分组分解法因式分解(5课时)
（一）复习
把下列多项式因式分解
(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)
(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)
（二）新课讲解
1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
练习：
把下列各式分解因式
(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)
2．应用举例
例1．把a2-ab+ac-bc分解因式
分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。
解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式
分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）
=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)
提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式
(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz
(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n
(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2
四、课外作业把下列各式分解因式
1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b)
3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b)
5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b)
7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx
9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by
⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2
⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay
⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
（一）复习
1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？
2．用分组分解法因式分解：
(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc
(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4
（二）新课讲解
1．例题分析
例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式
分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。
解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律
=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组
=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式
=(3x+4y)(a+b) 再提公因式
练习:用分组分解法因式分解：
(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd
(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx
例4：把m2+5n-mn-5m分解因式
分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)
=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)
练习：把下列各式分解因式
(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax
(3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x
(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz
四、课外作业把下列各式分解因式
1．mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx
3．m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－1
5．a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx
7．xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx
9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc
（一）复习
1．什么是分组分解法？
2．把下列各式分解因式
(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2
(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x
3.填空(1)a2-b2=__________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________
（二）新课讲解
1．例题与练习例5：把x2-y2+ax+ay分解因式
分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。
解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)
练习：把下列各式分解因式
(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2
(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd
例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式
分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2- c2，再用平方差公式。
解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组
=( a-b)2- c2 运用完全平方公式
=[(a-b)+c][(a-b)-c]运用平方差公式
=(a-b+c)(a-b-c)
练习：把下列各式分解因式
(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2
(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1
四、课外作业把下列各式分解因式
⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx
⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2
⒌s2－t2＋3s－3t⒍x2－2x＋2y－y2
⒎4a2－b2－2a－b⒏9a2－6a＋2b－b2
⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2
⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2
⒔x2－4y2＋4y－1⒕x2－y2－z2－2yz
（一）复习
把下列各式分解因式
(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2
提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？
（二）新课讲解
1．例题与练习
例7把下列各式分解因式
(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2
分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分解因式。
在第（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1)
= x2–(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]
=(x+2y-1)(x-2y+1)
(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2
=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]
=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)
