1994考研数二真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 若2sin 21
,0,() , 0ax x e x f x x
a x ?+-≠?
=??=?
在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32
ln(1),x t t y t t =-+??=+?
所确定,则22d y
dx =＿＿＿＿＿＿. (3) cos30()x
d f t dt dx ??=?
????＿＿＿＿＿＿. (4) 2
3x x e dx =?
＿＿＿＿＿＿.
(5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设22
0ln(1)()
lim
2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 5
1,2a b ==-
(B) 0,2a b ==- (C) 5
0,2
a b ==- (D) 1,2a b ==-
(2) 设3
22,1
()3 , 1x x f x x x ?≤?=??>?
,则()f x 在点1x =处的 ( )
(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在
(3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0x
y y e '''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( )
(A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值
(4) 曲线1
21arctan (1)(2)
x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
(5)设43422222sin cos ,(sin cos )1x M xdx N x x dx x π
πππ--==++??,2342
2
(sin cos )P x x x dx π
π-
=-?,则有 ( )
(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1) 设()y f x y =+,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22d y
dx
.
(2) 计算
31
42
(1)x x dx -?
.
(3) 计算2lim tan (
)4n
n n
π
→∞+.
(4) 计算sin 22sin dx
x x
+?.
(5) 如图,设曲线方程为2
1
2
y x =+
,梯形OABC 的面积为D ,曲边梯形OABC 的面积为1D ,点A 的坐标为(,0)a ,0a >,证明：
3D <.
四、(本题满分9分)
设当0x >时,方程21
1kx x
+=有且仅有一个解,求k 的取值范围.
五、(本题满分9分)
设32
4x y x
+=, (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.
六、(本题满分9分)
求微分方程2sin y a y x ''+=的通解,其中常数0a >.
七、(本题满分9分)
设()f x 在[0,1]上连续且递减,证明：当01λ<<时,1
()()f x dx f x dx λ
λ≥?
?.
八、(本题满分9分)
求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2-
【解析】2sin 21
ax x e x
+-在0x ≠时是初等函数,因而连续；要使()f x 在(,)-∞+∞上连
续,()f x 在0x =处也连续,这样必有0
lim ()(0)x f x f →=.
由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x →时,sin x
x ；1
x e x -.
2200sin 21sin 21lim lim()ax ax x x x e x e x x x
→→+--=+ 0022lim
lim 22x x x ax
a a x x
→→=+=+=,
从而有2a =-. (2)【答案】
(1)(65)
t t t
++
【解析】
dy dy dt dy dx dt
dt dx dt dx =?=2232352111t t y t t t t x t
'+===++'-+,
()65(1)(65)111x t
xx t y t t t y x t t
''+++''=
==
'-+. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为
()()dy f u g x dx ''=? 或 dy dy du
dx du dx
=?. (3)【答案】3sin 3(cos3)xf x -
【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)f x x f x x
xf x '=?=?-?=-. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若()
()
()()t t F t f x dx βα
=
?,()t α,()t β均一阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.
(4)【答案】
22
1(1)2
x x e C -+,其中C 为任意常数
【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2
x e 先进入积分号,
原式22222211()()22x x x x d e x e e d x ??=
=-?
??? 221
(1)2
x x e C =-+ 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则
,uv dx uv u vdx ''=-?? 或者 .udv uv vdu =-??
(5)【答案】4(4)x y Cx -?=,C 为任意常数 【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得
0(4)dx dy
x x y
+=-,两项分别对x 和对y 积分得到
114ln ln ,4x y C x
-+= 化简有
4
4x y C x
-?=,即 4(4)x y Cx -?=,C 为任意常数.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)
【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得
2
2
22ln(1)()(())()2
x x ax bx x o x ax bx +-+=-+-+
221
(1)()()2
a x
b x o x =--++,
由假设,应该有10
1()22
a b -=??
?-+=??,故由此51,2a b ==-,故应选(A).
方法2：用洛必达法则.220ln(1)()
lim x x ax bx x
→+-+为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,
01
21lim 2x a bx x x
→--+=原式左边 2
0(1)(2)2lim 2(1)
x a a b x bx x x →--+-=+(若10a -≠,则原式极限为∞,必有10a -=)
122,2b +=-
= 5
1,2
a b ?==-. 故应选(A).
