不定积分例题及问题详解

求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)

思路: 被积函数

52

x

-

，由积分表中的公式（2）可解。

解：

53

2

2

23x dx x C

--

==-+⎰ ★(2)

dx

⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

1

1

411

1

333

2223()2

4

dx x x dx x dx x dx x x C -

-

=-=-=

-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰

（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

2232122ln 23

x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3

1

53

222223)325

x dx x dx x dx x x C -=-=

-+⎰⎰ ★★(5)422

3311

x x dx

x +++⎰

思路:观察到4222

2

331

131

1

x x x x x ++=+

++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42

23

2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C

x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)

2

2

1x dx x +⎰思路:注意到22222

1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：

2221arctan .

11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰

注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)

x dx x x x

⎰3

413

4（-+-

）2思路:分项积分。

解：

3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x

x

--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3

4

1

3

4（-+-

）2

223134ln ||.423

x x x x C --=

--++

★(8)

2

3

(1dx

x

+⎰思路:分项积分。

解：

2

23

1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰

★★(9)思路？111

7

2

48

8x

x ++=，直接积分。

解：

7

15

88

8.15

x dx x C ==

+⎰

★★(10)

2

21

(1)

dx x x +⎰思路:裂项分项积分。 解：

2

22222

111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x

x x x x x

=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211

x x

e dx

e

--⎰

解：21

(1)(1)(1).1

1

x x x x x x

x

e e e dx dx e dx e x C e

e --+==+=++--⎰⎰

⎰

★★(12)3x x e dx ⎰

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x e e =（）

。 解：

333.ln(3)

x

x x x

e e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰

★★(14)23523

x x

x

dx

⋅-⋅⎰

思路:被积函数 23522253

3

x x

x x ⋅-⋅=-（）

，积分没困难。

解：2()2352232525.

33ln 2ln 3

x

x x

x x

dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰

⎰（（）） ★★(15)

2

cos

2

x dx ⎰思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：

2

1cos 11

cos

sin .2222

x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)

1

1cos 2dx

x +⎰思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：

22

1

1

11

sec tan .1cos 222

2cos

dx dx xdx x C x x

==

=++⎰⎰⎰ ★(17)

cos 2cos sin x

dx

x x -⎰思路:不难，关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：

cos 2(cos sin )sin cos .

cos sin x

dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰

★(18)

22cos 2cos sin x

dx x x

⋅⎰思路:同上题方法，应用“22cos2cos sin x x x =-”，分项积分。 解：

22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x

x x x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰

★★(19)

⎰思路:注意到被积函数

，应用公式(5)即可。

解：

22arcsin .x C ==+⎰ ★★(20)21cos 1cos 2x

dx x

++⎰思路:注意到被积函数 2222

1cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x

x x x

x

++=

=++，则积分易得。

解：22

1cos 1

1tan sec

.1cos 2222

x

x x dx xdx dx C x ++=+

=++⎰⎰⎰

★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰

，求()f x 。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()

d

f x dx f x dx

=⎰即可。

解：等式两边对x 求导数得：

()()xf x f x ==

★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰

所以()f x 的原函数全体为：112

cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰

（）。

★4、证明函数21

,2

x x e e shx

和x e chx 都是

s x

e chx hx

-的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 解：

2x

x

e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx

===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx

x

=

，()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有

23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+

★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）

物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C

=⇒=+d

dt

，

又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1)

3秒后物体离开出发点的距离为:3

(3)3

27f ==米；

(2)令3360t t =⇒ 2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ⎰思路:凑微分。

解：33311(3)33

t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰

★(2)3(35)x dx -⎰

思路:凑微分。

解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d

★(3)

1

32dx

x -⎰思路:凑微分。

解：

1

111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰

★(4)

思路:凑微分。

解：

1233

111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★(5)(sin )x

b ax e dx -⎰思路:凑微分。

解：

11

(sin )sin ()()cos x

x x

b b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a

-=

-=--+⎰⎰⎰ ★★(6)

思路:如果你能看到t

d ，凑出d 易解。

解：

2C

==⎰

★(7)102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分。

解：

10

210111

tan

sec tan (tan )tan .11

x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★(8)

ln ln ln dx

x x x

⎰思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。

解：

(ln ||)

(ln |ln |)

ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx

d x d x x C

x x x x x x

===+⎰⎰⎰

★★(9)

