数学谬论与诡辩赏析——几何篇

数学谬论与诡辩赏析——几何篇

一、梯形的上底等于下底

如图，任意梯形的上底为a，下底为b，中位线为c

下面来证明a＝b

证明方法如下：

因为c 是梯形的中位线

所以a＋b＝2c

等式两边都乘以(a—b)，得

(a+b)·(a—b)＝2c·(a—b)

展开得a2－b2＝2ac－2bc

移项得a2－2ac＝b2－2bc

等式两边都加c2，得

a2－2ac＋c2＝b2－2bc＋c2

即(a—c)2＝(b—c)2

两边都开方，得a－c＝b－c

等式两边都加c，得

a＝b

这就是说，任何梯形的上底都等于下底。结论当然是荒谬的，要是这样的话，梯形和平形四边形岂不是没有区别了么？但是，证明过程中什么地方错了呢？

解析：错在等式(a—c)2＝(b—c)2两边都开方得 a—c＝b－c 这个环节上。因为由(a—c)2＝(b—c)2，只能得到|a—c|＝|b－c|。在这里 a—c＜0，b－c＞0，所以，a—c不可能等于b－c，即a≠b。

二、大圆半径等于小圆半径

如左图，在两个同心圆中，大圆半径为R，小圆半径为r，下面来证明R＝r。

证明：如右图，使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长＝AA ′＝2πR 。由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是BB ′，即BB ′＝小圆的周长＝2πr 。

因为四边形AA ′B ′B 是矩形，所以AA ′＝BB ′

由AA ′＝2πR ，BB ′＝2πr ，

得，2πR ＝2πr

在等式两边都除以2π，得R ＝r

即 大圆半径＝小圆半径。

解析：从图上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此，AA ′是大圆的周长，BB ′虽与AA ′相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径不可能与小圆的直径、半径相等！

三、三角形内切圆面积大于该三角形面积

设三角形的周长为30，面积为75，根据S ＝12(a+b+c)r ＝12pr ，得内切圆半径r ＝2S a+b+c

＝2×7530＝5。于是，三角形内切圆的面积＝πr 2＝25π＞75，即三角形内切圆面积大于三角形面积。

解析：部分居然大于整体！这究竟是怎么一回事呢？原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性：

由秦九韶——海伦公式和平均值不等式，得 S=s(s-a) (s-b) (s-c) ≤s ????

??(s-a)+(s-b)+(s-c)3 3 =

s ? ????3s-2s 33

=

3 9s

2

=

3

36p

2（这里s= 1

2(a+b+c) =

1

2p，s为三角形的半周长，p为三角形的周长）

即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式：S≤

3

36p

2（当且仅当a=b=c时取等号）.

而上述三角形面积（75）和周长（30）之间并不满足这个不等式，换句话说，这个三角形根本不存在！

四、任何三角形都是等腰三角形

我们知道，三角形按边分类，可分为等腰三角形和不等边三角形。现在，有人却要证明：

任意三角形都是等腰三角形。

如图，△ABC是任意三角形，当AB＝AC时，显然△ABC是等腰三角形。

下面证明当AB≠AC时，△ABC也是等腰三角形！

不妨设AB＞AC，作边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线，交点为P，过点P作

PF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，连接PB、PC。容易证明①△APF≌△APG（角角边），所以有AF＝AG，PF＝PG；②△BPF≌△CPG（由①得PF＝PG，又DE垂直平分BC，所以PB＝PC，再根据“斜边直角边”得证），所以有BF＝CG. 因为AB＝AF＋FB，AC＝AG＋GC，所以AB＝AC.

综上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类

了！但是，这个证明究竟错在什么地方呢？

解析：这道题的错误在于把图画错了！如果严格的按要求画图，PG与边AC的垂足不会

在边AC上，而在边AC的延长线上，这时，我们可以证明AB－BC＝2BF（或2CG），只有当BF＝CG＝0时，才有AB＝BC。所以“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。

至于有人在证明时，故意把边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线的交点P画在△ABC内部（见下图），那就更加大错特错了。事实上，设∠BAC的平分线与边BC相交于点K，根据三角形内角平分线定理得：AB/AC＝BK/KC。如果AB＞AC，那么BK＞KC，也就是

说K点在边BC中点的右边，所以边BC的垂直平分线DE和∠BAC的角平分线的交点P不可能在△ABC的内部！而这一点在“证明”中起着关键的作用。

看了上面的“证明”，我们不免会有这样的疑问：如果一个几何题的证明的正确性取决于画图的准确性，那么我们又如何能保证画图的准确性呢？尤其严重的是，任何一个图形，即便你把它画得足够“一般”，它事实上都只能代表这个图形所表示的具体情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时，如何使人相信这个证明其实是对所有的情况作出的呢？尤其是当几何图形相当复杂时，这种疑问会变得很强烈：这个具体图形是否能代表一般的情况？对更一般的数学证明来说，我们也会有这样的担心：我们在证明一个命题的时候，是否会在证明里运用了太多的直觉，以至于不小心引入了事实上不存在的前提？

五、钝角等于直角

我们知道，一个小于平角的角可以分为三类：锐角，直角和钝角。直角小于钝角，但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明，有兴趣的读者请往下看。

如图，在矩形ABCD外作BE＝BC，且使0°＜∠EBC＜90°，连接DE。作AB、DE的垂直平分线，因为它们各自垂直于两条不平行的直线，所以必定相交于一点P，连接PA、PB、PD、PE，于是PA＝PB，PD＝PE(垂直平分线性质定理)．由作图，BE＝BC＝AD。所以△PBE≌△PAD (边边边)。所以，∠PBE＝∠PAD，但∠PBA＝∠PAB(等边对等角)，于是∠PBE－∠PBA＝∠PAD－∠PAB(等量减等量差相等)，所以钝角∠ABE＝直角∠BAD。

解析：众所周知，钝角大于直角，但证明错在什么地方呢？实际上，如果我们画图准确一

些的话，会发现PE 根本不会通过矩形ABCD 内部，问题就出在这里。真是差之毫厘，谬之千里！

下面就来证明：PE 与直线AB 的交点不在边AB 上，而在边AB 的延长线上。

建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形矩形ABCD 的边AB ＝2a ，BC ＝b ，∠

EBX ＝φ，0°＜φ＜90°

则有 B(0，0)，D(－2a ，b)，E(bcos φ，bsin φ)

因PG 是AB 的垂直平分线，故可设P(一a ，y)，

又设PE 与x 轴的交点为M(x ，0)

由PD ＝ PE

得(－a ＋2a)2＋(y －b) 2 ＝ (－a －bcos φ) 2＋(y －bsin φ) 2，

解得y ＝acos φ

sin φ－1 ………… ①

由P 、M 、E 三点在同一直线上，得

0－y x + a ＝b sin φ－0

bcos φ－x ………… ②

由①、②解得x ＝ab (1－sin φ)

acos φ+ bsin φ(1－sin φ)

显然，x ＞0，所以PE 与x 轴的交点M 在线段AB 的延长线上。