(2)【答案】(B)
【解析】方法1：因32(),(1)()3f x x x f x =≤?左可导,31
2(1)23x f x --
='?
?'== ?
??.
又2
1
1
lim ()lim 1(1)()x x f x x f f x ++
→→==≠?不右连续()f x ?在1x =的右导数不存在, 故选(B). 方法2：2
(1)3
f =
,而 211lim ()lim 1(1)x x f x x f ++
→→==≠, 所以,()f x 在1x =点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.
2113112
()(1)3(1)lim lim ,11
22()(1)33(1)lim lim 2.11
x x x x x f x f f x x x f x f f x x ++
--
+→→-→→-
-'===+∞---
-'===--
故()f x 在1x =点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)
【解析】由于()f x 满足微分方程sin 0x
y y e '''+-=,当0x x =时,有
0sin 00()()x f x f x e '''+=.
又由0()0f x '=,有0
sin 0()0x f x e ''=>,因而点0x 是()f x 的极小值点,应选(C).
(4)【答案】(B)
【解析】用换元法求极限,令1
t x
=
,则当x →±∞时,0t →,且有 2
201lim lim arctan ,(1)(12)4
t x t t t y e t t π
→±∞→++==-+ 0lim x y →=-∞,
所以y 轴和4
y π
=
是曲线的两条渐近线.
而1x =和2x =-并非曲线的渐近线,因当1x =和2x =-时,y 分别趋向于2
e π±
和 1
4
2
e
π±
.故应选(B).
【相关知识点】渐近线的相关知识：
水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞
=,则y a =为水平渐近线；
铅直渐近线：若有lim ()x a
f x →=∞,则x a =为铅直渐近线；
斜渐近线：若有()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞
→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐
近线.
(5)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且
由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则
()0 ()b
a
f x dx a b ≥
.
所以 4
20
2
cos 0N xdx π
=>?
, 420
2cos 0P xdx N π
=-=-
因而 P M N <<,应选(D).
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1)【解析】方程两边对x 求导,得(1)y f y '''=?+,两边再求导,得
2(1)y f y f y ''''''''=?++?,
由于一阶导数不等于1,所以10f '-≠. 以1f y f ''=
'-代入并解出y '',得 3
(1)f y f ''
''='-. 【相关知识点】复合函数求导法则：
如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为
()()dy f u g x dx ''=? 或 dy dy du
dx du dx
=?. (2)【解析】用换元积分法.
观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.
令2
sin x t =,则2cos xdx tdt =.当0x =时,0t =；当1x =时,2
t π
=
,故 原式4
201cos 2
tdt π=?1313()242232ππ=???=
. 【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：
2200(1)!!, !!2
sin cos (1)!!, !!
n n n n n n I xdx xdx n n n πππ
-???===?-?????为偶数为奇数，.
注：对于双阶乘!!n 的定义如下:当n 为奇数时,!!13n n =??
?；当n 为偶数时,
!!24n n =???.
(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan(
)4n π
+展开,再化为重要极限1
lim(1)x x e x
→∞+=的
形式,利用等价无穷小因子替换,即0x →时,tan x x ,从而求出极限.
221tan 2tan 2lim tan ()lim lim 12241tan 1tan n n
n n n n n n n n n π→∞→∞→∞????+????+==+????????
--???
? 22
1tan
4tan 124tan
22212tan 1tan
lim
2
21tan
422tan lim 121tan n n n n n n n
n
n
n n e
e n →∞
-??-?
-→∞?
???=+
==????
-?
?.
方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln ()
lim ()x f x x e f x →∞→∞
=.
因为
221tan
2tan
2limln tan ()lim ln lim ln 12241tan
1tan n n n n n n n n n n n π→∞→∞
→∞?
?+??+==+????--?
? 222tan tan 4lim lim 42221tan 1tan
n n n n n n n n →∞→∞????===????--?
?, 于是 2
ln tan ()442lim tan ()lim 4n n
n n n e e n ππ
+→∞→∞
+==.
(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=?,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得
sin 22sin 2sin (cos 1)dx dx
x x x x =++??
22sin 11
cos 2sin (cos 1)2(1)(1)
xdx x u du x x u u ==-+-+?
?
(
2
2
sin 1cos x x =-)
22
1(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-
=-++-+-++??
12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ??=--+++??+??
()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ??=--+++??+??