⎰:本题关键是能够看到 是什么，是什么呢？就是

解：

ln |C

=-+⎰⎰

★★(10)

sin cos dx

x x

⎰思路:凑微分。

解：方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。

2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx xd x x x C

x x x ===-+⎰⎰⎰

方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。

22

cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos

tan tan dx x

dx xdx d x x C x x x x

x x

====+⎰⎰⎰

⎰ 方法三： 三角公式22sin cos 1x x +=，然后凑微分。

22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x

+==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+

★★(11)

x x

dx e e -+⎰思路:凑微分：222

111()x x x x x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++。

解：

22arctan 11()x x x

x x x x dx e dx de e C

e e e e -===++++⎰⎰⎰ ★(12)2cos()x x dx ⎰思路:凑微分。 解：

2

22211

cos()cos sin 22x x

dx x dx x C =

=+⎰⎰ ★★(13

)

思路:

由

22凑微分易解。

解

：

12222

11(23)(23)66x d x C --

---=⎰ ★★(14)2cos ()sin()t t dt ωω⎰思路:凑微分。

解：

2

221

1

cos

()sin()cos ()sin()cos ()cos()

t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω=

=-

⎰⎰

⎰

31

cos ().3t C ωω

=-

+ ★★(15)

3431x dx

x -⎰思路:凑微分。 解：

33444444433431313(1)ln |1|.4444

1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----⎰⎰⎰⎰

★(16)

3sin cos

x dx x

⎰思路:凑微分。 解：3

32

sin 111

cos .2cos

cos cos x

dx d x C x

x

x =-=+⎰⎰

★★(17

)

9思路:经过两步凑微分即可。

解

：

9

10

10

101110

10C ==+

★★(18)

思路:分项后分别凑微分即可。

解

：

=-

2212142381219423812arcsin().23x x x x x C =

-=+-=） ★★(19)

2

21

dx x

-⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解

：

21212dx dx x =-⎰

⎰1)1).C -+

★(20)

2

(45)

xdx

x -⎰思路:分项后分别凑微分即可。

解：

2

221454111

4(45)(45)

5(45)2545(45)

xdx

x dx d x x x x x --=-=------⎰⎰⎰（）（） 21141141(45)(45)ln |45|.254525252545(45)d x d x x C x x

x =

---=-++---⎰⎰ ★(21)

2100

(1)x dx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可。

解：

222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----⎰⎰⎰9899100111

(2)(1)

(1)(1)(1)d x x x x =++----⎰ 979899

111111.97(1)49(1)99(1)

C x x x =-

--+--- ★★(22)

8

1

xdx x

-⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解：

2

844

4444111111

()()241(1)(1)

1111xdx xdx xdx dx x

x x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ 2222242222222211111111

[()][(1)(1)]4281111111111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =

--=--+-++-+--=-+++⎰⎰⎰⎰ ★(23)3cos xdx ⎰

思路:凑微分。cos sin xdx d x =。 解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x

=⋅==-⎰⎰⎰⎰31

sin sin 3

x x C

=-+ ★★(24)2cos ()t dt ωϕ+⎰思路:降幂后分项凑微分。

解：

2

1cos 2()11

cos

()cos 2()2()

224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰

⎰⎰

11

sin 2()24t t C ωϕω

=

+++ ★★★(25)sin 2cos3x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分。

解：

111

sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx

=-=-⎰⎰⎰⎰11

cos5cos 102

x x C =-

++ ★★★(26)sin5sin 7x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分。

解：

111

sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)

2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰11sin 2sin12.424

x x C =-+ ★★★(27)3tan sec x xdx ⎰

思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。

解3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰

231sec sec sec sec sec 3

xd x d x x x C

=-=-+⎰⎰

★★(28

)arccos x 思路:

(arccos )

d x =-。

解

：arccos arccos arccos 1010arccos .ln10

x

x

x d x C =-=-

+⎰

★★(29

)

思路:

(arcsin )

d x =。

解

：

2

arcsin 1

arcsin (arcsin )d x C

x x =-+⎰

★★★★(30

)思路:

。 解

：=

⎰2C =+

★★★★(31)

ln tan cos sin x

dx

x x ⎰思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2sec x ，

22

ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x

dx dx xdx d x x x x x x x

===21

ln tan (ln tan )((ln tan ))

2

xd x d x == 解：

2

ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos

tan x

x x

dx dx d x xd x x x x x x

===⎰⎰⎰⎰21(ln tan )2

x C =

+ ★★★★(32)

