初中数学逆向思维的培养
初中数学逆向思维的培养
摘要:数学是一门逻辑性极强的学科,加强对学生的思维训练是改革数学教学、提高质量的最根本的途径。而逆向思维是思维转换能力的一种重要形式。课堂教学结果表明:许多学生之所以处于低层次的学习水平,有一个重要因素,即正向思维定势经常制约思维空间的拓展。逆向思维能力的培养,对于拓宽学生的解题思路,提高解题速度是颇有益处的。新一轮国家基础教育课改的重点就是要改革妨碍学生创新精神和实践能力的教育观、教学模式,就是要在如何培养学生的创新思维能力、促进学生学习方式的转变上进行改革。要有意识地加强学生逆向思维的训练,使学生的思维能力全面发展。
关键词:逆向思维;培养;灵活性
逆向思维是指由果索因、知本求原,从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则,是创造思维的一个组成部分,也是进行思维训练的载体。培养学生逆向思维的过程也是培养学生思维敏捷性的过程。正确地运用逆向思维,对开拓解题思路,促进思维的灵活性,都会起到积极的作用。
古代有司马光幼年砸缸破水救小孩的故事,他为什么取得成功,或者说司马光聪明在何处?就在于他的思维方法独特,在没办法使人离开水的情况下,采用逆向思维,使水离开人,即用石头破缸。如果学生有逆向思维能力,采用这种形式来分析问题,就容易找到问题的突破口,寻找到解题方法和恰当途径,使解题过程简捷明了。
初二数学思维训练教学文案
初二数学思维训练
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 数学思维训练1 【知识精读】 1. 几何证明和计算是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【实战演练】 1、如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ） A ． 125 B ．65 C ．245 D ．不确定 第1题图 3题图 2、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作 AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==， 5PB =．下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2； ③EB ED ⊥；④16APD APB S S ??+=+；⑤46ABCD S =+正方形． 初二校本课 2题图 A P E D C B B A G C D H E (第4题
小学数学中的逆向思维
小学数学中的逆向思维 逆向思维方法是与顺向思维方法相对来说的。在分析、解答应用题时，顺向思 维是按照条件出现的先后顺序实行思考的；而逆向思维是不依照题目内条件出现的先 后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，实行逆转推理的一种思维方法。对一些使 用逆思维解答的数学问题，总是数学教学难点中的难点，是逆思维难以培养，还是现 行教材中答题模式人为造成的混乱呢？在数学教学中这个问题始终困扰着我。到底怎 样才能更好地培养学生的逆向思维，这是他们思维训练的重要方面。 小孩子在入学前，就已经有了相当的逆思维水平。在幼儿园小朋友玩过猜数游 戏(如：把6根小棒，藏起来几根，露出2根，让他猜藏起来几根？)绝大部分小朋友 都能顺利的完成这个游戏，而且有的回答速度还相当快。玩这个游戏，需要根据小棒 的总数和未藏起的根数来推算，这里小朋友猜数时，实际上就使用了2+(?)= 6的思维方式。这说明幼儿园小朋友的逆向思维就已经有了一定的发展。到了小学一年级后， 当学生第一次碰到图画表示的应用题时，不论右边的3个有没有画出来，学生都能说 出右边是3个，但是几乎是所有的学生都会将算式列成5+3＝8。这是很多一年级数学教师讨论的对象。从学生思维上看，学生并没有错。从列式上，显然不符合规定。再如：回答“草地上有10只白兔，走了一些，还剩下7只，问走了几只白兔？”这个类型的问题，学生毫不费力就会得出走了3只，几乎达到自动化的水准，这本来是令教 师值得欣慰的事，不过看看学生的列式，却是绝大部分是10-3=7，这显然也不符合列式规范。教师只好使出浑身解数引导学生弄清问题是什么，回答问题从已知条件入手，算式的结果必须是所求的问题。通过引导学生似乎弄懂了，也乖乖地将算式改成10- 7=3，不过没过多久，学生的老毛病又犯了，甚至，有的同学需要通过一两年的犯错 才改过来。新课标提倡教学的开放性，计算教学中，对学生使用的方法也能够说是空 前的“宽容”，不过，解题模式上，又为何要定得这么死呢？学生用10-3=7，在这个问题情境的理解上又何错之有呢？美国著名的数学教育家舍费尔德的一个测试：一艘 船上载了75头牛，32只羊，问船长几岁？