图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
一、球体面积
球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。
在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。
即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）
例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长）
S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡
二、球体体积
设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等
分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。
球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4
或：V = D（直径的三次方）×0.616849233
例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）
V =πR平方×周长的1/4
= 3.14159×0.25×0.7853975
= 0.616849233
三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误
1、球体面积
如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。
图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。
计算过程：
S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡
公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。
计算过程：
S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
2、球体体积
如何检验球体体积计算的正确，最好的方法就是用溢水法进行检验。根据公知的容积单位：每立方米的水为1000升，每立方厘米的水为1毫升。因此我们可以将同直径的球体分别用两种不同的公式计算，将计算结果再与用溢水法实际测量的结果进行对比。
在大量的实验中我们的确发现了公知公式的问题，下表是实验中两种公式计算结果与实际测量的数据对比（球体体积）：
上表数据对比清楚的表明，用量筒实际测量的结果与新公式计算的结果最为接近，可以证明球体体积新公式是正确可靠的。
球体体积公式的推导
球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的 平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是n R ，半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2—21n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2(n 22?—22 2n ) ,， r 32 = n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n 32?—22 2n )， ………………… r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 22 n n ） ∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n ) +兀·n R 3(n 22?—22 2n ) +兀·n R 3(n 32?—22 3n )…… +兀·n R 3（ n n 2— 22 n n ） =兀·n R 3（n 2+n 22?+n 32?+……+n n 2 —21n —222n —222n —……—22 n n ） =兀·n R 3 （2×n n +???+++321—22222321n n +???+++）
=兀·n R 3 〔n + 1—61·()()2112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —61·()()2112n n n ++〕 =兀R 3 ·2261 34n n n -+ =兀R 3 ·（32+261 21 n n -） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0，261 n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（32 + 0 + 0 ） = 32 兀R 3 V 球体体积 = 34 兀R 3 。
球体体积公式的推导
球体体积公式的推导 湖北仙桃二中 刘四云 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是 n R ，半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R — n R ) = R 2( n 2— 2 1n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2 ( n 22?—2 22n ) ,， r 32 = n R 3·(2R — n R 3) = R 2 ( n 32?— 222n )， ………………… r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 2 2n n ） ∴V 半球 = 兀· n R 3 ( n 2— 2 1n ) +兀· n R 3 ( n 22?— 2 22n ) +兀· n R 3 ( n 32?— 2 23n )…… +兀· n R 3 （ n n 2— 2 2n n ） =兀· n R 3 （ n 2+ n 22?+ n 32?+……+ n n 2 — 2 1n — 2 22n — 2 22n —……— 2 2n n ）
=兀· n R 3 （2× n n +???+++321— 2 2 222321n n +???+++） =兀· n R 3 〔n + 1— 61· ()() 2 112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —6 1· ()() 2 112n n n ++〕 =兀R 3 · 2 2 61 34n n n -+ =兀R 3 ·（3 2+ 2 6121n n - ） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0， 2 61n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（ 3 2 + 0 + 0 ） = 3 2兀R 3 V 球体体积 = 3 4兀R 3 。
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等
分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
球的体积和表面积公式具体推导过程精编版
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标 知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道， 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了 小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们 知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球 的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公 式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形 如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4周长×周长） S =（÷4）× = ㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。 则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）V =πR平方×周长的1/4 = ×× 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程：？ S =（×） = ㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有㎡的面积。 计算过程：？
