矢量相加法则

师：通过这两节课的学习，我们知道力是矢量，力的合成与分解不能简单地进行力的代数加减，而是根据平行四边形定则来确定合力或者分力的大小和方向．前面我们学过的矢量还有位移，位移的相加也遵循平行四边形定则吗?我们来看教材69页“矢量相加法则”这部分内容，然后回答有关问题．

学生阅读课本有关内容，初步认识平行四边形定则不仅仅适用于力的合成与分解，同样也

适用于其他矢量的合成与分解，通过学生自己总结分析，可以提高学生物理知识的迁移能力、用一种方法解决不同问题的能力．

师：位移的矢量合成是否遵守平行四边形定则?

生：位移的合成也遵守平行四边形定则．

师：什么叫三角形定则?

生：把两个矢量首尾相接从而求出合矢量的方法，叫做三角形定则．平行四边形定则和三角形定则实质上是一样的，只不过是一种规律的不同表现形式．

师：什么叫做矢量，除了位移和力，我们所学的哪些物理量还是矢量?

生：既有大小又有方向，并且在相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)的物理量叫做矢量．除了位移和力之外，我们所学过的速度、加速度等都是矢量．

师：什么是标量，我们以前所学的哪些物理量是标量?

生：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加减的物理量叫做标量．我们以前所学过的质量、体积、距离、密度、时间等物理量都是标量．

常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量的全微分() dv dr v =? 应用三重矢量积公式（ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

受力分析的矢量三角形法运用练习题

九、力的矢量三角形定则运用 1.如图所示，光滑水平地面上放有柱状物体A ，A 与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B ，对A 施加一水平向左的力F ，整个装置保持静止.若将A 的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( ) A.水平外力F 增大 B.墙对B 的作用力减小 C.地面对A 的支持力不变 D.B 对A 的作用力增大 2. 如图所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使细绳与竖直方向夹300角且绷紧，小球处于静止，则需对小球施加的最小力等于（） A ．mg 3 B ．m g 23 C ．m g 3 3 D ．mg 21 3.如图4所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（） A.斜面对球的支持力逐渐增大 B.斜面对球的支持力逐渐减小 C.档板对小球的弹力先减小后增大 D.档板对小球的弹力先增大后减小 4．将一个已知力F,分解成两个分力,其中一个分力F 1的方向与已知力的方向成θ=30o ,另一个分力大小为F 2= F 3 3 ,则F 1大小可能为 A 、 F 33 B 、 F 21 C 、 F 23 D 、F 3 32 5．已知两个共点力的合力为50N ，分力F 1的方向与合力F 的方向成30 角，分力F 2的大小为30N 。则（） A ．F 1的大小是唯一的 B.F 2的方向是唯一的 C. F 2有两个可能的方向 D.F 2可取任意方向 6．将力F 分解为两个分力，已知其中一个分力F 1的方向与F 的夹角为一锐角θ，则：（） A ．只要知道另一个力的方向，就可得到确定的两个分力 B ．只要知道F 1的大小，就可得到确定的两个分力 C ．如果知道另一个分力的大小，就可得到唯一确定的两个分力 D ．另一个分力的最小值是F 1sin θ 7．如图所示，AB 为可绕B 转动的挡板，G 为圆柱体．夹于斜面与挡板之间．若不计一切摩擦，使夹角β由开始时较小的某一角度逐渐增大到90°的过程中，挡板AB 受到的压力：（） A ．不断增大 B ．不断减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大图4

力的三角形法则

力的三角形法则一个物体在三个力的作用下，保持平衡，这三个力构成一个封闭的矢量三角形。力的三角形法则有三种常见题型题型一：两个力方向不变，第三个力的方向改变，且在改变过程中，物体一直处于平衡状态，寻求第三个力的方向在改变过程中，该力的最小值。 1．如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态，为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是(B ) A ．90° B ．15° C ．45° D ．0° 2．如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F 的大小可能为 A. 3mg B ．mg C. 32 mg D. 33mg ABC 3、如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受压力最小？答案：当β＝900时，挡板AO 所受压力最小，最小压力N 2min =mgsin α．题型二：两个力方向不变，第三个力的方向逐渐变化，且在变化过程中，物体一直处于平衡状态，分析在此过程中，各力的大小变化规律 4、如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA 、OB 悬挂在半圆形的架子上，在保持重物位置不动的前提下，B 点固定不动，悬点A 由位置C 向位置D 移动，直至水平，在这个过程中，两绳的拉力如何变化？答案：OB 绳子中的拉力不断增大，而OA 绳中的拉力先减小后增大，当OA 与OB 垂直时，该力最小。

