抽象代数重要定理和习题
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述
题目对有限群的认识
作者姓名王涛
指导教师邓明立
所在学院数学与信息科学学院
专业（系）代数与近现代数学史
班级（届） 2010级
目录
中文摘要、关键词...................................................（II）1、预备知识 (1)
1.1基本定义 (1)
1.2基本定理 (1)
2、阶数不超过10的有限群 (3)
3、有限群常见结论 (7)
3.1对一般有限群成立的常见结论 (7)
3.2对有限循环群成立的常见结论 (9)
3.3对置换群成立的常见结论 (11)
参考文献 (14)
英文摘要、关键词……………………………………………（III）
对有限群的认识
摘要本文主要讨论与有限群相关的一些基本知识.全文分三部分介绍：第一章，介绍
一些与文章相关的基本定义和定理，为下文叙述作铺垫.第二章，从同构的角度分析了阶数不超过10的有限群.第三章，按照从一般到特殊的结构，先介绍了对一般有限群成立的结论，然后分别介绍了对有限循环群和置换群成立的结论.
关键字有限群，有限循环群，置换群，有限群的阶
对有限群的认识
1.预备知识
1.1基本定义
定义1 若群G 中只有有限个元素,则称G 是有限群.而群G 中所含元素的个数叫群G 的阶;若群G 中有无限多个元素,则称G 是无限阶群.
定义2 设G 是一个群,e 是G 的单位元,a ∈G ,若存在正整数n,使得n a =e,而对于小于n 的任意正整数m,都有m a ≠e,则称元a 的阶是n(或元a 的周期是n);若对任意的正整数n,都有n a ≠e,则称元a 的阶是∞.
定义3 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，而且a 的阶是有限整数，则称G 是有限循环群.
定义4 若G 是有限集合的若干个置换作成的群，则称G 是一个置换群. 定义5 一个包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫做n 次对称群. 1.2基本定理
Lagrange 定理 假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指
数j 都能整除G 的阶N ，并且N=nj.
证明 首先证明一个子群与它的每一个右陪集之间都存在一个一一映射.
事实上，设K 是一个子群，定义
φ：K →Ka
则φ为K 到Ka 间的一一映射.这是因为：
（i ） K 的每一个元k 有一个唯一的象ka ，故φ为映射; （ii ） Ka 的每一个元ka 是K 中k 的象，故φ为满射； （iii ）
假设12k a k a =，那么12k k =，故φ为K 到Ka 的一一映射
从而子群的阶等于它的陪集的阶.
G 的阶N 既是有限，H 的阶n 和它的指数j 也都是有限正整数.G 的N 个元被分成j 个右陪集，每一个右陪集都有n 个元，所以N=nj.
推论一 一个有限群的任意元的阶都能整除群的阶. 证明
设G 为有限群，任取a ∈G ，设a 的阶为n ，由a 生成一个阶是n 的子群.由Lagrange 定理知，n 整除G 的阶.
推论二 设G 为一个阶是n 的有限群，则对G 中任一元a 一定有n a =e.
证明 由推论一知，a 的阶能整除n ，设a 的阶为m ，即有m|n ，从而存在整数q 使得n=qm.故n qm m q a a (a )e ===.
推论三 有限群中商群的阶整除群的阶. 证明
设G 为有限群，N 为G 的不变子群，则商群G
N
中元的个数等于N 的指数，从
而由Lagrange 定理知，G
N 的阶整除群G 的阶.
注：Lagrange 定理的逆命题：“设G 是有限群，若正整数m ，m 整除G 的阶，则G 有m 阶子群”不成立.
例如设4A ={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}.由4A 对于4S 的乘法封闭知44A
3-循环置换(abc)(a,b,c ∈{1,2,3,4}),于是（abc ）的逆元1
abc acb H -=∈（）（）.因而在H 中， 3-
循环置换成对出现.又（1）∈H ，于是H 中至少有一个2阶元，不妨设为（ab ）（cd ）. 因
此（abc ）[(ab)(cd)]=(bdc)∈H ,1
acd adc H -=∈（）（）,则H 中至少有7个元：（1），（abc ），
（acb ），（ab ）（cd ），（bdc ），（acd ），(adc).此与|H|=6 矛盾.所以4A 没有6阶子群. Cayley 定理 任何一个群都同一个变换群同构.
