分形理论

毕业论文

题目：分形理论

学院：物理与电子工程学院

专业：物理学

毕业年限：2012年6月

学生姓名：张婷

学号：200872010244

指导教师：段文山

分形理论

学生姓名：张婷指导教师：段文山

（西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070）

摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。本文介绍了分形理论的基本概念，给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。重点介绍了分形理论在城镇管理、工程技术、物理、等学科领域的应用及其最新的进展情况。提出分形理论将面临和有待解决的问题。

关键词：分形理论；分形维数；应用状况

Theory of Fractal

Abstract:Fractal theory is a branch of nonlinear science and an important means for science research.This paper introduces the basic concept and several calculating methods of fractal dimension as a main parameter of fractal theory.Primarily,it is summarized that fractal theory have been used in various fields such as management,engineering and geography,physics,etc.In the end,problems in face of fractal theory is advanced．

Key words:Fractal theory;Fractal dimension;Application

目录

中文摘要 (1)

英文摘要 (1)

引言 (3)

1 分形的概述 (3)

1.1 分形的提出 (3)

1.2 分形的特征 (4)

1.3 分形维数及其计算方法 (5)

2 分形理论的应用实例 (8)

2.1 分形理论在甘肃城镇规模中的应用 (8)

2.1.1甘肃省城镇规模等级结构特点 (8)

2.1.2甘肃省城镇体系空间结构的特点 (10)

2.1.3甘省城镇体系的分形研究 (11)

2.2分形理论在河流研究中的应用 (13)

3 分形理论在一些领域中的应用 (14)

3.1 在工程技术中的应用 (14)

3.1.1在疲劳断裂分析中的应用 (14)

3.1.2分形理论在故障诊断中的应用 (15)

3.2 分形理论在物理学中的应用 (15)

4 结论 (16)

引言

分形理论创始于二十世纪七十年代初期,其研究对象为自然界和现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态。所生活的自然界是丰富多彩的,天空中飘浮着的变幻莫测的云团,辽阔无际的地貌,海洋上风起云涌时的巨大海浪,各种犬牙交错的海岸线,以及身边无处不在的花草、树木等等。对于这么多的千变万化的不规则的形态,多少年来,人们习惯于用传统的欧几里得几何理论来描述,主要是用直线段、圆弧、平面、及曲面等手段来对他们进行分析。这种用规则的几何理论去描述非规则的几何形态所得到的结果应该说是有巨大差异的,有时甚至是不可能的。一方面是自然界中无处不在的非规则几何形体,另一方面是很难确切地来描述它,这给带来了极大的困惑。分形几何学的创立,为准确地描述非规则的几何形态提供了强有力的工具。1967年—1981年,是分形的产生和起步阶段。在这一阶段的标志性人物是B.B.Mandelbrot和后来被称为“分形之父”的芒德布罗[1]。分形理论的创立和发展不仅为自然学规律性的发现建立了崭新的数学语言和定量描述，同时亦为自然学提供了新思想和新方法，其应用可看作是继数理统计方法、遥感技术、GIS技术之后地学的一次非线性革命。虽然“革命”能否成功，目前尚难定论，但有一点是可以肯定的，那就是，分形理论以非规则和非线性物体为研究对象，主要研究和揭示复杂的自然和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，是一门横跨自然科学、社会科学和思维科学的新学科，是探索复杂对象的一种新方法。分形理论自诞生以来先后应用于数学、物理学、地质学等学科，后又渗透到化学材料科学、生物医学等领域。近年来开始延伸至历史、文艺、语言、社会结构、经济、管理等社会科学领域，成为非线性科学的重要前沿分支，并正处于迅猛发展中。

1 分形理论的概述

1.1 分形的提出

大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑朔迷离的自然景观,人们很难用一般的物质运动规律来解释它们,象变换多姿的空中行云,崎岖的山岳地貌,纵横交错的江河流域,蜿蜒曲折的海岸线,夜空中繁星的分布,各种矿藏的分布,生物体的发育生长及形状,分子和原子的无规运动轨迹,以至于社

会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律,这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。通俗一点讲,这是一个复杂的统计理论问题,用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。1973年，美籍数学家曼德尔勃罗特（Mandelbrot）[2]首次提出了分形（Fracta1）一词，其原意具有不规则、支离破碎等意义。在这之后几年内，曼德尔布罗特通过对这些系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”,以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。

