导数中的距离问题

导数压轴题型第1讲 距离最值问题(mathtype WORD精编版)

目录 一级标题........................................................................................ 错误!未定义书签。 一、二级标题......................................................................... 错误!未定义书签。 1.1三级标题.................................................................... 错误!未定义书签。 1.1.1四级标题.......................................................... 错误!未定义书签。 二、二级标题......................................................................... 错误!未定义书签。 1.1三级标题.................................................................... 错误!未定义书签。

距离最值问题 一、 曲线上的点到直线上的点的距离最小值 曲线()ln 2y x =上任意一点P 到直线2y x =的距离的最小值是_________. 曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ． B ．2 C ． 解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离． ∵y ′＝22x －1，∴2 2x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8| 4＋1＝2 5. 设点P 在曲线x e y 2 1= ，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 最小值为__________. 【答案】)2ln 1(2- 【解答】反函数，转成曲线到直线y x =距离最小值的两倍 (2019秋 龙岩期中)已知实数a ，b 满足240a lna b --=，c R ∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为( ) A B ．95 C D ．15 【解答】x 代换a ，代换，则，满足：，即， 以代换，可得点，满足． 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方． 设直线与曲线相切于点，， y b x y 240x lnx y --=2 4(0)y x lnx x =->x c (,2)x x -20x y +=22 ()(2)a c b c -++2 4y x lnx =-20x y +=20x y m ++=2 4()y x lnx f x =-=0(P x 0)y

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

导数计算(2)

（理）1.2 导数的计算 1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 （文）3.2 导数的计算 3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ［素养目标］ 1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。 2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。 【课前·预习案】 [问题导学] 知识点1. 导数的运算法则 【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能． 〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数 符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数 符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋ f (x ) g ′(x )． 特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝ cf ′(x )． (3)商的导数 符号表示：???? ?? f (x ) g (x )′＝ f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． （理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ? ? ???3x －π4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π 4 ，y ＝f (u )＝cos u ， ∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ? ? ???3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数 复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( ) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( ) (3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( ) 解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x+x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．

导数的基本概念

导数的运算及几何意义 【知识回顾】 1.导数概念 ①函数在点处的导数 ： (x o )==深刻 理解“函数在一点处导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系。 函数y=f （x ）在点x 0处的导数（）就是导函数（）在点x= x 0处的函数值，即（）=（）|x=x0. ②导函数：导函数也简称导数。 ③导数的几何意义：函数f （x ）在区间处的几何意义，就是曲线y=f （x ）在 点p （，f （））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点P （，f （））处切线的斜率是（）。相应地，切线方程为y-y 0=（）（x-x 0）。 2.常用的导数公式 ①C x f =)(（C 为常数），则_________；②n x x f =)(，则_____________ ③x x f sin )(=，则_______________； ④x x f cos )(=，则___________ ⑤x a x f =)(，则_______________； ⑥x e x f =)(，则___________ ⑦x x f a log )(=，则_____________； ⑧x x f ln )(=，则___________ 3.导数的基本运算法则 法则1：_________________])()([='±x g x f ；法则2：_________________])()([='?x g x f 法则3：_________________]) ()([='x g x f