证明 假设G 是一个群，G 的元是a ，b ，c ， .在G 里任意取出一个元x 来，那么
x τ：x
g gx g τ→=
是集合G 的一个变换.因为给了G 的任意元g ，能够得到一个唯一的G 的元x g τ，这样由G 的每一个元x ，可以得到G 的一个变换x τ.把所有这样得来的G 的变换放在一起，作成一个集合G ={a b c ,,,τττ }.那么:φx x τ→是G 到G 的满射.但消去律：
x y gx gy ≠?≠
告诉，若x y ≠,那么x y ττ≠.所以φ是G 与G 间的一一映射. 再进一步看，
xy y x y x x g g(xy)(gx)y (g )y (g )g ττττ
ττ=====
这就是说，
x y xy τττ=
所以G 与G 间的同构映射，所以G 是一个群.但G 的单位元e 的象e :g ge g τ→=是G 的恒等变换ε，由于G 是G 的一个变换群.这样G 与G 的一个变换群G 同构.
2.阶数不超过10的有限群
设G 为有限群,记G 的阶为n, f(n) 为不同构的群G 的个数,有
定理1 阶数是素数的群只能是循环群C. 证明
元素的阶数正是元素产生的循环子群的阶数.子群的阶数是群阶数的约数，所以当群的阶数为素数时，除单位元e 外，元素的阶数只能等于群的阶数.因而循环子群就是群本身.
一阶群只有一种：单位元群G={e} 二阶群只有一种：循环群2C ={e ，a}=（a ） 证明
2是素数，由定理1可得.
三阶群只有一种：循环群3C ={e ，a ，2a }=（a ） 证明
3是素数，由定理1可得.
四阶群只有两种：循环群4C ={e ，a ，2a ，3a }=（a ）?4Z （模4的剩余类加群），
四元群G={e ，a ，b ，ab} ? {e ，a ，b ，c}（Klein 四元群）
证明
设群G 的阶数是4.
如果G 中含有四阶元a ，则G=（a ）?4Z ；
如果G 中没有四阶元，则G 中除单位元e 外，其余元的阶都是2.设G={e ，a ，b ，c}，其中2a =e ，2b =e ，2c =e.从而可以得到ab=ba=c ，ac=ca=b ，bc=cb=a ， 这是因为：如果ab=e ，则a 2b =b ，而2b =e ，故a=b ，不可能.
如果ab=a ，则b=e ，不可能. 如果ab=b ，则a=e ，也不可能.
因此只能ab=c.
同理可证其余等式.故G={e ，a ，b ，ab} ? {e ，a ，b ，c}.证毕.
五阶群只有一种：循环群5C ={ e ，a ，2a ，3a ，4a }=（a ） 证明
5是素数，由定理1可得.
六阶群只有两种：循环群6C ={ e ，a ，2a ，3a ，4a ，5a }=（a ）?6Z （模6的剩余类加
群），正三角形对称群3S =（a ，b ）={e ，a ，b ，ab ，2a ，a 2b }
证明
因为元素的周期构成循环子群，所以六阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，3，6.
如果六阶群中有六阶元，则此群为循环群6C .
如果六阶群中没有六阶元，而至少有一个元素的阶数为3，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，记作{E ，R ，2R }.不失普遍性，陪集记作{012S ,S ,S }，满足m j j m R S S +=，其中j 3j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，如果它等于R 或2R ，则j S 是六阶元素，与假设矛盾.因此2j S =E ，j S 都是二阶元素，并能推出m j m j R S S +=和m j j m S R S -=.这就是3S 群.最后如果六阶群中除单位元外元素的阶都是2，任取其中两个元素R 和S ，设RS=T ，由于单位元和逆元的唯一性，T 不等于单位元E ，也不等于R 或S ，E ，R 和T 组成的子集构成子群，同构于四阶反演群4V ，它的阶数不是6的约数，矛盾.证毕.
七阶群只有一种：循环群7C 证明
7是素数，由定理1可得.
八阶群只有五种：循环群8C ，阿贝尔群4h C ，正方形对称群4D ，四元素群8Q 和阿贝尔
群2h D .
证明
因为元素的周期构成循环子群，所以八阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，4和8.
如果八阶群中有八阶元，则此群为循环群8C .
如果八阶群中没有八阶元，而至少有一个元素的阶数为4，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，记作{ E ，R ，2R ，3R }.陪集记作{012S ,S ,S ,3S }，满足m j j m R S S +=，其中j 4j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，
如果它等于R 或3R ，则j S 是八阶元素，与假设矛盾.