1.2 分形的特征

分形,简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。具体来说，分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似；自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，两者不仅相似，而且可以重叠。综上我们可以知道自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多,即使有些树木从来也没见过,也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。

曼德尔勃罗特分别从数学和更通俗的角度为分形进行了定义[1]：

若集合A满足Dim（A）>dim（A），则称之为分形集。其中，Dim（A）为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim（A）为其拓扑维数。

部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。然而经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。因此至今为止也没有一个对分形全面的、确切的定义。本文中我们使用英国数学家

Falcomer按照生物学给出“生命”定义的类似方法[4]对分形所进行的特征描述，将分形看成是具有以下所列性质的集合F：

（1）F具有精细结构，即在任意小范围内包含整体

（2）F是不规则的，以至于不能用传统的语言来描述

（3）F通常具有某种自相似性，可以是近似的可以是具有统计意义的

（4）F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数

（5）F的定义常常是简单的，并由递归,迭代产生

1.3 分形维数及其计算方法

维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。

分形的分数维,是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的,它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。科学家发现海岸线的长度是不可能准确测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52。因此有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。

分形维数[2]是用来定量描述自相似性的参数，记为D，定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是分数（包括整数），它是表征分形集复杂度的，分形维数越大，其分布就越复杂，反之亦然。由于研究目的和方式不同, 分维有不同的定义并且可以通过计算的方法来实现，因此分形维数D有多种定义和计算方法，常用的是拓扑维数、豪斯道夫维数、盒维数[7]、信息维数、容量维数、相似维数、关联维数和广义维数等。下面是几种分形维数的测定方法：

（1）拓扑维数

一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标

数目。

对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的

小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r 满足如

下关系式

(1) 若r=1/4，则

(2) 当r=1/k （k=1，2，3，…）时，则 (3) 一般地，如果用尺度为r 的小盒子覆盖一个d 维的几何对象，则覆盖

它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r 的关系为：

(4) 变形得 (5) 定义为拓扑维数

（2）Hausdorff 维数

几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d 为整数；二是盒子数虽然随着

测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不

变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对

于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身

就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：

(6) 上式就是Hausdorff 分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种

特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。

2)21(14)21(==N 2

)41(116)41(==N 22)1(1)1(k

k k

N ==d r r N 1)(=)

/1ln()(ln r r N d =)/1ln()

(ln lim

00r r N D r →=

（3）容量维数测定方法。

容量维数是应用最广的维数之一，该方法的计算过程是若()d N 是能够

覆盖住一个点集的直径为d 的小球的最小数目, 则点集的容量维数[8]定义

为

/lgd d lgN lim -D 0

d K ）（→= (7) (4)信息维数测定方法。

如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i 个小盒子的概

率为Pi ，那么用尺度为r 的小盒子所测算的平均信息量为

(8)

若用信息量I 取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维1D 的定义

(9) 如果把信息维看作Hausdorff 维数的一种推广，那么Hausdorff 维数应该

看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，

可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即

(10)

(11) 可见，在均匀分布的情况下，信息维数1D 和Hausdorff 维数0D 相等。在非

均匀情形，01D D <。

（5）盒维数的测定方法

∑

=-=)

(1i i P ln P I r N i )

/1ln(ln lim )(101r P P D r N i i

i r ∑=→-=N P i

1=)/1ln(ln lim )/1ln(1ln 1lim 0101r N r N N D r N i r →=→=-=∑

盒维数是应用最广的维数之一。该方法的计算过程是取边长为r 的小盒

子，把分形覆盖起来，由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，有些小盒

子是空的，有些小盒子覆盖了分形的一部分数出非盒子的数目为记为r N ，

然后缩小r ，所得()r N 自然要随之增大，当0r →时，得到数盒子法定义的

分维数，即

()r lg /r N lg Lim D 0

r c →-= (12) 由于实际应用中只能取有限的r ，所以需判断()r N 与r 是否满足标度关系，

即是否有无标度空间盒维数法又称为覆盖法，既适用于简单分形，也适用

于复杂分形。

（6）关联维数

空间的概念早已突破三维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态

变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可

以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对于耗散系统，相空

间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子空间上。这个子

空间的维数即所谓的关联维数。

2分形理论的应用实例

2.1分形理论在甘肃省城镇规模中的应用

2.1.1甘肃省城镇规模等级结构特点

城镇规模等级结构指一定区域内城镇规模的层次分布，揭示一个区域

内城镇规模的分布规律（集中或分散）。反映城镇体系从大到小的序列与规

模的关系。通过对甘肃省现有14个城市的非农业人口研究（见表14.2.1 ），

并根据马克·杰斐逊(M. Jefferson)的城市首位律，得出甘肃省城镇体系

具有如下特点 ：

（1） 首位分布明显

表14.2.1 甘肃省各城市非农业人口数 (万人)