4.复合函数求导：___________________________ 【经典例题】 例题1.已知函数x e x x f 223)(2-=，则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0（ ） 4.A 2.B 2.-C 4.-D 变式练习：已知函数x x x f 23)(3-=，则=?-?→?x f x f x )0(2)(2lim 0（ ） A.4 B.2 2.-C D.4- 例题2.求下列函数的导数 ①65324+--=x x x y ②x x y sin = ③1 1+-=x x y ④)3 2sin(π+=x y ⑤)3(log 2x y = 变式练习：以下运算正确的个数（ ） ①21)1(x x =' ②();sin cos x x -=' ③() ；2ln 22x x ='④()10 ln 1lg x x -=' 1.A B.2 C.3 D.4 例题 3.已知函数)(x f y =在R 上可导，若函数)4()4()(22x f x f x F -+-=，则 _____)2(='F 变式练习：已知函数()()()()x e f x x f x f x f ln 2,+'='且满足的导函数为（其中e 为自 然对数的底数），则()='e f （ ） A.1 B.-1 C.-e D.1--e 例题 4.等比数列{}n a 中，4,281==a a ，函数)())(()(821a x a x a x x x f ---=Λ，则 ______)0(='f A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 变式练习：设函数()()()()=='-++=k f k x k x k x x x f 则且,6)0(,32（ ） A.0 B.-1 C.3 D.-6 例题5.过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________ 变式练习：曲线1 2-=x x y 在点)1,1(处的切线方程为____________________ A. 02=--y x B. 02=-+y x B. 054=-+y x D. 054=--y x 例题6.设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线062=--y x 平行，则a 的值为____

导数

x y x y e y x y x ln .413.3.2)12(.1.) 12(3=+==-=+ 求下列函数的导数 一 ）处的切线方程 ，在点（求曲线求切线方程 二112.1.3--=x x y ）的切线方程 ，过点（求曲线112.23--=x x y ）的切线方程 过点（求曲线0,11.32-++=x x y ______2ln .42的最小距离为：到直线上任意一点，则是-=-=x y P x x y P 1 188.23.1.23423-+-=-=x x x y x x y 图 列表，求极值，并画简三 ] 4,1[,3.23-∈-=x x x y 列表，求最值，画简图 四

x x y x x y x x y x x y ln .4ln .3ln .214.1.2 ==?=+= 画草图 用导数研究函数图像，五 求单调区间六. )(1ln )(.1R a x x a x f ∈-= 范围 恒成立，求对）（求单调区间a x x f R a x a x x a x f ),0(0)(2)1()()1(21ln )(.22+∞∈?≥∈+-+ = 讨论单调性)1(11ln )(.3<--+ -=a x a ax x x f 的取值范围上单调，求在区间已知范围 已知单调区间，求参数七a x x a x x f ]2,1[,ln 23)(.1.2+-=

的取值范围）上为减函数，求在a R a e ax x x f x +∞∈+=,3[)(3)(.22 的范围单调，求在a x ax x x f ]3,1[653 1)(.323+++= 的取值范围有两个极值点，求已知，则时有极值在已知极值求参数 八a ax x x x f b a x a bx ax x x f )(ln )(.2____013)(.1.223-==--=+++= 的取值范围个不同的交点，求的图像有图像与已知交点个数问题 九m m x x x g e x x x f x 32 131)()1()(.232++= -+-= 111)(00)(12)1()(.2++-≤-≥=++-=x x e x f x a x x f x e ax x f x x 时，②证明：当①求处取极值在且几个特殊的不等关系式 十

导数方法与技巧

专题：导数定积分方法与技巧 一、求切线的四种情况： 1、求)(x f y =在),(00y x P 处的切线方程（切线唯一） 所求切线方程为：))((00'0x x x f y y -=- 2、求)(x f y =过),(00y x P 点的切线方程（切线可能有两条） 设切点))(,(11x f x P 1 0101' ) ()(x x x f y x f k --= =?求出1x 所求切线方程为：))((01'0x x x f y y -=- 3、求)(x f y =、)(x g y =在两曲线交点),(00y x P 处的公切线方程（切线唯一） 所求切线方程为：))((00'0x x x f y y -=- 4、求)(x f y =、)(x g y =在两曲线公切线方程（切线不一定唯一） 设切点))(,(11x f x P ，))(,(22x f x P 1 0102' 1' ) ()()(x x x f y x f x f k --= ==?求出1x 所求切线方程为：))((01'0x x x f y y -=- 1、已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线 ()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 2、已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点(2,0)P 处的切线方程是 ． 3、已知点)2,1(A 在函数3 )(ax x f =的图像上，则过点A 的曲线 )(:x f y C =的切线方程是( ) A ．046=--y x B ．074=+-y x C ．046=--y x 或074=+-y x D ．046=--y x 或0123=+-y x 4、已知函数，. （1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求， 的值； ()2 ()10f x ax a =+>3 ()g x x bx =+()y f x =()y g x =()1,c a b

