利用基本不等式求最值的类型及方法

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利用基本不等式求最值的类型及方法

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解析：y x

2(x 1) (x

2(x 1)

1)

芳 1(x 1)

-1 ?」1(x

1)

2 2 2(x 1)

、几个重要的基本不等式:

① a 2 b 2 2ab

a 2

b 2

ab

（a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立;

2

1

2

2(x 1)

② a b 2 ab

2

a b ab

（a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立;

2

当且仅当

1)即x 2时，“ 5

”号成立，故此函数最小值是 -。

2

③ a 3 b 3 c 3

3abc 3

abc ―

b 3 3

3

c ( (a 、

立；

④ a b c 3v abc abc a

b 3

c (a abc

3

a 、

b 、

c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成

b 、

c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号

成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

①y

x 2

(3 2x)(0 x

2

② y sin xcosx(0 x ) 2

② 熟悉一个重要的不等式链: b 2

2

解析：①Q 0

x - ,? 3

2 2x

?- y

当且仅当 (3 2x)(0

x 3 2x 即 x

,?? sin x

2

3

x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]

1 ,

2

3

1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1

。

0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

二、函数 f(x) ax X

b 0）图象及性质 （1）函数

f(x) ax b a

、 X

b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b

a 、 X

b 0性质： ①值域：（

J 2 ab] [2 一ab,)；

②单调递增区间：（ 2

. 4

2

y sin x cos x

当且仅当 故此函数最大值是

sin 2

x sin 2

x coSx 1 2 2 2

(sin x sin x 2cosx)

2

1 sin

2 x sin 2x 2co^ x

3 4

「 -------- —)

刃

.2

sin x 2cos x (0

tan x 2，即

x arctan^^ 时“=”号成立,

）;单调递减区间:

b ], a ，［

(0,

,0) ?

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。

4

x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小

值。

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数

f(x) K

ax - （a 、b 0）图象及性质知，当

x （0,1］时，函数

x

例1、求函数y 1 x 2^（x 1）

的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明:

x 任取

X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则

f(xj

f(X 2)

(X 1

X 2) (— —)

(X 1 X 2)4 匹 为

(X 1 X 2)4 ,

x-1 X 2 X !X 2

X 1X 2

??? 0 x 1 x 2 1，二 x-i x 2

0,

x-|X 2 4 X-|X 2

0,则 f(xj f(X 2) 0

f (X i )

f (X 2),

f(x) X

4

在（0,1上是减函数。

x

故当x 1时，f （x ） x -在（0,1上有最小值5。 X

8 2

8 — sin x X

X

则有 ? 2 sin x 1

2 cos X y 1

2

y

cos X

解法三：（三角换元法）令

解法 （配方

法）

0 x 1,则有 f(x)

则：x 2y $

2

r

sin x cos x 2 2 8csc x 2sec x

2 2 2

8(1 cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x

2

2ta n x

易知当0 X 1时,

2 — 2

r X 0且单调递减，则f(x)(

X X X ）2 4在（0,1］上也是减函

数, f(X )

X 4 在（

0,1上是减函数，当X 1时，f （X ）

X 4 在（0,1上有最小值5。 X 解法三： （拆分法） 4 1 3

f (x) x (0 x 1) (x ) 2

x x x 10 2 (8cof x) (2tan 2 x)

18,易求得x

12,此时y 3时“='号成立，故最小值是

1&

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

8 1

8 1 ____

x 2 y （ ）（x 2y ）

2 x 2y 8。原因就是等号成立的条件不一

致。

x y

Y x y

类型V:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x 、y 满足xy x y 3，试求xy 、x y 的范围。

当且仅当X 1时“=”号成立，故此函数最小值是 评析：求解此类问题， 也是较为简洁实用得方法。 类型W:条件最值问题。 要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 解法一：由 x 0, y 0 ,则 xy x y 3 xy 3 x y 2 xy ,

即 C xy)2

2 xy

3 0 解得xy 1(舍)或xy 3 ,

例4、已知正数X 、y 满足 2y 的最小

值。

当且仅当x y 且xy x y 3即x y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。

解法一：（利用均值不等式） 2y

(◎ X

1

x 16y x 16y )(x 2y) 10 10 2

y y x

y

18,

x

当且仅当 12,y 3时“=”号成立, 故此函数最小值是

1&

又 x y 3 xy Q y )2

(x y)2 4(x y) 12 0 x y 2(舍)或x y 6,

2

c 2x x 2y x ■ x 8

y X 8 1 X y 2(x 8) 16 8 1

X X 由 得 1 y

X 8

解法二：（消元法） y 16y 1 x 8，则

J 16

10 2 (X 8)

X 8

10 1& 当且仅当X

16

二即x 12,此时y 3时“=”号成立,

故此函数最小值是

18

。

当且仅当X y 且xy

x y 3 即 x

y 3时取“=”号，故X y 的取值范围是［6,

解法

1

二：由X 0,y 0 , xy x

y 3

(X 1)y x 3知x

1 ,

则：y

X 3，由

y 0

x 3 0

X 1 ,

X 1

x 1

则： X 3 x 2 3x (x 1)2 5(x 1) 4 / 八 4

「

2 (X 1)

4

5 9 ,

xy x

(x 1)

5

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1

当且仅当X 1

— （x 0）即X 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。 x 1

x y x = x T x 二 1 （x 1）二 2 2（x 1）

\ 2 6, X 1 X 1 X 1

X 1

耳

X 1

当且仅当X 1 — （x 0）即X 3，并求得y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是［9,）。

x 1

评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

1

x

四、均值不等式易错例析： x 4 x 9

的最值。

例1.求函数y

例3.