=[(x2+y2 +2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]
=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]
=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]
=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)
练习：把下列各式分解因式
(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2
(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2
例8：把下列多项式分解因式
(1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2
解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分组
=x2(x+y)-y2(x+y) 分别提公因式
=(x+y)(x2-y2) 提公因式
=(x+y)[(x+y)(x-y)] 运用平方差公式
=(x+y)2(x-y) 相同因式写成幂的形式
提问：还有其他解法吗？
(2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式
=a[a2-(b2-4bc+4c2)] 分组
=a[a2-(b-2c)2] 运用完全平方公式
=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)] 运用平方差公式
=a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理
练习：把下列各式分解因式
(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3
(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-1
3．作业：把下列各式分解因式
(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2
四、课外作业
把下列各式分解因式
⒈3ax＋5ay－6bx－10by ⒉a2－b2－4a－4b ⒊m2－4mn＋4n2－4
⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y ⒍a3＋2a2b＋ab2－a
⒎a2b2－a2－2ab－b2 ⒏x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）2 10．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2
分组分解法（第五教时）
（一）复习
1.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？
2.把下列多项式分解因式
(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq
（二）新课讲解
1.引入
（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式
分析
此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
（2）特点
式子x2+(p+q)x+pq的特点为：
（1）二次项的系数是1。
（2）常数项是两个数之积。
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
2.应用举例
例：把下列各式分解因式
(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15
分析:（1）x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq 型式子。
（2）x2-7x+6的二次项系数是1，常数项6=(-1)×(-6)，一次项系数-7=(-1)+(-6)。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
（3）x2+x-2的二次项系数是1，常数项-2=(-1)×2，一次项系数1=(-1)+2。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
（4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项-15=(-5)×3，一次项系数-2=(-5)+3，这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
解：(1)因为2=1×2，并且3=1+2，所以
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
(2) 因为6=(-1)×(-6)，并且-7=(-1)+(-6)，所以
x2-7x+6=(x-1)(x-6)
（3）因为-2=(-1)×2，并且1=(-1)+2，所以
x2+x-2=(x-1)(x+2)
（4）因为-15=(-5)×3，并且-2=(-5)+3，所以
x2-2x-15=(x-5)(x+3)
3.归纳与小结
(1)常数项是正数时，它分解成两个___号因数，它们和一次项系数符号____。
(2)常数项是负数时，它分解成两个___号因数，其中绝对值较___的因数的符号和一次项系数的符号相同。
思考题把x4-5x2+4因式分解
四、课外作业
一、根据公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），填空：
⑴若x2＋ax－6＝(x＋3)(x－2), 则a＝＿＿＿
⑵若x2－5x＋a＝（x－6）（x＋1），则a＝＿＿＿
⑶若x2－mx＋n＝（x－4）（x－2），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿
⑷若x2＋mx－n＝（x＋5）（x－3），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿
二、如果a＋b＝5，ab＝4，那么关于x的二次三项式x2－abx－（a＋b）分解因式的结果（）A．（x－1）（x－4）B．（x－5）（x＋1）C．（x＋5）（x－1）D．（x＋1）（x＋4）
三、把下列各式分解因式
⒈x2＋px＋qx＋pq ⒉x2＋4x＋3
⒊y2－5y－6 ⒋m2－7m＋6
⒌p2＋9p－10 ⒍n2－5n－36
⒎x2＋7x＋10 ⒏y2＋y－20
⒐m2－11m＋28 ⒑－x2－3x－2
⒒a2b2－6ab－16
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
分组分解法进行因式分解
分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 4、中考点拨 例1.分解因式：_____________。 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2．分解因式：____________ 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：____________ 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示： 例1. 分解因式： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。
9.6因式分解之分组分解法
§9.6因式分解之分组分解法————研究课 学习目标 1. 理解分组分解法的概念和意义； 2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法； 3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法. 学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法； 2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解. 自主学习 一. 创设情境 我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如， ，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目： 分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac . 二．探索尝试 1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？ 归纳： . 三．例题举偶. 把下列多项式分解因式： 1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +-- 4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．课外延伸 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种 B .2种 C .3种 D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ） 3．填空： （1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式 （4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn )2().() 2().(222222bc c b a C bc b c a A ------) 2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+
