微积分复习及解题技巧

《微积分》复习及解题技巧

第一章 函数

一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1

补充：求y=x

x 212-+的定义域。（答案：2

12<≤

-x ）

三、判断函数的奇偶性：

典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章 极限与连续

求极限主要根据： 1、常见的极限：

2、利用连续函数：

初等函数在其定义域上都连续。 例：

3、求极限

的思路：

可考虑以下9种可能：

①0

0型不定式（用罗彼塔法则） ②

2

0C =0 ③∞

0=0

④01

C =∞ ⑤21C C ⑥∞

1C =0

⑦

0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞

∞

型不定

式（用罗彼塔法则）

1sin lim 0

=→x x

x e x x

x =???

?

?+∞→11lim )0(01

lim >=∞→αα

x

x )

()(0

lim 0

x

f x f x x =→11

lim 1

=→x x 1)

()

(lim =→x g x f x α??

???∞

≠=→)0(0

)(11lim 常数C C x f x α??

???∞

≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α

特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！

典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8

补充1：若1)

1(sin 2

21

lim =++-→b ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21

221211111lim lim e x x x x x

x x x

x =?

?????

?

?-+=??? ??-+-?-∞→∞→

补充3：

2

1121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =??? ??+-=

???

??+--++-+-=??????+-++?+?+?∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：

1ln lim 1

-→x x x 1

11

lim 1

=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）

型0

第三章 导数和微分

一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则：教材P110—111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可

典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222

1211122112

1

x arctgx

x

x x arctgx x x y +++=+?

+?+?=' ∴dy=)121(

2

2

x

arctgx x x dx y ++

+=?'dx

第四章中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之16、19

二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：

典型例题：《综合练习》第二大题之5

二、函数的单调性（增减性）及极值问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2

第五章 不定积分 第六章 定积分

Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='

则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。 2、不定积分：

⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。

?+=C x F dx x f )()(

注意以下几个基本事实：

())()(x f dx x f ='? ?+='C x f dx x f )()(

?=dx x f dx x f d )()(

?+=C x f x df )()(

⑵性质：??≠=?)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义

⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：

一、关于积分的概念题：

典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14

二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有——

⑴直接积分法：直接使用积分基本公式

⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法

典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一：

??++=++=+C x x d x x dx 12ln 21

)12(1212112 关于“换元积分法”的补充题二：?-3

x xdx

解：设x －3=t 2，即3-x =t ， 则dx=2tdt.

∴?

-3

x xdx

=??+dt t t t 2)3(2=C t t +++?+612121

2 =C t t ++63

23=C x x +-+-36)3(3

23

关于“换元积分法”的补充题三：

?+8

031x

dx

解：设x=t 3

，即

t =3

x ，则dx=3t 2dt.

当x=0时，t=0； 当x=8时，t=2. 所以

?+8

031x dx =0

21ln )1(21313)1(313202

202????????++-=??????++-=+t t dt t t t dt t =3ln3

（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x 换成变量t 后，其上、下限也从0、8变为0、2） 关于“分部积分法”的补充题一：

???

+-=-==C e x dx e xe xde dx xe x

x x x x )1( 关于“分部积分法”的补充题二：

C x arctgx dx x

x xarctgx arctgxdx ++-=+?

-=??2

2

1ln 2111 关于“分部积分法”的补充题三：

?

e

xdx x 1

ln

=???? ?

?-=???? ??-=???? ??-=???121211ln 21ln 1ln 21ln 21221212212e x e xdx e x x x d x e x x xdx e

e e =)1(41)2121(211212122222+=+-=???

? ??-e e e e x e （此题为定积分的分部积分法）

三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 典型例题：《综合练习》第六大题之4

注意：此题若加多一条直线y=3x ，即求三线所围平面图形的面积，则解法为——（草图略）

S=??-+-3

12

1

0)3()3(dx x x dx x x =??-+3

121

0)3(2dx x x dx x

=13312301212322??? ??-+?x x x =????????? ??--??? ???-?+3123273192

31

=3

13

（平方单位）

使用指南——本复习参考资料应当与人手一册的《综合练习题》配套使用并服从于《综合练习题》。另外，请注意如下几点：

①本复习参考资料中的蓝色字体的“补

充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年

9月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。

②《综合练习题》是我们复习重点中的重点，请

对照答案将所有

．．题目

．．完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查

找的速度和准确度）。

③请将上述做好的

．．．《综合练习题》随身携带，经常复习、记忆，为应试作好准备；

④考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，

如果你发现只是《综合练习题》上的题目改变

了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题

目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一

部分的分数。对于填空、选择这样的小题，尽

你所能去做，不要留下空白！