2

1ln (ln )

x

dx

x x +⎰思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+

解：2

2

1ln 11

(ln )ln (ln )

(ln )

x

dx d x x C x x x x x x +==-+⎰⎰

★★★★(33)

1x

dx e

-⎰

解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ，则凑微分易得。

11()(1)ln |1|1111x x x x x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----⎰⎰⎰⎰ 方法二：思路:分项后凑微分

11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---⎰⎰⎰⎰1(1)1x x x d e e =---⎰ ln |1|ln(|1|)x x x x e C x e e C -=--+=--+ (ln ln |1|)x x x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+

方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x

e ，裂项后凑微分。

1

11ln (1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ⎡⎤===+=--⎢⎥-----⎣⎦

⎰⎰⎰⎰⎰ ln |1|x x e C =--+ln |1|x e C -=--+ ★★★★(34)

6

(4)

dx

x x

+⎰ 解：方法一: 思路：分项后凑积分。

6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ⎛⎫+-===- ⎪++++⎝⎭

⎰⎰⎰⎰6

6611(4)11ln ||ln ||ln |4|4244424d x x x x C x +=-=-+++⎰

方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =，则2

1dx dt t =-。 6662

6666611(4)1(41)()12424(4)14144114

ln(14)ln(1).

2424dx t d t d t dt x x t t t t

t C C x

+∴=⨯-=-=-

++++=-++=-++⎰

⎰⎰⎰

★★★★(35)

8

2

(1)

dx x

x -⎰ 解：方法一: 思路：分项后凑积分。

882248282822

1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx dx dx x x x x x x x -+-++==+----⎰⎰⎰⎰

2468

1(1)(1)x x x dx dx x x x +++=+-+⎰

⎰

8642211111()1dx dx x x x x x

=++++-⎰⎰

753111111ln 75321x C x x x x x

-=-

----++ 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。

令1x t =，则

21dx dt t =-。 88642822222

11

()(1)1(1)111dx t t dt dt t t t dt x x t t t t

∴=⨯-=-=-++++----⎰

⎰⎰⎰

6426422

753751111(1)(

)(1)()2111

11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt

t t t t x t t t t C C

t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++⎰⎰⎰⎰ 3、求下列不定积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。

思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。

2222sin cos 1;

sec tan 1.x x x x +=-=

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 ★★★(1

)

思路:令

sin ,2

x t t π=<

，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。 解：令sin ,2

x t t π=<，则cos dx tdt =。

22cos sec 1cos 1cos 222cos 2

tdt dt dt t t

dt t t d

t t t ∴=-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰

tan arcsin .

2t t C x C =-+=

（或arcsin x C =） （万能公式

sin 1cos tan

21cos sin t t t t t

-==+，又sin t x =

时，cos t

★★★(2

)

思路:令3sec ,(0,)2

x t t π=∈，三角换元。 解：令

3sec ,(0,)

2

x t t π=∈，则3sec tan dx t tdt =。

223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3

3tan 33arccos .

||

t

t tdt tdt t dt t

t t C C x ∴===-=-++⎰⎰⎰ （3sec x x =

时，

3

cos ,sin tan x x x x

=

★★★(3

)

思路:令

tan ,2

x t t π=<

，三角换元。 解：令

tan ,2

x t t π=<

，则2sec dx tdt =。

23

sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴===+⎰

⎰⎰ ★★★(4

)

:令

a tan ,2

x t t π=<

，三角换元。 解：令

tan ,2

x a t t π=<，则2a sec dx tdt =。

233222sec 11cos in sec sec .

a tdt dt tdt s t C a t a t a a

C ∴===+⎰

⎰⎰

★★★★(5

)

2思路:先令2u x =，进行第一次换元；然后令

tan ,2

u t t π=<

，进行第二次换元。 解

：

222

412

x

x

=

+⎰，令2u x =得： 212=

，令tan

,2u t t π=<

，则2sec du tdt =，

22211tan 11tan 1

sec sec 22tan sec 2tan 1

(csc sec )ln sec tan ln csc cot 22

1111

1

.2222t t tdt tdt t t t t t dt t t t t C u C x C u ++∴=

==⋅=+=++-+

=

++=+⎰⎰⎰

★★★(6)

思路:三角换元，关键配方要正确。

解：22549(2)x x x --=-

+，令

23sin ,2

x

t t π+=<

，则3cos dx tdt =。 21cos 21

9cos 99(sin 2)224

92arcsin .23t t tdt dt t C x C +∴==

=+++=⎰⎰

★★4、求一个函数()

f x ,

满足

'()f x ，且(0)1f =。

思路:

(0)1f =确定出常数C 的值即可。

解：

(1)

.