如果至少有一个22j S R =，不失一般性，设221S R =，则1S 是4阶元素，1321113
S S R S S -===，而且223S R =.现在存在两种情况.如果220S R =，同理有13002S S S -==，222S R =和2332100011S S RS R ,S S R S R ====，因而此群同构于四元素群8Q ，同构关系为30211R i ,S i ,S i σσσ
???；如果2202S S =E =，则由332R S S =取逆得121S R S R S ==，故有33S R RS =.由303R S S =取逆得
010S R S =RS =，同理22S R=RS .而且12011S S =R S R -=和2100S S =RS R =，因而此群同构于阿贝尔群4h C =42C V ?，同构关系为4014R C ,S ,S C σσ???.其中σ是空间反演.如果所有j S 都是二阶元素，2j S E =，则由m j j m R S S +=可推出m j m j R S S +=和m j j-m S R S =，因而此群同构于4D 群，同构关系为30211R i ,S ,S σσσ???. 最后，如果八阶群中没有八阶和四阶元素，即除单位元外所有元素都是二阶元素，则得阿贝尔群2h D =22D V ?.证毕.
九阶群只有二种：循环群9C ，阿贝尔群 证明
九阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于3或9.
如果九阶群中至少有一个元素的阶数为9，则此群为循环群9C .
如果九阶群中没有九阶元素，即除单位元外的元素都是三阶元素.任取一个三阶元素，记作A ，由A 构成的循环子群为{E ，A ，2A }，一个右陪集记作{B ，C ，D}.不失一般性，可设AB=C ，AC=D ，AD=B. B ，C 和D 都是三阶元素，它们的平方不能等于E ，A 或2A ，又有重排定理，它们的平方也不能等于B ，C 或D ，它们互相间也不能相等，因而可把群中其余三个元素记作22B ,C 和2D ，构成另一个右陪集.由重排定理，2AB =CB 不能等于2C 和2B ，因而只能等于2D .其他乘积关系都可由这些公式推出， 从而得此群的乘法表.
由乘法表知此群是阿贝尔群.
因此九阶群有两类：循环群9C 和阿贝尔群.证毕.
十阶群只有两种：循环群10C ，正五边形对称群5D 证明 十阶群中，除单位元外，元素的阶数只能等于2，5和10.
如果十阶群中有一个阶数为10的元，则此群为循环群10C .
如果十阶群中除单位元外的元素都是二阶元素，任取R 和S ，设RS=T ，则有四阶子群{E ，R ，S ，T}，同构于四阶反演群，子群阶数不是10的约数，矛盾. 如果十阶群中没有十阶元素，而至少有一个元素的阶数是5，记作R ，它的周期构成的循环子群是指数为2的不变子群，{E ，R ，234R ,R ,R }.不失一般性，陪集记作{012S ,S ,S ,3S ,4S }，满足m j j m R S S +=，其中j 5j S S +=.由重排定理，2j S 不能等于k S ，如果它等于j R ，其中j 不是5的倍数，则j S 是十阶元素，与假设矛盾.因此2j S =E ，j S 都是二阶元素，有m j m j R S S +=和m j j-m S R S =.这正是正五边形对称群5D .
因此十阶群只有10C 和5D 两个不同构的群.证毕.
3.有限群常见结论
3.1对一般有限群成立的常见结论 1. 任意群G 的单位元e 的阶都是1.
2. 设G 是一个群,元a 的阶是n,对任意的正整数m,若m a =e 则n|m.