甘肃省城市属于典型的首位分布，还处于城镇体系演进过程中的初级

阶段。而且兰州市在整个城镇体系中比重过大，即首位城市职能过于集中

(图14.2.1)。人口城市规模结构极不平衡。由此可见，首位城市贡献率太

大，在全省的城市体系中具有绝对的垄断性。其社会经济发展水平、城市

化进程决定着甘肃省的城市体系的发展及演进，必然阻碍了城镇系统功能

的正常发挥。

（2） 城镇体系不健全，规模结构失衡

2009年甘肃省特大、大、中、小城市数目比为1: 0: 2: 11，城市规

模等级结构不合理，缺少50—100万的大城市，使甘肃省城市体系发生了

断层，特大城市与其他等级的城市联系困难；中等城市数目较少；小城市

发展也存在规模小、实力弱、质量差的问题。城镇规模等级体系不平衡状

况可采用不平衡指数S 度量，S 反映了各规模等级的城市分布的均衡程度，

其计算公式为

(13) 图14-1 甘肃省城市规模分布曲线

020406080100100万50万20万10万5万2万人口规模级城市人口累计百分

比)1(50100)1(501

+-+-∑==n n n n i i x S

显然若S=0，则城镇人口均匀分布在n个等级中，S=1说明分配极不平衡，所有城镇人口集中在一个规模等级。取甘肃省2009年资料，按人口划分为10个等级，得到不平衡指数S=0.74，说明不平衡状况较严重。这种规模结构造成城镇体系的整体功能发挥受阻，大中小城镇之间缺乏必要的有机联系，城市辐射功能受到限制。

2.1.2甘肃省城镇体系空间结构的特点

城镇体系的空间结构即城镇空间分布体系，指一个区域内的城镇由于存在空间相互作用，把空间上彼此分离的城镇结合为具有一定结构和功能的有机整体，揭示的是区域内各城镇之间空间相互作用的状况。通过研究发现甘肃省城镇体系空间结构具有如下特点：

（1）空间布局特点

主要有两种分布类型：一是沿河流呈孤立状分布。二是沿交通线呈串珠状分布。这种布局特征决定了一些城镇的间距较大，导致这些城市间的空间作用力消逝得微乎其微。加上结构相似，城镇间的经济协作不密切，城镇体系只靠纵向行政关系来维持，横向联系松散，不利于城镇专业化分工与协作。

（2）城镇密度空间差异大

甘肃省城镇密度的空间分布如图14. 2.2

图14.2.2 甘肃省城镇密度的空间布局

（3）城镇分布的资源指向性明显

甘肃省许多城镇是随资源开发而兴起的，多借助于国家建设项目的推动，先有矿区后有城镇，典型的资源型城市如白银、金昌、嘉峪关、玉门。

还有众多的资源型城镇，在甘肃经济中占有突出的地位，1998年，仅白银、

金昌、嘉峪关三个市的GDP 、工业总产值分别占全省的12.8%、19.0%。这

类城镇产业结构单一，经济二元结构明显，导致产业链短，削弱了自身的

辐射功能和聚集功能，制约了城市经济发展和对农村的带动。

2.1.3甘省城镇体系的分形研究

（1）城镇体系规模结构的分形特征

城镇体系规模分布具有自相似性，即满足分形的特征。对于一个区域

的城镇若给定一个人口尺度r 去度量，则人口大于r 的城镇数N(r)与r 的

关系满足：

(14)

(15)

采用甘肃省1999年14个城市的数据，模拟的结果可见(图14.2.3)，分维

值D=0.8714，

由于D<1，这说明甘肃省城镇规模分布较为分散，首位城市垄断性强，人口

分布差异程度大。分维值也验证了上面首位指数及不平衡指数有效性。

(2) 城镇体系空间结构的分形特征

各城镇在地域空间上的布局，反映了一个区域城镇体系的空间结构。

从理论上讲，在一个区域内，各个城镇之间的相互作用与空间联系是客观

存在的。因此，可以运用分形理论中的关联维数来模拟城镇之间的相互作

用和空间联系。其基本模型如下：

D r r N -∝)(r D A r N ln )(ln -=y = -0.8714x + 11.877R 2 = 0.932800.511.522.533.5051015

lnr l n N (r )

