2014年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2014年山东，理1，5分】已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则2

i a b +=（）（ ）

（A ）54i - （B ）54i + （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D

【解析】i a -与2i b +互为共轭复数，()()22

22,1i 2i 44i i 34i a b a b ∴==∴+=+=++=+，故选D ． （2）【2014年山东，理2，5分】设集合{12}A x x =-<，{2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A

B =（ ）

（A ）[0,2] （B ）(1,3) （C ）[1,3) （D ）(1,4) 【答案】C

【解析】12x -

分】函数()f x =

）

（A ）1(0)2， （B ）(2)+∞， （C ）1(0)(2,)2+∞，

（D ）1

(0][2)2+∞，，

【答案】C

【解析】()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或1

02

x ∴<<，故选C ．

（4）【2014年山东，理4，5分】用反证法证明命题“设,a b R ∈，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时要做

的假设是（ ）

（A ）方程20x ax b ++=没有实根 （B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根 （D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A 【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a ，b 为实数，

则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是：方程20x ax b ++=没有实根，故选A ．

（5）【2014年山东，理5，5分】已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）

（A ）22

11

11

x y >++ （B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y > （D ）33x y > 【答案】D

【解析】,01x y a a a x y <<<∴>Q ，排除A ，B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C ，故选D ．

（6）【2014年山东，理6，5分】直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） （A

） （B

） （C ）2 （D ）4 【答案】D

【解析】34x x =，()

()()3244220x x x x x x x -=-=+-=，解得直线和曲线的交点为0x =，2x =，2x =-，第一象限面积()2

3

2

401

428444

x x dx x

x -=-=-=?，故选D ．

（7）【2014年山东，理7，5分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床 试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，

[14,15)，[15,16)，[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，

第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有

20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）18 【答案】C

【解析】第一组与第二组频率之和为0.240.160.4+=，200.450÷=，500.3618?=，18612-=，故选C ．

（8）【2014年山东，理8，5分】已知函数()21f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）

（A ）102（，） （B ）1

12

（，）

（C ）12（，） （D ）2+∞（，） 【答案】B

【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为1

2

，斜率最大时()g x 的斜率与

()1f x x =-的斜率一致，故选B ． （9）【2014年山东，理9，5分】已知,x y 满足的约束条件10

230x y x y --≤??--≥?

，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在

该约束条件下取得最小值22a b +的最小值为（ ）

（A ）5 （B ）4 （C

（D ）2

【答案】B

【解析】10

230x y x y --≤??--≥?

求得交点为()2,1

，则2a b +=，即圆心()0,0

到直线20a b +-

的距离的平方

2

2

24==，故选B ． （10）【2014年山东，理10，5分】已知0,0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为2

2221x y

a b

-=，

1C 与2C

，则2C 的渐近线方程为（ ） （A ）

20x

y ±= （B ）20x y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±= 【答案】A

【解析】2222

122

c a b e a a

-==，2222222c a b e a a +==，()44244124344a b e e a b a -∴==∴=，b a ∴=A ． 第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分

（11）【2014年山东，理11，5分】执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值

为 ． 【答案】3

【解析】根据判断条件2430x x -+≤，得13x ≤≤，输入1x =，

第一次判断后循环，12,11x x n n =+==+=； 第二次判断后循环，13,12x x n n =+==+=； 第三次判断后循环，14,13x x n n =+==+=； 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n =．

（12）【2014年山东，理12，5分】在ABC V 中，已知

tan AB AC A ?=uu u r uuu r ，当6

A π=时，ABC V 的面积为 ． 【答案】1

6

【解析】由条件可知cos tan AB AC cb A A ?==，当6A π=，2

3

bc =，11sin 26ABC S bc A ?==．

（13）【2014年山东，理13，5分】三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的

体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12

V V = ．

【答案】1

4

【解析】分别过,E C 向平面做高12,h h ，由E 为PC 的中点得1212

h h =，由D 为PB 的中点得1

2ABD ABP S S ??=，

所以1212111

:334

ABD ABP V V S h S h ??=?=?=．

（14）【2014年山东，理14，5分】若46

b ax x ??+ ??

?的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．

【答案】2

【解析】将6

2

)(x

b

ax +展开，得到612316r r r r r T C a b x --+=，令1233,3r r -==得．由333

620C a b =，得1ab =，

所以2222a b ab +≥=．

（15）【2014年山东，理15，5分】已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()

f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()()

,,,x h x x g x 关于点()()

,x f x 对称，若()h x 是(

)g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，

则实数b 的取值范围是 ．

【答案】b >【解析】根据图像分析得，当()3f x x b =+

与()g x =

b =()()h x g x >恒成立

得b >

三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2014年山东，理16，12分】已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =?，且()y f x =的图

像过点12π? ?和点2,23π??-

???

． （1）求,m n 的值；

（2）将()y f x =的图像向左平移()0??π<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最

高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．

解：（1）已知()sin 2cos 2f x a b m x n x =?=+，)(x f 过点2(3),(,2)123ππ-

，()sin cos 1266

f m n πππ∴=+=， 244()sin cos 2333f m n πππ=+=-

，1212

2

m ?=??∴??-=-??

1m n ?=??

