一元二次方程教材分析

一元二次方程教材分析

一.本章内容分析

本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.

数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.

二.课时安排： 17.1 一元二次方程 2课时

17.2 降次 9课时

17.3 实际问题与一元二次方程 4课时

小结 2课时

四、单元内容分析

17.1 一元二次方程

本单元分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念,并提出一元二次方程的根是两个,通常几次方程就有几个根.

⒈德育目标：引导学生在一次方程、方程组学习的基础上，联系函数的基本知识，进一步观察和探索现实世界中的数量关系及其变化规律。

教学目标:通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式；

会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式，并能指出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。

教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.

教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式.

⒉学法点拨：

◆一元二次方程的定义,书中以未知数的个数和次数为标准,

用文字叙述形式给出的.

◆理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、

最高次数为2。

◆对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。

◆把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形

方法：去分母---去括号---移项---合并同类项。

◆注意:①当a是负值时，一般转化为正数；

②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如：

x2=0,x2-1=0,2x2-x=0.

会用“带入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。

⒊易错点：

1)判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”.

如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有--------

① ax2+bx+c = 0 ② x2+ 3／x -5=0

③ 2x2-x-3 = 0 ④ x2-2+x3 = 0

2)注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的

理解与应用，避免就概念理解概念。

如：已知关于x的方程（m-n）x2 +mx+n=0，(m≠0),你认为：

①当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？

②当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？

3)没有化成一般形式，混淆a、b、c.

17.2 降次———解一元二次方程

直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方

的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——

降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平

方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完

全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；

以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最

后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，

多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作

用，逐步养成主动探究和应用的习惯。

1.德育目标：联系一元一次方程的解法，经理对一元二次方程各种解法的探索、归纳，理解和掌握解一元二次方程的基本思想，体会比较和转化的数学思想。

教学目标：理解和掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

本单元重点：一元二次方程的解法。

本单元难点：选择合适的解法。

2.课时安排：本单元是本章的重点，书中安排是6课时，可以适当的增加课时或利用加课时间，我在本次分析时按9课时分析的。

（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成他的正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题：

① x2=a (a＞0)

②bx2=a (a、b同号，b≠0)

③（x-b）2=a (a＞0)

④ m(x-b)2=a (a、m同号,m≠0)

⑤ m(nx-b)2=a (a、m同号,m、n≠0)

（2）配方法（3课时）：配方法在数学中成为一种很重要的数学变形，它隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。在教学中，对配方法和划归思想应充分重视，引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。配

方不仅是解一元二次方程的一种基本解法，而且初三学习二次函数等其他数学概念时也会用到，所以在这里应重点讲解。

第一课时：安排a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。

注意：如x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。

第二课时：安排a≠1的情况，总结出配方法的步骤：

①方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1

的类型；

②方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；

③直接开平方；

④写出结果。

第三课时：增加练习，由配方法引出求根公式。

（3）公式法（2课时）

推导求根公式时，特别给出条件“当b2-4ac≥0时”。教学中应当使学生认识到这一条件是根据（x+b/2a）2非负而产生的，如果b2-4ac ＜0,就有（x+b/2a）2 ＜0.这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定b2-4ac≥0.得出求根公式后，可知方程ax2+bx+c=0(a≠0)根是由系数a、b、c所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b2-4ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：①有两个不等的实数根；②有两个相等的实数根；①②合称为由实数根，③没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。

教学时总结出公式法解题的一般步骤：

①化为一般式；

②指出a、b、c，带符号；

③写出求根公式；

④代入求解。

（4）因式分解法（即十字相乘法2课时）

第一课时，主要练二次项系数为1的类型：x2+px+q=0.

第二课时，练习二次项系数不为1的类型：ax2+bx+c=0.

（5）习题课（1课时）

选择适当的方法解一元二次方程。

3. 学法点拨：

●公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个

学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，但当方程符合

ax2=c(a、c同号，a≠0)时，可用直接开平方法解方程。

●解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。

●对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥

0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。

●配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程

中，注意配方这种方法在其他方面的应用。

●因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。

4.易错点

（1） 因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。

如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x 1=1, x 2=3.

(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a 、b 、c 。

如，解方程x 2-4x=2，误认为a=1,b=—4,c=2.

(3)丢根。如，解方程3(x+2)=x 2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.

17.3 实际问题与一元二次方程

结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、匀变速运动问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。

1. 德育目标：通过列一元二次方程解决实际问题，是学生精历“从实践问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中揭示和检验”的过程，从而进一步提高分析文题、解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识。教学时，计划一个类型安排一课时，共4课时。

本单元重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。

本单元难点：正确建立一元二次方程。突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依

据的主要相等关系。

2. 学法点拨：

●列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、

答。

具体过程：（1）审题，找等量关系； ------- 关键

（2）设未知数； ------- 注意单位

（3）列方程；

（4）解方程；

（5）检验； -------注意是否符合实际意义

（6）写出答案；

（7）答话。

●增长率问题常用公式 a(1±x)2=b ，a为原数，b为增长或降低

后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。

3.易错点

①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；

②解方程后未经检验就盲目作答。

③检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材P114：探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。

一元二次方程教材分析

南仓中学

王军