不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路: 被积函数52
x -
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C --
==-+⎰
★(2)dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+⎰⎰⎰⎰
★(3)2
2x x dx +⎰
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰
★★(5)422
331
1
x x dx x +++⎰ 思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
解：4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
2
1x dx x +⎰
思路:注意到22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x
=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，
通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x
⎰
34134
（-
+-）2 思路:分项积分。 解：3411
342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-
+-）2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★
(8)23(
1dx x -+⎰
思路:分项积分。 解
：2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰
⎰ ★★
(9)
思路
=？
111
7248
8
x
x ++==，直接积分。
解
：
715
8
88
.15x dx x C ==+⎰
★★(10)
221
(1)dx x x +⎰
思路:裂项分项积分。 解：
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21
1
x x
e dx e --⎰ 解：21(1)(1)
(1).11
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x
e dx ⎰
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x
e e =
（）。 解：333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+⎰⎰（）
（）
★★(13)2
cot xdx ⎰
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。
解：22
cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰
★★(14)23523
x x
x
dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数
235222533
x x x
x ⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2
()2352232525.33ln 2ln3
x
x
x
x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2
x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)1
1cos 2dx x
+⎰
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x
dx x x
-⎰
思路:不难，关键知道“2
2
cos2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰
★(18)22
cos 2cos sin x
dx x x
⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰
★★(19)dx ⎰
思路:注意到被积函数
==
，应用公式(5)即可。
解：
22arcsin .dx x C ==+⎰
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x
++⎰
思路:注意到被积函数 2222
1cos 1cos 11
sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰
⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰
，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d
f x dx f x dx
=⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得：
()()xf x f x =∴=
★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰
所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰
（）
。 ★4、证明函数21,2x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx
-的原函数
知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。 解：
2x
x e e chx shx
=-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2
★5、一曲线通过点2
(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此
曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：
1
[()]d f x dx x
=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=， 所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问：
（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：
23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d
dt
， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3
(3)327f ==米；
(2)
令3360t t =⇒=
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =
-=--=-
2222
111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255
112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+
2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）3t
e dt ⎰
思路:凑微分。 解：33311(3)33
t
t t
e dt e d t e C =
=+⎰
⎰ ★(2)3
(35)x dx -⎰
思路:凑微分。 解：3
34
11(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+⎰
⎰d ★(3)
1
32dx x -⎰
思路:凑微分。 解：
1111
(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★(4)
思路:凑微分。
解：12
33
111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★(5)(sin )x b
ax e dx -⎰
思路:凑微分。
解：11
(sin )sin ()()cos x
x x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+⎰⎰⎰
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =，凑出d 易解。
解：
2C ==⎰
★(7)10
2tan
sec x xdx ⎰
思路:凑微分。 解：10
210111
tan sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+⎰
⎰ ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ⎰
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰
★★(9)⎰
思路:
是什么，是什么呢？就是
解：ln |C ==-+⎰
⎰
★★(10)
sin cos dx
x x ⎰
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx
xd x x x C x x x ===-+⎰⎰⎰
方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。
2
2cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+⎰⎰⎰⎰
方法三： 三角公式2
2
sin cos 1x x +=，然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+ ★★(11)
x x dx e e -+⎰
思路:凑微分：222111()x x x
x x x x x dx e dx de de e e e e e -===
++++。 解：22arctan 11()
x x x
x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++⎰⎰⎰ ★(12)2
cos()x x dx ⎰
思路:凑微分。 解：2
22
211cos()cos sin 22
x x dx x dx x C ==+⎰
⎰ ★★(13)
思路:
22==凑微分易解。 解
：
1
2222
11(23)(23)66x d x C -=-=---=⎰
★★(14)2
cos ()sin()t t dt ωω⎰
思路:凑微分。
解：2
2
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω
=
=-
⎰
⎰⎰
31
cos ().3t C ωω
=-
+ ★★(15)3
4
31x dx x
-⎰ 思路:凑微分。
解：33444
444433431313(1)ln |1|.4444
1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----⎰⎰⎰⎰ ★(16)
3sin cos x dx x ⎰
思路:凑微分。 解：
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+⎰⎰ ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
：
9
10
10
10111010C ===+⎰
⎰
★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。 解
：
=-
2
2
121
4
238
121
94
238
12
arcsin().