1dx x C x

=+=+⎰

令()f x C =，又(0)1f =，可知1C =-，() 1.f x ∴=

★★★5、设tan ,n n I xdx =⎰

，求证：1-2

1

tan 1

n n n I x I n -=--，并求5tan xdx ⎰

。思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -，进而写成：22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-，分项积分即可。

证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n

I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰

21225442531

42421

tan tan tan .1111

5tan tan tan tan 442

1111

tan tan tan tan tan ln cos .4242

n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=

--===-=-+=-+=--+⎰⎰⎰时， 1、 求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。

★（1）arcsin xdx ⎰思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0

x 优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx 。 解

：

21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+

-⎰⎰

arcsin .x x C =

★★（2）2ln(1)x dx +⎰

思路：同上题。

解：2

22222

22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x

+=+-=+-++⎰⎰⎰

2222

2

22(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++⎰

⎰⎰

★（3）arctan xdx ⎰

思路：同上题。

解：2

2

2

(1)

arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++⎰⎰⎰121arctan ln(1)2

x x x C

=-++

★★(4)2sin 2x x e dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

22221111sin sin ()sin cos 22222222

x

x x x x x x x e

dx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ 2222222222111

sin cos ()

224221111sin (cos sin )

2242242111sin cos sin 2282162

2sin (4sin cos ).

21722

x x x x x x x x x

x x x e d e x x x e e e dx x x x e e e dx

x e x x

e dx C ----------=-+-=-+--=---∴=-++⎰⎰⎰⎰ ★★(5)2arctan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

32

332111

arctan arctan (

)arctan 3331x x xdx xd x x x dx x

==-+⎰⎰⎰ 3321

1arctan 3

31x x x

x x dx x

+-=-

+⎰3211arctan ()331x x x x dx x =--+⎰

3322223221111111

arctan arctan (1)33313661111

arctan ln(1).366

x x x xdx dx x x x d x x x x x x x C =-+=-++++=-+++⎰⎰⎰

★(6)

cos 2x x dx

⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222x

x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-⎰⎰⎰⎰2sin 4cos .

22x x x C =++

★★(7)2tan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰

d

2211(tan )tan tan tan ln cos .

22

xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+⎰⎰⎰ ★★(8)2ln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

22

2211ln ln

2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx

x x

=-⋅⋅=-=-+⋅⎰⎰⎰⎰

22ln 2ln 2ln 2ln 2.x x x x dx x x x x x C =-+=-++⎰

★★(9)ln(1)x x dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

22211ln(1)ln(1)ln(1)2221

x x x x dx x d

x x dx x -=-=---⎰⎰⎰ 221

111

ln(1)2

21x x x dx x -+=--

-⎰2111ln(1)(1)221

x x x dx x =--++-⎰ 221111ln(1)ln(1)2422

x x x x x C =

-----+

★★(10)2

2ln x dx x ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2

22222

ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x

x =-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰

222211121122ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C

x x x x x x x x

=-+-=--+=---+⎰⎰

2(ln ln 2)x x C

x

=-+++1 ★★(11)cosln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx

x =+⋅=+⎰⎰⎰

1

cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).

2

x x x x x x dx x x x x xdx x

x

xdx x x C =+-⋅=+-∴=++⎰⎰⎰

★★(12)

2

ln x dx x ⎰

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 ★★(13)ln (1)n x xdx

n ≠-⎰

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：1

11111ln ln ln 111n n n n x x xdx xd x x x dx n n n x

+++==-⋅+++⎰⎰⎰

111ln 11n n x x x dx n n +=

-++⎰111ln .1(1)n x x C n n +⎛⎫=-+ ⎪++⎝

⎭ ★★(14)2x x e dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx

------=-+=--+⎰⎰⎰

2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++

★★(15)32(ln )x x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

322

4

42

41

1

11(ln )(ln )()(ln )

2ln 444x x dx x d x x x x x dx x

==-

⋅⋅⎰⎰⎰ 42342442444243424442

1111

(ln )ln (ln )ln 42481111111

(ln )ln (ln )ln 48848811111(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =

-=-=-+⋅=-+=-++=-++⎰⎰⎰⎰ ★★(16)ln ln x

dx

x

⎰

思路： 将积分表达式ln ln x dx x

写成ln ln (ln )xd x ，将ln

x 看作一个整体变量积分即可。

解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x

dx xd x x x x dx x x dx x

x x x

==-⋅

⋅=-⎰

⎰⎰⎰ln ln ln ln ln (ln ln 1).x x x C x x C =-+=-+

★★★ (17) sin cos x x xdx ⎰

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx

==-=-+⎰⎰⎰⎰

1111cos 2cos 22cos 2sin 2.