分组分解法因式分解(5课时)
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
初中因式分解中的“分组分解法”
初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！ （1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y） 第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b） （2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y） = （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。 解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4） =（x － y）2 －（2）2 =（x － y + 2）（x － y － 2） （3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉： 第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组： 解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y） = x（x + 3）－ y（y + 3） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组： 解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y） =（x + y）（x － y）+ 3（x － y） =（x － y）（x + y + 3） 〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然
最新分组分解法教案
9.16分组分解法 教材解读： 本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形，因式分解是整式乘法的一种逆向变形，也是今后学习分式的基础。课程标准要求：在因式分解中，所涉及的多项式不超过四项；不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。用公式法分解因式时，只涉及平方差公式和完全平方公式。不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解；关于一般的二次三项式的因式分解，将通过后续学习主要掌握求根公式法。由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力，因此要关注学生不同的思维方式，鼓励、引导学生积极思考，勇于探索，培养学生潜在的思维能力和创新能力。 教学目标： 1.理解分组分解法的概念. 2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程，体会因式分解的基本方法之间的联系和区别，提高观察、分析和解决综合问题的能力? 重点：分组分解法分解含有四项的多项式难点:选择适当的分组方法，继续因式分解教学过程： 一.复习 师：我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法？ 生：提公因式法、公式法、十字相乘法。 师：好，下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧！ 分解因式，并归纳解题模块： 6a2 -6b2 归纳解题模块： 两项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式2.“套”平方差公式 2 2 2a 4ab 2b 3a2-15a 18 归纳解题模块： 三项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式 2.“套”完全平方公式或十字相乘法 设计意图：通过三道题目的练习，引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块，训练学生的归纳能力。 二、新课探索 师：同学们已经掌握用提公因式法、公式法、十字相乘法这些解题工具来解二项式与三项式的因式分解的题目，那么还有哪些未知的题目有待我们去研究呢？问题一：
因式分解专题 用分组分解法 含答案
4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
分组分解法因式分解
分组分解法（第一教时） （一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
因式分解中的“分组分解法”
解读因式分解系列之三编制人：平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！ （1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y） 第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b） （2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，
因式分解的16种方法-凑因式 方法
因式分解得16种方法 因式分解没有普遍得方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项与添减项法,分组分解法与十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法，长除法,除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正(例如：) 分解因式技巧 1、分解因式与整式乘法就就是互为逆变形。 2、分解因式技巧掌握: ①等式左边必须就就是多项式;②分解因式得结果必须就就是以乘积得形式表示; ③每个因式必须就就是整式,且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数与因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。 如果一个多项式得各项有公因式，可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都就就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母,而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。 如果多项式得第一项就就是负得,一般要提出“-”号,使括号内得第一项得系数成为正数。提出“-”号时,多项式得各项都要变号。 提公因式法基本步骤: (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式得方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得得商即就就是提公因式后剩下得 一个因式,也可用公因式分别除去原多项式得每一项,求得剩下得另一个因式； ③提完公因式后,另一因式得项数与原多项式得项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。 例如:-am+bm+ｃm＝－ｍ(a－ｂ-ｃ）; a(x-y）+b(y-ｘ)=ａ(x-y）－b(x－y）=(x－y)(a－b)。 注意:把2 ＋变成2（+)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式：=（a+b)(a-b); 完全平方公式:±２aｂ＋= 注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就就是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)得平方与得形式,另一项就就是这两个数（或式)得积得２倍。
因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注
初二数学因式分解分组分解法