(16)

(17)

(18) r 为给定的距离标度， 为第i 个与第j 个城镇之间的距离。关联维数D

反映了城镇体系空间布局的均衡性，D 一般在0～2之间变化，当D →0时，

说明该区域内各城镇间联系紧密，分布高度集中于一地；当D →2时，城镇

间空间作用力小，城镇布局分散到均匀的程度。借助于GIS 测算到甘肃省

14个城市间的直线距离距阵，以步长⊿r=5(50公里)来取距离标度r ，可以

得到一系列点对(r,C(r))，如表14.2.3所示。

表14.2.3 标度r 及其对应的关联函数C(r)

在双对数坐标中画出(r ，C(r))的散点图，然后用线性回归分析方法进行模

拟，结果如图14.2.4所示。

r r C D r ln )(ln lim

0→=∑=-=N j i ij d r H N r C 1,)(21)(??

???>≤=-r ij d r ij d ij d r H 01)

(ij d

图14.2.4 甘肃省城镇体系空间分布双对数图

关联维数D = 0.7485。因为D<1，这说明甘肃省城镇体系在空间分布上比

较集中。有许多城市，特别是有一定的人口规模的一些城市，形成了相对

独立的城市群。由此可见甘肃省城市空间布局特征是集中前提下的分散，

或者说小集中，大分散。从总体来看，关联维数由于受集中影响更大，其

值偏小，这一结果也是符合实际的。

2.2分形理论在河流研究中的应用

河型的转变规律[11]是天然河流研究的关键所在，前人对其做了大量的

研究工作，提 出了多种理论假说，但一直以来没有最终的定论。原因很多

笔者认为其中两个因素比 较困难，一者是已有泥沙运动力学理论仍然存在

一些局限性，二者是还不能准确描述河道的几何形态。由于天然河道具有

复杂破碎的分形特征，下面通过分形理论的方法对于河型的平面形状进行

探讨，在天然河道的最小能耗率理论的基础上进行推导与扩展。

主流线的分形特征对数学模型[12]中的河道弯曲情况下重力做功的过程

给予了进一步的准确描述。然而天然河道不同断面处的河宽不同，由于过

流断面的变化而引起的能量损失变化仍没有体现出来。为反映河道沿程二

维平面上形状特点，对河道的平面形状进行分形分析。首先采用盒维数法，

以某一尺度r r ?=δ的小盒子对河道平面进行覆盖，数出非空盒子的数目记

为()r N 。然后缩小r ，所得()r N 自然要随之增大，当0r → 时，得到数盒子

法定义的河道平面分维数2D

()δδδ lg /N lg Lim D 0

2→-= (19) y = 0.7485x + 0.0642R 2 = 0.9725

3456345

678

ln r l n C (r )

根据分形集合的定义，二维平面上的河道平面表述为

()()2D C N αττ= (20)

在该式中，尺度系数C 反映了单位尺度下的表面测度的绝对大小，即单

位尺度下河道平面的绝对大小，2D 表示具有深层次的自相似的精细结构的

复杂程度 分析可得，一定水沙条件下，C 值越大，该河道平面的绝对大小

越大，其对能耗的影响越大，同理，2D 越大，该河道内形状越复杂，其对

能耗的影响越大2D C 、 相互独立，采用两者中的哪一个都不足以完整描述

河道平面形状对河型转变的影响，当()1=τN 时，将由均方根法得到的()

2D α的结论α-=2D 代入公式，然后做对数运算得

()0ln 2ln =-+*τ

D C (21) 进一步推导，可以得到 D C --*=21

τ (22)