23
x
x
x
x
x
C
=-
=+-
=+
⎰
）
★★(19)
2
21
dx
x-
⎰
思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解
：
2
1
212
dx
dx
x
==
-
⎰⎰
1)1).
d C
=
=-+=
⎰
★(20)
2
(45)
xdx
x
-
⎰
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
1454111
4(45)
(45)5(45)2545(45)
xdx x
dx d x x x x x
--
=-=------
⎰⎰⎰
（）（）
2
1141141
(45)(45)ln|45|.
254525252545
(45)
d x d x x C
x x
x
=---=-++ --
-
⎰⎰
★(21)
2
100
(1)
x dx
x-
⎰
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
100100100100100
(11)(1)(1)1
(2)
(1)(1)(1)(1)(1)
x dx x dx x x
dx x x x x x
-+--
==++
-----
⎰⎰⎰
9899100
111
(2)(1)
(1)(1)(1)
d x
x x x
=++-
---
⎰
979899
111111
.
97(1)49(1)99(1)
C
x x x
=---+
---
★★(22)
81xdx x -⎰
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
28444444111111
()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ 222224222
2222211111111[()][(1)(1)]42811111
11111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =
--=--+-++-+--=-+++⎰⎰⎰⎰ ★(23)3
cos xdx ⎰
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。
解：3222
cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰
31
sin sin 3
x x C =-+
★★(24)2
cos ()t dt ωϕ+⎰
思路:降幂后分项凑微分。 解：2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω
+++=
=+++⎰
⎰⎰⎰ 11
sin 2()24t t C ωϕω
=
+++ ★★★(25)sin 2cos3x xdx ⎰
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111
sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =
-=-⎰
⎰⎰⎰ 11
cos5cos 102
x x C =-
++ ★★★(26)sin 5sin 7x xdx ⎰
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111
sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =
-=-⎰
⎰⎰⎰ 11
sin 2sin12.424
x x C =-+ ★★★(27)3
tan sec x xdx ⎰
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。
解：3222
tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰
231
sec sec sec sec sec 3
xd x d x x x C =-=-+⎰⎰
★★(28
)
arccos x
思路:
(arccos )d x =-。
解
：
arccos arccos arccos 1010
arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+⎰
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
：
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+⎰
★★★★(30
)
思路:
(arctan ==。
解
：
(arctan ==⎰
⎰
2C =+
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ⎰
思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2
sec x ，
2
2
ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x dx dx xdx d x x x x x x x
=== 21
ln tan (ln tan )((ln tan ))2
xd x d x ==
解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x
===⎰⎰⎰⎰ 21
(ln tan )2
x C =+
★★★★(32)
21ln (ln )x
dx x x +⎰
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+
解：
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+⎰⎰ ★★★★(33)
1x dx e -⎰
解：方法一：
思路:将被积函数的分子分母同时除以 x
e ，则凑微分易得。
11()(1)ln |1|1111
x x x x
x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----⎰⎰⎰⎰ 方法二：
思路:分项后凑微分
11111x x x x x x
dx e e e dx dx dx e e e -+==+---⎰⎰⎰⎰1(1)1x
x x d e e =---⎰ ln |1|ln(|1|)x x x x e C x e e C -=--+=--+ (ln ln |1|)x x
x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+
方法三：
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x
e ，裂项后凑微分。
111ln (1)1(1)(1)11x x x x x
x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ⎡⎤===+=--⎢⎥-----⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰ ln |1|x
x e C =--+ln |1|x
e C -=--+
★★★★(34)
6(4)dx
x x +⎰
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ⎛⎫
+-===- ⎪++++⎝⎭
⎰⎰⎰⎰ 66611(4)11
ln ||ln ||ln |4|4244424
d x x x x C x +=-=-+++⎰
方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =，则21
dx dt t
=-
。 66626
66
6611(4)1(41)()12424(4)14144
114
ln(14)ln(1).