通俗易懂的导数基础讲义

导数基础讲义 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 序章函数 一件事变成了这样，使得另一件事变成了那样。所谓函数，说的就是事物间的相关性，函数说到底就是用来描述“关系”（或因果）“变化”或者“单位变化”的工具。 y=f(x) 就是使用f给x施加某种规则或关系，进而推导出y。 例：声速和气温可以用函数表示，每上升1℃，声速就会提高0.6m/s，y=0.6x+331。 温度为15℃时，声速=0.6x15+331=340m/s 例：将华氏温度x（℉）变换为摄氏温度y（℃），y=(x-32)*5/9 x=50℉时，y=（50-32）*5/9=10℃； x=68℉时，y=（68-32）*5/9=20℃ 第一章微分就是将函数化繁为简 在讨论局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原

函数，进而推导出正确的结论。 g(x)=2x-1的结果相等；离x=1处越近，用g(x)近似f(x)的效果就越好。 误差率=（f与g的差异）/（x的变化量），从上表可以看出，在某值附近，用简单的一次函数，就可以近似复杂的函数，距离某值越

近，近似的效果越好。所谓近似成一次函数，就是令原函数的误差率为0的情况。 在x=x 0处，用来近似f(x)的一次函数g(x)=kx+b ，其中，k 被称为f(x) 在x=x 0处的微分系数，k=f ’(x 0)，就是y= f(x)在x=x 0处切线的斜率。 由y=f(x)求解导函数 的过程称为微分 求几个常用的函数的导数： 1、函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为 ()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程 关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为 ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim 11x x y y ?→?→?'=== 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程 关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 0000 0()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ? →?→+?-?'==??,() .dy y f x dx ''或

导数中的距离问题

导数的距离专题 培优点一：直线与曲线的两点距离问题 1．（2013北仑区校级期中）设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则||PQ 的最 小值为( ) A ．122ln ? B 2)ln ? C ．122ln + D 2．（2019宝鸡一模）设函数222()()(2)f x x a lnx a =?+?，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得 04() 5f x 成立，则实数a 值是( ) A ．15 B ．25 C ．12 D ．1 3．（2015曲靖校级月考）设函数22()()(22)f x x a ln x a =?+?，其中0x >，a R ∈，存在0 x 使得01() 5f x 成立，则实数a 的值为( ) A ．110 B ．25 C ．15 D ．1 4．（2014桃城区校级期中）已知23b a lna =?+，2d c =+，则22()()a c b d ?+?的最小值为 ( ) A B ．2 C ．D ．8 5．（2016福建模拟）已知实数a ，b 满足2250a lna b ??=，c R ∈最小值为( ) A ．12 B C D ．92 6．（2016徐州三模）若点P ，Q 分别是曲线4x y x += 与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为 ． 47.7．（2017杏花岭区校级模拟）若点P 是曲线2322 y x lnx = ?上任意一点，则点P 到直线52y x =?的距离的最小值为( ) A B C ．2 D 8．（2017绵阳月考）若存在实数x ，使得关于x 的不等式222()12910 x e a x ax a ?+?+（其中

