拉氏变换在电路分析中的应用
第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用
重点：
1． 元件的复频域模型
2． 拉氏变换及其在电路分析中的意义 3． 应用拉氏变换分析线性电路
在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于2或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。
拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。
13-1 有关知识的复习
13.1.1 拉氏变换的定义
一、拉氏变换
定义在区间)0[∞，内的函数)(t f ，其拉氏变换)(s F 的定义为?
∞
--
=
00)()(dt e t f s F st
其中s 为复频率ω+α=j s ，)(s F 为)(t f 的象函数，)(t f 为)(s F 的原函数。 二、拉氏反变换
?
∞
+∞
-π=
j c st j c ds e s F j
t f 0)(21
)(
三、表示
L )()]([s F t f =，L )()]([1t f s F =-
注意：我们用大写的字母表示频域量，如)(s U 、)(s I 等，用小写字母表示时域量，如)(t u 、)(t i 。
13.1.2 拉氏变换的基本性质
一、唯一性：原函数)(t f 与象函数)(s F 一一对应。
二、线性性：)()(11s F t f ?，)()(22s F t f ?，则：)()()()(22112211s F A s F A t f A t f A +?+ 三、时域导数特性：L )0()()]('[--=f s sF t f 四、时域积分特性：L s s F d f t
/)()(0=ξξ?-
五、卷积定理：L )()()]()([2121s F s F t f t f ?=*
13.1.3 常用时间函数及其象函数
见书中P294。——一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果。A t A ?δ)(s A t A ?
ε)(α
-?
α-s A
Ae t 13.1.4线性动态电路方程的拉氏变换解法
以一个典型的二阶电路为例： 800=R ，
200=L ，μ=1000C ，)()(t t u s ε=，V u C 1)0(=-，mA i 2)0(=-
i L (t ) L
该电路的电路方程为：
)(55422
t u dt
du dt u d C C
C ε=++ 其中且：V u C 1)0(=-，V i C
u C 2)0(1)0('==
-
- 两边同时拉氏变换：s s U u s sU u su s U s C C C C C C /5)(5)]0()([4)]0(')0()([2=+-+-----
6/5)()54(2++=++s s s U s s C
)
54(5
6)54(6/5)(2
22++++=++++=s s s s s s s s s s U C 13.1.5 拉氏反变换的计算
一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s 的多项式之比。即)()
()(s D s N s F =，而在电路分析中，该式一般为真分
式。（如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）
下面我们来看一看真分式的部分分式展开。
一、当0)(=s D 有n 个不同的实根1p ，1p ，…，n p 时
n
n p s k p s k p s k s D s N s F -++-+-== 2211)()
()(
其中：
])
()
()[(lim s D s N p s k i p s i i
?
-=→ 例题： 已知：6
55
4)(2+++=s s s s F
求：)(t f
3
2)3)(2(5
46554)(212+++=+++=+++=
s k s k s s s s s s s F
而：
3)3(54)3)(2(54)2(2
2
1-=++=
+++?+=-=-=s s s s s s s s k
7)
2(54)
3)(2(54)3(3
3
2=++=
+++?
+=-=-=s s s s s s s s k
因此：
3
7
23)(++
+-=
s s s F 所以：
t t e e t f 3273)(--+-=
二、当0)(=s D 有m 个重实根时
∑
=--+-++-+-==n
i i
i
m
m m p s k p s k p s k p s k s D s N s F 2
111211111)
()()()
()(
其中：
1
)
()()(111p s m s D s N p s k =?-=
1
]
)()()([112p s m s D s N p s ds d
k =?-=
1
])()()([211
2213p s m
s D s N p s ds d k =?-=
1
])()()([)!1(11
111p s m
m m m
s D s N p s ds d m k =--?--= 例题： 已知：12
1675
4)(23++++=s s s s s F
求：)(t f 解：3
)2(2)3()2(5
41216754)(221112223+++++=+++=++++=
s k s k s k s s s s s s s s F
那么：3)
3(54)
3()2(54)2(2
2
2211-=++=
+++?
+=-=-=s s s s s s s s k
7
])3(7
[
])3()54(1)3(4[])3()2(5
4)2[(2
222
22212=+=++?-+?=+++?+=
-=-=-=s s s s s s s s s s s ds d k
7)
2(54)
3()2(54)3(3
3
22-=++=
+++?