例说矢量三角形的使用

例说矢量三角形的使用息烽县乌江复旦学校王清安矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。一、求电场强度最小值例1质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。由几何关系得：mgsin30°＝qE 解得：E小＝mg/2q 方向：垂直于绳向上二、求速度最小值例2有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。

解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v1和v2，与合速度v可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v2垂直于v时，v2最小。v2＝v1sinα，由位移关系可得：sinα＝3/5 解得最小速度v2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。三、求力的最小值例3 将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。解析：木板受力为：重力mg、支持力F N、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和F N 也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝ Fμ/F N＝μ，可得α＝30°，如图。刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 F min＝mgsinα＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。四、求动量的最小值

矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反）例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

力学分析运动趋势常用矢量三角形法

力学分析运动趋势常用矢量三角形法矢量三角形法同平行四边形法则在处理矢量的合成和分解时是相同的，也是作图法解决问题的方法之一。应用矢量三角形法则主要解决的试题类型：如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，用矢量三角形来判断力的大小变化趋势比较简单。 1、如图所示，用细绳将均匀球悬挂在光滑的竖直墙上，绳受的拉力为T，墙对球的弹力为N，如果将绳的长度增加，则（） A．T、N均不变B．T减小、N增大C．T、N均增大D．T、N均减小 2、如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，且视为质点．悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则（） A．F1=Gsinα B．F2=Gtanα C．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1与F2的合力变大 D．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1减小，F2增大 3、如图所示，用拉力F将质量为m的滑块沿光滑的半圆柱面极缓慢地拉到顶端，在这个过程中，拉力F的方向始终沿圆柱面的切线方向，则下列说法正确的是（） A．拉力F的大小在不断减小B．物块受到的支持力在不断增大 C．拉力和支持力的合力大小和方向均不变

D．拉力和支持力的合力大小不变，方向不断改变 4、某欧式建筑物屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶上向上缓慢爬行（如图），他在向上爬的过程中（） A. 屋顶对他的支持力变大B．屋顶对他的支持力变小 C．屋顶对他的摩擦力变大D．屋顶对他的摩擦力变小 5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，绳上的拉力将() A．逐渐增大B．逐渐减小 C．先增大后减小D．先减小后增大另外一问：球对斜面的压力（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大 6、如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（）图8—1 A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大 7、用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子OB，使绳OB由水平方向转向竖直方向的过程中，OB绳所受的拉力将（）

矢量三角形法--专题

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。三力平衡的力三角形判断通常有三类情况．一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？分析与解以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，如图2，取点Ｏ作表示重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断增大例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。试分析当重物W 从A 端向 B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。分析与解以AB 杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。我们考虑到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头端点作指向射线②上任意点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力. 用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A 端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线图4 图 1 图2 图3

高中物理矢量三角形法应用

高中物理矢量三角形法应用河北石晓兵物体在三个非平行力的作用下平衡时，这三个力必在同一平面内共点。根据共点力的平衡条件可知，其合力为零，三个力组成一个封闭三角形。解答此类题目时，用矢量三角形分析一些动态变化，使得定性分析的解答过程简捷、直观、明了，使得定量计算的解答过程远比解析法简便得多。尤其是遇到物体在共点力的作用下平衡时求极值的题目，用矢量三角形可以大大简化解题过程，避免用解析法通过三角函数求极值的繁琐过程，能收到事半功倍的效果。 1. 共点力平衡时力变化的定性讨论例1 用一根细绳把重为G 的小球挂在竖直光滑的墙壁上，如图1所示，若改用较长的细绳，使α角变小时，细绳对小球的拉力及墙壁对小球的弹力如何变化？图1 解析选小球为研究对象，小球在重力G 、细绳拉力T F 、墙壁弹力F N 三个力作用下始终处于共点力的平衡状态，G 的大小和方向都确定。F N 的方向确定，但大小不定，T F 的大小和方向都不定。根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，α角较小时，细绳对小球的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。例2 如图2所示，一轻杆O 端用铰链固定于墙壁上，A 端用轻绳拉紧使OA 杆保持水平，若在A 端挂重物G ，当把重物的悬点A 点向O 点逐渐缓慢移动时，绳对A 点的拉力和铰链对杆的作用如何变化？图2 解析选杆为研究对象，杆在拉力)G F (F 1T 1T 、拉力2T F 和铰链作用力N F 三个力作用下始终处于平衡状态。1T F 的大小和方向都确定，2T F 的方向确定，但大小不定，N F 的大小和方向都不定。根据图3中力的封闭矢量三角形可以看出，当把重物的悬点从A 点向O 点逐渐缓慢移动时，2T F 一直减小，N F 先减小后增大。图3