证明 已知元a 的阶是n,则n a =e.由整数的带余除法,存在整数q 和r,使得m=nq+r
其中0≤r 3. 设G 是一个群,a ∈G ,则a 与a 的逆元1a -有相同的阶. 证明 设a 的阶是n,1a -的阶是m,则有n a =e, 1m (a )e -=,而e=1m (a )-=m 1(a )-,则 m a =e,由3.1.2知有n|m.另一方面1n n 1(a )(a )e --==,由3.1.2知有m|n;于是 m=n. 4. 设G 是一个群,a ∈G ,对任意 c ∈G ,则1cac -与a 有相同的阶. 证明 设a 的阶是n ，1cac -的阶是m ，则有n a =e ，1m (cac )e -=， 1n 111n 1(cac )(cac )(cac )(cac )ca c e -----=== ,由3.1.2知有m|n. 另一方面 1m 1 1 1(c a c ) (c a c )(c a c )(c a -----=== ,从而 m 1 m 1a c (c a c )c c e c e - - -= ==，由3.1.2知有n|m.于是m=n. 5. G 是一个群,对 a,b ∈G ,则ab 与ba 有相同的阶. 证明 因为ab=1b (ba)b -,则由3.1.4知ab 与ba 有相同的阶. 6. G 是一个群,a 与b 的阶分别为m 和n,且 (m,n) = 1,ab=ba,则ab 的的阶为mn. 证明 设ab 的阶是k,由于mn mn mn m n n m (ab)a b (a )(b )e ===，则k|mn; 另一方面,k m km km km m k km km km e ((ab))(ab)a b (a )b eb b ======所以n|km, 由于(m,n) =1,则n|k,同理m|k,再有由(m,n) = 1,有mn|k,于是k=mn. 7. 设G 是一个群,a ∈G ,a 的阶是n,r 是任意整数,(n,r) =d,则r a 的阶是n d . 证明 设r a 的阶是k,则r k (a )=e.而n n r r n r d d d (a )a a e ? ? ===由3.1.2知有k|nd,另一方 面,rk r k a (a )e ==,由3.1.2知有n|rk.因此nd|rdk,而(n,r)=d,故 (nd,rd) = 1,于 是nd|k.这样k=nd. 8. 一个有限群的每一个元的阶都有限. 证明 设G 是一个有限群,对 a ∈G ,由群的定义可知,a ，23n a ,a ,,a ,??都是G 中 的元,因为G 是一个有限群,则一定存在正整数m,n,m>n,使得m n a a =,等式两端同乘-n a 有m-n a =e,于是存在正整数s=m-n 使s a =e.因而必有使r a =e 的最小正整数r 存在,即a 的阶是有限的. 注:该命题的逆命题：“每一个元的阶都有限的群是有限群”不成立. 例如G={z|z 是复数，n z =1，n=1，2， }对于普通乘法来说作成一个群.事实上，已知非零复数集*C 对于复数乘法封闭.任取x ，y ∈G ，从而xy ∈G ，存在自然数m ， n ，使得m x =1，n y =1.令k 是m ，n 的最小公倍数，则k k k xy x y =（）=1，从而xy ∈G ， 所以G 对于复数乘法封闭.又任取x ∈G ，存在自然数n ，使得n x =1，则 1n n 1 x (x ) --=（）=1，从而1x -∈G .因此G 是*C 的一个子群.任取z ∈G ，存在正整数m ，使得m z =1.故G 中每个元的阶都有限，但G 是无限群. 9. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证明 设G 是一个有限群.若G 中没有阶大于2的元,则结论显然成立.设G 中有 阶大于2的元. (1)设a ∈G ,且a 的阶n>2,由3.1.3.知1a -的阶也是n,且1a -≠a.事实上,若 1a -=a,那么2a =e,这与a 的阶n> 2相矛盾,所以1a -≠a. (2)设b ∈G ,且b 的阶大于2,b ≠a, 1a -，则1b -≠a, 1a -.事实上,若1b -=a,那么b= 11(b )--=1a -,这与1b -≠a, 1a -的假设相矛盾,所以1b -≠a.同理可证 1b -≠1a -. 综合(1)和(2)则知,G 中阶大于2的元总是成对出现.又G 是有限群,所以G 中阶大于2的元的个数一定是偶数. 10. 若G 是一个阶为偶数的有限群,则G 中阶等于2的元的个数一定是奇数. 证明 由3.1.9知G 中阶大于2的元的个数是偶数.而G 中只有单位元e 的阶是 1,又G 的阶是偶数,所以G 中阶等于2的元的个数一定是奇数. 注：任意偶数阶有限群至少有一个二阶元. 《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月 第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11. 《近世代数初步》 习题答案与解答 引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 个 n n a aa a ...=, 个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.) 第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e 为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数. 近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4． 近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续 《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B ) 近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。 近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b 近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群. 3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程 近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 §1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。 代数系统Mathematical Structure或Mathematical System 关于代数系统与计算机科学的关系 为什么抽象代数是计算机科学的理论基础之一？ 1）抽象代数研究的对象与计算机科学研究的对象都是一般的通用客体 2）代数系统为计算机系统（包括理论系统、计算机系统组成的结构、工具与环境系统的结构、应用系统的结构、系统的结构分类以及它们之间的关系等）提供必要的理论模型； 3）不论是计算机科学的基础学科、技术学科和应用学科，还是计算机科学的边缘学科，抽象代数都给它们提供了最基本的思维方法 代数系统和以前我们所了解的代数学有什么不同？ 1）对象：以前的代数学中研究的对象都是数（实数和复数）或用字母表示的数；代数系统研究的对象是某集合元素的总体，甚至有时并不指出这个集合是什么，也不指出集合中是元素是什么； 2）运算：以前的代数学中研究的运算是数的四则运算；而代数系统研究的对象不仅仅是加、减、乘、除四则运算，而是满足一定抽象条件的运算，有时也不指出具体的运算是什么； 3）两者的关系：以前我们所了解的代数只是代数系统的一个特例。 