具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案
具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案
作者：蔡宗文林建德温国勋
来源：《海峡科学》2012年第08期
[摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。
[关键词] 分形图案 Mandelbrot集合视觉美学
0 引言
分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。
分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。
1 复数平面上的Mandelbrot集合
在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。
图1 Mandelbrot集合分形图案
1.1 二次Mandelbrot集合
Mandelbrot集合的二次复数函数的数学表达式为，变量与都是复数形式，分别为与。其迭代过程写成，其中，为第次迭代后的复数值；为定常复数，即及，整理后可得及。
Mandelbrot集合中，复数的值是控制复数函数在复数平面上迭代值，亦即在平面上以点为函数的搜寻迭代点序列。因此，Mandelbrot集合的生成，是在迭代过程中给定初值后，在复数平面上依复数的实部与虚部相对应取值，范围分别为：（实部）及（虚部）；再由及得到。
Mandelbrot集合的迭代过程实际上是观察在复数平面上，定常复数的对应原点（初值）是否会远离原点与远离原点的速度，可以用迭代点与原点的模（距离）表示，即。反复上述过程，可以得到一系列数集合，称为Mandelbrot集合。
以上说明了Mandelbrot集合的数集合产生过程，以不同的定常复数进行迭代时，迭代点序列可能发生两种情况：(1) 迭代点序列自由地朝向无穷远的方向发散；(2) 迭代点序列收敛到复数平面上一定的区域内。将这些数集合以电脑绘图案式显示，并以不同的色彩对应不同类型数集合的点，则可以得到Mandelbrot集合图案，称为逃逸时间演算法（Escape Time Algorithm）。
1.2 高次Mandelbrot集合
对于高次（如三、四至次）复数函数的Mandelbrot集合可表示如下：
三次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。
四次Mandelbrot集合为，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为及。
次Mandelbrot集合为，即。显然，此式是一种复数的迭代乘积，可以用一迭代演算法取代。
2 Mandelbrot集合分形图案生成的程序设计
根据上述Mandelbrot集合的迭代过程，本文发展Mandelbrot集合的逃逸时间算法的视窗程序。程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。图2所示为视窗程序的Mandelbrot集合分形图案生成环境，设置集合控制参数的输入项目及三个按钮项目：(1)色差绘图；(2)大色差绘图；(3)结束程序。
图2 Mandelbrot集合分形图案生成程序界面
在色彩控制上采用色差控制和大色差控制两种方法。色彩控制实际上是依据逃逸时间算法的基本原理，由逃逸时间算法的结果决定绘图点的色彩。若以 , 及分别表示电脑色彩中的红、
分形与分形艺术
分形与分形艺术 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 “分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。 图 1 Mandelbrot集合
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j=0; for i=1:n q1=p(i,:); q2=p(i+1,:); d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; j=j+1;r(j,:)=q1+d; j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; end n=4*n; clear p p=[r;q2]; end figure q(:,1)=real(p(:,1)); q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2)) fill(q(:,1),q(:,2),'b') for i=0:k S=S+(3.^(0.5-i))*0.25*(R.^2); end
S axis equal 按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S =0.5774 图形如下: >>snow(1,2) S =0.6255 图形如下: >>snow(1,3) S =0.6415 图形如下:
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如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
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分形图形与分形的产生
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
分形几何与分形艺术
分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020
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服装美学论文