§1 矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

用三角形法则求解三力平衡问题

用三角形法则求解三力平衡问题陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君物体在几个共点力作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，作用在物体上的这几个力的合力为零。若物体在三个共点力的作用下处于静止或匀速直线运动状态，这三个力的合力必为零，此时可运用三角形法则进行分析与求解。一、三角形法则三个共点力的合力为零时，若用平行四边形定则求出任意两力的合力，这个合力将代替原来的两个力，这样，三力平衡问题就变成了二力平衡问题，合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。因此，若将表示三个力的矢量平行移动，使其依次首尾相接，将构成封闭三角形。这就是求解与分析三个共点力平衡问题的三角形法则。运用三角形法则作出表示力矢量的三角形后，可利用解三角形的知识与方法进行分析与求解。例1．如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为 m 和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平1 线的夹角为α＝60°。则小球的质量比m2/m1为 A． B． C． D．解析：选碗中的小球m1为研究对象，如图2所示，由于碗的内表面光滑，它受竖直向下的重力mg、从m1（质点）指向球心O的支持力N（弹力）、沿细线斜向上的拉力T（弹力）三个力的作用而处于静止状态，由力的平衡条件可知，它们的合力为零，故将表示这三个力的矢量平行移动依次首尾相接，将构成封闭三

角形，如图3所示。由正弦定理有：，由于碗边缘光滑，相当于定滑轮，故有：。解两式得：。本题选A。二、求解动态平衡问题物体在三个共点力的作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，若其中的一个力缓慢变化，而物体仍处于静止状态或匀速直线运动状态，这类问题就是动态平衡问题，变力变化过程中的每一个状态，三力的合力都等于零。这类问题中至少有一个大小、方向均保持不变，三力矢量构成的封闭三角形中，至少有一个边保持不变，即三角形的两个顶点将保持不动，根据题中变力的变化情况，可确定出另一顶点的变化，由此可以判断出变力的变化情况。例2．如图5所示，质量为m的小球用细线悬于天花板上。在小球上作用水平拉力F，使细线与竖直方向保持θ角，小球保持静止状态。现让力F缓慢由水平方向变为竖直方向。这一过程中，小球处于静止状态，细线与竖直方向夹角不变。则力F的大小、细线对小球的拉力大小如何变化？