2424dx t d t d t dt x x t t t t t C C x
+∴=⨯-=-=-++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰ ★★★★(35)
82(1)dx
x x -⎰
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx
dx dx x x x x x x x -+-++==+----⎰⎰⎰⎰ 24681(1)(1)
x x x dx
dx x x x +++=+-+⎰⎰ 8642
211111
()1dx dx x x x x x =++++-⎰
⎰ 753
111111ln 75321x C x x x x x -=-
----++ 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =
，则21
dx dt t
=-。 88642
822222
11()(1)1(1)11
1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t ∴=⨯-=-=-++++----⎰⎰⎰⎰ 642642
2753751111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C
t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++⎰⎰⎰⎰3、求下列不定积分。 知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。
2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统
统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 ★★★(1
)
思路:令sin ,2
x t t π
=<，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
解：令sin ,2
x t t π
=<
，则cos dx tdt =。
22cos sec 1cos 1cos 222cos 2
tdt dt dt t t
dt t t d t t t ∴==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰
tan arcsin .2t t C x C =-+=+
（或1arcsin x C x =-+）
（万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t
t t
-==+，又sin t x =
时，cos t =） ★★★(2
)
思路:令3sec ,(0,)2
x t t π
=∈，三角换元。
解：令3sec ,(0,
)2
x t t π
=∈，则3sec tan dx t tdt =。
223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3
3tan 33arccos .
||
t t tdt tdt t dt
t t t C C x ∴===-=-+=+⎰⎰⎰
（3sec x x =
时，3
cos ,sin tan 3
x x x x
x ==
= ★★★(3
)
思路:令tan ,2
x t t π
=<，三角换元。
解：令tan ,2
x t t π
=<
，则2
sec dx tdt =。
23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+⎰⎰⎰ ★★★(4
)
思路:令a tan ,2
x t t π
=<，三角换元。
解：令tan ,2
x a t t π
=<
，则2
a sec dx tdt =。
233222sec 11
cos in sec sec .
a tdt dt tdt s t C a t a t a a C ∴====+=
+⎰⎰⎰
★★★★(5
)
2 思路:先令2
u x =，进行第一次换元；然后令tan ,2
u t t π
=<
，进行第二次换元。
解
：222412x
x =
+⎰，令2u x =得：
212=
，令tan ,2u t
t π=<，则2
sec du tdt =，
22
2
11tan 11tan 1sec sec 22tan sec 2tan 111
(csc sec )ln sec tan ln csc cot 222
1111
1
ln ln ln .22
2
2
t t tdt tdt t t t t t dt t t t t C u C x C u ++∴=
==⋅=+=++-+=
+-+=++⎰⎰⎰
（与课本后答案不同） ★★★(6)
思路:三角换元，关键配方要正确。 解：
22549(2)x x x --=-+
，令23sin ,2
x t t π
+
=<
，则3cos dx tdt =。
21cos 21
9cos 99(sin 2)224
92arcsin .23t t tdt dt t C x C +∴===++
+=⎰⎰
★★4、求一个函数()f x ,满足
'
()f x =
，且(0)1f =。
思路:的不定积分，由条件(0)1f =确定出常数C 的值即可。
解
：
(1).1
x C x
=+=++⎰
令(
)f x C =+，又(0)1f =，可知1C =-，
() 1.f x ∴=
★★★5、设tan ,n
n I xdx =⎰
，求证：1-21
tan 1
n n n I x I n -=
--，并求5tan xdx ⎰。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n
x 分开成2
2tan
tan n x x -，进而写成：
22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-，分项积分即可。
证明：2
22222tan (tan
sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰
21225442531
42421
tan tan tan .1111
5tan tan tan tan 442
1111
tan tan tan tan tan ln cos .4242
n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=
--===-=-+=-+=--+⎰⎰⎰时， 习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★（1）
arcsin xdx ⎰
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0
x 优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx 。 解：2
1arcsin arcsin arcsin (1)2
xdx x x x x x =-=+
-⎰⎰
arcsin .x x C =+
★★（2）2
ln(1)x dx +⎰
思路：同上题。
解：22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x
dx x x dx x x +=+-=+-++⎰⎰⎰
22
2
2
222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .
x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++⎰⎰⎰ ★（3）arctan xdx ⎰
思路：同上题。
解：222(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++⎰⎰⎰1 21
arctan ln(1)2x x x C =-++
★★(4)2sin 2
x
x e dx -⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：
22221111sin sin ()sin cos 22222222
x
x x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ 2222222222111
sin cos ()
224221111sin (cos sin )
2242242
111sin cos sin 2282162
2sin (4sin cos ).