, 其中C 为任意常数.
方法2：换元cos x u =后,有
原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx du
x x x x u u =
==-++-+???.
用待定系数法将被积函数分解:
22
1(1)(1)11(1)
A B D
u u u u u =++-+-++ 22
()(2)()
(1)(1)
A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 0
1120,421
A B A D A B D A B D -=??
?-=?===??++=?
.
于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ??-
++=--+++??-+++??
?原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ??=--+++??+??
. (5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式
()2
h
a b +,其中h 为梯形的高,a 、b 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.
22
22
31011
()(1)
22,
22
111(32)().
2326
a a a a D a a a D x dx a a +++==+=+=+=? 由于 2
2
312a a +<+,所以
221132
a a +<+,由此, 22222
21(1)3(1)31323(32)322226
a a D a a a a D a a +++===<+++.
四、(本题满分9分) 【解析】方程21
1kx x +
=的解即为32()1x kx x ?=-+的零点. 要证明方程21
1kx x
+=有且仅有一个解,只需要证明()x ?是单调函数,且它的函数图
像仅穿过x 轴一次就可以了.以下是证明过程.
对()x ?求一阶导数,有2()32(32)x kx x x kx ?'=-=-.
当0k ≤时,()0x ?'<,()x ?单调减少,(0)10,lim (),x x ??→+∞
=>=-∞()x ?在0x >有
唯一的零点；
当0k >时,()x ?在2(0,
)3k 单调减少,在2(,)3k +∞单调增加,224()1327k k
?=-,而(0)10,lim (),x x ??→+∞=>=+∞当且仅当最小值2
()03k ?=时,()x ?才在0x >有唯一零点,
这时应该有k =总之,当0k ≤
或k =,原方程有唯一实根.
五、(本题满分9分)
【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y '在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y ''的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.
234
4824
,1,0y x y y x x x
'''=+
=-=>. 无定义点：0x =,驻点：2x =.
函数在(,0)
(2,)-∞+∞单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)-∞+∞凹,在2x =取
极小值23x y ==；
由于 0
lim ,x y →=∞所以0x =为垂直渐近线.
由于 24
lim
1,lim()lim 0,x x x y y x x
x →∞
→∞→∞=-==所以y x =是斜渐近线.
粗略草图如下：
【相关知识点】渐近线的相关知识：
水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞
=,则y a =为水平渐近线； 铅直渐近线：若有lim ()x a
f x →=∞,则x a =为铅直渐近线；
斜渐近线：若有()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞
→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐
近线.
六、(本题满分9分)
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程2
2
0r a +=有两个根为12,r r ai =±.
当1a ≠时,非齐次方程的特解应设为 sin cos Y A x B x =+.
代入方程可以确定 22
1sin ,0,11
x
A B Y a a =
==--. 当1a =时,应设 sin cos Y xA x xB x =+,
代入方程可以确定 10,,cos 22
x
A B Y x ==-=-.
由此,所求的通解为
当1a ≠时,122
sin cos sin 1
x
y c ax c ax a =++
-； 当1a =时,12cos sin cos 2
x
y c x c x x =+-
. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程
()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程
变为0y py qy '''++=.其特征方程写为2
0r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1
212;rx r x y C e
C e =+
(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()1
12;rx
y C C x e =+
(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x
y e C x C x αββ=+其中12
,C C 为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*
()y x ,可用待定
系数法,有结论如下：
如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x
m y x x Q x e λ=
的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按
λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果()[()cos ()sin ]x
l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程
()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为
*(1)(2)
[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,
其中(1)()m R x 与(2)
()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
七、(本题满分9分)
【解析】方法一：用积分比较定理.
首先需要统一积分区间：换元,令x t λ=,则 1
()()f x dx f t dt λ
λλ=?
?,
由此
[]11
()()()()f x dx f x dx f x f x dx λ
λλλ-=-?
??.
因为()f x 递减而x x λ<,所以()()f x f x λ≥,上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.
为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)λλ两区间内用积分中值定理：
1
1
()()()f x dx f x dx f x dx λλ
=+?
??,
由此,
11
()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λ
λλ
λλλ-=--?
???
12(1)()(1)()f f λλξλλξ=-?-?-
[]12(1)()()f f λλξξ=-?-,
其中,1201ξλξ<<<<；又因()f x 递减,12()()f f ξξ≥.上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令
1
()()()f x dx f x dx λ?λλ=-??, [0,1]λ∈.