=?? （2

）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，()f x 左移?后得到()2sin(22)6

g x x π

?=++． 设()g x 的对称轴为0x x =，11d =+解得00x =，(0)2g ∴=，解得6

π?=

．

()2sin(2)2sin(2)2cos2362

g x x x x π

ππ

∴=+

+=+=．222,k x k k z πππ∴-+≤≤∈．

,2k x k k z π

ππ-

+≤≤∈．()f x ∴的单调增区间为[,],2

k k k z π

ππ-

+∈．

（17）【2014年山东，理17，12分】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面ABCD 是等腰

梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．

（1）求证：111//C M A ADD 平面；

（2）若1

CD 垂直于平面ABCD 且1CD 求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角） 的余弦值． 解：（1）连接1AD ，1111ABCD A B C D -为四棱柱，11//CD C D ∴，//CD AM ∴，CD AM =，

11//AM C D ∴，11AM C D =，11AMC D ∴为平行四边形，11//AD MC ∴，又111C M A ADD ?平面，

B 1

C 1

D 1

A 1

D

C

B

M A

111AD A ADD ?平面，111//AD A ADD ∴平面．

（2）解法一：

11//AB A B ，1111//A B C D ，1111D C M ABC D ∴面与共面，作CN AB ⊥，连接1D N ，

则1D NC ∠即为所求二面角，在ABCD 中，1,2,60DC AB DAB ==∠=

CN ∴= 在1Rt D CN ?

中，1CD =

CN =

1D N ∴= 解法二：

作CP AB ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，

111((2C D M ∴-

，1111(1,0,0),(2C D D M ∴== 设平面11C D M 的法向量为111(,,)n x y z =

，11110

102x x y =??∴?-=??，1

(0,2,1)n ∴=，

显然平面ABCD 的法向量为2(1,0,0)n =

，121212

cos ,5n n n n n n ?∴<>==

=

所以平面11C

D M 和平面ABCD 所成角的余弦值为

55

，1

1cos NC D CN D N ∴∠====．

（18）【2014年山东，理18，12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，

B ，乙被划分为两个不相交的区域

C ，

D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：

回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为3

5

．假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明

的两次回球互不影响．求：

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望． 解：（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A ，51143

()656510

P A =?+?=．

（2）ξ的可能取值为012346，，，，，，111(0)6530P ξ==?=

；11131(1)35656P ξ==?+?=；131

(2)355

P ξ==?=； 11112(3)256515P ξ==?+?=；131111(4)253530P ξ==?+?=

；111

(6)2510

P ξ==?=． ξ∴的分布列为：

()012346306515301030

E ξ∴=?

+?+?+?+?+?=

． （19）【2014年山东，理19，12分】已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

1

4(1)n n n n n

b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）1121412,,2,46d S a S a d S a d ===+=+，1S ，2S ，成等比，2

2

14S S S ∴=，解得11,21n a a n =∴=-． （2）1

11411

(1)(1)()2121

n n n n n n b a a n n --+=-=-+-+，当n 为偶数时， 11

111

1111(1)()()(

)()33557

23212121n T n n n n =+-+++-

++-+---+，1212121

n n

T n n ∴=-=

++，

当n 为奇数时，111111111(1)()()()()

3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+

122

12121n n T n n +∴=+=

++，2,2122,21n n

n n T n n n ???+∴=?+??+?

为偶数为奇数． （20）【2014年山东，理20，12分】设函数()22

(ln )x e f x k x x x

=-+（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．

（1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．

解：（1）2'

423

221(2)()

()()(0)x x x e x xe x e kx f x k x x x x x

?---=--+=>，当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ->， 令()0f x =，则2x =．∴当()0,2x ∈时，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()f x 单调递增．

（2）令()x g x e kx =-，则()x g x e k =-，x e k ∴=，ln x k =．

'(0)10g k =-<，(0)10g =>，

()2

'

2

2

(2)0,2202

e g e k g e k k =->=->∴<，()ln ln ln 0ln 1k g k e k k k k e =-<∴>∴>，

综上：e 的取值范围为2

,2

e e （）

． （21）【2014年山东，理21，14分】已知抛物线2:2(0C y px p =＞）的焦点为F ，A 为C 上异 于原点的任意一

点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF

?为正三角形． （1）求C 的方程；

（2）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ．

（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知,02p F ?? ???．设(),0D t ()0t >，则FD 的中点为2,04p t +??

???

．因为FA FD =， 由抛物线的定义知：322p p t +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）．由234

p t

+=，解得2p =．

所以抛物线C 的方程为24y x =．

（2）（ⅰ）由（1）知()1,0F ．设()00,A x y ()000x y ≠，(),0D D x ()0D x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，

由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +．

故直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为0

2

y y x b =-+，

代入抛物线方程得：200880b y y y y +

-=，由题意20064320b y y ?=+=，得0

2b y =-．设(),E E E x y ， 则204E x y =，04E y y =-．当204y ≠时，0

0022

00204

4444

E AE E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AE 的方程为： ()0002044y y y x x y -=--，由2

004y x =，整理可得：()020414

y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F ．

当2

4y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F ．所以直线AE 过定点()1,0F ． （ⅱ）由（ⅰ）知直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011

112AE AF FE x x x x ??=+=+++=++ ???

．

设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故00

1

x m y -=．设()11,B x y ，

直线AB 的方程为()0

002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得00

22x x y =-++，代入抛物线方程得：

2008840y y x y +

--=．所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，100

4

4x x x =++．

所以点B 到直线AE

的距离为：

414x d ?

+==

=， 则

ABE ?

的面积0011

42162S x x ???=

?++≥ ???，当且仅当001x x =，即01x =时等号成立．

所以ABE ?的面积的最小值为16．