导数问题的六大应用

导数问题的六大热点 导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考． 一、运算问题 是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题． 例1已知n a ,0>为正整数.设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明． 证明：因为n k k n n C a x 0)(=∑= -k k n x a --) (， 所以1 () n n k k k y k a x --='= -∑ n k n 0 =∑ = 11 1 1() () k n k k n n C a x n x a ------=-． 例2 ⑴ 已知y ＝(x ＋1)2 ，用定义法求y '． ⑵ 求y ＝2x 2 －3x ＋4－ 2 32x x + 的导数． ⑶ 已知函数f (x )f '(1)＝2，求a 的值． 分析：对于⑴运用导数的定义，即y '＝0 lim x y x ?→??，即可解决；对于⑵可应用(u ±v )'＝v ＋u 以及1 ()'x x α αα-=解之；对于⑶是逆向型的复合函数导数运算问题，用'''x u x y y u =?及 方程思想即可解决． 解析：⑴ y '＝0 lim x y x ?→??＝22 (1)(1) lim lim (22)x x x x x x x x ?→?→+?+-+=++??＝2x ＋2． ⑵ 由法则，即得y '＝4x －3＋ 2 3 34x x - ． ⑶ ∵()f x '＝2 1(ax 2 －1) 12 -?2ax ，即f '(1)＝a (a －1)12 -＝2，解得a ＝2． 二、切线问题 是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：

考点10 导数的概念及其几何意义(原卷版)

考点10 导数的概念及其几何意义 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数()432f x x x =-的图像在点()() 1,1f 处的切线方程为 （ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 3.会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数） 【2020年高考全国Ⅲ卷文数15】设函数()e x f x x a =+，若()e 14 f '=，则a = ． 【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点 （-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 2.命题方向预测： 导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． 3.课本结论总结： 1. 基本初等函数的导数公式

整理模板：导数中的距离问题

08导数中的距离问题 1.铅垂线型距离问题 2.水平线间的距离问题 3.直线与曲线的两点距离问题 4.曲线与与曲线的两点距离问题

1.铅垂线型距离问题 1.设m x =与函数32)(2 +-=x x x f ，52)(-=x x g 的图像分别交于点N M ,，求MN 最小值. 答案：4 2、设m x =与函数2 )(x e x f x +=，1)(-=x x g 的图像分别交于点N M ,，求MN 最小值. 答案：2 3、设m x =与函数3 )(x x f =，x x g ln )(=的图像分别交于点N M ,，则MN 最小值为（ ） A. 3ln 1x + B.3ln x C.3 ln 1x - D.13ln - 答案：C 4、设m x =与函数1)(2 +=x x f ，x x x g +=ln )(的图像分别交于点N M ,，则MN 最小值. 答案：1 5、设m x =且0>m 与函数x e x f =)(，2 2 11)(x x x g + +=的图像分别交于点N M ,， 则MN 的取值范围. 答案：[)∞+， 6、（2019年福建泉州一测）已知函数t x =与函数2)(+?=x e x x f ，x e x x g = )(的图像分别交于点N M ,，则MN 的最小值是（ ） A.1 B.e 2 2- C.2 D.2 答案：D 2.水平线间的距离问题

1.（2018 乐山三模）直线a y =分别与直线)1(2+=x y ，曲线x x y ln +=交于B A ,两点，则AB 的最小值. 答案：2 3 2.（2015玉溪校级期末）直线a y =分别与直线)1(2-=x y ，曲线x e x y +=交于B A ,两点，则AB 的最小值. 答案：2 3 3.（2019武昌区校级期中）直线a y =分别与直线32+=x y ，曲线x y 2ln =交于B A ,两点，则AB 的最小值（ ） A.1 B.2 C.554 D.5 5 2 答案：D 4.已知函数??? ??≤+>-=0,12 30 ,1)(x x x e x f x ，若n m <，且)()m (n f f =，则n m -的范围. 答案：)3 123ln 32 +，（ 5.直线b y =分别与函数32+=x y ，x ax y ln +=交于B A ,两点，若AB 的最小值为2.求b a +的值. 答案：2 6、（2018全国四模）直线a y =分别与直线1-=x y ，曲线1+=x e y 交于B A ,两点，则AB 的最小值.

