抽象代数

近世代数练习题

一、填空题

1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。

2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。

3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个

4、n 次对称群n S 的阶是 。

5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。

6、设R 是模2

n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2

x 在R 里有

个根。

7、由13

=x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。

9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。

10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。

二、选择题

1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ）

。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC

132231:→→→σD

2、下列说法错误的是（ ）

域是除环A

域是整环B 可交换除环是域C

可交换整环是域D

3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。

奇数A 偶数B 0C 整数D

4、下列环中不是除环的是（ ）

整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D

5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()

=+++11

35

2

x x

x （ ）

。

()1A

()12

+x

B

()135

++x x

C

()

2235

+++x x x

D

6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ）

αασ→:A

2:αατ→B

ααρ-→:C ααδ→:D

7、设2

2?R

是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则

以下矩阵可作为环2

2?R

的零因子的是（ ）。

????

??0000A

????

??0001B ????

??0111C ???

?

??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。

1A 2A 3C 4A

9、剩余类加群Z 18的子群有( )。

个3A 个4B 个5C 个6D

10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()

=+++11

35

2x x

x （ ）

。 ()1A

()12

+x

B

()135

++x x

C

()

2235

+++x x x

D

三、计算题

1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。

2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。

3、试举出一个由正实数集+

R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换

???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321

ρτπ (1)求1

-π

,τρ

(2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。

5、求出3次对称群3S 的所有子群。

6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。

7、设{}

Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

8、设{}

Q Q b a bi a C ,,∈+=是有理数集， 1-=i ，问C 对于普通加法和乘法能否构成一

个域。

9、设P 是模7的剩余类环，在[]x R 里计算乘积：

[][][]()[][]()

453622

3

+--+x x

x x 。

10、在[]x Z 7中计算：[][][]()[][][]()

32445322++++x x x x 四、证明题

1、设?是群G 与群G 的同态满射，则

(1) 若G H ≤,那么 ()G H ≤?； (2) 若G H ,那么

()G H ?。

2、证明：任何一个群都同一个变换群同构。

3、设G 是群，G g g ∈?21,，则21g g 与12g g 的阶相同。

4、设G 是群，证明：G 的指数为2的子群H 为正规子群。

参考答案

一、填空题

1、n m ?

2、4

4 3、m

m 4、n 5、

{}]4[],3[],2[],1[],0[

6、n

7、2

8、交换除

9、最大理想 10、代数扩域（或扩张）

二、选择题

1、C

2、D

3、B

4、A

5、A

6、D

7、B

8、B

9、D 10、A 三、计算题

1、解： A ?B={}11

,764,21，，，, A ? B ={}4； =

?B A ()()()()()()()()()()()(){}6,11,4,11,2,116,7,4,7,2,76,4,4,4,2,4,6,1,4,1,2,1，，

2、解： A ?B ={2,3,4,6,8,9}，A ? B ={6}

B

A ?()()()()()()()()()()()(){

}9,8,6,8,3,89,6,6,6,3,6,9,4,6,4,3,4,9,2,6,2,3,2，= 3、解：

x x R R ln :→→+

σ是由正实数集+R 到实数集R 的一一映射。因为：

1）∈?y x ,+R ，若y x ln ln =，则

y x =，所以σ为单射；

2）R z ∈?，z e x =?，使得：

z e x z

==ln ln ，所以σ为满射。 所以σ为一一映射。

4、解: 1) ； ???

? ??=-1453626543211π ???