高一物理竞赛讲义五——动态平衡的矢量三角形法则

准静态问题的力三角形判断法在静力学中，经常遇到在力系作用下处于准静态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题。这种判断如果用平衡方程做定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面。我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=0，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰首尾相接，当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在且形状发生改变，比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然，所以，作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形判断法的关键操作，三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况，类型I三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定，例l 如图所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若AC加长，使C点左移，,AB仍竖直，且处于平衡状态，那么AC绳的拉力T和杆AB受到绳子的压力N与原先相比，下列说法正确的是( ) (A)T增大，N减小 (B)T减小，N增大 (C)T和N均增大 (D)T和N均减小分析与解由于绳AC以不同方向拉杆，使杆AB有一系列可能的平衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点A，它在绳AC的拉力 T、重物通过水平绳的拉力F（F=G）和杆AB的支持力作用下平衡．三力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小如何变化待定；而绳AC的拉力大小、方向均不确定．用代表这三个力的有向线段作出一簇闭合三角形如图1－２所示，取点O为始端，先作确定力F的有向线段①，从该线段箭头端点按已知方向力的方向作射线②，它是所有可能的力的作用线位置，从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的有向线段③便是第三个力矢量，在所得三角形集合图上，根据题意，用曲箭头表示出动态变化的趋势．从图1－２中可知，随着绳AC趋于水平，其上的拉力减小，杆的支持力亦减小．注意到杆对结点支持力与结点对杆压力是作用力与反作用力，故本题正确答案为选项D．例2 如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块。使物块在水平面上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的动摩擦因数 <1 块运动过程中，以下判断正确的是( ) (A)绳子拉力将保持不变 (B)绳子拉力将不断增大 (C)地面对物块的摩擦力不断减小 (D)物块对地面的压力不断减小分析与解本题中物块是在四个力作用下保持动态平衡．我们可先将地面施予物体的支持力N与摩擦力合成为地面作用力F，由于f=μＮ′＝μＮ，可知力F的方向是确定的：与支持力的方向成arctanμ角，支承面约束力（支持力与滑动摩擦力或最大静摩擦力的合力）与支持力间的这个角，通常称“摩擦角”，如图1 －4所示．这样，问题转化为三力平衡，其中重力G为确定力，地面作用力F为方向确定力，属于类型一的问题．如图1－5所示，取点O，作表示重力的有向线段①，从该线段箭头端点作地面作用力F的作用线所在射线②，作从射线②上任意点指向O 点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③，它们就是绳拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势．根据题给限制条件，由于μ＜1，故力三角形中①、②两线间夹角小于45°；由于初始状态绳拉力与水平面成45°，故力三角形中线段③与线段①的夹角从45°开始减小，图1－5中θ角小于90°．容易判断：绳子拉力不断增大，地面作用力不断减小；由图1－4所示关系显见，地面支持力与摩擦力均随之减小．本

常用的一些矢量运算公式

将矢量作重新排列又有：()()( )a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（a ? ） ?是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ?是φ 在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向d r 的变化率的d r 倍，即d φ。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将()dr ?作用于矢量v ，则()dr v ?就是v 再位移方向d r 变化率的d r 倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v =? 应用三重矢量积公式（1-209） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 应用三重矢量积公式（1-210）又有 ()()() 00()()()()a b a b a b a b a b b a b a ??=??+??=???+?+???+?? 将以上两式结合（相减）后可得 () {() }1 ()()()()()2 a b a b a b b a a b b a a b ?= ??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令 a b v ==，因 () v v ???=则有 21 ()() 2v v v v v ?=?-??? 4.算子? 的应用令φ是标量，a 是矢量，;a b 为并矢量，则有

矢量基本概念讲解

(一) 矢量基本概念定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。表示法定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），a 。特殊的向量零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。单位矢量：长度为1的矢量。向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。反矢量：长度相同，方向相反的矢量。共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA =，b AB =得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB =，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c +=。一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++= 运算规律： 1） 1）交换律：a b b a +=+； 2） 2）结合律：)()(c b a c b a ++=++。矢量的差若a c b =+，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b a c -=。

由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a -+=- （2）||||||b a b a +≤+ （3）||||||+≤- （4）?++≤+???++||||||2121a a a a a n ||n a ?+? （二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数λ与矢量的乘积a λ是一个矢量，（1）（1）其模为||||||a a ?=λλ；（2）（2）其方向由下列规则决定：当0>λ时，λ与方向相同；当0<λ时，λ与方向相反；当0=λ或0=时，是零向量，方向不定。定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0 a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。由定义，0 ||a a a ?= | |0 a a =∴ 数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ= 2）第一分配律：μλμλ+=+)( 3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)( 由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111μλνμλν+-+ 22221111μνλνμνλν--+= )()(22112211μνμνλνλν-+-= （三）两矢量的数性积一、一、数性积的定义与性质

力的矢量三角形(相似)