外国语学院日语系12012111027 陆阳阳 浅谈中西方服饰美学差异 伴随着人类文明的发展与进步,服饰作为人类日常生活中的必需品,它的美学功能日益显著。当鲍姆嘉通提出比较完整的美学理论将美学确立为独立学科之后，服饰美学作为美学的分支其研究也日益深入。服饰是人类文化乃至审美文化最早的物态化形式之一，作为物质文明反映了政治、经济、宗教、道德、文化等观念形态或曰精神文明的外在感性显现形式，也体现人们心灵深处的审美文化心理、审美意识、审美趣味和审美理想等外化或曰直观化的审美形态之一。中西方有着不同的文化背景审美观念，自然中西方服饰美学也存在着诸多差异。 一、中国服饰美学 1、学说信仰影响下的服饰美学 中国服饰美学的发展是在道和儒的学说信仰影响下不断成长与发展起来的，推崇儒家与道家的世界观和方法论追求人与自然的协调统一。人们对自然美的欣赏可追溯到魏晋南北朝时期，刘勰总结了这个时期文艺发展的丰富经验，将美学观点建立在“自然之道”的基础上。这种思想长期指导和影响了中国服饰美学的发展。我们的祖先创造了底蕴深厚的宽衣服饰文化，形成了特有的美学与哲学观念。道家美学思想强调道法自然追求虚静，即是同人为相对立的自然而然，无须外力，无劳外界，无形无言，恍惚无为，顺应到服饰之上就是服饰应当趋向自然，人与衣，人与自然，衣与自然三者之间的关系是和谐的，互不冲突的。衣不可束缚或加害身体，人亦不可破坏自然规律。在服饰上追求自然地遮盖人体，不以自我张扬炫耀为目的，不大肆表现个体。服装的宽松离体使身心自由，无拘无束，穿着时油然而生一种休闲惬意、轻松自在的舒适感，体现了融己于自然的脱俗境界。儒家的美学思想有明显的保守色彩，儒家重人伦礼法，以仁和义为基，强调美统一于善。在服饰上体现为宽衣的质朴方正，相比道家有着以“德”、“礼”来规范和约束服饰，作为统治阶级长期使用的工具，儒家的服饰美学观念要求社会伦理道德和服饰样式的统一，更多的强调了服饰美的社会功能，由于儒家的服饰观念长期在历史上处于统治地位，所以对中国的服装基本造型有着深远的影响。 2、中国服饰的意境美 中国服饰更多的是强调意境美。。在女装的宽衣造型上表现出了一种中国风格的神气与韵味，流露着民族的潜在精神和文化的内在灵魂。它体现了中国女性贤善宽容，自然朴质，淡泊明志的人格境界和道德修养，还有贤淑婉约，含蓄内敛，柔中寓刚，宁静致远的风韵气质和个性色彩。服饰大多采用不去刻意明确凹凸的平面裁剪，在摆放或者悬挂时如同画卷一般平整，一目了然，展现了二维平面的大方气度和坦荡胸怀，当穿在身上时，起伏连绵的衣褶和曲直缠绕的襟裾，营造了有远有近、有虚有实的活泼生动的三维立体效果。在造型上忽视了与人体三维关系相一致的精确数字，强调了一种“虽由人作，宛自天开”的意境美。 二、西方服饰美学 西方服饰的自由美 西方文明起源于地中海畔的古希腊，古希腊的服饰是西方服饰发展的经典时期，服装造型以体现人体美和真的艺术形式来表现。具体体现在一是装束美，二是人体美。从古希腊的雕刻与绘画中到处可以看到健美的人体，通过美丽的姿态与衣摺的起伏来揭示人体的美感，崇尚热爱自由的精神无处不在的体现在他们身上，古希腊时期的服装一直沿袭着缠绕和披挂式，宽松自由的服饰在不经意间就可以体现出人体轮廓分明的美感。西方视自然为无生命的物质，在中世纪之前，基督
分形几何学
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
分形几何的数学基础
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
分形图程序
（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];
数学实验之分形图的绘制
钦州学院数学与计算机科学学院 数学实验报告 专业 : 数学与应用数学班级姓名：学号： 实验完成日期 :2010 年 11 月 1 日，第 10 周，星期一 成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。[实验题目及内容] 实验题目：分形图形的绘制 实验内容：利用二叉树的画法对生成元带参数进行迭代绘制分形图。 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 分形图是由一个简单的枝杈不断向周围延伸增加枝干而成，由简单元素生成整体，其中包含有旋转、带参数深层迭代等步骤，对生成元的张开角度和线段长度也有所控制才能绘制出多彩的图形，所以就要设计几个能控制生成图的角度的圆，随时改动分形图的伸张。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 整个分形图就由几个简单的枝杈进行带参数深层迭代而成，所以先做一个作为整棵树的树主干，做线段AB，以一个B端点作为旋转中心，做两个能控制角度旋转的圆，以圆上所选的角度做适当旋转将线段AB及端点A向上旋转得到两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的三分之二，三条线段就组成一个树杈，再继续做另外两个圆选好角度将由线段AB旋转得到的两条线段再向上旋转得到另两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的一半。新建参数n=1,对AB两点和参数n进行深度迭代，使得旋转得到的线段的起始点对应
线段AB的起始点，改变n值，即可得到一棵参天大树，即分形图完成。 [实验结果]（通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。） [结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。） 得出的分形图伸张程度和倾斜程度都可以由原先做出的角度控制，改变圆上的角度的大小就可以改变树的弯曲倾斜程度，改变三层基层线段的粗细和颜色可以让分形图更形象，分形图的迭代情况有参数n控制，改变n值增加迭代次数，让树的枝丫伸展使得分形图更多彩。也可以改变生成元的构成，可以在基层增加枝干，进行深层迭代后得出不同形象的分形图。 [求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）
分形几何与分形艺术