则 1
()()()f f x dx ?λλ'=-
?
.
由积分中值定理,有()()()f f ?λλξ'=-,其中(0,1)ξ∈为常数.
由()f λ递减,λξ=为唯一驻点,且()?λ'在λξ=由正变负,λξ=是()?λ的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0λ=或1.从而有
()(0)(1)0,0 1.?λ??λ≥==<<
命题得证.
【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：
若()
()
()()t t F t f x dx βα
=
?,()t α,()t β均一阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.
八、(本题满分9分)
【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元：
22222
3(3)3(1)dV y dx x dx π????=--=--????
24(82),02x x dx x π=+-≤≤,
于是 2
240
448
2(82)15
V x x dx ππ=+-=
?
.
y =
1994考研数学一真题及答案详解
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0 11 limcot ( )sin x x x x →-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3) 设sin x x u e y -=,则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4) 设区域D 为2 2 2 x y R +≤,则22 22()D x y dxdy a b +=??_____________. (5) 已知11(1,2,3),(1,,)23 αβ==,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设42 22 sin cos 1x M xdx x π π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π π-=-?, 则 ( ) (A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N << (2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数 21 n n a ∞=∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( ) (A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =- (5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关
1994考研数二真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 若2sin 21 ,0,() , 0ax x e x f x x a x ?+-≠? =??=? 在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32 ln(1),x t t y t t =-+??=+? 所确定,则22d y dx =＿＿＿＿＿＿. (3) cos30()x d f t dt dx ??=? ????＿＿＿＿＿＿. (4) 2 3x x e dx =? ＿＿＿＿＿＿. (5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 5 1,2a b ==- (B) 0,2a b ==- (C) 5 0,2 a b ==- (D) 1,2a b ==- (2) 设3 22,1 ()3 , 1x x f x x x ?≤?=??>? ,则()f x 在点1x =处的 ( ) (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 (3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0x y y e '''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( ) (A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值 (4) 曲线1 21arctan (1)(2) x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
1994考研数三真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) 2 x + x | (1) [——x = 2 +x 2 ------- ⑵已知f(X)二-1,则lim _ J 0 f (怡—？X)- f(X 。—X) ⑶设方程0 -护=°Cosx 确定定y |0 0 32 L 0 (4)设 A= M M M M 0 0 0 L a n i ⑸设随机变量X 的概率密度另 命n 0 0 L F 二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) 12 x 2 +x +1 (1) 曲线y 二e x arctan 的渐近线有() (x+1)(x-2) (A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 00 2 00 n |an | ⑵设常数■ 0,而级数a 2收敛,则级数(-1)n 」2 () (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与'有关 ⑶设A 是m n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r,矩阵B 二AC 的秩为*，则 ( ) (A) r r 1 (B) r ::片 (C) r = r 1 (D) r 与*的关系由C 而定 (4)设 0 vp(A) *1,0 ￡P(B) ￡1,P(A B) +P(AB)=1,贝 U () (A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立 为x 的函数，则dy = ___________ dx ,其中 a 仔0,i=1,2,L ,n,则 丄 2x, 0：：x ：1, f(x)二 10,其他，『 、 以丫表示对X 的三次独立重复观察中事件 X 乞-出现的次数,则 I 2J
1994考研数四真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知0()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000 000,0000 0n n a a A a a -?? ??? ? ? ?=???????? 其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________. (5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等 品,则取到的是一等品的概率为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 曲线2 1 21 arctan (1)(2) x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程 1 ()0() x x a b f t dt dt f t +=? ? 在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( ) (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14), ααα=-==4(1,2,2,0),α=- 5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( ) (A) 123,,ααα (B) 124,,ααα
1994考研数三真题与解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -???? ?? ??=???????? L L M M M M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为 2,01, ()0,x x f x <,而级数 21 n n a ∞ =∑收敛, 则级数 1 (1) n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则 ( ) (A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定
1994年考研英语真题及答案解析(卷二)
考研资料1994年全国研究生入学考试（二）及参考答案 （精校版） 英语