4848

x x xd x x x x C =-+=-++⎰ ★★(18)22cos 2

x x dx ⎰

思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2x +，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

2

2

22221111cos (cos )cos 22222

x x

dx x x x dx x dx x xdx =+=+⎰⎰⎰⎰

3232323211111sin sin 2sin 626221111

sin cos sin cos cos 6262x x d x x x x x xdx

x x x xd x x x x x x xdx =+=+-=++=++-⎰⎰⎰⎰ 3211sin cos sin 62

x x x x x x C =

++-+ ★★(19)2(1)sin 2x xdx -⎰思路：分项后对第一个积分分部积分。

解：

2

2211

(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222

x

xdx x xdx xdx x d x x

-=-=-+⎰⎰⎰⎰ 2222211111cos 22cos 2cos 2cos 2sin 22222211111

cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2222221111

cos 2sin 2cos 2cos 2224211313cos 2sin 2cos 2(sin 2)cos 2sin 2.

224222

x x x xdx x x x xd x

x x x x x xdx x x x x x x x C

x

x x x x x C x x x x C =-++=-++=-+-+=-++++=-+++=--++⎰⎰⎰

★★★(20)3

x e ⎰

思路：首先换元，后分部积分。

解

：令t 32,3,x t dx t dt ==

3

3

3

3

22222223333323323663666632).

x t t t t t t t t t t t t t

x

x

x e e t dt e t dt t de t e te dt t e tde t e e t e dt t e e t e C e

e

C e C ∴====-=-=-+=-++=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

★★★(21)2(arcsin )x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解

：

22

(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-⎰⎰

22(arcsin )(1)

x x x =+-

2(arcsin )2arcsin x x xd =+⎰

22

2(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.

x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+⎰

★★★(22)2sin x e xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：方法一：222sin sin sin 2sin cos x x x x e xdx xde e x e x xdx ==-⎰⎰⎰

2sin sin 2sin 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 2x x x

x x x x x

e x e xdx

e

xdx xde e x e xdx e x xde =-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰

22sin 22cos 24sin 2(sin 22cos 2)

sin 25

sin (5sin sin 22cos 2)5x x x x x x

x e x e x e xdx

e x x e xdx C

e e xdx x x x C

=---∴=

+∴=-++⎰⎰⎰

方法二：

21cos 21111sin cos 2cos 222222

x

x

x x x x x e

xdx e dx e dx e xdx e e xdx -==-=-⎰⎰⎰⎰⎰

cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2x

x x x x x e

xdx xde e x e xdx e x xde ==+=+⎰⎰⎰⎰

2

cos 22sin 24cos 2(cos 22sin 2)

cos 25

11sin sin 2cos 22510

x x x x x

x x x x e x e x e xdx e x x e xdx C

e e xdx e x e x C

=+-+∴=+∴=--+⎰⎰⎰

★★★(23

)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解

：ln(1))x d x =++-⎰

令t 2,dx

tdt

=2

22

144444arctan 11t dt dt dt t t C t

t

C

∴==-=--++=⎰⎰⎰

所以原积分)x C

=+-。

★★★(24)ln(1)

x x

e dx

e

+⎰

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x x

x x x x x x x

e e dx e d e e e e dx e e ---+=+-=-+++⎰⎰⎰

1

ln(1)ln(1)(1)11ln(1)ln(1).x x x x x x x x

x x x

e e e dx e e d e e e

e e e C --------=-++=-+-+++=-+-++⎰

⎰ 注：该题中

1

1x

dx

e

+⎰的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）。

★★★(25)

1ln 1x x dx

x +-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

2

2

22

111

1

11111ln ln ()ln

1122121(1)x x x x x x x dx d x x

x dx x x x x x +++--++==-⋅---+-⎰⎰⎰

[]2222

22211111

ln ln 21121111111111ln ()ln ln(1)ln(1)21211212x x x x dx x dx dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x ++=