21722
x x x x x x x x x x
x x e d e x x x e e e dx x x x e e e dx
x e x x e dx C ----------=-+-=-+--=---∴=-++⎰⎰⎰⎰
★★(5)2
arctan x xdx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：32
332
111
arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x
dx x ==-+⎰⎰⎰ 33211arctan 331x x x x x dx x
+-=-+⎰3211arctan ()331x x x x dx x =--+⎰ 3322
223221111111arctan arctan (1)33313661111
arctan ln(1).366x x x xdx dx x x x d x x x
x x x x C =
-+=-++++=-+++⎰⎰⎰
★(6)cos 2
x
x dx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2
222222
x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-⎰
⎰
⎰⎰ 2sin
4cos .22
x x
x C =++ ★★(7)2
tan x xdx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：2
222
tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =
-=-=-⎰⎰⎰⎰
⎰d 2211
(tan )tan tan tan ln cos .22
xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+⎰⎰⎰
★★(8)2
ln xdx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：22
2
2
11ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x
x
=-⋅⋅=-=-+⋅
⎰
⎰
⎰
⎰
22ln 2ln 2ln 2ln 2.x x x x dx x x x x x C =-+=-++⎰
★★(9)ln(1)x x dx -⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：22
211ln(1)ln(1)ln(1)2221
x x x x dx x d
x x dx x -=-=---⎰⎰⎰ 221111
ln(1)221
x x x dx x -+=---⎰
2111ln(1)(1)221x x x dx x =--++-⎰ 221111
ln(1)ln(1)2422
x x x x x C =
-----+ ★★(10)22ln x dx x
⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：22
2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x =-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰
222211121122
ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C x x x x x x x x =-+-=--+=---+⎰⎰
2
(ln ln 2)x x C x
=-+++1
★★(11)cos ln xdx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：
1
cos ln cos ln sin ln cos ln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x
=+⋅=+⎰⎰⎰ 1
cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).
2
x x x x x x dx x x x x xdx
x
x
xdx x x C =+-⋅=+-∴=++⎰⎰⎰
★★(12)
2ln x dx x ⎰
思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 ★★(13)ln (1)n
x xdx
n ≠-⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：111111
ln ln ln 111n n
n n x x xdx xd
x x x dx n n n x
+++==-⋅+++⎰⎰⎰ 111ln 11n n x x x dx n n +=
-++⎰111ln .1(1)n x x C n n +⎛⎫
=-+ ⎪++⎝
⎭ ★★(14)2x
x e dx -⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：222222x x x x x x
x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+⎰⎰⎰
2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++
★★(15)32
(ln )x x dx ⎰
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：32
2
4
4241111(ln )(ln )()(ln )2ln 4
44x x dx x d x x x x x dx x
==
-⋅⋅⎰
⎰
⎰ 423424424442434244421111
(ln )ln (ln )ln 42481111111
(ln )ln (ln )ln 48848811111
(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =
-=-=-+⋅=-+=-++=-++⎰⎰⎰⎰ ★★(16)
ln ln x dx x ⎰
思路： 将积分表达式
ln ln x
dx x
写成ln ln (ln )xd x ，将ln x 看作一个整体变量积分即可。 解：ln ln 111
ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x
==-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分例题及答案
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 52 x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 22 23x dx x C -- =-+? ★(2) dx ?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 411 1 333 2223()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-= -+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 53 222223)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+?? ★★(5)422 3311 x x dx x +++? 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 2 2 1x dx x +?思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ?3 4 13 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 3 (1x +?思路:分项积分。 解： 2 23 1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9)思路？111 72 48 8 x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x dx x C == +?
