高中文科数学平面向量知识点整理

高中文科数学平面向量知识点整理

1、概念

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0

向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.

向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r

的长度或模，记作：||a r .

（ 222

22

2||,||a x y a a x y =+==+r r r 。）

零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O .

【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条

件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）

若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r

。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

。其中正确的是_______

（答：（4）（5）） 2.已知,a b r r

均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____

（答：13）；

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r ．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；

③00a a a +=+=r r r r r

．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r

r ．

b

r a

r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r

r ．

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r

．

【例题】

（1）①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____；

③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

_____ （答：①AD u u u r ；②CB uu u r ；③0r ）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r

＝_____

（答：）；

（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r

，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标是

（答：（9,1））

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr

．

①a a λλ=r r ；

②当0λ>时，a λr

的方向与a r 的方向相同；

当0λ<时，a λr

的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→

=-，则点P 的坐标为_______

（答：7

(6,)3

--）；

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

b a λ=r r ．设()11,a x y =r

，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ??=r r r r 。

【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r

，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同

（答：2）；

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r

，则x ＝______

（答：4）；

6、向量垂直：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=.

【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r

，则m =

（答：

32

）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r

，则m u r 的坐标是________

（答：(,)(,)b a b a --或）

7、平面向量的数量积： ⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r

r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r

与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r

与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或a a a =?r r r ．③

a b a b ?≤r r r r ．

⑶运算律：①a b b a ?=?r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；③()

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ?=+r

r ．

若(),a x y =r

，则222a x y =+r ，或22a x y =+r ．

设()11,a x y =r

，()22,b x y =r ，则a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

则a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2＝ x 2y 1.

设a r

、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，则

12122222

1122cos a b

a b x y x y θ?==++r r r r ；（注||||||a b a b ?≤r r r r ） 【例题】

（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________

（答：－9）；

（2）已知11(1,),(0,),,2

2

a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r

r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4

π，则k 等

于____ （答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r

等于____ ）

； （4）已知,a b r r

是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____

（答：30o ）

（5）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值

范围是______ （答：4

3

λ<-或0λ>且13λ≠）；

（6）已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。

（1）若x ＝3

π

，求向量、的夹角； （答：150°）；

8、b 在a 上的投影：即||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。

【例题】已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为

______ （答：5

12

)

平面向量高考经典试题

一、选择题

1．已知向量(5,6)a =-r

，(6,5)b =r ，则a r 与b r

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

2、已知向量(1

)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）

A ．1

B

C ．2

D ．4

3、若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r

=______；

4、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123

AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，，则λ=（ ）

A ．23

B ．13

C ．13-

D ．2

3

-

5、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）

A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B. EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C. EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D. EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r

6、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13

22

-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

二、填空题

1、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是

．

2、若向量a b r r ，

的夹角为ο

60，1a b ==r r ，则()

a a

b -=r r r g ． 3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则

AB AC =u u u r u u u r

g

．

三、解答题：

1、已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =g ，求c 的值；

(2)若5c =，求sin ∠A 的值

2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，

（1）求cos C ；

（2）若5

2

CB CA =u u u r u u u r g

，且9a b +=，求c ．

3、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4

π

,

2=

=C a ，

5

522cos

=B ，求ABC △的面积S ．

4、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．

5、在ABC △中，1tan 4A =，3

tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小；

（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．

答案 选择题

1、A. 已知向量(5,6)a =-r

，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直。

2、C 2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：

2

(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。

3、3

2

解析：1311122a a a b ?+?=+??=r r r r ，

4、A 在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+3

1，则

22()

33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

1233

CA CB +u u

u r u u u r ，∴=

3

2

。 5、B 由向量的减法知EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r

6、D 13

22

-=a b (12).-，

填空题

1、解析：已知向量2411a b ()()r r ，，

，==．量(2,4)a b λλλ+=++r r ，()b a b λ⊥r r r

+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．

2、2

1【解析】()

2211

cos60122a a b a a b a a b -=-?=-??=-=r r r r r r r r r g 。

3、解析：(0,1)(1,1)0(1)11 1.AB AC =?-=?-+?=u u u r u u u r

g

解答题

1、解: (1) (3,4)AB =--u u u r (3,4)AC c =--u u u r

由 3(3)162530AB AC c c =--+=-=u u u r u u u r g 得 25

3

c =

(2) (3,4)AB =--u u u r (2,4)AC =-u u u r

cos

AB AC A AB AC

∠==

=u u u r u u u r

g u u u r u u u r g sin A ∠==

2、解：（1）sin tan cos C

C C

=∴=Q

又2

2

sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1

cos 8

C ∴=．

（2）52CB CA =u u u r u u u r Q g ， 5

cos 2

ab C ∴=， 20ab ∴=．

又9a b +=Q

22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．

2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．

3、解： 由题意，得3

cos 5B B =，为锐角，5

4sin =B ，

10

2

74π3sin )πsin(sin =

??? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7

10=c ， ∴ 111048

sin 222757S ac B ==???=g ．

4、解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）根据余弦定理，得2

2

2

2cos b a c ac B =+-272545=+-7=．

所以，b =

5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．

解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，1345tan tan()113145

C A B +

∴=-+=-=--?．

又0πC <

π4

C ∴=．

（Ⅱ）3

4

C =πQ ，AB ∴

边最大，即AB =．

又tan tan 0A B A B π??<∈ ?2??

Q ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．

由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?

==???+=?

，，

且π02A ??

∈ ???，，

得sin A =

sin sin AB BC C A =

得：sin sin A BC AB C

==g

所以，最小边BC =