数P （x ）为拟合函数或最小二乘解，此时，令 ∑==n k k k n x a x p 0 )(，使得min ])([02 002=??? ? ??-=-=∑∑∑===m i n k i k i k m i i i n y x a y x p I ，其中 n a a a a ,,,,210Λ为待求的未知数，n 为多项式的最高次幂，由此该问题化为求),,,(210n a a a a I I Λ=的极值问题。 由多元函数求极值的必要条件：0)(200 =-=??∑∑==m i j i n k i k i k i x y x a a I ，其中n j ,,2,1,0Λ= 得到： ∑∑∑===+=n k m i i j i k m i k j i y x a x )(，其中n j ,,2,1,0Λ=，这是一个关于n a a a a ,,,,210Λ的线 性方程组，用矩阵表示如下所示：
多元回归拟合
第十章：多元线性回归与曲线拟合―― Regression菜单详解（上） （医学统计之星：张文彤） 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §10.1Linear过程 10.1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。 例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？ 显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。 10.1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：
除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。 【Dependent框】 用于选入回归分析的应变量。 【Block按钮组】 由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。 【Independent框】 用于选入回归分析的自变量。 【Method下拉列表】 用于选择对自变量的选入方法，有Enter（强行进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五种。该选项对当前Independent框中的所有变量均有效。
数学建模使用MATLAB进行数据拟合
1.线性最小二乘法 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=r\y % if AB=C then B=A\C x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r') 运行结果： 2.多项式拟合方法 x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; a=polyfit(x0,y0,1) y97=polyval(a,1997) x1=1990:0.1:1997; y1=a(1)*x1+a(2);
plot(x1,y1) hold on plot(x0,y0,'*') plot(1997,y97,'o') 3.最小二乘优化 3.1 lsqlin函数 例四： x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=lsqlin(r,y) x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r') 3.2lsqcurvefit函数
（1）定义函数 function f=fun1(x,tdata); f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k （2） td=100:100:1000; cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]; x0=[0.2 0.05 0.05]; x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd) %x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k t=100:10:1000; c=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t); plot(t,c) hold on plot(td,cd,'*')
回归模型拟合精度分析
应用回归分析例库封面
一、案例背景 文章通过分阶段建立多元线性回归模型，分析了改革开放32年来民航客运量与相关因素之间的关系。结果表明：在不同历史阶段影响民航客运量的因素有所不同，并且从经济学角度对所建立的模型给出了合理的解释。 二、数据介绍 数据来自《新中国五十五年统计资料汇编》和《中国统计年鉴2010》。 三、分析过程 根据以上的分析，自改革开放以来，将中国民航客运量的增长趋势分为三个阶段，这里还有一个问题，就是年段的划分选在何处会更合理呢？对于这个问题，我们主要依据表2中分段回归拟合的残差平方和的大小，同时结合自变量选择时考虑的诸多因素做适当调整。 下面分阶段建立因变量y 关于自变量的各种组合的回归方程，这种组合方程共有 12552131555 C C C +++=-=个，根据自变量的选择准则，从中选择最优回归方程。 3.1 第一阶段：1978~1988年最优回归模型 经过比较，在通过回归方程和回归系数的显著性检验的方程中（取显著性水平0.05α=），发现表3中的两个模型最优。 由表3可见，模型一的各项指标都优于模型二，但是模型一中2x 的系数-0.290602β=<， 与实际意义不符，最终消费与民航客运量应该正相关。模型二中3x 的系数-0.008703β=<，与实际意义相符合，铁路客运量与民航客运量应该负相关，出现与实际意义不符的情况可能是由变量间的多重共线性造成的，为此考察其它几项指标，见表4. 表3 两个最优回归模型比较 模型 1978~1988年拟合回归方程 标准残差 复相关系数 PRESS AIC 模型一 721.0010-0.29060.690225 y x x =+ 41.91 0.9920 26372.68 111.0539 模型二 837.1212-0.00870.517435 y x x =+ 46.03 0.9904 52010.33 113.1177 表4 多重共线性、异常值诊断 模型 方差扩大因子 绝对值最大的删除学生化残差SRE 最大库克距离 最大杠杆值 模型一 27.9371025VIF VIF ==> 2.60473< 0.57970.5> 0.45162ch > 模型二 4.9581035VIF VIF ==< 2.6833< 0.42700.5< 0.33642ch < 从表4可见，模型一的自变量间存在严重的多重共线性，而且存在异常值点，模型二的自变量间不存在多重共线性，而且没有异常值点。为了进一步考察模型二的拟合效果，做残
数据拟合方法研究
数据拟合方法研究 中文摘要 在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。 本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等。并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。本文以残数法与最小二乘法相结合，采用非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的 关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动、残数法