jx 、x 4

R)的最小值。

错解：y 4x9

2

x 13x 36

13

36 x

x

13 2

存乎25

错解:

因为y

x

—5

Jx 2 4

x 2

4

1 ■- x

2 4

2

2 i x ll

所以y min 2

x 36

即x 6时取等号。所以当 x

分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 x 4 x 9 因为函数y % 4 % 9的定义域为 当且仅当 6时，y 的最小值为25,此函数没有最大值。 分析: 忽视了取最小值时须 成立的条件, 4

而此式化解得

x 2

3，无解，所

，所以须对x 的正负加以分类讨论。

以原函数y 取不到最小值2。 正解: 1)当x 0时,

y 13

36

13

2 x 36 25

正解：令t . x 2

4 t

2，则y

1

t -(t 2)

例2. 错解: 分析: 当且仅当x

又因为t

1时，y

)当x 0时,

13 [( x)

当且仅当 当x 0时，求

6时取等

号。

36

0, x

所以当

6 时，y min 25

36

2.

36 x ——

12

x

例4.已知x, y

蜀]13 12 x

错解：1

- x

xy

36

，即x 6时取等号，所以当

x

7 4x

x 2

9

的最小值。

6

时,

y max 13 12 1.

4X -92

x 2 4x 92 \ x

-x

1

」是递增的。所以当t 2，即x

t

1，求u x y 的最小值

、xy 4 , u x y 2 xy

分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为

时成立，故取不到最小值 8.

正解：u (x y

时,

y

min

8,

u 的最小值为8.

y ，而这两个式子不能同

9 所以当且仅当4x 2即 x 39时' ■- 4 6

￥ min

23 18。

当且仅当

3,y 6时等号成立. 的最小值为9.

用均值不等式求“和”或“积” 9 而上述解法中4x 与- x 的最值时， 必须分别满足 “积为定

值”

或“和为定

值”，

的积不是定值，导致错误。 正解：因为x 0，y 4x 2x 2x 2x 9

x 2

33 36

综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或 子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 “积为定值”的

式 9

当且仅当2x

时等号成立，所以当

2

严时，

y

min

33 36

。

技巧一：凑项

例1 ：已知x -，求函数y 4X 2

1

的最大值。

4

4x 5

解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)J 不是常数，所以对

4x 2要进行 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时， 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错。。

拆、凑项，Q x -, 5 4x 0, y 4x 2 1

5 4 4x 5 1 1 ，即x 1时，上式等号成立，故当 5 4x 当且仅当5 4x 技巧二：凑系数 例2.当时，求y 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值, 值，故只需将y x(8

x(8 2x)的最大值。 2x)凑上一个系数即可。

4x 丄3

2 5 4x

3 1,

1

2:已知x 0, y 0，且一

x -1，求 x y

y 的最小

值。

1时, 注意到 y

max 1。

2x (8 2x) 8为定

当，即x = 2时取等号 技巧三：分离 x 2

7x 例3.求y -一竺

x 1 当x =2时，y x(8 2x)的最大值为 2(x 1)的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式, 不妨将分子配方凑出含有( 8

。

的项，再将其分

离。

解：Q x 0, y

0,- x

? 1，x y y x

1 9 y

x y

y x

9 x

型10 6 y

10

y 9x

1 9 .

当且仅当-

时, 上式等号成立, 又- --1，可得 x 4, y 12 时，

x

y

x y

巩固练习：

2

1、已知:x 2

y

2

a m 2 n 2 J

b 且a b ，贝y mx ny 的最大值为( )

a b

2 . 2

a b

2

J a b 2

(A) . ab

(B)

(C)

(D)

2

\ 2

2

2、若 a, x, y R ，且x , y

a x

y 恒成立，则 a 的最小值是( )

(A) 2. 2

(B)

i 2

(C)2

(D)1

16

y min 16。

当,即时,y 2 (x 1) 5 9 (当且仅当x = 1时取“ 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 4

5

t 2 2

(t 1) 7(t 1)+10 _t 5t 4 t

t =x +1,化简原式在分离求最值。 3、已知下列不等式：①

③ a 2 b 2 (A)0 个

a,b

4、设 (A) (a

2(a (B)1

3

x

b 1).其中正确的个数是

个 (C)2 个

2x(x R )；

②a 5 b 5 a 3b 2 a 2b 3(a,b

当，即t =时，

y 5、设 a,b (当t =2即x = 1时取“=”号)。 (A)、2

技巧五：在应用最值定理求最值时,

若遇等号取不到的情况， 应结合函数f (x) x 旦的单调性。 x

6、若实数 x 2 5

例：求函数y 的值

域。 4^4

(A)18

7、若正数 8、若 x, y

t(t 2)，则 y

，则下列不等式中不成立的是

( 1 1

b)(丄 9

a b

(B)

a 2

b 2

R 且2a

1

(B)

a, b 满足a

(B)6

a, b 满足ab 1,S 、2 1

2

ab

2. ab

(C) () (D)3

)

2. ab (C)

f

■- ab

(D)

2ab —— ab a b

4a? b 2的最大值是 ..2 1

(D) a

b

b 2，则3

3的最小值是

2.、3

(C)

a b

y 1,

()

(D)

3，则ab 的取值范围是_

1 1

则

的最小值为 ____

x y

24 3

r 1 因 t 0,t 1 ,

t

1 因为y t -在区间 t

1, 所以，所求函数的值域为 1不在区间2,

单调递增，所以在其子区间

5 2’

，故等号不成立，考虑单调性。

2, 为单调递增函数，故 y