高三数学理科阶段测试卷及答案

沈阳四校协作体-（上）高三阶段测试

数学试卷（理）

分值：150分 时间：120分钟

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1、已知集合M={x|}，N={x|}，则M ∩N= （ ）

A ．{x|-1≤x ＜1｝

B ．{x |x>1}

C ．{x|-1＜x ＜1｝

D ．{x|x ≥-1}

2、若定义在R 上的函数f (x )满足f (π

3

＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是（ ）

A ．f (x )＝2sin 1

3x

B ．f (x )＝2sin3x

C ．f (x )＝2cos 1

3x

D ．f (x )＝2cos3x

3、已知

=+-=+ni m i n m ni i

m

是虚数单位，则是实数，，，其中11( ) A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i

4、设1

(1,)2

OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤?≤，01OP ON ≤?≤的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）

A B C D 5、下列判断错误的是（

）

A

、命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题

B 、“am 2

”是“a

D 、命题“{

}{}2142,1，或??Φ”为真命题 6、函数y =2x

-的图像大致是

（ ）

01>+x 011

>-x

2

x

7、已知正数a 、b 、c 成等比数列，则下列三数也成等比数列的是 A ．lg a lg b lg c B ．10a 10b 10c

C ．lg 5a lg 5b lg 5c

D

．a 3a 4a

8、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体， 其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形 的腰长为5，则该几何体的体积是 A.43π B.2π C.83π D.103

π

9、由函数x y 2log =与函数)2(log 2-=x y 的

图象及2-=y 与 3=y 所围成的封闭图形的面积是 A ．15 B ．20 C ．10 D ．以上都不对

10、函数y ＝ax 3

＋bx 2

取得极大值或极小值时的x 值分别为0和

3

1

, 则 A. b a 2-＝0 B. b a -2＝0 C. b a +2＝0 D. b a 2+＝0

11、已知1是与的等比中项，又是

与的等差中项，则的值是 （ ） A ．1或

B ．1或

C ．1或

D ．1或

12、周期为4的函数21()12

m x f x x ?-?=?--?? (1,1]

(1,3]x x ∈-∈其中m>0，若方程3f(x)=x 恰有5个实

数解，则m 的取值范围为 （ ）

A ．158

(

,)3

B ．48(,)33

C ．4(,7)3

D ．15

(

,7) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222

b c a bc +=-，

4AC AB ?=-且，2a 2

b a 1b 1

2

2b a b a ++2

1

2

1-3

1

31-

则ABC ?的面积等于 ．

14、设AB=2，则如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，

则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为

15、在等式

的值为

16、设函数f(x)=x

x

a a +1（a ＞0，且a ≠1），〔m 〕表示不超过实数m

的最大整数，则 实数〔f(x)-

21〕+〔f(-x)-2

1

〕的值域是 三、解答题：（本题共70分）

17、（本小题12分）已知函数2()sin 3sin

cos

4

4

4

f x x x x π

π

π

=-

（1）求()f x 的最大值及此时x 的值

（2）求(1)(2)(3)(2010)(2011)f f f f f +++???++的值．

18、（本小题12分）已知函数()f x kx b =+的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、 B ，22AB i j

=+(i 、 j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数2()6g x x x =--

(1) 求k 、b 的值;

(2) 当x 满足()()f x g x >时，求函数

()1

()

g x f x +的最小值 19、（本小题12分）如图,四棱锥P-ABCD 是底面边长为1的正

方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=2. （Ⅰ）求证:PD ⊥面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角A －PB －D 的大小.

m y x y x m y x 则的最小值为若中,6

5

,0,0,94+>>=+P

D

20、（本小题12分）已知函数f x kx b k f ()()()=+≠=01020，，又f f f ()()()139，，

成等比数列。

（1）求函数f x ()的解析式； （2）设a n n f n =+22()

，求数列{}a n 的前n 项和S n 。

21、（本小题12分）已知函数． （1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的

，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（3）求证：

．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB 是O 的直径，直线CD 与

O 相切于点C ，

AC 平分DAB ∠．

(1)求证：AD CD ⊥； (2)若2AD =， 5AC =

，求AB 的长．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6

π

α=，

（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆42

2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

()ln 3(R)f x a x ax a =--∈)(x f )(x f y =))2(,2(f ?45]2,1[∈t ]2

)('[)(23m

x f x x x g +

+=)3,(t m ln 2ln 3ln 4

ln 1

(2,N )234

n n n n n

*????