导数的距离问题专题

导数的距离问题专题 1．设点P 在曲线x e y 2 1=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A.1ln2- B.)2ln 1(2- C.1ln2+ D.)2ln 1(2+ 答案：B.（2012全国新课标1卷理数12） 2．设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈.若存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 成立，则实数a 的值为（ ） A ．15 B ． 25 C ． 12 D ． 答案：A 2．已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则2 2)()(c d b a -+-的最小值为 （ ） A ．5103 B ．518 C ．516 D ．512 答案：B 3. 选B 答案5 4.（2015级绵阳一诊）若存在实数x ，使得关于x 的不等式222()12910 x e a x ax a -+-+≤（其中e 为自然对数的底数）成立，则实数a 的取值集合为( ) A ． 1{}9 B ．1[,)9+∞ C ．1{ }10 D ．1[,)10+∞ 答案: C ．

5.设函数222()()()(R)4e a f x x a a -=+-∈，若关于x 的不等式1()5 f x ≤有解，则实数a 的值为（ ） A. 15 B.14 C. 0 D.12 答案：A 6.已知实数,,,a b c d 满足：2e a b a =-，4c d +=，其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为( ) A.1 B.18 C. 20 D.22 答案：B 7. 若实数,,,a b c d 满足22(eln )(3)0b a c d -+-+=，则22 ()()a c b d -+-的最小值为 答案： 92 8.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d 满 足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为_________ 答案：1 9.已知实数,,,a b c d 满足2e 111 a a c b d --==-,其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为( A ) A.8 B.10 C.12 D.18 答案A 10、 ( 2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理12)已知实数满足其中是自然对数的底数, 则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． ,,,a b c d 11 12=--=-d c b e a a e 22 ()()a c b d -+-481218

导数公式

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 一些初等函数： 两个重要极限： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

(完整版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。

导数定义及意义

函数的定义和几何意义 1．设函数()2 32f x x x =+-，则 ()() 121lim x f x f x →∞ +?-=?（ ） A. 5 B. 5- C. 10 D. 10- 2．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0 (1)(1) 3lim x f x f x x →--+= A ．3 B ．23- C ．13 D ．32 - 3．已知函数f （x ）=2ln3x+8x ，则 的值为（ ） A ．﹣20 B ．﹣10 C ．10 D ．20 4．已知点P 在曲线4 1 x y e = +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4 π) 5．函数x e x sin y +=的图象上一点（0,1）处的切线的斜率为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 6．点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为 A. B. C. D. 7．设函数，若曲线 在点 处的切线方程为，则点的坐标为 A. B. C. D. 或 8．过点)1,1(-且与曲线x x y 23 -=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x

9．若()f a '=A ，则()() lim x f a x f a x x ?→+?--?=? ． 10．函数()ln f x x =在1x =处的切线方程是________________． 11．经过点）（1,2P 且与曲线32()21f x x x =-+相切的直线l 的方程是____________. 12．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为 . 13．已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 ． 14．曲线y ＝xln x 在点（e ，e ）处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________． 15．已知函数 ，点为曲线在点处的切线上的点，点在曲线上， 则的最小值为__________．

导数的概念及计算

导数的概念及运算 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy )()(0 0x x f x f -?+= （2）求平均变化率x f x f x y x x ?-?+=??)()(00. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →?x x y ??.=0 lim →?x x f x f x x ?-?+)()(00 例题1：（1）若,3)(='a f 则0lim →?x =??--?+x a f x a f x 2)()3( （2）0lim →?x =?-?+x x 1ln )21(ln 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0 处的 解析：斜率.；瞬时速度. 例题1：曲线310y x 3+-=x 在点P 出切线的斜率为2，且P 在第二象限，则点P 的坐标为 例题2：一小球沿一斜面从静止自由落下，10s 内的运动方程为t 2t s =）（，则在t=5s 时的瞬时速度为 3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： '()u v ±=''u v ±；'()uv = ；' u v ??= ??? (0)v ≠.