广州中考数学专题复习定值和极值问题

初三数学讲义

定值问题

一．课堂衔接

1.课前交流，帮助整理知识点。

2.复习旧知，课前练习。

二．知识点归纳整理

1. 几何定值问题

(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。

(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。

2. 函数与几何综合类的问题中求定值

(1).乘积、比值类型

(2).定长、定角、定点、定值类型

(3).倒数和类型

解题步骤 (1)利用特殊情形猜出定值

(2)对一般情形加以证明．

三．例题分析

几何图形中定值问题

例1. 已知?A B C的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、

E，求证：AD

DC

AE

EB

+为定值。

例2. 两圆相交于P 、Q 两点，过点P 任作两直线A A '与B B '交一圆于A 、B ，交另一圆于A '、B '，AB 与AB ''交于点C ，求证：∠C 为定值。

' ')

C

' C

例3. 在定角XOY 的角平分线上，任取一点P ，以P 为圆心，任作一圆与OX 相交，靠近O 点的交点为A ，与OY 相交，远离O 点的交点为B ，则∠A P B

为定角。

(1)

(2)

乘积、比值类型

例题1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m

＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点

F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值．

定长、定角、定点、定值类型

例题2．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC 上的

动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=1

2

x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=1

2

．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；

若改变，请说明理由．

例题3．已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．

例题4．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得

OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标

．．．；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

倒数和类型

例题5．已知菱形ABCD 边长为1．∠ADC =60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。

（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；

（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断1 DM ＋1

DN

是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

练习

一. 几何定值问题

1. 求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。

2. 在正方形ABCD 的外接圆的AD 上任取一点P ，则(PC ＋PA)：PB 为定值。

3. 已知CD 是半径为R 的⊙O 的直径，AB 是动弦，AB 与CD 相交于E ，且成45?角，求证：A E B E 22

+为定值。

C

4．（2011?遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点

同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形

（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；

（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：B P=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．

5．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．

（1）求c，b（用含t的代数式表示）：

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=21

8

；

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；

（2）①当x=1时，y=1－t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，

②由S=S四边形AMN P－S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．

练习4. 解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，

∴DQ=t，PC=20﹣2t，

∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，

∴20﹣2t=t，解得：t=20

3

；（2）线段PH的长不变，

∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1，∴QD ：BP =1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE =1：2，

∵EF ∥BH ，∴ED ：DB =EF ：BC =1：3， ∵BC =20，∴EF =20 3 ，∴EF PH ：QE QP =1

3

，

∴PH =20cm ．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ

和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2． 练习5. 解答：解：（1）把x=0，y =0代入y =x 2

+bx +c ，得c =0，

再把x =t ，y =0代入y =x 2+bx ，得t 2

+bt =0， ∵t ＞0，∴b =－t ； （2）①不变．

如图6，当x =1时，y =1－t ，故M （1，1－t ）， ∵tan ∠AMP =1，∴∠AMP =45°；

②S =S 四边形AMNP －S △P AM =S △DPN +S 梯形NDAM －S △PAM =1 2 （t －4）（4t －16）+1 2 [（4t －16）+（t －1）]×3－1

2 （t

－1）（t －1）=3 2 t 2－15

2 t +6．

解

3 2 t 2－15 2 t +6=21 8 ，得：t 1=1 2 ，t 2=9

2

， ∵4＜t ＜5，∴t 1=1 2 舍去，∴t=9 2

（3）7 2 ＜t ＜11

3

．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

例题2

考点：一次函数综合题。 分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．

解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B（－3，1），

若直线经过点A （－3，0）时，则b=3

2 ，

若直线经过点B （－3，1）时，则b=5

2

，

若直线经过点C （0，1）时，则b=1，

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤3

2

，如图1，

此时E （2b ，0），∴S=1 2 OE?CO=1

2

×2b×1=b；

②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜5

2

，如图2

此时E （－3，b －3

2

），D （2b ﹣2，1），

∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）?（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=

5

2 b －b 2

，

∴S=???????

<<-≤<)2523(2

523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED， 又∠MDE=∠NED，

∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH⊥OA，垂足为H ，

由题易知，=1

2

，DH=1，∴HE=2，

设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt△DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12

，

∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE?DH=5 4

．

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5

4

．

例题3

考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。 专题：计算题。 分析：（1）把C （0，1）代入抛物线即可求出c ；（2）把A （1，0）代入得到0=a ＋b ＋1，推出b =－1－a ，