我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就
服饰鉴赏(作业范例)
服饰鉴赏课程结课论文题（在下列论文题目中选一题完成）在下列五题中，任选一题写成论文 一．试论汉代（唐代，元代，清代）女性妆容美 二．试论唐代女性的着装审美 三．浅谈褒衣博带的服饰美学思想 四．浅谈清代满族女装旗袍（传统旗袍）美感 五．论影片的服饰特点，自拟题目写一篇论文（《公爵夫人》、《维多利亚时代2》、《潘神的迷宫》、《年轻的女王》） 论文要求 1、论文最少2500字，多不限。 2、A4纸打印（小四字号），论文中最少要有8幅相关图 片（黑白、色彩都可以）直接粘贴在word上即可，不要另附图片。（见发去的论文样例模板） 3、提交打印稿和电子文档，（纸质与电子文档） 4、论文要写清——题目、摘要、关键词 提交论文截止日期：12月20日（过期拒收）
（以下是论文格式范本） 浅谈牛仔装的美感 （服饰鉴赏课论文） 学院：飞行器动力与能源工程学院 专业：热能与动力工程 班级：7404203 学号：200704000000 姓名：张三三 （以上是论文封面，要求每人都要有论文封面）
浅谈牛仔装的美感 摘要：牛仔裤给人感觉时尚且随兴，给人一种野性美，而且穿牛仔裤让双脚看起来变得更加修长好看。所以从牛仔流行至今它所刮起的风暴从来没有停过，设计师更是落足心机，注入不同的流行元素，好象低腰喇叭剪裁或绣花款式，便是今季的大热首选。穿出你的个性，穿出你的feeling，就看你要什么样的牛仔风暴 关键词：牛仔、美感、潮流、中性 一．牛仔的回顾 1853年.已经成为关国公民的李维到旧金山市开办干货批发生意，并且售卖成衣、床上用品和亚麻布料给加利福尼亚州和西部的小型商店.生意十分兴旺，但他采购的大批用来做帐篷、马车笼的帆布却无人问津.为处理积压的帆布，李维试普把帆布裁成低腰、直筒、臀围紧小的裤子，兜售给淘金工.由于帆布比棉布更耐磨，这种裤子大受淘金工的欢迎。于是.李维开办了专门生产帆布工装裤的公司.专门为淘金工、伐木工以及其他蓝领工人生产廉价、朴素、耐磨和功能性强的可充当工作服的裤子。“李维的裤子“不径而走。为了实用及美观.他改用靛蓝色粗斜纹布，并以自己的名字“Levi’s”作为品牌。 早期.顾客常常反映口袋因缝线磨损而脱落.一位来自内华达州的裁缝雅克·戴维斯(JacobDavis)就发明了以金属铆钉来加固男装工作裤后袋的方法。他去信给李维.建议联手申请专利.一起采用这一富有创意的新工艺。 同时，李维还为牛仔裤注册了一个图形商标，商标上画着一条工装裤的裤腰，两边各拴着一匹马，马头朝着相反的方向，每匹马身旁都有一个人在扬鞭催赶图形上方写着：惟一获得铆钉加固专利的工装裤下方写着：撕不开就是撕不开，意思是两匹马使劲拉也撕不开的牢固的工装裤！ 开始牛仔裤一直被叫做工装裤，赋予它牛仔裤的名字，要归功于电影明星们。20世纪30年代至50年代期间，美国好莱坞的男影们在表现美国西部牧人牛仔生活的影片中穿用了这种裤装，不仅营造出艰苦、粗犷的生活情调，还塑造牛仔裤以浪漫男人的形象。在美国影坛有牛仔之王称号的罗伊·罗杰斯，将美国西部牛仔表现得淋漓尽致，从此，牛仔裤走出工装，演绎为一种时髦的现代服装模式，
计算机图形学 分形图的生成936
实验六分形图的生成 班级08信计二学号52 姓名刘丽杰分数 一、实验目的和要求： 1、掌握分形基本原理，熟悉分形的计算机模拟算法。 2、学习调试程序及分析运行结果。 3、上机操作迭代函数系统算法。 二、实验内容： 1、编程实现分形的贝塞尔算法，并输出图形。 2、编程实现一棵树，先按某一方向画一条直线段，然后在此线段上找到一系列节点，在每一节点处向左右偏转60度各画一条分支。节点位置和节点处所画分支的长度的比值各按0.618分割。 三、程序执行和运行结果： 1、贝塞尔程序： #include
中学数学中的分形几何.
中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502） 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004） 内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
第6讲分形几何学
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
1分形图基本图形以及源程序
分形图基本图形以及源程序 第一部分 本人新手，如有错误请指正。程序完成于2011/6/17晚间到2011/6/18。 很多变量名称采用的是同学的姓名拼音，为的是告诉大家这些都是可以随意命名的变量或函数名，一般大写字母开头的是系统定义的变量不可以随意更改。 一、(*雪花*) 源程序 lovelyduwangen[zhengguojie_List]:=Block[{weihuayan={},i,wuxiaonan=Length[zhe ngguojie],gengping=60Degree,sa=Sin[gengping],ca=Cos[gengping],c,d,e,T={{ca,-sa} ,{sa,ca}}}, For[i=1,i< wuxiaonan,i++,c=zhengguojie[[i]]*2/3+zhengguojie[[i+1]]/3; e=zhengguojie[[i]]/3+zhengguojie[[i+1]]*2/3; d=c+T.(e-c); weihuayan=Join[weihuayan,{zhengguojie[[i]],c,d,e,zhengguojie[[i+1]]}]]; weihuayan] dongquanfa={{0,0},{1/2,Sqrt[3]/2},{1,0},{0,0}}; Show[Graphics[Line[Nest[lovelyduwangen,dongquanfa,0]],AspectRatio→Sqrt[3]/2]] Show[Graphics[Line[Nest[lovelyduwangen,dongquanfa,5]],AspectRatio→Sqrt[3]/2]] 基本生成元