初二数学因式分解分组分解法 一、分组分解法分解因式的意义 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 二、学习指导： 如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。 三、例题分析 例1、分解因式： （1）2x2+2xy-3x-3y （2）a2-b2+4a-4b （3）4x2-9y2-24yz-16z2 （4）x3-x2-x+1 分析（1）：解①，首先注意到前两项的公因式（2x）和后两项的公因式（-3），分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。解②，此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面解2的解法。 解①： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y)(2x-3) 解②： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y) 说明：解①和解②虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:1和2:（-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。 分析（2）：若将此题按上题中解②的方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。 解： a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b)(a+b+4)
因式分解(一)分组分解与添拆项
因式分解(一)分组分解与添拆项 【知识要点】 1．四项式的分组方法：⑴两两分组：分组后是否有公因式⑵ 一三分组：分组后是否满足平方差公式2．分组的目的：⑴直接运用公式⑵直接提公因式3．两项的多项式，如不能提公因式也不能运用平方差公式，可以考虑配方法添项进行因式分解。4．拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。 【典型例题】 例1．把因式分解把分解因式例2．把例3．把下列各式因式分解（1）（2）（3）（4）例4．把下列各式因式分解 (1 )x4+4y4 （2）x4+x2y2+y4例5、下列多式因式分解（1） ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （2）(x+2)(x-2)-4y(x-y)例6．因式分解2m2(n+2)-12mn-3n2(m-3) 例7 思考题：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) 【闯关练习】 1、多项式，按下列分组分解因式： ① ② ③ ④ 其中正确的分组方法是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．对于多项式有如下四种分组方法：
① ② ③ ④ 其中分组合理的是（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④3．分解因式后结果是的是（） A． B． C． D．4．下列各式分解因式中，错误的有（）A． B． C． D．5．用分组分解法把分解因式，正确的分组方法是（） A．3种 B．2种 C．1种 D．0种6．把下列各式因式分解：（1）（2）（5）（6）（7）（8） 【冲刺练习】 1、2、3、4、5．6．持之以恒，积水成河，不让成功离你而去！完成时间： 分钟；老师评阅： 【夺冠练习】 1．2．3．4．5．6、 =7、8．把下列各式分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）9．把下列各式因式分解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（9）（10）（11）
分组分解法因式分解
把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1． a(m＋n)－b(m＋n) ⒉ xy(a－b)＋x(a－b) 3． n(x＋y)＋x＋y ⒋ a－b－q(a－b) 5． p(m－n)－m＋n ⒍ 2a－4b－m(a－2b) 7． a2＋ac－ab－bc ⒏ 3a－6b－ax＋2bx 9． 2x3－x2＋6x－3 ⒑ 2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒ xy＋x－y－1 ⒓ ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔ x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕ 3m－3y－ma＋ay ⒖ 4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗ x3y－3x2－2x2y2＋6xy 分组分解法（第二教时）
因式分解之分组分解法
因式分解之分组分解法 例1．把下列各式分解因式： 3 -6x -2 +x 3(1)2ac+3bc+6a+9b (2)2x 例2．把下列各式分解因式： ； 4a+1-29b -2(1)4a ；49-70y -+l0xy 2(2)x ；xy -y 2y+2x 3x -y 5(3)x 3x+3y -22xy+y -2x 分解因式．3例 ． )2+b 2)+cd(a 2+d 2ab(c 分解因式．4例 的值． 5x+200-2+7x 36x ，求x=1-23x ．5例 的倍数． l0一定是 n 2-n +3n+22-n+23，n 证明：对任意正整数．6例 例7．将下列各式分解因式 ； 7x+6-2(2)x ；+5x+42(1)x ． 28-+3m 2(4)m ；28-3y -2(3)y 例8．把下列各式分解因式 21; -4(a+b)-2(2)(a+b) ；+627p -4(1)p ． 15-+2xy 2y 2(3)x ． 24ab+3b -2a 分解因式．9例 例10．把下列各式分解因式 ； 214y -2y 25x -2y 4(1)x ． 30y+8-+6x 210xy+25y -2(2)x 例11．分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 的值． m ，求2)+14=0-29(m -22)-2(m 已知．12例 答：一、选择题： ( )，正确的是28c -2+4ab+2b 22a 分解因式．1 A ．2(a+b-2c) B ．2(a+b+c)(a+b-c) C ．(2a+b+4c)(2a+b-4c) D ．2(a+b+2c)(a+b-2c) ( )分解因式为16-6x -2x ．2 A ．(x-2)(x-8) B ．(x+2)(x+8) C ．(x+2)(x-8) D ．(x-2)(x+8) ( ) 分解因式为230y -13xy -2x ．3 A ．(x-3y)(x-l0y) B ．(x+15y)(x-2y) C ．(x+l0y)(x+3y) D ．(x-15y)(x+2y) ( ) ，则另外两个因式是2 x 的其中一个因式是228x -33x -4x 如果多项式．4 A ．(x-4)(x+7) B ．(x-4)(x-7) C ．(x+4)(x-7) D.(x+4)(x+7) ( ) ，则下列判断正确的是(x+m)(x+n)分解因式的结果足pq>0)，q(p>0-+px 2x 多项式．5 A ．mn<0 B ．mn>0 C ．m>0且n>0 D ．m<0且n<0 ( )分解因式后含有多少个因式8-3+7a 6a 多项式．6
因式分解专题用分组分解法含答案
4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式2a(a2 a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为( ) 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式2a((a2 a 1) a4 a2 1 故选择C 例2. 分解因式x5 x4 x 3 x2 x 1 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x5 x4 x3和x2 x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也 可把X5 x4, X3 X2和X 1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 解法2： 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a b，a2 c2 b2 2ac 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明：a2c2b22ac 3. 在方程中的应用 例：求方程x y xy 的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解：x y xy 4、中考点拨 例1.分解因式： 1 m 2 n2 2mn _______________________ 。 解： 1 m2 n2 2mn 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计 Teaching design of knowledge points inductio n in factorization grouping decomposition an d cross multiplication
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 ◆分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且 等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下： ◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★典型例题、解法导航 ◆考点一：十字相乘法 1、型三项式的分解 【例1】计算： （1）（2）（3）（4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、