1994年全国硕士研究生入学统一考试英语试题 Section ⅠUse of English The first and smallest unit that can be discussed in relation to language is the word. In speaking, the choice of words is 1 the utmost importance. Proper selection will eliminate one source of 2 breakdown is in the communication cycle. Too often, careless use of words __3 a meeting of the minds of the speaker and listener. The words used by the speaker may ___4 unfavorable reactions in the listener 5 interfere with his comprehension; hence, the transmission-reception system breaks down. 6__, inaccurate or indefinite words may make ___7 difficult for the listener to understand the 8 which is being transmitted to him. The speaker who does not have specific words in his working vocabulary may be 9 to explain or describe in a 10 that can be understood by his listeners. 1. [A] of [B] at [C] for [D] on 2. [A] inaccessible [B] timely [C] likely [D] invalid 3. [A] encourages [B] prevents [C] destroys [D] offers 4. [A] pass out [B] take away [C] back up [D] stir up 5. [A] who [B] as [C] which [D] what 6. [A] Moreover [B] However [C] Preliminarily [D] Unexpectedly 7. [A] that [B] it [C] so [D] this 8. [A] speech [B] sense [C] message [D] meaning 9. [A] obscure [B] difficult [C] impossible [D] unable 10. [A] case [B] means [C] method [D] way Section ⅡReading Comprehension Passage 1 The American economic system is organized around a basically private-enterprise, market- oriented economy in which consumers largely determine what shall be produced by spending their money in the marketplace for those goods and services that they want most. Private businessmen, striving to make profits, produce these goods and services in competition with other businessmen; and the profit motive, operating under competitive pressures, largely determines how these goods and services are produced. Thus, in the American economic system it is the demand of individual consumers, coupled with the desire of businessmen to maximize profits and the desire of individuals to maximize their incomes, that together determine what shall be produced and how resources are used to produce it. An important factor in a market-oriented economy is the mechanism by which consumer demands can be expressed and responded to by producers. In the American economy, this mechanism is provided by a price system, a process in which prices rise and fall in response to relative demands of consumers and supplies offered by seller-producers. If the product is in short supply relative to the demand, the price will be bid up and some consumers will be eliminated from the market. If, on the other hand, producing more of a commodity results in reducing its cost, this will tend to increase the supply offered by seller-producers, which in turn will lower the price and permit more consumers to buy the product. Thus, price is the regulating mechanism in the American economic system.
1994年全国统一高考数学试卷(文科)
1994年全国统一高考数学试卷（文科） 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-45每小题5分，满分65分） 1．（4分）设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（?I A）∪（?I B）等于． A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3， 4} 2．（4分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（） A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1） 3．（4分）（2012?北京模拟）点（0，5）到直线y=2x的距离为（） A．B．C．D． 4．（4分）θ为第二象限的角，则必有（） A．＞B．＜C．＞D．＜ 5．（4分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（） A．511个B．512个C．1023个D．1024个 6．（4分）在下列函数中，以为周期的函数是（） A．y=sin2x+cos4 x B．y=sin2xcos4x C．y=sin2x+cos2 x D．y =sin2xcos2x 7．（4分）已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（） A．32B．28C．24D．20 8．（4分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2 的面积是（） A．1B．C．2D． 9．（4分）如果复数Z满足|Z+i|+|Z﹣i|=2，那么|Z+i+1|最小值是（） A．1B．C．2D． 10．（4分）某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有（） A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种 11．（5分）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）
1994考研数学一真题及参考包括答案详解.docx