-=+-----++=+-+=+---++--+-⎰⎰⎰⎰ 22111111ln ln (1)ln 212121x x x x x C x x C x x x

+++=

+-+=-++--- 注： 该题也可以化为 1ln [ln(1)ln(1)]1x x dx x x x dx x

+=+---⎰

⎰

再利用分部积分法计算。

21ln [ln(1)ln(1)][ln(1)ln(1)]12

x x x dx x x x dx x x d x +=+--=+---⎰⎰⎰

222221111ln []ln 21211211x x x x x x dx dx x x x x x ++=

-⋅+=--+---⎰⎰

22221111111ln ln []21121211x x x x x dx dx dx x x x x x

+--+=

+=+-+---+-⎰⎰⎰

2111ln ln 2121x x x x C x x

++=

+-+-- ★★★(26)

sin 2cos dx x x ⎰思路：将被积表达式sin 2cos dx

x x

写成22sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==，然后分部积分即可。 解：

22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d x x x x x

x x ===⎰⎰⎰⎰tan 1tan 1

tan (csc cot )csc 2sin 22sin 21

(sec ln csc cot ).2x x x x x dx xdx x x x x x C =

--=+=+-+⎰⎰ 2、 用列表法求下列不定积分。 知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)3x xe dx ⎰

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：33333331111111()3().3333933x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(2)

(1)x

x e dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+⎰⎰⎰

。

★(3)2cos x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰

22sin 2cos 2cos sin 2cos 2sin x x x x xdx x x x x x C =+-=+-+⎰ ★(4)2(1)x x e dx -+⎰思路：分项后分部积分即可。 解：222(1)()x x x x x x e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰

222222()2223x x x x x x x x x x x x x e x xe dx e dx e x xd e e dx e x xe e dx e dx e x xe e dx -------------=-++=-+-+=--++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2(23).x e x x C -=-+++

★(5)ln(1)x x dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

222111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221

x x x dx x d x x x dx x +=+=++⎰⎰⎰

2221111111ln(1)(1)ln(1)ln(1).2212422

x x x dx x x x x x C x =

+--+=+-+-+++⎰ ★(6)cos x e xdx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

cos cos ()cos sin x

x x x e

xdx xd e e x e xdx ----=-=--⎰⎰⎰

cos sin ()cos sin cos cos (sin cos ).2

x x x x x x

x e x xd e e x e x e xdx e e xdx x x C -------=---=-+-∴=

-+⎰⎰⎰ ★3、已知sin x x

是

()f x 的原函数，求()xf x dx '⎰。知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。

思路分析：积分 ()xf x dx '⎰

中出现了()f x '，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你sin x x

是()f x 的原函数，应

该知道

sin ().x f x dx C x

=

+⎰

解：

()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-⎰⎰⎰d()=

又

2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x x f x dx C f x xf x x x x

--=

+∴=∴=⎰

cos sin sin 2()cos sin C

x x x x xf x dx C x x x x x

-'∴=

-+=-+⎰

★★4、已知

()x e f x x

=

，求()xf x dx ''⎰。知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：积分()xf x dx ''⎰中出现了(f x '')，应马上知道积分应使用分部积分。

解：

()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰

又

22

(1)(1)(,(),();

x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x ---''∴=∴)=

==

(1)(2)

().x x x e x e e x xf x dx C C x x x

--''∴=

-+=+⎰ ★★★★5、设n

I

=

sin

n

dx x ⎰，(2)n ≥；证明：211cos 21sin 1

n n n x n I I n x n ---=-⋅+--。

知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：要证明的目标表达式中出现了n

I ，1

cos sin

n x x

-和2

n I

- 提示我们如何在被积函数的表达式

1sin n x 中变出1cos sin n x x

- 和

21sin n x

- 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里1可变为22sin cos x x +。

证明：22sin cos x x +1=

222222222

122

2-1sin cos cos sin cos 1

sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x

x I x -----+∴===+=+=+=+-⋅-=-⋅+=+⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222212222

112.