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
不定积分习题及答案
1．求不定积分∫（x^2-1)sin2xdx ∫(x^2-1)sin2xdx 先括号拆开=∫x^2*sin2xdx-∫sin2xdx =-1/2*∫x^2dcos2x-1/2*∫sin2xd2x 先凑微分=-1/2*∫x^2dcos2x-1/2*∫sin2xd2x =-1/2*∫x^2dcos2x-1/2*(-cos2x+C) =-1/2*∫x^2dcos2x+1/2*cos2x+C =-1/2*(x^2*cos2x-∫cos2xdx^2)+1/2*cos2x+C =1/2*∫2xcos2xdx-1/2*x^2*cos2x+1/2*cos2x+C =1/2*∫xcos2xd2x-1/2*x^2*cos2x+1/2*cos2x+C =1/2*∫xdsin2x-1/2*x^2*cos2x+1/2*cos2x+C =1/2*(xsin2x-∫sin2xdx)-1/2*x^2*cos2x+1/2*cos2x+C =1/2*(xsin2x-1/2∫sin2xd2x)-1/2*x^2*cos2x+1/2cos2x+C =1/2*xsin2x+1/4*cos2x-1/2*x^2*cos2x+1/2*cos2x+C 2．∫1/(4-x^2)^(1/2)dx= ∫(x^2)/(1+x)^100 dx= ∫1/[(2-3x)(2x+1)] dx= ∫(sinx)^3/(2+cosx) dx= ∫1/{x [(1+x^2)]^(1/2)} dx= ∫1/{x [(1+x^2)]^(1/2)} dx=∫x/{x ^2[(1+x^2)]^(1/2)} dx==∫1/{2x ^2[(1+x^2)]^(1/2)} dx^2...在令t=x^2..分母把外面的x^2化进根号里面在配方一下就可以做了。∫(sinx)^3/(2+cosx) dx=∫-(sinx)^2/(2+cosx) dcosx=∫((cosx)^2-1)/(2+cosx) dcosx这样化下去就可以做了。∫1/[(2-3x)(2x+1)] dx=这个题目也很简单。先把分母展开。。在完全配方，，最后令x=cost 后者x=sint
不定积分测验题及答案
不定积分测验题 一、 选择题： 1、 设)(,)(21x F x F 是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ） （A ） C x F x F =+)()(21； （B ） C x F x F =?)()(21； （C ） )()(21x CF x F =； （D ） C x F x F =-)()(21. 2、若,)()(' x f x F =则?)(x dF =（ ） （A ）)(x f ； （B ） )(x F ； （C ）C x f +)(； （D ） C x F +)(.
3、)(x f 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在 （A ） 有极限存在； （B ） 连续； （C ）有界； （D ）有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ） （A ） 初等函数必存在原函数； （B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C ） 初等函数的原函数必定是初等函数； （D ） C B A ,,都不对 . 5、函数2 )()(x x x f +=的一个原函数=)(x F ( ) (A)334x ; (B)23 4x x ; (C))(3222x x x +; (D))(3 22x x x + .
6、已知一个函数的导数为x y 2='，21==y x 时且,这个函数是（ ） （A ）;2 C x y += （B ）;12+=x y （C ）C x y +=2 2 ; （D ）.1+=x y 7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A ）?-dx e x 2； （B ）?+31x dx ； （C ）?dx x ln 1； （D ）?dx x x ln . 8、?+=,)()(C x F dx x f 且,b at x +=则 ?=dt t f )(（ ） （A ）C x F +)(； （B ）C t F +)(; （C ）C b at F a ++)(1;（D ）C b at F ++)(.
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答摘要： 一、引言 1.1 积分的概念 1.2 不定积分的概念 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 2.2 不定积分的线性性 2.3 不定积分的连续性 三、不定积分的计算方法 3.1 基本积分公式 3.2 反常积分 3.3 复合函数积分 3.4 隐函数积分 3.5 参数方程积分 四、100 道不定积分例题及解答 4.1 例题1-10 4.2 例题11-20 4.3 例题21-30 ... 4.10 例题91-100 五、结论
5.1 不定积分在实际问题中的应用 5.2 不定积分的技巧和策略 正文： 一、引言 1.1 积分的概念 积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。 1.2 不定积分的概念 不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) = f(x)。不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。 二、不定积分的性质 2.1 不定积分的存在性 根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。 2.2 不定积分的线性性 不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=⎰一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =⎰、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________; 1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ϕ+++ 13()[()]()()[()]()() ()()() ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______1 1 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+⎰、设则：
不定积分例题及答案
不定积分例题及答案
求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 2 x x 思路: 被积函数 52 2x x x - ，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 222 23x dx x C x x -- =-+⎰ ★(2) 3 ( x dx x ⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 1 1 4 11 1 333 2223()()24 dx x x dx x dx x dx x x C x - - =-=-= -+⎰⎰⎰⎰3 x ★(3)22x x dx +⎰ （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 2232122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3 1 5 3 22222(3)325 x dx x dx x dx x x C -=-= -+⎰⎰x ★★(5)422 3311 x x dx x +++⎰ 思路:观察到4222 2 331 131 1 x x x x x ++=+ ++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42 23 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6) 2 2 1x dx x +⎰思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 2221arctan . 11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) x dx x x x ⎰3 4 1 3 4（-+- ）2思路:分项积分。 解： 3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3 4 1 3 4（-+- ）2 223134ln ||.423 x x x x C --= --++ ★(8) 2 2 3 ()11x x +-⎰思路:分项积分。 解： 2 22 23 1()323arctan 2arcsin .1111dx dx x x C x x x x =-=-+++--⎰⎰ ★★(9)x x x dx 思路x x x 111 7 2 48 8x x x x x ++=，直接积分。 解： 7 15 88 8.15 x x x dx x dx x C == +⎰