? ??=???? ?????? ??=452361654321254613654321456132654321 τρ 2) ()()()()()26316432154261 ； ； ===ρτπ

[][]4623623=====ρτπ； ，； ， 5、解：

3S 的所有子群：

()()(){}11= ()()()(){}2,1,12,1= ()()()(){}3,1,13,1= ()()()(){}3,2,13,2= ()()()()(){}2,3,1,3,2,1,13,2,1=

3S =()()()()()(){}2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,1

6、解：8Z 的所有子群：[]()[]{}00=；

[]()=1[]()=3[]()=5[]()=78Z ；[]()[]()[][][][]{}6,4,2,062==；[]()[][]{}4,04=。

7、解： R 对于普通加法封闭； 加法结合律显然成立；

有零元：0； R b a ∈+?2都有负元：R b a ∈--?2

∴R 对于普通加法作成加群。

又 R 对于普通乘法封闭；

乘法结合律显然成立； 乘法对加法的分配律也成立；

∴R 对于普通加法和乘法作成环

又R 有非零元1； R 有单位元1 ()02≠+?b a ∈R

，都有其逆元：2

222

b

a b a +-∈R

∴R 对于普通加法和乘法作成域

8、解： C 对于普通加法封闭；

加法结合律显然成立； 有零元：0；

C bi a ∈+?都有负元：C bi a ∈--? ∴C 对于普通加法作成加群。 又 C 对于普通乘法封闭；

乘法结合律显然成立；

乘法对加法的分配律也成立； ∴C 对于普通加法和乘法作成环 又C 有非零元1； C 有单位元1

()0≠+?bi a ∈C ，都有其逆元：

2

2b a bi

a +-∈C

∴C 对于普通加法和乘法作成域

9、解： [][][]()[][]()

453622

3

+--+x x

x x

=

[][][][][][][][][]123152463082102

23345-+-+-++-x x x x x x x x =[][][][][][]122721382102

345-+-+-x x x x x

=

[][][][][]56323345-++-x x x x 10、解：

[][][]()[][][]()3244532

2

++++x x x x

=[][][][][][][][][]12x 8x 16x 15x 10x 20x 9x 6x 12223234++++++++ =[][][][][]12x 23x 35x 26x 12234++++ =[][][][]5x 2x 05x x 52

3

4

++++

=

[][][]5x 25x x 534+++

四、证明题 1、证明：

(1)

()()}|{H g G g H ∈∈=??，()H y x ?∈?,　，H y x ∈?,，使得：()()y y x x ??==, ,

且由G H ≤，得：H x xy ∈-1,，则()()()xy y x y x ???==,()()

11

1

---==x x x ??

所以()H x

y x ?∈-1

,，故 ()G H ≤?。

(2) 由G H 和(1)得：()G H ≤?，且()G g H x ∈?∈?,?,G g H x ∈?∈?,，使得

()()g g x x ??==,　，则 ()()()()

11

1

---==gxg g x g g

x g ????，

由G H 得：H gxg ∈-1

，故 ()

()H gxg g

x g ??∈=--11

，

所以()G H ?。

2、 证明：设{} ,,,c b a G =是群，G x ∈?，定义G 的一个变换：x g gx g x ττ=→:

作集合{} ,,,c b a G τττ=，可定义G 到G 的满射：x x τφ→:

又由消去律有：gy gx y x ≠?≠， ∴ y x y x ττ≠?≠

∴φ为G 到G 的一一映射，且有()()===y gx xy g g xy τ=y g x τ()

=y

x

g ττy

x g

ττ

即

xy

y x τττ=

∴φ为G 到G 的同构映射，∴G 是一个群，且是一个变换群。结论成立。

3、证明：若()()()()e g g g g g g g g n

n

==

21212121

即：()()e g g g g g g n =??????????????????-2112121

所以()()e g g g g g g n =???

?

????-1211212

即：()e g g n

=12

所以12g g 的阶≤21g g 的阶 同理：21g g 的阶≤12g g 的阶

所以12g g 的阶=21g g 的阶，即：21g g 与12g g 的阶相同

4、证明： H 为G 的指数为2的子群，则G x ∈?，当H ∈?x 时，当然有

H H H ==x x ，当H ??x 时，则由于 ()2:=H G ，故Hx xH H H G ==，

从而只有x x H H =，即H 为正规子群。