分形理论及其应用

分形几何及其在城市研究中的应用

一、分形概述

1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形几何学的诞生。分形几何学是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的，由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支，在众多学科领域中有着广泛的应用。

普通的几何对象，具有整数维数。零维的点、一维的线、二维的面、三维的体、四维的时空等。而分形则是具有非整数的分维的几何对象。其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了一种可能性。其显著的特征是：看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用公含很少参数的简单公式来表达。

1、科赫曲线

分形几何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的空间几何形态。分形的典型例子，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学方法构造的一类处处不可导。构造过程如下图：

取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3用一个隆起等边三

角形的另两边替代，得到一条由四个等长直线段构成的折线，称为生成元（generator）。再将生成元中的四个直线段中的每一个，都用一个缩小为1/3的生成元代替，从面形成了一条有次级隆起的折线。

这样一直进行下去，得到科赫曲线。显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。

2．自相似性与标度不变性

如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质称为自相似性，比如树。

地质现象的描述离不开标度，在地质上，对一些地质现象拍照时，一定要放上一个能表示尺度大小的物体，如一枚硬币，一把锤子等。

因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照片是反映什么尺度范围内的现象，可能是10米还是10公里等。当观测标度变化时，几何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。

具有自相似性或标度不变性的几何对象，我们说它们是分形的。

3.分形的定义

1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合更加的不规则，无论是放大还是缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。3．如果集合F具有以下的所有的或大部分的性质，它就是分形

a. F具有精细的结构，即有任意小尺度的不规则的细节

b. F非常的不规则，因此它的局部或整体都不能用微积分或传统

的几何语言来描述

c. 通常F具有某种自相似性或自仿射性，这可以是统计意义上的。

d. F的分形维数（用某种方式定义的）通常严格大于它的拓扑维

数

e. 在许多有趣的情况下，F具有非常简单的，可能是由迭代给出

的定义

f. 通常F具有“自然”的外貌。

实际上分形看起来是不规则的，但并非无序，而是在层次结构上按一系列尺度在几何形态上的自身重复。这种不规则的形态在层层的尺度上是相似的，称之为自相似性或标度不变性。自然界中，闪电、树枝、花菜、海岸线等，其形态就具有分形的特征。当然，这些现实中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征，分形实际是数学上的几何抽象，具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何中的直线和平面是数学抽象，在现实中是找不到的。

4．分维

维数是几何对象的一个重要特征量一。直观的说，维数就是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目。如欧氏几何空间中，确定一个立方体需要知道长、宽、高。

欧氏几何中的这种维数就是拓扑维。

相似性维数。把一个正方形的每个连长增加为原来的3倍，得到

一个大正方形有，其面积是原来的32＝9倍，把一个立方体的每个连长增加为原来的3倍，得到一个33＝27原来大小的立方体。推而广之，一个d 维的几何对象，在每个独立的方向上，都增加为原来的l 倍，结果得到l d =N 个原来的对象。对两边取对数，得

l N d ln ln =

欧氏几何中，拓扑维d 都是整数，如果d 不对其取整数，我们则向前完成了一次飞跃。这种推广定义的维数称为分维，用大写字母D 表示

l N D ln ln =

强调一下关系式

d l N =式中是变换倍数，我们可以把它看作是函数关系中的自变量，N 是结果，它是自变量的函数，即

l

)(l f N =最常见的函数关系式有线性关系式、指数关系式和幂指数关系式。与分维定义有关的函数关系是幂指数关系。研究分形与分维时问题时最常用的是双对数坐标系。

二、测定分形维数的方法

测定分形维数的方法常见的方法有五种，

1． 改变观察尺度求维数，

2．根据测试关系求维数

3．根据相关函数求维数

4．根据分布函数求维数

5．根据波谱求维数。

原理可归并为两大类：A 。改变尺度求维数 ＆ B 。改变规模求维数

A 改变尺度求维数

假设有海岸线一类的曲线，以曲线的一端为起点，以r 为半径画圆，与曲线交一点，把起起点与交点用直线联接，如果交点大于一个，则选择最近的点。反复操作，直到曲线的另一端点。最终得到一个折线，折线的直线段总个数记为N （r ）,总长度L(r)=N(r)r .改变r 的大小，重复测N （r ），L （r ）如果它们满足

()D r r N ?∝

其对数形式即 ()r D c r N ln ln ?=

则D 定义为圆规维数，c 为比例常数。画出N （r ）与r 的对数散点分布图，用线性回归拟合，拟合直线的斜率即是所求的维数D ，截矩C 为比例系数。对L （r ）与r 同样可求。

对于研究空间的点分布，以及大量分岔的河流网或道路网，可采用盒维数定义。如取边长为r 的小盒子，把分形覆盖起来。所有的非空盒子数记为N(r)，改变r 的大小，得到一系列N （r ）。当R 趋向于0时，就得到盒子法定义的分维

r

r n D r lg )(lg lim 00→?= 在实际应用中，只能取有限的r 。通常作法是在双对数坐标中

lgN-lgr 的直线的斜率求得。注意它必须满足()D r r N ?∝的关系，如果不存在标度不变性，就不能使用分维的概念。这样求出的D 0称为容量维。

由数盒子方法求分维的主要缺点是没有反映几何对象的不均匀性，所有盒子具都具有同样的权重。实际上有的盒子只覆盖了一小部分。

修改：把小盒子编号，如果第i 个盒子落入Ni （r ）个点，计分形中的点落入第i 个盒子的概率为()()()r N r N r P i i =，N （r ）是总的点数。利用信息量公式得