简单三角形 A15．如图，倾角α=60°的光滑斜面固定着，用一轻绳把一个重为G 的球挂在斜面上（并不粘连）静止不动，要使绳的拉力等于球的重力，绳与斜面的夹角β应等于Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．53° Ｄ．60° A16．重力都为G 的两个小球A 和B 用三段轻绳如图连接后悬挂在O 点上，O 、B 间的绳子长度是A 、B 间的绳子长度的2倍，将一个拉力F 作用到小球B 上，使三段轻绳都伸直且O 、A 间和A 、B 间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F 的最小值为 A ． G 2 1 B ．G 33 C ．G D ．G 332 8．如图所示，a 、b 是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α.若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则( ) A ．a 球的质量比b 球的大 B ．a 、b 两球同时落地 C ．a 球的电荷量比b 球的大 D ．a 、b 两球飞行的水平距离相等 8.选AB.设a 、b 两球间库仑斥力大小为F ，分析两球受力可得：tan α＝ F m a g ，tan β＝F m b g ，因α<β，故有m a >m b ，A 正确；剪断细线后，两球竖直方向只受重力，做自由落体运动，同时落地，B 正确；由于两球在水平方向所受的库仑斥力大小相等，故水平方向a 球的加速度比b 的小，因此相等时间内，a 球的水平距离比b 的小，D 错误；无法比较电荷量大小，故C 错误．相似三角形 1. 如图，竖直绝缘墙壁上固定一个带电质点A ，A 点正上方的P 点用绝缘丝线悬挂另一质点B ，A 、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电A 、B 两质点的带电量缓慢减小，在电荷漏完之前，关于悬线对悬点P 的拉力F 1大小和A 、B 间斥力F 2大小的变化情况，下面说法中正确的是( ) A ．F 1保持不变 B ．F 1先变大后变小 C ．F 2保持不变 D ．F 2先变小后变大 l 2l O A B

2020年高考物理二轮专项训练卷专题03 矢量三角形的用法

专题 03、矢量三角形的用法 1.（2019 全国 3）用卡车运输质量为 m 的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面 I 、Ⅱ固定在车上，倾角分别为 30°和 60°。重力加速度为 g 。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面 I 、Ⅱ压力的大小分别为 F 、F ，则 A. F = 1 3 3 mg ，F = mg 3 2 B. F = 1 3 3 mg ， F = mg 2 3 C. 1 3 F = mg ，F = mg 2 2 D. F = 1 3 1 mg ，F = mg 2 2 【答案】D 【解析】：对圆筒受力分析，圆筒受到重力、以及两斜面其支持力，如图所示；结合矢量三角形法，将物体所受的三个力通过平移延长等手段放在一个封闭的三角形中，如图所示；在红色的三角形中： sin 30 F / 1 2 ....F / mg sin 30 mg mg 2 1 2 2 2 1 2 2 2

cos30 F / 3 1 ....F / mg cos30 mg mg 2 根据牛三定律： F F / 1 1 .......F F / 2 2 ,故 D 选项正确； 2.（2019 年全国 1）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块 N 。另一端与斜面上的物块 M 相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动 N ，直至悬挂 N 的细绳与竖直方向成 45°。已知 M 始终保持静止，则在此过程中 A. 水平拉力的大小可能保持不变 B. M 所受细绳的拉力大小一定一直增加 C. M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D. M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD 【解析】：假设经过一定时间后 N 物体与竖直方向的夹角为 θ，对 N 受力分析如左图所示：结合矢量三角形法，将物体所受的力放在一个封闭的力三角形中，当 θ 从 0-45 增大时，由几何关系得： tan cos F mg mg T ....F mg .tan ..,F ....T mg .cos ....,T 故：A 错 B 对；开始时，因为不确定静摩擦力的大小与方向，即开始时静摩擦力的大小可能沿斜面向上也可能沿斜面向下； 1