精心整理 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .) (1)limcot x(11 _____________. ) x 0sin x x (2)曲面 z e z2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为 _____________. (3)设 u e x sin x ,则2 u 在点 (2, 1 ) 处的值为_____________. y x y 22 (4)设区域 D 为x2y2R2, 则( x 2y2 ) dxdy_____________. D a b (5)已知(1,2,3),(1,1,1) ,设 A T, 其中T 是的转置 , 则A n_________. 23 二、选择题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .) (1)设 M 2 sin x4 ,N 2 (sin 3 x 4 x)dx , P 22 sin 3 x 4 , 2 1 x2 cos xdx 2 cos 2 (x cos x)dx 则() (A)N P M (B) M P N (C)N M P (D) P M N (2) 二元函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x (x0 , y0 ) 、 f y ( x0, y0 ) 存在是 f ( x, y)在该点连续的() (A)充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0 ,且级数a n2收敛,则级数( 1)n | a n | () n 1n 1 n2 (A)发散 (B) 条件收敛 (C)绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (4) a tan x b(1 cos x) 2 ,其中 a2c20 ,则必有 () lim 2x) d (1 e x 2 ) x 0 c ln(1 (A) b4d (B)b4d (C) a4c (D)a4c (5)已知向量组1、 2 、 3 、 4线性无关 , 则向量组 () (A)1 2 、 2 3 、 3 4 、 41线性无关 (B)1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关 (C)1 2 、 2 3 、 3 4 、 4 1 线性无关 (D)1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关
1994年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案
1994年全国初中数学联赛试 第一试 一、选择题（本题满分48分，每小题6分） 本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分. 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB 的长 A．等于4B．等于5 C．等于6D．不能确定 A．1 B．-1 C．22001D．-22001 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对B．8对C．12对D．16对 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 A．1001B．1001,3989 C．1001,1996D．1001,1996,3989
二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 一、（本题满分20分） 如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证： △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。 二、（本题满分20分） 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 三、（本题满分20分） 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计. n0123 (12131415) 做对n个题的人数781021 (15631) 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？
1994年数二真题及解析
1994年理工数学二试题 -、?空■（本■共5小分.翼分"分?把答案填在■中横tt 上） 远工+严-1 “0 工 在（一 8, + OO ）上连续，则a = X = 0 X = r -加仃+ t ） 卫" （2）设afty = >（x ）由參?方程< 所《定，则岁=■ ty = ,3 + 2 (4)宀 dx = (5)徽分方程ydx + (工2 - 4x)dy - 0的通II 为 二本■共S 小■，毎小113分??分15分?在毎小■给出的四个堆项中?只* 合■目要求?把所选項《的字母填在■后的括号内） 咎 J? X < 1 3 .Wf （工）在点工二1处的 工2 X > 1 （A ）左.右导??存在 （L ）若于（丄） ⑴设Um Ml + ￡-(" + 2) = 2,W (A) a = 1?6 ? - y (C)a = 0,6 = - y (B) a ■ 0>6 ? - 2 (D)a = Ifb = - 2 (￡)dr) ?
(B)左导ft 存在■但右辱数不存在 (C) 左导数不存在?但右导?存在 (D) 左、右导《稲不存在 (3)设 y = f(x)是《足?分方程 y + y - = 0 的IL 且/(xo) = 0,團 /(x) (A)刊的某个邻域内单调增加 (B)工0的某个邻域内单少 (C)Ho 处取得极小值 (D)xJ 处取得极大值 ⑷曲线y = Harcun (上;)7畀石的渐近钱有 (B)2 条 (03 条 (5)设 M ■ J ： j^^^oaei*xdx,N ■ j &(aiiAz + oQB°j：)dx ?P = J (x^ain?x -OQfl*x)dx, -J 1 + "2 *5 三■(本■共5小■■?小?5分??!分25分) (1)设y = /(X +，),其中/具有二阶导数,且其一阶导?不^?于1,求豊? ⑵计对:也 (3)计算 limtan ?(Y + —) 4 71 dx 8in2x + 28inx * (A)l 条 (D)4 条 則有 (A)N< P V M (B)M< P< N (ON V M < P (D)P < M < N ?? y ⑷
2018年全国二卷理数高考真题及答案解析
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x =± B ．3y x = C ．2 y = D ．3y = 6．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29 D ．5
7．为计算11111123499100 S =- +-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 112 B ． 114 C ． 1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=… A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，，， 则z x y =+的最大值为__________． 15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
1994年、1995年、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题合集
1994年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)= _____________. (2)曲面在点处的切平面方程为_____________. (3)设则在点处的值为_____________. (4)设区域为则=_____________. (5)已知设其中是的转置,则=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设则有 (A) (B) (C) (D) (2)二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数且级数收敛,则级数 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关 (4)其中则必有 (A) (B) (C) (D) (5)已知向量组线性无关,则向量组 011 limcot ()sin x x x π→-e 23x z xy -+=(1,2,0)e sin ,x x u y -=2u x y ???1(2,)π D 2 2 2 ,x y R +≤22 22()D x y dxdy a b +??11 [1,2,3],[1,,],23 ==αβ,'=A αβ'ααn A 434234222 2222 sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x π ππ πππ--- ==+=-+???N P M <