())(lg )()

(1r P r P r I i r N i i ∑=?= 得到信息维

r

r I D r lg )(lim 01→?= 当各个盒子具有相同的权重时，即Pi(r)＝1/N(r)时，信息I （r ）＝logN(r)，这时信息维D1等于容量维D0。这种方法，只有当分维小于二维或在二维附近时，计算才是可行的。

关联维数。

B 改变规模求维数

对于一个半径为r 的圆，其面积S 为，其周长L 为2

r S π=r L π2=

于是21)

4(s L π=。这样对体统的欧氏几何中图形的周长与面积的关

系为21S L =。然而对于岛屿而言，岛的面积与岛的周长都不是很容

易得到。但经验表明，对于给定面积S 的图形，它的周长L 最小值不能小于2

1

)4(s π，即要求

1)4(21≥s L π 而周长L 是没有上限的。这时S 与L 的关系是什么呢？Hentschel 和Procaccia 证明，对于具有分海岸线的岛屿，其面积与周长的关系为

2~D S L

在相同面积的情况下，英国的海岸线要比圆形岛屿的周长要大许多，就在于其海岸线的分维D=1.36。

Kent 和Wong （1982）年调查了加拿大Ontario 地区的21个湖的面积与周长，发现用分形图形的面积周长关系去拟合实测资料，效果很好

Hack(1957)分析了美国许多河流的情况，用L 表示河流的长度，用S 表示河流的流域面积，两者之间存在着经验的统计关系2~D S L 。令人惊奇的是，这一关系同样适用于其他地区的河流。对于全球的河流的平均值D ＝1。2，这个关系在河流学中被称为Hack 定律。

这种方法实际上不是改变尺度，而是选取一个固定长度的尺码r ，测量一组规模不同的相似的岛屿。得到其周长和面积，便可求维数。Mandelbrot 推导这周长与面积的测度关系是2D

i i cS L =.

改变尺度求维数和改变规模求维数是从不同的侧面测量维数的方法，当它们用来分析同一对象时，其测定的维数是等价的。

三、分形的应用。

1、海岸线研究、城市的边界线

朱晓华等：GIS支持的海岸类型分形判定研究［J］,海洋通报，2002.21（2）：50-54

结合国际海岸线分形研究进展，在地理信息系统技术的支持下，以中国典型海岸类型为例，探讨了应用分形理论对不同海岸类型进行分形判定的可能性。研究结果表明，应用分维来进行不同海岸类型的分形判定是一条可行的途径。对中国而言，在同比例尺地图上，存在着基岩海岸海岸线分维大于平原海岸海岸线分维等系列结论。

2、城市土地的使用形态

陈彦光,刘明华。城市土地利用结构的熵值定律［J］，人文地理，2001，16（4）：20-24

3、城市形态与增长

张宇,王青。城市形态分形研究——以太原市为例［J］，山西大学学报(自然科学版) ，2000，23(4):365～368,

4、城市网络（运输网、铁路网、排污基础设施）

陈彦光，刘继生。区域交通网络分形的ＤＢＭ特征--交通网络Ｌａｐｌａｃｉａｎ分形性质的实证研究［J］,地理科学，1999，19（2）：114-118

5、城市规模分布、城市体系

阿林豪斯等人（1989）用数学严格证明了中心地的廖什体系可用分形生成。

刘继生,陈彦光.城镇体系等级结构的分形维数及其测算方法[J],地理研究,1998,17(1): 82-89

单纬东,陈彦光.信阳地区城乡聚落体系的分形几何特征[J],地域研究与开发,1998,17（3）:48-51

6、城市生长的分形模拟

分形城市研究中的重点是对城市生长的动态结构的模拟。常见的分形增长模型有以下几种：扩散置限凝聚模型（Diffusion-Limited Aggregation model），简称DLA模型

电介质击穿模型（Dielectric Breakdown Model）,简称DBM模型

细胞自组织模型（Cellular Automata model）,简称CA模型，CA模型广泛用于城市规划中，代表了很有前途的方向。

7、城市人口分布＆城市化空间

陈彦光、单纬东；区域城市人口分布的分形测度［J］,地域研究与开发，1999，18（1）：19-21

王益谦、王 放；城市人口分布的多重分形特征刻划［J］，大自然探索，1997，16（62）：72-77

刘继生,陈彦光；人口的区位过程与城市的分形形态――关于城市生长的一个理论探讨［J］，人文地理，2002，17（1）：24－28

参考书：

1、陈顒,陈凌.分形几何学［M］，北京：地震出版社，1998，7。

2、肯尼思-法尔科内 著；曾文曲等译。分形几何中的技巧［M］，沈阳：东北大学出版社，1999，6。

3、刘式达，刘式适编.分形和分维引论［M］，北京：气象出版社。