+=-=-=s s s s s s s s k
因此：3
7
)2(327)(2+-++-++=
s s s s F 所以：t t t e te e t f 322737)(-----=
三、当0)(=s D 有两个共轭的复根ω+α=j p 1，ω-α=j p 2时
)cos(||2)()()('112
1θ+ω=ω-α-+ω+α-=αt e k j s k j s k s F t
其中：ω+α=ω+α==?ω+α-=j s j s s D S N s F j s k )(')()]()([1，ω
-α=ω-α==?ω-α-=j s j s s D S N s F j s k )(')
()]()([2
而：ω
+α=ω+α==
?ω+α-=j s j s s D S N s F j s k )(')
()]()([1，11k ∠?=θ
例题：P297
再以13.1.4中的例题为例：
)
12()12()54(5
6)(3212
2j s k j s k s k s s s s s s U C +++-++=++++=，即：0=s ，ω±α=±-=j j s 12 1|)(01===s C s sU k ，*
3
1
2221
22158356)
(')
(k j s s s s s D s N k j s j s =-=++++==
+-=+-= t e t e t u t t C sin 21)901cos(121)(22--+=?-????+=V
13-2 应用拉氏变换分析线性电路
13.2.1 元件的复频域模型——运算电路
各种基本元件的VCR ，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。 一、电阻
因为：)()(t i R t u R R ?=，两边同时取拉氏变换：L )]([t u R = L )]([t i R R ?。这样
)()(s I R s U R R ?=
即： i (t ) R
R R
二、电容
因为：?
-
+
=-t
C C C dt t i C
u t u 0)(1)0()(
两边同时取拉氏变换：L )]([t u C = L ?
-
+-t
C C dt t i C
u 0])(1)0([
这样：s
u s I sC s U C C C )0()(1
)(-+?=
即：
+ u C (t ) - +
sC C - + s
- -
根据源变换的原则：
C
当电容的初始储能为零时：
1
C
+ U C (s )
-
三、电感 因为：dt
t di L
t u L L )
()(= 两边同时取拉氏变换：L )]([t u L = L ])
([dt
t di L L 这样 )0()()(--?=L L L Li s I sL s U 即：
i L (t ) L + u L (t ) - L L -
根据源变换的原则：
+ U L (s ) - i L (t ) L +
- u L (t )
L -
当电容的初始储能为零时：
i L (t ) L I L (s ) sL + u L (t ) - + sLI L (s ) -
四、耦合电感
+
u 2
_
I
+
U 2(s)
L 1(0-)
(0-) _ _
dt di M dt di L u 211
1+= dt di
M dt di L u 1222+=
两边同时取拉氏变换有：
)0()()0()()(2211111---+-
=Mi s sMI i L s I sL s U
)0()()0()()(1122222---+-=Mi s sMI i L s I sL s U 这样其运算等效电路为图所示。
五、独立电源
直接将独立源的函数进行拉氏变换。 常用稳恒电源（电压源、电流源）：A s
A
?
六、受控源 直接加上系数即可。
13.2.2 线性电路的分析
一、分析步骤
1．根据换路前一瞬间的工作状态，计算)0(-C u 及)0(-L i ；
2．将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型）；
3．根据一般的电路分析方法——如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进行分析，计算出响应的象函数
4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。 二、例题 1．已知：
0.1H 1
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）
2
32122)5()5()6()5)(6(1
)6)(5)(5(1)
3011)(5(1
2
2222221.011
5
1
.0)(++
+++=++=+++=+++=
+?
+
?
++?+=
s k s k s k s s s s s s s s s s
s
s s s s I 其中： 1)5(16
2
1=+=-=s s k
1])6(1[]61[5
252-=+-=+=
-=-=s s s s ds d k
1)
6(15
3=+=
-=s s k
所以：
2
)5(1
)5(1)6(1)(+++-+=
s s s s I
)( )()()(556A t te e e t i t t t ε+-=---
2．已知：
求：)(t u R ，)(2t i C
解：0)0(1=-C u ，0)0(2=-C u
因此可以绘出原电路对应的复频域模型 所以
105
120120
2012012010)(+=
?+?+
?+
=s s s s
s s
s
s U R 105.225.040420112012012010
)(2+-
=+=+?+
?+
=s s s s s
s s
s s I C 所以：V t e t u t R )(5)(10ε=-，A t e t t i t C )(5.2)(25.0)(102ε-δ=- 3．已知：V t u C 3)(=，A t i L 2)(=
t )
+ 0.