求出方程ax 2＋bx ＋1=0，的b 2

－4ac 的值即可；

（3）设A （a ，0），B （b ，0），由根与系数的关系得：a ＋b =a a +1，ab =a 1，求出AB =a

a

-1，把y =1代入

抛物线得到方程ax 2

＋（－1－a ）x ＋1=1，求出方程的解，进一步求出CD 过P 作MN ⊥CD 于M ，交x 轴于N ，

根据△CPD ∽△BPA ，得出=，求出PN 、PM 的长，根据三角形的面积公式即可求出S 1－S 2的值即可． 解答：（1）解：把C （0，1）代入抛物线得：1=0＋0＋c ，解得：c =1， 答：c 的值是1．

（2）解：把A （1，0）代入得：0=a ＋b ＋1，

∴b =－1－a ，ax 2

＋bx ＋1=0，

b 2－4a

c =（－1－a ）2－4a =a 2－2a ＋1＞0， ∴a ≠1且a ＞0，

答：a 的取值范围是a ≠1且a ＞0；

（3）证明：∵0＜a ＜1，∴B 在A 的右边， 设A （a ，0），B （b ，0）， ∵ax 2

＋（－1－a ）x ＋1=0，由根与系数的关系得：a ＋b =a

a

+1，ab =a 1，

∴AB =b －a =ab a b 4)(2-+=

a a

-1， 把y =1代入抛物线得：ax 2

＋（－1－a ）x ＋1=1，

解得：x 1=0，x 2=a a +1，∴CD =a

a

+1，

过P 作MN ⊥CD 于M ，交X 轴于N ，则MN⊥X 轴， ∵CD ∥AB ，∴△CPD ∽△BPA ，

∴=， ∴=， ∴PN=21a -，PM=2

1a

+，

∴S 1－S 2=?a a +1?2

1a

+－??=1，

即不论a 为何只，S 1－S 2的值都是常数． 答：这个常数是1．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．

例题4解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点，

Q OA =OB =22，90AOB ∠=?，

∴2AC OC BC ===，

∴ B (2，2-) 将B (2，2-)代入抛物线y =ax 2

(a ＜0)得，12

a =-.

（2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，

Q 点B 的横坐标为1，

∴ B (1，1

2

-)， ∴12

BF =

. 又Q 90AOB ∠=?，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=?， ∴△AEO ∽△OFB ，

∴121

2AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -

）（0m >），则OE m =，21

2

AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，

Q 点B 的横坐标为1，∴ B (1，1

2

-

)， ……… 4分 ∴1

tan 21

2

OF OBF BF ∠=

== Q 90AOB ∠=?，易知AOE OBF ∠=∠，

∴

tan tan 2AE

AOE OBF OE

=∠=∠=，∴ 2AE OE = ……… 5分 设点A （-m ，212m -

）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2122

m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 （3）解法一：设A （m -，21

2

m -）（0m >），B （n ，21

2

n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2

mk b m nk b n ?

-+=-???

?+=-??，……… 7分 (1)(2)n m ?+?得，2211()()()22

m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴ 1

2b mn =-

又易知△AEO ∽△OFB ，

∴ AE OE

OF BF

=，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴1

422

b =-?=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分

解法二：设A （m -，21

2m -）（0m >），B （n ，212

n -）（0n >），

直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ?????=--=+梯形，可得

2222111111111

()()222222222

n m m n m m n n OC m OC n ?++-??-??=??+??， 化简，得1

2

OC mn =

. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OE OF

BF

=，

∴ 2

2

0.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,－2）……… 10分 说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.

由前可知，22414OA m m =+，2241

4OB n n =+，2222211()()22

AB m n m n =++-+，

由222OA OB AB +=，得：242422221111

()()()()4422

m m n n m n m n +++=++-+，

化简，得4mn =.

例题5．解：（1）证明：如图I ，分别连接OE 、OF ∵四边形ABCD 是菱形

∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO =DC =BC ∴∠COD =∠COB =∠AOD =90°． ∠ADO =1 2 ∠ADC =1

2 ×60°=30°

又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点 ∴OE=1 2 CD ，OF =1 2 BC ，AO =1

2 AD

∴OE =OF =OA ∴点O 即为△AEF 的外心。 （2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上。

证明：如图2，分别连接PE 、PA ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，P J ⊥AD 于J ∴∠PIE =∠PJD =90°，∵∠ADC =60° ∴∠IPJ =360°-∠PIE-∠PJD -∠JDI =120°

∵点P 是等边△A EF 的外心，∴∠EPA =120°，PE =PA ， ∴∠IPJ =∠EPA ，∴∠IPE =∠JPA ∴△PIE ≌△PJA ， ∴PI =PJ

∴点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上。

图1

②1

DM

＋

1

DN

为定值2.

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）

可得点P即为△AEF的外心

解法一：如图3．设MN交BC于点G

设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则CN=y－1

∵BC∥DA∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．∴CG=1－x ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

∴CN

DN

=

CG

DM

，∴

y－1

y

=

1－x

x

∴x＋y=2xy

∴1

x

＋

1

y

=2，即

1

DM

＋

1

DN

=2

B

图3