代数系统究竟是什么？ 定义一个代数系统时，并不是一个具体的代数系统，而是满足一定抽象条件的一类代数系统的总体，因此，研究的是代数系统的总体结构，提出一个同属于某一大类的所有代数结构的理论模型。 如果对代数系统的对象和运算进行不同的解析，只要在这个解析下可满足这种抽象的结构，则形成一个具体的代数系统。 代数系统和计算机有什么关系？ 计算机是一个通用的计算模型，其通用性在于：任何一个可计算的问题，如果问题本身是有结果的（例如，最后总可以回答“是”或“非”的），只要不考虑时间和空间的可能性，原则上都可以在计算机上得到结果。 计算机的结构也是一个通用结构。只要根据某具体需求解的问题，而对计算机系统的对象（数据模型）和运算（所做的操作）进行解析，则计算机系统就成为解决这个问题的具体理论模型。 代数系统的思维方法如何决定计算机科学的思维方法？ 代数系统的基本思维方法是构造的方法和公理的方法。 《近世代数》试卷1（时间120分钟） 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （）循环群的子群是循环子群。 2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （）存在一个4阶的非交换群。 4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. （）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （）无零因子环的同态象无零因子。 7. （）模97的剩余类环Z97是域。 8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （）域是唯一分解整环。 10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分） 1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中 有个单射，有个满射，有个双射。 2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。 3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。 4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。 5. 环Z6的全部零因子是。 6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分 三、解答题（共3０分） 1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3． （１）写出H＝< a>的所有元素． （２）计算H的所有左陪集和所有右陪集． （３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由． 2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。 四、证明题（共30分） 1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明 （１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数； （２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。 2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。 3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。 近世代数习题解答 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz . 这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma = 近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态 factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交 《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =- 近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ） 《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。 1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I ，+〉与〈N ，·〉是否同构？ 3. 设X 为集合，证明〈P （X ），∩〉与〈P （X ），∪〉是同构的。 4. 求出〈N 6，+6〉的所有自同态。 1. 给定代数结构〈I ，+，·〉，定义I 上的二元关系R 为： i R j 当且仅当 | i | = | j | , 关于加法运算 +，R 是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？ 2. 设R 是N 3上的等价关系。若R 关于 +3具有代换性质，则R 关于·3也一定具有代换性质。求出N 3上的一个等价关系S ，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。 3. 试确定I 上的下述关系R 是否为〈I ，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x ＜0∧y ＜0＝∨(x ≥0∧y ≥0)； b) x R y 当且仅当 | x ·y |＜10； c) x R y 当且仅当 (x = 0∧y = 0)∨(x ≠0∧y ≠0)； d) x R y 当且仅当 x ≥ y 。 第二章 2. 在以下给出的N 上的关系R 中，哪些是么半群〈N ，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。 a ) aR b 当且仅当 a －b 是偶数。 b ) aR b 当且仅当 a ＞b 。 c ) aR b 当且仅当 存在r ∈I 使a = 2 r ·b 。 d ) aR b 当且仅当 10整除a －b 。 3. 设〈S ，*〉是半群，a ∈S ，在S 上定义二元运算·如下： x ·y = x * a * y ， x ，y ∈S 证明〈S ，·〉也是半群。 4. 设〈M ，*〉是么半群且＃M ≥2。证明M 中不存在有左逆元的左零元。 5. 设? ?????∈? ?????=??????∈??????=R a a T R b a b a S |000,,|00，·为矩阵的乘法运算。证明： 1)〈S ，·〉为么半群； 2)〈T ，·〉为么半群； 3)〈T ，·〉是〈S ，·〉的子半群，但〈T ，·〉不是〈S ，·〉的子么半群。 9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。 定理2.2.5 设〈G ，*〉为群。若k ∈I 且a ∈G 的阶为n ，则a k = e 当且仅当 n ｜k 。 定理2.2.6 设〈G ，*〉为群且a ∈G 。若k ∈I 且a 的阶为n ，则a k 的阶为 n /（k ，n ）。 推论 设〈G ，*〉为群。若a ∈G ，则a 与a －1 的阶相同。《抽象代数基础》习题解答
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