球冠表面积计算公式
球冠表面积计算公式 Revised as of 23 November 2020
假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rc osθ，则有球冠积分表达： 球冠面积微分元dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ= 2πR*R(1 - sinθ) 1》2πR^2中^2为2πR的平方 2》∫ 要有写上下标，分别为π/2 ，θ 球冠的面积计算公式 推导过程如下： 假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rcosθ，则有球冠积分表达：
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH 球冠概念的分析 （1）球冠不是几何体，而是一种曲面，它是球面的一部分，是球面被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。 （2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底面圆的面积。 （3）球面被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半径。
（4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球半径的球冠都适用。球面积公式S球面＝4πr2可看成球冠面积公式当h＝2R的特例。由于同一个球的半径是一个常量，所以球冠面积是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h) ＝2πRh（0＜h≤2R）。 （5）若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面，夹在这两个平行平面间的部分叫做球带，h叫做球带的高。把球带面积看成其高分别为h1，h2（h1＞h2）的两个球冠面积之差，则有S球带＝2πRh1－2πRh2＝2πR(h1－h2)＝2πRh，其中为球的半径。 由此可知，S＝tπR2可以看成球的表面积、球冠的面积、球带的面积的统一计算公式。这里体现了特殊与一般可以互相转化的基本数学思想。
球的体积和表面积附答案
球的体积和表面积 [学习目标］ 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝错误!πＲ3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S=4πR２. 思考球有底面吗?球面能展开成平面图形吗？ 答球没有底面，球的表面不能展开成平面． 知识点二球体的截面的特点 １．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积 例1 （1）已知球的表面积为6４π，求它的体积; （2)已知球的体积为＼f(50０,3)π，求它的表面积. 解(１)设球的半径为R，则4πＲ2=64π，解得R＝４， 所以球的体积V＝4 ３πＲ３= 4 3 π·4３＝错误!π. (２)设球的半径为R，则错误!πR3=错误!π，解得R=5,
所以球的表面积S =4πR 2 ＝4π×52 =100π． 跟踪训练1 一个球的表面积是１６π，则它的体积是（ ) A ．64π B.＼f(６４π，3) C ．3２π D ．＼ｆ（３2π，3) 答案 D 解析 设球的半径为R ,则由题意可知4πR ２ ＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2,体积V =错误!πＲ3 ＝错误!π. 题型二 球的截面问题 例２ 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为错误!，则此球的体积为( ) A ．＼r(6）π B.４错误!π C.４错误!π D.6错误!π 答案 B 解析 如图,设截面圆的圆心为Ｏ′, M 为截面圆上任一点， 则ＯO ′＝错误!，Ｏ′M =１． ∴ＯM =错误!=错误!． 即球的半径为＼r(3). ∴V =43 π(3）3 =4错误!π． 跟踪训练２ 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为＼r(3),＼ｒ(５）,＼r(１5)，则它的外接球表面积为_______＿． 答案 9π 解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面,设长方体有公共顶
球的表面积公式的四种推导方法
解法一 用^表示平方 把一个半径为R的球的上半球切成n份。每份等高。 并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径。 则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h 其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^] S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n =2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^] 则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^ 乘以2就是整个球的表面积 4πR^ 解法二 这是重积分的应用问题 首先知道这个定义:若和数∑ΔAk(k=1 到n)存在极限,设极限是A ,则称A是曲面S的面积,即A=∫∮√(1+fx′^2(x,y)+fy′^2(x,y))dσ 半经为r的球面积A,球心在原点的球面方程是x^2+y^2+z^2＝r^2 第一卦限球面方程是z＝√(r^2-x^2-y^2) Zx'＝-x/√(r^2-x^2-y^2) ;Zy′＝-y/√(r^2-x^2-y^2) ∴√(1+Zx'^2+Zy′^2)=r/√(r^2-x^2-y^2) A＝8∫∫√(1+Zx'^2+Zy′^2)＝8r∫∫dxdy/√(r^2-x^2-y^2) (设x=tsinθ y=tcosθ)=8r∫(定积分0到π/2)dθ∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)d t =4πr∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)d t=4πr(-√(r^2-t^2))⊥0到r=4πr^2 注;√(x)表示根号x. 解法三 设球的半径为 R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用△S1,△S2, △S3......△Si...表示，则球的表面积: S=△S1+△S2+ △S3+...+△Si+... 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积△Si 可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高hi ，因此，第i个小棱锥的体积Vi=hi* △Si，当“小锥体”
球体积、表面积公式推导过程