<≥∈

已知a b c d >>>，求证：

1119

a b b c c a a d

++≥

---- 高三12月月考（理科数学）试卷答案

一、选择题：

C D C A B A C A C D D D 二、填空题：

13、 14、4

6

15、30 16、｛-1,0｝ 三、解答题：

17、解：（1）111()cos sin()2222226

f x x x x ππππ=-=-+ 4分

∴44()3x k k z =-

∈时，max 3

()2

f x = 6分

（2）函数的周期4T =， 111111

(1)(2),(3)(4)222222

f f f f =

-=+=+=-，

111111

(41)(42),(43)(44)222222

f k f k f k f k +=

+=++=++=- (41)(42)(43)(44)2f k f k f k f k +++++++=

(1)(2)(2011)5022(1)(2)(3)1006f f f f f f ++???+=?+++= 12分

18、解：(1) 由已知得(,0)b

A k

-，(0,)B b ……………………………………………2分

则(,)b AB b k =，于是2,2b

b k

== ……………………………………4分

∴1,k b == …………………………………………………………6分

(2) 由()()f x g x >，得226x x x +>--，即(2)(4)0x x +-<, 得2x -<<

()1()g x f x + = 251222

x x x x x --=++-++………………………8分 由于20x +>，则

()1

3()

g x f x +≥-， 10分

其中等号当且仅当21

x+=，即1

x=-

时成立

∴

()1

()

g x

f x

+

的最小值是-……12分

19、（Ⅰ）证明:1,

PD DC PC

===

,

PDC PD CD

∴?⊥

是直角三角形即.……2分

又,

PD BC BC CD C

⊥=,……4分

∴PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴AO PD

⊥,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

AE PB AE AO A

⊥=,

∴PB AEO

⊥平面,从而PB EO

⊥,

故AEO

∠就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分

∵PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, PB===

又∵

OE OB

PD PB

=, ∴OE=,………………10分

tan

AO

AEO

OE

∴∠===∴60

AEO

∠=.

故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………12分

（也可用向量解）

20、（I）函数f x()的解析式是f x x

()=2………………6分

（II）a n

n

n

=+

22

2………………8分

P

A B

C

D

O

E

S n n n n n

n =+++++++++=-+++4444212344

3

2

3

12……()……12分

21、（Ⅰ） , 当时，

的单调增区间为，减区间为；

当时，的单调增区间为，减区间为； 当时，不是单调函数-------------------- （Ⅱ）得， ∴，∴-----

∵在区间上总不是单调函数，且∴ -------

由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴

（Ⅲ）令此时，所以，

由（Ⅰ）知在上单调递增，∴当时，

即，∴对一切成立， ∵，则有，∴

22、(1)证明：连结BC ．

∵直线CD 与O 相切于点C ，∴DCA B ∠=∠． ∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠．

)0()

1()('>-=

x x

x a x f 0>a )(x f (]0,1[)1,+∞0

=a

f 2-=a 32ln 2)(-+-=x x x f x x m x x

g 2)22

()(2

3-++=2)4(3)('2-++=x m x x g )(x g )3,(t ()02'

g =-?

?

?><0)3('0

)('g t g ]2,1[∈t '()0g t <'(1)0

'(2)0'(3)0g g g

?

93

37

-<<-

m 1-=a 3ln )(-+-=x x x f 2)1(-=f 3ln )(-+-=x x x f ),1(+∞),1(+∞∈x )1()(f x f >01ln >-+-x x 1ln -

n n n 1

ln 0-<

<

ln 2ln 3ln 4ln 123

11(2,N )234234

n n n n n n n *-∴

????

∴ADC ACB ∠=∠． ∵AB 是

O 的直径，∴ 90ACB ∠=．

∴90ADC ∠=，即AD CD ⊥．

(2)解：∵DCA B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠， ∴ADC ACB ．

∴

AD AC

AC AB

=

，∴2AC AD AB =?． ∵2AD =，

AC = 5

2

AB =．

23、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;

211,231???

????+=+=

（2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B

的坐标分别为

),211,231(11t t A ++

)2

11,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到

02)13(2=-++t t ①

因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。 所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。

24、证明：

,0,0,0a b c d a b b c c d >>>∴->->->

111111(

)()()[()()()]a d a b b c c d a b b c c a a b b c c a

∴++-=++-+-+-------

9≥= 1119

a b b c c a a d

∴

++≥

----