1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 2

1sin 1n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x x

x n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-⋅+--⎰⎰ ★★★★6、设f x ()为单调连续函数，f x -1()为其反函数，且()()f x dx F x C =+⎰ ，求：1f x x -⎰()d 。

知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白1(())x f f x -=这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。 解：

f

x x x f x x f x ⎰⎰-1

-1-1()d =()-d(())又1

(())x f f x -=

111111()()(())()(())(())f x dx f x xd f x f x f f x d f x ------∴=-=-⎰⎰⎰

又

()()f x dx F x C =+⎰1

11111()()(())(())()(()).f

x dx f x f f x d f x f x F f x C ------∴=-=-+⎰⎰

1、 求下列不定积分

知识点：有理函数积分法的练习。

思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。 ★(1)

3

3x dx

x +⎰思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：

3327272739333

x x x x x x x +-==-+-+++2 322727(39)(39)33313

927ln 3 C.32

x dx x x dx x x dx dx x x x x x x x ∴=-+-=-+-+++=-+-++⎰

⎰⎰⎰223 ★★★(2) 54

38x x dx x x

+--⎰

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

解：

545342323338()()()881,

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

+--+-+-++-+-==+++---22

而3(1)(1),x x x x x -=+- 令23

8

11

x x A B C x x

x x x +-=

++

-+-，等式右边通分后比较两边分子

x 的同次项的系数得：

11

8A B C C B A ++=⎧⎪

-=⎨⎪=⎩

解此方程组得：843A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩

54354

3

328843

1118843(1)1111

8ln 4ln 13ln 132x x x x x x x x

x x dx x x dx x x x x x

x x x x x x C +-∴

=+++--+--+-∴=+++--+--=+++-+--+⎰⎰22x ★★★(3)

3

3

1

dx x

+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

321(1)(1)x x x x +=+-+，

令

3

2

3111

A Bx C x x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩

32

13(21)3121

11

11x x x

x x x x ---+∴=+=+++

-+

23222221

(21)

12131()241

(21)

313213112()241

11131ln 1(())131224()24211ln 1ln(1).

2x x x x dx dx dx x x x x x d x d x x x x x C -=-+-+-∴=-+++-+-

=+--+-+-

+=+--++⎰⎰⎰⎰

★★★(4)

3

1

(1)

x dx

x +-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：令3

2

3

1

1(1)

(1)(1)x A B C x x x x +=

++----，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

0,21,1A B A A B C =-=-+=，解此方程组得：0,1,2A B C ===。

32

3

3232

2112

(1)(1)(1)112111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x dx dx dx C C x x x x x x +∴

=+---+∴=+=--+=-+------⎰⎰⎰ ★★★(5)

3

32(1)x dx

x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

333

3232(1)(1)(1)

x x x x x x +=++++，令32321(1)(1)(1)A B C D x x x x x x =+++++++ 等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

0320302A B A B C A B C D A +=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩解此方程组得：2222

A B C D =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩。 32

3

222221(1)(1)(1)x x x x x x ∴

=---++++

33233

2

3

322

2

32322221222(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)321222(1)(1)(1)11122ln 12ln 2(1)143

2ln

.12(1)x x x x x x x x x x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x C x x x x C x x +∴

=+---=+--+++++++++∴=--+++++=-+-++++++=++++⎰⎰⎰⎰⎰

★★★(6)

2

(2)(3)

xdx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

2222

2222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)

x x x x x x x x x x x +-+==-++++++++

22

12

(3)(2)(3)

x x x =

-+++；令22223(2)(3)(3)A B C x x x x x =+++++++，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数

得：

0650

9622

A B A B C A B C +=⎧

⎪

++=⎨⎪++=⎩

解此方程组得：22

22222223(2)(3)(3)2A B x x x x x C =⎧⎪=-∴=--⎨+++++⎪=-⎩ 2222

222

1222322

()(2)(3)(3)23(3)(3)23

322

(2)(3)(3)233332ln 22ln 3ln .323

x x x x x x x x x x xdx dx dx dx

x x x x x x x x C C x x x ∴

=---=-++++++++++∴=-+++++++⎛⎫=--++++=-

+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ★★★(7)

3

31

x

dx x

-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

3

32333(1)3331111x x x x x x x -+==+--++-令3

2

3111

A Bx C x x x x +=+--++，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 00

3

A B A B C A C +=⎧⎪

-+=⎨⎪-=⎩

解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩

3

22

3121211111

x x x x x x x x x --+∴

=+=---++-++

而

22

2222131313(21)(21)(21)

2222222111111

x x x x x x x x x x x

x x x x x ++++

+==+=+++++++++++++ 3222223

311(21)