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要
习的深入，同学们会慢慢体会到! 课后习题全解 习题4TL 1. 求下列不定积分： 知识点：宜接积分法的练习一一求不泄积分的基本方法。 思路分析：利用不左积分的运算性质和基本枳分公式，直接求出不左积分! 思路：被积函数-^7= = x~i ,由积分表中的公式（2）可解。 天 解: dx x 2y/x 严一討+C 思路:根据不立积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别枳分。 丄 丄 1 1 j(x 3 -x 2\lx = ^x 3dx-^x 2 3， 丄 x 2dx = -x 3 -2x 2 +C ★⑶ J （2T +x 2to 思路:根据不立积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别枳分。 解：|(2V +x 2)(lx = ^2\lx + ^x 2dx = -^ + ^x 3 +C 思路:根据不龙积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分別积分。 3 1 少 5 3 解：f-7x(x-y)dx = J x^dx-3^x 2dx = —x 2 -2x 2 +C ★★⑸严;曹+认 3r 4 + 3r 2 + 1 1 思路:观察到 一匸—— =3/+ —后，根据不左积分的线性性质，将被积函数 分项，分别积分。 ★⑴
=J 3x 2dx + J ] " M = x' + arctan x + C ★★⑹ JR y- y- I 1 _ 1 1 思路:注意到一^= _ r =1 ---------------------- ，根据不世积分的线性性质，将被积函数分 1 + x" 1 + ；r 1 + 项，分别积分。 牙z B ：— -^dx= [ -1 --------------- Zv = x-arctanx + C. J 1 + ；r 」 」1 +对 注：容易看出(5) (6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假 分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★⑺ f (f--+4_4to j 2 x x 3 x l 思路:分项积分. g r z x 1 , 3 解：J (Z"_ —" J 2 x x 3 =—x 2 - In I x I - - x'2 + —x'3 + C ・ 4 2 3 ★⑻"Kk 思路:分项积分。 ★ ★⑼ J* \lxy]xyfxdx 思路：\jx\lxyfx =看到 J X J XA /7 = X 2 4*8 = X S ,直接积分。 解：I* Jxjx 長tlx = j x^dx =善JV * + C. **<10)L 2(I L 2)^ 思路:裂项分项积分。 f ~3 ----- —dx = f ( ---------- r* 任=f ~7 dx — f ------- dx = ------ n rctcin x + C. xdx- J ^-clx + 3 J x~\lx - 4j x~^dx 解："忌一沽严呵心心T d 1 dx = 3 arctan x - 2 arcsin x + C. Jl - .J
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全) LT
第4章不定积分名称主要内容 不定积分不 定 积 分 的 概 念 设() f x，x I ∈，若存在函数() F x，使得对任意x I ∈均有()() F x f x '=或()() dF x f x dx =，则称() F x为() f x的一个原函数。 () f x的全部原函数称为() f x在区间I上的不定积分，记为 ()() f x dx F x C =+ ⎰ 注：（1）若() f x连续，则必可积；（2）若(),() F x G x均为() f x的原函数，则 ()() F x G x C =+。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：()() d f x dx f x dx ⎡⎤= ⎣⎦ ⎰或()() d f x dx f x dx ⎡⎤= ⎣⎦ ⎰； 性质2：()() F x dx F x C '=+ ⎰或()() dF x F x C =+ ⎰； 性质3：[()()]()() f x g x dx f x dx g x dx αβαβ ±=± ⎰⎰⎰，,αβ为非零常数。计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设() f u的原函数为() F u，() u x ϕ =可导，则有换元公式： (())()(())()(()) f x x dx f x d x F x C ϕϕϕϕϕ '==+ ⎰⎰ 第二类 换元积 分法 设() x t ϕ =单调、可导且导数不为零，[()]() f t t ϕϕ'有原函数() F t， 则1 ()(())()()(()) f x dx f t t dt F t C F x C ϕϕϕ- ' ==+=+ ⎰⎰ 分部积分法 ()()()()()()()() u x v x dx u x dv x u x v x v x du x '==- ⎰⎰⎰ 有理函数积 分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处 理按情况确定。 本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 习题4-1 1.求下列不定积分：
不定积分例题及参考答案
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第4章不定积分 内容概要 名 称 主要内容 不定不 定 积 分 的 概 念 设() f x，x I∈，若存在函数() F x，使得对任 意x I∈均有()() F x f x '= 或()() dF x f x dx =，则称() F x为() f x的一个原函数。 () f x的全部原函数称为()f x在区间I上的不 定积分，记为 ()() f x dx F x C =+ ⎰ 注：（1）若() f x连续，则必可积；（2）若(),() F x G x 均为() f x的原函数，则()() F x G x C =+。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：()() d f x dx f x dx ⎡⎤= ⎣⎦ ⎰或()() d f x dx f x dx ⎡⎤= ⎣⎦ ⎰； 性质2：()() F x dx F x C '=+ ⎰或()() dF x F x C =+ ⎰； 性质3：[()()]()() f x g x dx f x dx g x dx αβαβ ±=± ⎰⎰⎰，,αβ为非零常数。 计 算 方 法 第一 换元 积分 设() f u的原函数为() F u，() u x ϕ =可导，则有换元公式： (())()(())()(()) f x x dx f x d x F x C ϕϕϕϕϕ '==+ ⎰⎰