*τ为D C 、的统一式，可对河道平面特征做全面描述。因为当单位尺度

δ 为1时，即当其形状为1维整数维时，*τ描述与河流研究中的弯曲程度概

念相符，所以称*τ为该河段的分形特征弯曲度[10]，它反映了在较长长度上

复杂河段对水沙能量损耗的影响程度。

3分形理论在一些领域中的应用

3.1在工程技术中的应用

3．1．1在疲劳断裂分析中的应用

在疲劳裂纹的断裂分析中，通常假定裂纹是平直扩展的。然而大量实

测表明，疲劳裂纹扩展路径通常是不规则的，产生粗糙断裂表面裂纹的不

规则扩展导致疲劳断裂行为(有效应力强度和有效裂纹扩展速率)显著的变

化。应用分形几何实现定量描述疲劳裂纹扩展路径，建立裂纹扩展的分形

模型[4]，可以更好地探讨裂纹扩展对疲劳行为的影响，研究表明，分形裂纹

扩展使应力强度范围低于外加应力强度范围，实际裂纹扩展速率大于表观

裂纹扩展速率。

3．1．2分形理论在故障诊断中的应用

目前，将分形理论应用于故障诊断[5]主要有2个途径：一是提取磨屑的分形特征，根据磨屑的分形维数，间接获得机器的磨损率，为机器在线故障诊断、预测磨损状态提供依据[3]；二是测量机器运行的特征信号，从中提取信号的分形特征(分维数)，基于分维数分析机器的故障状态。分形几何在机械故障诊断的以下几个方面值得探讨：(1)机械运行状态的异常判别；

(2)机械故障的分类与诊断；(3)反映机械运行状态的特征参数个数的选取J。

3.2分形理论在物理学中的应用

物理系统本质上是非线性的，但当今的牛顿力学和量子力学对于非线性问题还是无能为力。分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力，因而分形在物理学中有了广泛的应用，其中比较成功的应该包括以下几个方面：

在分形凝聚方面，人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型，如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生成、流体在多孔介质中的渗流等。在固体物理方面，用于准晶态的扩散等。用于薄膜的研究，如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样[7]，分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜和超薄金属膜(只有一个或几个原子层的薄膜)生长的研究之中。用于湍流的研究，分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构)，电磁散射(由于粗糙分形表面引起的)，材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律，材料力学行为和材料弹塑性断裂研究。在粒子物理中的应用，高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构，分形理论用于解释碰撞的机制，为粒子物理打开一个新的领域[8]。

在流体粘性指进现象中的应用，粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时，在其界面形成的具有分形结构的奇特形状，该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似。在放电式样研究中的应用、相变分析[9]。超微粒及其

聚集体，及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征。在非线性光学中，如在激光非线性薛定谔方程、相干态、波色及光场理论、可积系统理论、不可积哈密顿系统中的随机层、随机海和随机网等领域取得了很多成果。

另外，有人对超导现象研究后发现，材料微观结构的分形维数[10]与其超导电性密切相关。分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域。

以上方面是分形在物理学有关领域的应用概况。分形在物理学中的应用包括理论研究和实际应用两方面。目前，理论研究已逐渐成熟起来，人们更加注重把理论研究成果用于各门工程技术中。例如电磁散射应用于远航通讯、雷达回波中。分形在超导体研究、各种薄膜研究、包括纳米材料在内的的新材料研制方面将会发挥更大的作用。

4 结论

从本文中可以看出分形理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。分形理论所具有的作用和它对各个方面的研究及在应用方面的重要意义。一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。

分形学自70年代初创立以来，国内外发展很快，从自然科学到社会科学都有了广泛的应用和研究，并且取得了一定的效果，对许多难题做出独特的解释，给出了解决难题的途径，所以，分形学的发展前景是非常光明。随着分形理论在各个领域应用不断的发展，分形理论本身的数学基础也面临着不断发展的问题，只有将分形理论和其应用结合，同步发展，才能使之逐渐形成一门系统理论。

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[12] 冯平，冯焱.河流形态特征的分维计算方法[J].地理学报,1997,

52(4):324—320.

致谢

感谢物电学院的领导及老师，感谢他们多年的培养和教育，祝愿学院蒸蒸日上，再创辉煌。

在导师段文山教授的悉心指导下完成的，是段老师渊博的学识、严谨的治学态度、丰富的科研经验激励着我克服种种困难走完了四年的求学历程。我要感谢我的导师段文山教授，她在学术领域中不断地给予我指导、教诲及提携，在研究过程中不厌其烦地为我解答理论和实验上的疑惑，更在为学态度及待人处事上给予我帮助及启发，使我受益良多，在她的帮助与指导下，使我顺利地完成了本科学业。在这里向段文山教授致以内心最真挚的敬意与谢意。

感谢所有曾经给予我指导、帮助、关心和支持的人们！

最后，衷心地感谢各位老师于百忙中对本论文的评审。

张婷

2012年5月