211121

11112ln 1(1)1211x x dx dx dx dx

x x x x x x x d x d

x x x x x +∴

=+--++-+++

+--+++++

+⎰⎰⎰⎰⎰ 21ln 1ln(1)2x x x C

--+++

C

★★★(8)2

22

1

(1)

x x

dx

x

--

+

⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：2

2222222

112

(1)1(1)(1)

x x x

x x x x

--

=--+

++++

2

2222222

2

22222

11

2

(1)1(1)(1)

111

(1)2

2

1(1)(1)

x x x dx

dx dx dx

x x x x

dx

dx d x

x x x

--

∴=--+

++++

=--++

+++

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

又由分部积分法可知：

2222

1

2

(1)11

dx x

dx

x x x

=+

+++

⎰⎰

2

22222

111121

()

(1)12121

x x x x

dx C C

x x x x

--+

∴=++=+

++++

⎰

★★★(9)

(1)(2)(3)

xdx

x x x

+++

⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：3313

(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)

x x

x x x x x x x x x x x

+-

==-

+++++++++++

令3

(1)(2)(3)123

A B C

x x x x x x

=++

++++++

，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

5430

6323

A B C

A B C

A B C

++=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪++=

⎩

解之得：3

33

2

33

22

3

(1)(2)(3)123

3

2

A

B

x x x x x x

C

⎧

=

⎪

⎪

=-∴=-+

⎨

++++++

⎪

⎪=

⎩

而111

(1)(2)12

x x x x

=-

++++

3

1122

(1)(2)(3)2123

113

2

(1)(2)(3)21223

13

ln12ln2ln3.

22

x

x x x x x x

xdx dx dx

dx

x x x x x x

x x x C

∴=-+-

++++++

∴=-+-

++++++

=-+++-++

⎰⎰⎰⎰

★★★(10)2

2

1

(1)(1)

x

dx

x x

+

+-

⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：22

222

11212

1

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

x x

x

x x x x x x

+-+

==+

+

+-+-+-

令

22

2

11

(1)(1)(1)

A B C

x x

x x x

=++

-+

+-+

，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

0,20,2

A B A C A B C

+=+=--=；解之得：11

,,1

22

A B C

==-=-

。

22

11

21

22

(1)(1)11(1)

x x x x x

∴=--

+--++

2

22

11

11

22

(1)(1)11(1)

x

x x x x x

+

∴=+-

+--++

2

22

1111

(1)(1)2121(1)

x dx dx

dx dx

x x x x x

+

∴=+-

+--++

⎰⎰⎰⎰

ln1ln1

1

x x C

x

=-++++

+

111

22

2

11

ln1.

21

x C

x

=-++

+

★★★(11)

2

1

(1)

dx

x x

+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：令

2

21(1)

1

A Bx C x x x x +=

+++，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 001A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：2

21111(1)10

A x

B x x x x

C =⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=

⎩222221111ln (1)2(1)111ln ln(1).

2x dx dx dx x d x x x x x x x x C C ∴=-=-++++=-++=⎰⎰⎰⎰ ★★★(12)

2

2

()(1)

dx x

x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

2

22

11

()(1)(1)(1)

x x x x x x =++++ 令

2

2

2

11()(1)1

A B Cx D x x x x x x +=++++++，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

0,0,0,1A B C A C D A B D A ++=++=++==，解之得：

1111,,,.

222

A B C D ==-=-=-

2

2

222

22

22

22

111111212()(1)1

1111111

2122()(1)11

111112122()(1)11x x x x x x x x x x x x x x x dx x dx

dx dx dx x x x x x x x +∴

=-⋅-⋅++++∴=-⋅-⋅-⋅+++++∴=---+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 2221111

ln ln 1(1)arctan 2421111

ln ln 1ln(1)arctan .

242

x x d x x x x x x x C =-+-+-+=-+-+

-+⎰

★★★★★(13)

4

1

dx x

+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分。

解：

4221(1)(

1)x x

x +=++令4

1

1

x

+

x 的同次项

的系数得：

0001A C B D A C B D +=

⎧

++=

+=⎪⎪+=⎩解之得：112

A B C D ⎧=⎪⎪⎪

=⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎪=⎪⎩

44111

41

x

dx dx x

∴

=+

∴+

+

⎰dx ⎰221

][]

4(1)(1)]x x -+++-+