积分法 （凑 微分 法） 第二 类 换元 积 分法 设() x t ϕ =单调、可导且导数不为零，[()]() f t t ϕϕ'有原函数()F t，则 1 ()(())()()(()) f x dx f t t dt F t C F x C ϕϕϕ- ' ==+=+ ⎰⎰ 分部 积分 法 ()()()()()()()() u x v x dx u x dv x u x v x v x du x '==- ⎰⎰⎰ 有理 函数 积分 若有理函数为假分式，则先将其变 为多项式和真分式的和；对真分式 的处理按情况确定。 本章的地位与作在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法. 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分！ ★<1> 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式〔2〕可解. 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+⎰ ★<2> dx - ⎰ 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分. 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★<3>22 x x dx +⎰ （） 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分. 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰ ⎰⎰（） ★<4> 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分. 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰ ⎰⎰ ★★<5>422331 1x x dx x +++⎰ 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分. 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰
★★<6>2 21x dx x +⎰ 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分. 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出<5><6>两题的解题思路是一致的.一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分. ★<7>x dx x x x ⎰ 34 134（ -+-）2 思路:分项积分. 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰ ⎰⎰⎰⎰34134（- +-）2 ★ <8> 23(1dx x -+⎰ 思路:分项积分. 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰ ⎰ ★★ <9> 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==,直接积分. 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+⎰ ⎰ ★★<10> 221 (1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分. 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★<11>21 1 x x e dx e --⎰
不定积分例题及答案
不定积分例题及答案LT
★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰ ，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]() d f x dx f x dx =⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得： 2 2 ()()11xf x f x x x x =∴=-- ★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰ 所以()f x 的原函数全体为：112 cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰ （）。 ★4、证明函数21 ,2 x x e e shx 和x e chx 都是 s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 解： 2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x = ，()ln ||f x x C ∴=+；又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有 23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+ ★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt ， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3 (3)3 27f ==米； (2)令33360360t t =⇒ 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ⎰思路:凑微分。 解：33311(3)33 t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1 ).12)(12(1224+-++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 1 1 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++-=⎰⎰⎰⎰ 解法2 dx x x x x x x x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3 ⎰⎰⎰+-=++=++≠2222242 )1 (1111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221 arctan 21 lim 20π -=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π =-- →x x x 由拼接法可有
.0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧<+--=>++-=++⎰x c x x x x c x x dx x x ππ 例2. 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(22 2223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再 令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有 . arctan 21 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰ 例3. 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u du dx x x x x ,1 1)()1(12 22+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.2 1 ,0-=⇒++=C C B A 令