球体积公式R V 3 3 4∏ = 推导过程 图一 图二 对于一个球体，直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想，在球体内 放一些大小不同，高度相同的圆柱。（如图一）当每个圆柱的高度越来越小时，所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时，所有圆柱的体积和就是球的体积。（如图二） 按照这个思路，我们来求球的体积。 设球的体积为V ，半径为R ，每个圆柱的高为a ，则半个球中有n ?? ? ? ?∈=Z n a R n ,个圆柱。 图三中的圆为球的一个轴截面，其中的矩形是圆柱 的轴截面。圆的圆心为原点，所以这个圆的方程式为 R y x 2 2 2 = + 。 在y 轴左侧，从左到右圆柱的序号（用b 表示）分别为1，2，3，…n,则圆柱底面圆的半径 ()[]R a b R r b --- = 12 2 （注意：01 =r ） 图三 () () () ()()( )()()()()()()()()[]()? ? ?? ?? ????? ?+++--+++∏ =? ? ?? ???????? - -++-+-∏=? ????? ??????--++-+- ∏=?? ???? ??????- ++??????- +??????- +∏=+ +++ ∏=∏++∏ +∏ +∏ =++++=-------12 111122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 222 32 221 22 32 22 1321... 1..21212...44212...442...0 (2) n a n a a n a a R a n R R a R R a R r r r r r r r r V V V V a n R a R n a R a R aR n aR aR a a a a a a a V n n n
球的表面积和体积
球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积． 若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积． 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？ 圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
有关球的切、接问题 求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积． 有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.1 2 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π 5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25π B．50πC．125π D．都不对 4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( ) A．R B．2R C．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.7 3 πa2C. 11 3 πa2D．5πa2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11
球体体积公式的推导
球体体积公式的推导
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球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的 平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是n R ，半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2—21n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2(n 22?—22 2n ) ,， r 32 = n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n 32?—222n )， ………………… r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 22n n ） ∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n ) +兀·n R 3(n 22?—22 2n ) +兀·n R 3(n 32?—223n )…… +兀·n R 3（ n n 2— 22n n ） =兀·n R 3（n 2+n 22?+n 32?+……+n n 2 —21n —222n —222n —……—22n n ）
=兀·n R 3（2×n n +???+++321—22 222321n n +???+++） =兀·n R 3〔n + 1—61·()()2 112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —61·()()2 112n n n ++〕 =兀R 3 ·2 26134n n n -+ =兀R 3 ·（32+26121n n -） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0，261n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（3 2 + 0 + 0 ） = 3 2兀R 3 V 球体体积 = 3 4兀R 3。
1.3.2球体的体积和表面积教案
- 1 - / 3 张喜林制 [ 1. 3.2 球的体积和表面积 【教学目标】 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 【教学重难点】 重点：球的体积和面积公式的实际应用 难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学过程】 一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积 334R π=球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 二、典例 例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3） 求空心钢球的体积 。 解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式334R π= 球Ｖ 解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3) 由V=(4/3) π(53-r 3)得r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式 变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________(π34) 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π） 解析：利用轴截面解决 解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x 则R 2=x 2+202,R 2=(x+9)2+72 解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题 变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是 。 （答案50π） 【板书设计】 一、球的面积和体积公式 二、例题
球冠表面积计算公式
假定球冠最大开口部分圆的半径为r ，对应球半径R 有关系：r = Rc osθ，则有球冠积分表达： 球冠面积微分元dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH
S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ= 2πR*R(1 - sinθ) 1》2πR^2中^2为2πR的平方 2》∫ 要有写上下标，分别为π/2 ，θ
球冠的面积计算公式 推导过程如下： 假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rcosθ，则有球冠积分表达： 球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH
球冠概念的分析 （1）球冠不是几何体，而是一种曲面，它是球面的一部分，是球面被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。 （2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底面圆的面积。 （3）球面被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半径。 （4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球半径的球冠都适用。球面积公式S球面＝4πr2可看成球冠面积公式当h＝2R的特例。由于同一个球的半径是一个常量，所以球冠面积是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h) ＝2πRh（0＜h≤2R）。 （5）若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面，夹在这两个平行平面间的部分叫做球带，h叫做球带的高。把球带面积看成其高分别为h1，h2（h1＞h2）的两个球冠面积之差，则有S球带＝2πRh1－2πRh2＝2πR(h1－h2)＝2πRh，其中为球的半径。
球的体积和表面积公式具体推导过程
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。
事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π 1..3.2球的体积和表面积（2） 球的表面积推导方法（设球的半径为R ，利用球的体积公式推导类似方法） （1）分割。把球O 的表面分成n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是S 1，S 2，…… Sn ，那么球的表面积为：S ＝S 1＋S 2＋……＋Sn 把球心O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n 个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O 为顶点，以第i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R 。 （2）求近似和。设n 个“小锥体”的体积分别为V 1，V 2，…，Vn 那么球的体积为：V ＝V 1＋V 2＋…＋Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i 个“小锥体”对应的棱锥以点O 为顶点，以点O 与第i 个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为h i ，底面面积为S ’i ，于是，它的体积为： V ’i ＝3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） 这样就有：V i ≈3 1h i S ’i ，（i ＝1,2,…，n ） V ≈31（h 1 S ’1＋h 2 S ’2 ＋…＋h n S ’n ） ①
球冠体积计算公式
一、球冠体积计算公式：1/3)π(3R-h)*h^2 二、H=球缺高R=球半径A=球缺底半径 １ V=－－兀×Ｈ×（３×Ａ２+Ｈ２） ６ １ V=－－兀×Ｈ２×（３Ｒ-Ｈ） ３ Ａ２＝Ｈ×（２×Ｒ-Ｈ） 三、球缺 F-面积，S-表面积，V-体积 S=л（2rh+a2） =л(h2+2a2) S曲=2лrh=л(a2+h2) a2=h(2r-h) V=(3a2+h2)лh/6 =(3r-h)лh2/3 四、球缺体积计算公式： V =1/6 π h（3r^2+h^2) = π h^2 (R-h/3) 五、几何公式推导 圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高 如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则 长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长． 如果用a表示正方体的棱长，则 正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³ 锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V=(R²+Rr+r²)hπ÷3 球缺体积公式＝πh²(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR³/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×ｌ（ｌ为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------ 几何体的表面积计算公式 圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
各种体积计算公式.
圆台体积 V=(S1+S2+根号下S1*S2)÷3*H 圆柱体积 V=π*R2*h 球缺体积 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6 V＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)
圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高 如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则 长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长． 如果用a表示正方体的棱长，则 正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a3 锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V= V=(S1+S2+根号下S1*S2)÷3*H 球缺体积公式＝πh2(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR3/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------ 几何体的表面积计算公式 圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体:
表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα 菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4 d－短轴
球体体积公式的推导
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 球体体积公式的推导 湖北仙桃二中 刘四云 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是n R ，半径分别为r 1、r 2、 r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2 —21n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2 (n 22?—222n ) ,， r 32 = n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n 3 2?—222n )， …………………
r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 22n n ） ∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n ) +兀·n R 3(n 22?—222n ) +兀·n R 3(n 32?—223n )…… +兀·n R 3（ n n 2— 22n n ） =兀·n R 3（n 2+n 22?+n 3 2?+……+n n 2 —21n —222n —222n —……— 22 n n ） =兀·n R 3（2×n n +???+++321—22 222321n n +???+++） =兀·n R 3〔n + 1—61·()()2112n n n n ++〕 =兀R 3 〔 n n 1+ —61·()()2 112n n n ++〕 =兀R 3 ·2 26134n n n -+ =兀R 3 ·（ 32+261 21n n -） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0，261 n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（32 + 0 + 0 ） = 32 兀R 3 V 球体体积 = 3 4 兀R 3。