(s )
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）。
根据节点电压法：
s
s
s s s s s U C 02.006
.022
1)5.002.016)((-+=++
2
22228)6(168)6()6(210012425.0506311)(++-+++=++-=++-
+=s s s s s s s
s
s s s U C 2
222228
)6(14
8)6()6(21)10012(100136302.006.0)()(+++++++=++++=+=s s s s s s s s s S s U s I C L 所以：
)
( )1358sin(82.28sin 28cos 2)(666V t e
t
e t e t u o
t
t t C +=-=--- )
( )14.88sin(14.1418sin 148cos 21)(666A t e
t
e t e t i o
t
t t L ++=++=---
拉氏变换及其在电路应用
拉氏变换与电路设计计算 要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。 在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）； 其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。 然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1） Io=Vi（s） --------------------（2） Vo=Ii（s） --------------------（3） Io=Ii（s） --------------------（4） 下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）； 而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）； 至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。 例子：
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
第2章 拉氏变换与反变换
第二章 拉氏变换与反变换 拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。 一、拉氏变换的定义 设f(t)是以时间t 为自变量的实变函数，0≥t （定义律），那么f(t)拉氏变换的定义为： dt e t f t f L s F st ?∞ -? ==0)()]([)( （2-1） 式中：S 是复变数： Jw S +=σ （可用点、向量、三角（指数）表示） ? ∞ -0 dt e st ——拉氏积分 F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。 f(t)——原函数 L ——拉氏变换的符号 拉氏反变换 ?∞ +∞ --= =j j st ds e s F j s F L t f σσ π)(21)]([)(1 （2-2） 式中：1-L 拉氏变换的符号 上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。 二、几种典型函数的拉氏变换 1．单位阶跃函数1（t ）的拉氏变换 如图所示，单位阶跃函数定义为 ?? ?=?1 0)(1t 0≥ 拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则 有 ： F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。 2、位移定理 ?? ?复数域的位移定理实数域的位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有 ) s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间a. 证明：?∞ --=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ， 2拉氏变换 2. 1 拉氏变换定义 2. 2 简单函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数l（t）； 2、指数函数eat·I（t）； 3、正弦函数sinωt·和余弦函数cosωt·I（t）； 4、幂函数tn·I（t）。 2. 3 拉氏变换的性质 1、满足叠加原理； 2、微分定理； 3、积分定理； 4、衰减定理； 5、延进定理； 6、初值定理； 7、终值定理； 8、时间比例尺改变的象函数； 9、tx（t）的象函数； x（t） 10、——的拉氏变换； t 11、周期函数的象函数； 12、卷积分的象函数。 2. 4 拉氏反变换 1、只含不同单极点的情况； 2、含共轭复数极点情况 3、含多重极点的情况。 2. 5 用拉氏变换解常系数线性微分方程 3 系统的数学模型 3.1基本环节数学模型 3.1.1 质量——弹簧——阻尼系统 应用牛顿第二定律建立质量——弹簧——阻尼系统的运动微分方程。 3.1.2 电路网络 应用基尔霍夫定律和区姆定律建立电路网络系统的微分方程。 3.1.3 电动机 应用力学、电学方面定律建立电枢控制式直流电动机的数学模型。3.2 数学模型的线性化 （一）各类非线性现象。 （二）系统线性化处理的方法。 3.4 传递函数以及典型环节的传递函数 （一）传递函数的定义。 （二）传递函数的特点。 3.4.1 比例环节G（s）=K （其中K为常数） 3.4.2 一阶惯性环节G（s）=——（其中T这时间常数）TS+1 3.4.3 微分环节 1、理想微分环节G（s） 2、近似微分环节G（s） 2.4.4 积分环节G（s） 2.4.5 二阶振荡环节G（s） 3.5 系统函数方块图及其简化 1、方块图单元； 2、比较点； 3、引出点； 4、串联； 5、并联； 6、反馈； 7、方块图变换法则； 常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥ ? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥ 控制原理补充讲义——拉氏变换 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时， ，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 注意：六大性质一定要记住 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见下表：拉氏变换对照表 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2 ,函数f 1 (t),f 2 (t),且f 1 (t),f 2 (t)的拉氏变换为F 1 (s),F 2 (s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有 , 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式= 例：求其拉氏变换 附录A 拉普拉斯变换及反变换 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111111)()()( 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1拉氏变换 2.1.1拉氏变换的定义 若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作 [()]f t L 或)(s F ，并定义为： [()]()()e d L st f t F s f t t +∞-==? （2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。 