Data Fitting Method Abstract In our experiments and exploration, it will produce large amounts of data. In order to explain these data to make predictions based on these data to determine, provide an important basis for policy makers .Need to fit the measured data to find a function to reflect data changes in the law.This article describes several commonly used data fitting methods, and focused on a nonlinear curve fitting of the model. This paper introduces some commonly used data fitting method, linear fitting, secondary function fitting, data n times polynomial fitting etc. T And focuses on the curve fitting, introduced the linear and nonlinear model of curve fitting method, the least square method, Newton iterative method, etc. In the traditional curve fitting basis, in order to improve the curve fitting precision, this paper also studies the polynomial swing, from the perspective of the practice the oscillation and deviation of factors and characteristics, and summarizes the decrease in practice the treatment method of these deviations. The least square method to variable after converting from new variables are the sum of squared residuals minimum, not necessarily make the original response from all the variables of the sum of squared residuals minimum, so the model fitting precision still has room to improve.Based on the number of residual method and least square method, and the combination of nonlinear least square method to get better fitting effect of curve model.With the development of computer technology, the experiment
数学建模实验 ――曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析 1、有 10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下: (1说明两变量之间的相关方向; (2建立直线回归方程; (3计算估计标准误差; (4估计生产性固定资产(自变量为 1100万元时的总资产 (因变量的可能值。 解: (1工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的,存 在正向相关性。 用 spss 回归 (2 spss 回归可知:若用 y 表示工业总产值(万元,用 x 表示生产性固定资产,二者可用如下的表达式近似表示: 567 . 395 896 . 0+ =x
y (3 spss 回归知标准误差为 80.216(万元。 (4当固定资产为 1100时,总产值为: (0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216 即(1301.0~146.4这个范围内的某个值。 MATLAB 程序如下所示: function [b,bint,r,rint,stats] = regression1 x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05; display(b; display(stats; x1 = [300:10:1250]; y1 = b(1 + b(2*x1;
figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-'; 生产性固定资产价值 (万元 工业总价值 (万元 industry = ones(6,1; construction = ones(6,1; industry(1 =1022; construction(1 = 1219; for i = 1:5
数模实验第四版数据拟合与模型参数估计
数学模型实验—实验报告4 学院：河北大学工商学院专业：电气七班姓名：李青青 学号：2012484098 实验时间：2014/4/15 实验地点：B3-301 一、实验项目：数据拟合与模型参数估计 二、实验目的和要求 a.了解数据拟合的原理和Matlab中的有关命令。 Polfit：MATLAB函数：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval) 多项式曲线求值函数：polyval( ) 调用格式：y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。 Polyval
polyval函数的主要功能是多项式的估值运算，其语法格式为y = poly val(p,x)，输入变量p是长度为n+1的向量，各元素是依次按降幂排列的多项式的系数，函数返回的是那次多项式p在x处的值，x可以是一个数，也可以是一个矩阵或者一个向量,在后两种情况下，该指令计算的是在X中任意元素处的多项式p的估值。 polyvalm的主要功能是用于matlab中多项式求值。其语法格式为y=polyvalm（a，A），其中a为多项式行向量表示，A为指定矩阵。 Lsqlin 约束线性最小二乘 函数lsqlin 格式x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件下，方程Cx = d的最小二乘解x。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq满足等式约束，若没有不等式约束，则设A=[ ]，b=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub满足，若没有等式约束，则Aeq=[ ]，beq=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0为初始解向量，若x没有界，则lb=[ ]，ub=[ ]。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定优化参数 lsqcurvefit
离散数据拟合模型
辽宁工程技术大学上机实验报告
>> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') 程序调用： >> r r = 0.0212 >> sse sse = 1.7418e+004 （2）取定t0=1790，拟合待定参数x0和r； 程序代码： >> p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790)); >> t=1790:10:2000; >> c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; >> r0=[0.0359,3.9]; >> r=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).^2); >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口（单位：百万）') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') 程序调用： >> r r =0.0142 14.9940 >> sse sse = 2.2639e+003
（3）拟合待定参数t0,x0和r.要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 程序代码： >> p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790+1.*r(3))); >> t=1790:10:2000; >> c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; >> r0=[0.0359,3.9,1]; >> [r,x]=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).^2); >> a=1790+1.*r(3); >> subplot(2,1,1) >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口（单位：百万）') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') >> subplot(2,1,2) >> plot(t,x,'k+',[1790:2000],[0,0],'k') >> axis([1790,2000,-20,20]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口（单位：百万）') >> title('拟合误差') 程序调用： >> r r = 0.0142 7.3264 50.3522 >> x x = Columns 1 through 5 -11.0940 -11.9857 -12.7277 -13.3735 -13.5848 Columns 6 through 10 -13.4328 -11.9995 -9.1795 -8.1818 -3.7321 Columns 11 through 15 0.7248 4.3218 9.3664 11.2364 13.3761 Columns 16 through 20 5.0903 4.7390 11.0299 10.0111 2.8613
离散数据拟合模型
工程技术大学上机实验报告
>> r r = 0.0212 >> sse sse = 1.7418e+004 程序代码： >> p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790)); >> t=1790:10:2000; >> c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; >> r0=[0.0359,3.9]; >> r=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).A2); >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口(单位：百万)') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') 程序调用： >> r r =0.0142 14.9940 >> sse sse = 2.2639e+003 程序代码： >> p=(r,t)r(2).*exp(r(1).*(t-1790+1.*r(3))); >> t=1790:10:2000; >> c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; >> r0=[0.0359,3.9,1]; >> [r,x]=nlinfit(t,c,p,r0); >> sse=sum((c-p(r,t)).A2); >> a=1790+1.*r(3); >> subplot(2,1,1) >> plot(t,c,'b*',1790:1:2000,p(r,1790:1:2000),'b') >> axis([1790,2000,0,290]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口(单位：百万)') >> title('拟合美国人口数据-指数增长型') >> legend('拟合数据') >> subplot(2,1,2) >> plot(t,x,'k+',[1790:2000],[0,0],'k') >> axis([1790,2000,-20,20]) >> xlabel('年份'),ylabel('人口(单位：百万)') >> title('拟合误差') 程序调用： >> r r = 0.0142 7.3264 50.3522 >> x x = Columns 1 through 5 -11.0940 -11.9857 -12.7277 -13.3735 -13.5848 Columns 6 through 10 -13.4328 -11.9995 -9.1795 -8.1818 -3.7321 Columns 11 through 15 0.7248 4.3218 9.3664 11.2364 13.3761 Columns 16 through 20 5.0903 4.7390 11.0299 10.0111 2.8613
动力学方程拟合模型
动力学方程拟合模型 动力学方程拟合模型主要分为幂函数型模型和双曲线型模型。 在幂函数型动力学方程中，温度和浓度被认为是独立地影响反应速率的，可以表示为： 在双曲线型动力方程中强调模型方程中的吸附常数不能靠单独测定吸附性质来确定，而必须和反应速率常数一起由反应动力学实验确定。这说明模型方程中的吸附平衡常数并不是真正的吸附平衡常数，模型假设的反应机理和实际反应机理也会有相当的距离。双曲线型动力学方程的一般表达形式为 上述两类动力学模型都具有很强的拟合实验数据的能力，都既可用于均相反应体系，也可用于非均相反应体系。对气固相催化反应过程，幂函数型动力学方程可由捷姆金的非均匀表面吸附理论导出，但更常见的是将它作为一种纯经验的关联方式去拟合反应动力学的实验数据。虽然，在这种情况中幂函数型动力学方程不能提供关于反应机理的任何信息，但因为这种方程形式简单、参数数目少，通常也能足够精确地拟合实验数据，所以在非均相反应过程开发和工业反应器设计中还是得到了广泛的应用。 1.幂函数拟合 刘晓青[1]等人研究了HNO3介质中TiAP萃取Th（Ⅳ）的动力学模式和萃取动力学反应速率方程。 对于本萃取体系，由反应速率方程的一般形式可知： 可用孤立变量法求得各反应物的分反应级数a、b与c，从而确立萃取动力学方程。
第一步：分级数的求算 1.求a 固定反应物中TiAP和HNO3的浓度， 当TiAP的浓度远远大于体系中Th的初始浓 度时，可以认为体系中TiAP浓度在整个萃 取过程中没有变化而为一定値，则速率方程 可以简化为 两边取对数后得： ln{-d[Th-]/dt}=aln[Th]+ln1，用ln{-d[Th-]/dt} 对ln[Th]作图得到一条直线(r=0.9973)，其斜率即为a。结果如图1所示，从图中可知斜率为1.05，即此动力学速率方程中Th（Ⅳ）的分反应级数a=1.05。 2.求b和c 同求Th（Ⅳ）分反应级数类似，固定反应物中Th（Ⅳ）和HNO3的浓度，则速率方程可以简化为 固定反应物中Th（Ⅳ）和TiAP的浓度，则速率方程可以简化为 画图可得：