21.2.2--公式法

21.2.2 公式法

【知识与技能】

1.理解并掌握求根公式的推导过程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【过程与方法】

经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.

【情感态度】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.

【教学重点】

用公式法解一元二次方程.

【教学难点】

推导一元二次方程求根公式的过程.

一、情境导入，初步认识

我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成

ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？

【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.

二、思考探究，获取新知

通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.

由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b

a

x=-

c

a

.配

方，得x2+b

a

x+2

()

2

b

a

=-

c

a

+2

()

2

b

a

，即

2

2

2

4

(

4

2

)

b a

a a

b

x

c

-

+=.

至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

（1）两边能直接开平方吗？为什么？

（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.

【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.

师生共同完善认知：

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：

①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；

②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成

，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.

三、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.

(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2x=2.

分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一

般式后才能确定，否则会出现失误.

解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;

(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；

（3）原方程可化为3x2x-2=0,∴,c=-2,∴Δ=b2)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.

例2用公式法解下列方程：

(1)x2-4x-7=0; (2)2x2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x

分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.

【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导

学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？

四、运用新知，深化理解

1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是.

2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（）

A.k＞-1 4

B.k＞-1

4

且k≠0

C.k＜-1 4

D.k≥-1

4

且k≠0

3.2=0的根是（）

A.x1，x2

B.x1=6, x2

C.x1, x2

D.x1=x2

4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.

（注：5~6题为教材第12页练习）

5.解下列方程：

（1）x2+x-6=0; （2）x2（3）3x2-6x-2=0;

（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.

6.求第21.1节中问题1的答案.

【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.

【答案】1.m≤1

2.B

3.D

4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.

5~6略

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.

【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳总结.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.

2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.

3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.

4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.