必 e 1 [1()]1e d L st st t t s s +∞ -+∞-=?=- =? (2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图2.2所示。 其定义为 ()0 t t t δ∞ =?=? ≠? 同时， ()d 1t t δ+∞=? ，即脉冲面积为1。而且有如下特性： ()()d (0)t f t t f δ+∞-∞ ?=? (0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。 (0) ()(0) t f t t t 1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ） （ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 复变函数与积分变换模拟题 1 一、判断题（正确打√，错误打?， ） 1． )7Im()5Re(63i i e e π π <. （ ） 2．设iv u z f +=)(，若 x v x u ????,存在，则 ()u v i f z x x ??'+=??. ( ) 3．设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线，则?=c dz z f 0)(.（ ） 4．若iv u z f +=)(是解析函数，则,u v 都是调和函数. ( ) 5．幂级数01 ()n n n a z z ∞ =-∑必在其收敛圆上收敛. （ ） 6．0 1z =为函数2 cot ()(1) z f z z π=-的三级极点. （ ） 二、填空题 1．复数=1+cos sin ()z i θθπθπ+-<≤的三角表示式为_________________. 2．若实数y x b a ,,,满足等式 () i a y x iy e a i b x iy ++=+-，则=+2 2 b a ______. 3．函数iz W =将z 平面上的曲线21=-z 映射到W 平面的曲线方程为________. 4．方程的i i e iz +-=112全部解为______________________. 5．函数) 4)(1(1)(++-= z z z z z f 在10-=z 处可展罗朗级数的所有圆环域是_________ 6．_______0,cos 1Re 2 =?? ? ? ??-z z s . 三、计算题 1．问k 取何值时, x y i y x k z f arctan )ln()(22++=在域0>x 内是解析函数。 附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质 表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 里氏硬度转换抗拉强度对照表 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 35260.3104 375 64841.2395 35461105379 65041.5398 35661.7106381 65241.7401 35862.4107384 65442404 36063.1108386 65642.3407 36263.8109388 65842.6411 36464.5110393 66042.8414 36665.1111395 66243.1417 36865.8112399 66443.4420 37066.4114402 66643.6423 37267115404 66843.9426 37467.7116404 67044.1429 37668.3117409 67244.4433 37868.9118415 67444.7436 38069.5119418 67644.9439 38270.1120421 67845.2442 38470.6121424 68045.5446 38671.2123427 68245.7449 38871.8124433 68446452 39072.3125437 68646.2456 39272.9126440 68846.5459 39473.4127444 69046.8463 39674129447 69247466 39874.5130451 69447.3469 40075131445 69647.5473 40275.5133459 69847.8476 40476134463 70048480 40676.5135467 70248.3483 40877136471 70448.6487 41077.5138475 70648.8491 41278139480 70849.1494 41478.4141484 71049.3498 41678.9142489 71249.6501 41879.3143493 71449.8505 42079.8145498 71650.1509 42280.2146498 71850.3513 42480.7148503 72050.6516 42681.1149508 72250.8520 附录A拉普拉斯变换及反变换 419 420 421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 不锈钢管的洛氏硬度、布氏硬度等硬度对照表和换算方法 以下资料由：天津武进不锈钢制品销售有限公司提供 一、硬度简介： 硬度表示材料抵抗硬物体压入其表面的能力。它是金属材料的重要性能指标之一。一般硬度越高，耐磨性越好。常用的硬度指标有布氏硬度、洛氏硬度和维氏硬度。 1. 布氏硬度(HB) 以一定的载荷(一般3000kg)把一定大小(直径一般为10mm)的淬硬钢球压入材料表面，保持一段时间，去载后，负荷与其压痕面积之比值，即为布氏硬度值(HB)，单位为公斤力/mm2 (N/mm2)。 2. 洛氏硬度(HR) 当HB>450或者试样过小时，不能采用布氏硬度试验而改用洛氏硬度计量。它是用一个顶角120°的金刚石圆锥体或直径为1.59、3.18mm的钢球，在一定载荷下压入被测材料表面，由压痕的深度求出材料的硬度。根据试验材料硬度的不同，分三种不同的标度来表示： ? HRA：是采用60kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度极高的材料(如硬质合金等)。 ? HRB：是采用100kg载荷和直径1.58mm淬硬的钢球，求得的硬度，用于硬度较低的材料(如退火钢、铸铁等)。 ? HRC：是采用150kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度很高的材料(如淬火钢等)。 word教育资料 3. 维氏硬度(HV) 以120kg以内的载荷和顶角为136°的金刚石方形锥压入器压入材料表面，用材料压痕凹坑的表面积除以载荷值，即为维氏硬度HV值 (kgf/mm2)。 注：洛氏硬度中HRA、HRB、HRC等中的A、B、C为三种不同的标准，称为标尺A、标尺B、标尺C。洛氏硬度试验是现今所使用的几种普通压痕硬度试验之一，三种标尺的初始压力均为98.07N(合10kgf)，最后根据压痕深度计算硬度值。标尺A使用的是球锥菱形压头，然后加压至588.4N(合60kgf)；标尺B使用的是直径为1.588mm(1/16英寸)的钢球作为压头，然后加压至980.7N(合100kgf)；而标尺C使用与标尺A相同的球锥菱形作为压头，但加压后的力是1471N(合150kgf)。因此标尺B适用相对较软的材料，而标尺C适用较硬的材料。实践证明，金属材料的各种硬度值之间，硬度值与强度值之间具有近似的相应关系。因为硬度值是由起始塑性变形抗力和继续塑性变形抗力决定的，材料的强度越高，塑性变形抗力越高，硬度值也就越高。但各种材料的换算关系并不一致。 二、硬度对照表： word教育资料 拉氏变换重要公式 1 拉氏变换定义 ()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞ ?==? 