第六课时—受力分析方法之整体-矢量三角形法

第六课时：受力分析方法之矢量三角形法重要知识点讲解矢量三角形法：把三力平衡中的三个力平移构成矢量三角形，根据矢量三角形的边长来确定力的大小。过程分析：①在力变化前，把平衡中的三个力平移构成矢量三角形；②在力变化后，把把平衡中的三个力平移构成矢量三角形；③比较前后两个三角形对应的边长大小来判断力的大小。注意：前后两次组成矢量三角形过程中，要保持重力那条边不变（长度和方向都不变），平移时注意不要改变力的方向。优缺点分析：优点：对解决力的变化问题非常直观，且非常容易；缺点：必须是由三个力组成的平衡。例题1 用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（），每根绳子的拉力变化情况是（）； A ．保持不变 B ．逐渐增大 C ．逐渐减小 D ．以上说法都有可能变式1（2012山东理综，17,5分）如图所示，两相同轻质硬杆12,OO OO 可绕其两端垂直纸面的水平轴12,,O O O 转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止；f F 表示木块与挡板间摩擦力的大小，N F 表示木块与挡板间正压力的大小；若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且12,O O 始终等高，则（） A. f F 变小 B. f F 不变 C. N F 变小 D. N F 变大变式1图例题2图变式2图例题2 如图所示，在倾角为的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，则有（） A ．斜面对球的支持力逐渐增大 B ．斜面对球的支持力先减小后增大 C ．档板对小球的弹力先减小后增大 D ．档板对小球的弹力一直增大变式2 用绳把球挂靠在光滑墙面上，绳的另一端穿过墙孔拉于手中，如图所示。当缓缓拉动绳子把球吊高时，绳上的拉力T 和墙对球的弹力N 的变化是（） O α

高一课,物体的平衡,矢量三角形法和力矩

物体的平衡一．三角形法则 1．常见动态平衡问题的分类（1）三个参量不变高中阶段接触的力学动态平衡问题，一般物体只受三个力，分析这三个力的大小、方向总共六个参量中，大都会有三个参量不变。一般而言，三个不变的参量往往是一个恒力的大小和方向以及另一个力的大小或方向。 a ．一力为恒力，另一个力方向恒定情形三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定。如图1中1F 的大小和方向恒定，力2F 的方向确定，三个力构成闭合矢量三角形，对应的就是物体所处动态平衡的相应状态。2F 的大小单调变化，3F 的大小变化不单调，存在极小值，且方向将变化。 b ．一力为恒力，另一个力大小恒定情形三力中有一个力确定，即大小方向不变，另一个力大小确定，这个力的方向及第三力的大小、方向变化情况待定。图2中若力2F 的大小确定，则2F 的方向将变化，3F 的大小单调变化，方向可能出现重复性。如果题目对力3F 的角度加以限制，那么3F 的方向变化也可能是单调的。因此，常规的动态平衡问题总体形态分布比较明确，抓住三个不变的参量，构建合理的力的矢量三角形，并抓住与状态动态变化相对应的特征物理量进行分析，就能使问题顺利得解。【例1】如图3所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用Ａ、Ｂ两只弹簧称把橡皮条上的节点拉到某一位置Ｏ，这时两绳套ＡＯ、ＢＯ的夹角∠ＡＯＢ小于９０°，现保持弹簧称Ａ的示数不变而改变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置Ｏ，就应调整弹簧称Ｂ的拉力大小及β角，则下列调整方法中可能的是

A.增大Ｂ的拉力，增大β角 B.增大Ｂ的拉力，β角不变 C.增大Ｂ的拉力，减小β角 D.Ｂ的拉力大小不变，增大β角 (2) 两个参量不变这样的动态平衡问题就很特殊。进一步分析可知，这两个不变的参量往往是某个力的大小、方向同时不变，即有一个力是恒力。恒力外的其他两力方向受条件（如空间方位、大小尺寸、运动轨迹等）的定性约束，从而可以判断方向变化趋势，在这类特殊习题中，挖掘并正确解读这些信息对解决问题是至关重要的。 a ．三力中有一个力确定，即大小方向不变，另二力方向变化有依据，判断二力大小变化。【例2】建筑工人通过安装在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运送到高处，如图4所示，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人（未画出）要用绳CB 拉住材料，使它与竖直墙面总保持一定的距离l 。若不计两根绳的重力，在建筑材料被提起的过程中，绳AB 的拉力1F 和绳CB 的拉力2F 的大小将如何变化。 b ．一力为恒力，另两力夹角恒定情形恒力外的其他两力方向变化趋势确定，且方向间存在定量的约束关系，两力夹角始终不变。【例3】如图5所示，物体G 用两根绳子悬挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90，转动过程中始终保持α角不变（90α>），且物体始终静止。设绳OA 的拉力为1T ，绳OB 的拉力为2T ，则在此旋转过程中（） A.1T 先减小后增大 B.1T 先增大后减小 C.2T 逐渐减小 D.2T 最终变为零