2 常用公式 ()[]1t L =δ/()[]s 1t 1L = /a s 1]e [L at -= /2 at a) (s 1]e [L -= t /[]2 2 s t sin L ω ω ω+= []2 2 s s t cos L ω ω+= /[]2 s 1t L = /[]1 n n s n!t L += /[]2 2at -a)(s t sin e L ω ω ω++= /[] 2 2 at -a)(s a s t cos e L ω ω+++= 3 拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -?=' （3）积分定理：()[]()() ()0f s 1s F s 1dt t f L 1-+?= ? 零初始条件下有：()[]()s F s 1dt t f L ?= ? 进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s 1dt t f L n 21n 1n n n n ----++++=??? ? ??????? （4）位移定理 实位移定理：()[]()s F e -t f L s ?=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =? （5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim 0s t ?=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lim s 0t ?==∞ →→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：?∞ +∞ -= j j st ds e ).s (F j 21 )t (f σσ π (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b s b s b ) s (A )s (B )s (F n 1-n 2 -n 21 -n 1n m 1-m 1 m 1m 0>+++++++++= = - 其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---= )s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论： §2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48) 上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。 在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号 另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 (2-56) 【教学目的】 ※掌握拉氏变换及其性质 ※掌握系统微分方程式的建立 ※熟悉传递函数的概念及其求法 ※熟悉框图简化法及梅逊公式 【教学重点】 ※拉氏变换的定义 ※用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换 ※拉氏变换的定理及其应用 ※建立简单系统的微分方程 ※传递函数的概念 ※结构图的联接方式及传递函数 ※结构图简化及简单系统的传递函数求法 【教学难点】 ※建立在复数域描述一个函数的概念。 ※时域位移定理的应用。 ※建立微分方程 ※结构图简化法则的灵活运用，梅逊公式的应用 【教学方法及手段】 采用板书讲授的方式进行授课，在课程中注意定理的应用，在理论之后加以例题辅助理解，上课时应注意对学生注意力的吸引。 【学时分配】 8课时 【教学内容】 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S 的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S 表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： ?∞ -==0 st dt e )t (f )s (F )]t (f [L 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 ?+σ-σ-π==jw jw st 1 ds e )s (F j 21)]s (F [L )t (f 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 ()[]()s 1e s 1dt e 0dt e .t 10t 1L 0 st st st =-=???∞=???∞=∞ --- 2．单位脉冲函数 ()?? ?=10t 10 t 0t ≥? 拉氏变换及反变换公式 1 2 3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计 算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ 或 i s s i s A s B c ='= )() ( 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 第二章 控制系统的数学模型 练习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。 解 （a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()(dt y d m dt dy f t ky t F =-- 整理得 )(1 )()()(2 2t F m t y m k dt t dy m f dt t y d =++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt dy dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt dy dt dx f 21)( =- （2） 联立式（1）、（2）可得： dt dx k k k y k k f k k dt dy 2112121)(+= ++ (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11 )(11 s U s I cs R cs R s U c r ++ = （3） 2 ) ()(R s Uc s I = （4） 联立式（3）、（4），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U r c 212112) 1()()(+++= 微分方程为: r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1 21211 +=++ (d) 由图解2-1（d ）可写出 [] Cs s I s I s I R s U c R R r 1 )()()()(++= （5） )()(1 ) (s RI s RI Cs s I c R c -= （6） []Cs s I s I R s I s U c R c c 1 )()()()(++= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和 )(s I R ，可得： 1312)()(2 22222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u R C dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221 213++=++ 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式 的数学模型）。 解 (a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图拉氏变换、传递函数、数学模型18页word文档
2拉氏变换
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第二章习题及答案