这个测试的结果大家并不陌生，为什么一 个根本就没有答案的数学题学生偏偏用题中的已知条件加减一通呢？难题这同我们人 为地规定列式的模式没有直接的关系呢？暂且不谈这个问题，通过一至三年级的数学 教学，诸如此类的问题学生毫不容易才掌握了，可到了四年级学生列方程解应用题时，真可谓是逆思维水平训练越到家的人受到的干扰就越大。这个时候，教师不得不再一 次使出看家本领引导学生用顺向思维去找数量关系。就用以上白兔这个问题来说吧， 如果要求学生用列方程解这道题，寻找数量关系时，首先想到的往往是①总只数-剩下的只数=走了的知数，②剩下的只数+走了的只数=总只数。最不愿想的就是以前一再 不受老师欢迎的，③总只数-走了的只数=剩下的只数。假如使用第①种数量关系式， 将得出方程10-7=X。这直接就能算出10-7=3的算式又何必用方程??里??嗦的去解答呢？假如用第②种关系式，虽说也是准确的，其实也难免是为列方程而列，多少有些
初中数学教学中学生逆向思维能力的培养
初中数学教学中学生逆向思维能力的培养 培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，而且可以改善学生学习数学的思维方式，激发学生的创新精神，培养良好的思维品性，提高思维能力和整体素质。 数学逆向思维 培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式，激发学生的创新精神，培养良好的思维品性，提高思维能力和整体素质。那么，如何在初中数学教学中培养学生的逆向思维能力呢？ 一、什么是逆向思维？ 所谓逆向思维，就是从与常规思维相反的方向去认识问题，从对立的角度去思考问题，寻求解题途径，解决问题的一种数学思想方法。利用逆向思维可以加深对概念、定义、定理、公式、法则、性质的正确、深刻的理解和应用，可以形成反思和换位思考的思维素质，利于学生分析思维能力的培养和提高，发展学生的智力，有效地解决复杂的问题。 二、初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略 1、帮助学生理顺教材的逻辑顺序。 （一）重视定义的再认与逆用，加深对定义内涵的认识。 许多数学问题实质上是要求学生能对定义进行再认或逆用。在教学实践中，有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟，但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时，他们就不知所措了。因此在教学中教师应加强这方面的训练。逆用定义思考问题，往往能挖掘题中的隐蔽条件，使问题迎刃而解。 （二）从公式的互逆找灵感。 1）、公式的互逆记忆。 数学公式是数学问题的精华之一，学习数学公式是锻炼学生思维能力的一个好好的形式之一。许多的数学公式之间联系都很紧密，很多数学问题是逆用公式的问题，要更好地解决这类问题，首先应该让学生知道公式的互逆形式，学会公式的互逆记忆。只有先记住这些公式，才有可能来解决相关的实际问题。 2）、逆用公式。 这样做往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维
浅谈初中数学思维的培养
浅谈初中数学思维的培养 发表时间：2019-02-28T14:22:05.407Z 来源：《中小学教育》2019年第356期作者：潘开华[导读] 数学知识的形成过程，实际上就是数学思想的发生过程。云南省曲靖市富源县第七中学655500 作为数学这一门学科，不管是课程改革还是教材更新，永远不变的就是基础知识、数学思想和数学思维。所谓“数学基本思想”，是指在数学发展历程中，对数学发展起到关键作用的那些思想，也是数学发展所依赖的核心思想。中学阶段的数学基本思想主要有：抽象的思想、推理的思想、建模的思想。初高中阶段，数学教师把学生的数学思想培养好，那么，学生学习数学就会有信心，掌握好这门法宝，就是拿到学好数学的金钥匙；谁能够灵活运用它，谁就在数学的跑道上领跑占有优势。但是，数学思想及其方法的形成，不是一蹴而就的，更不是临时抱佛脚就可成为数学中的佼佼者。它是依靠平时的认真听讲、教师的潜移默化、自己的归纳总结，点点滴滴积累起来的，仅仅凭一两节课的听讲或者做个几道题，就说自己的数学思想已经形成，那是天方夜谭、不现实的。数学思想的培养，关键在课堂，那么作为引路人——数学教师，又如何领好这条路呢？笔者在此写下几点看法：一、在知识形成中体验数学思想 数学知识的形成过程，实际上就是数学思想的发生过程。概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示等过程都蕴含着数学思想，都是学生体验数学思想、提高数学素养的好机会。教师在课堂上对数学思想方法的培养，不宜抽象空洞，而应有理可依、有据可循、尽量浅显明了。数学思想大多是理论上的东西，对初中学生来说，太抽象、太虚无缥缈，学生要抓住它，很困难。那么教师就要注意从基础着手，从实际出发来教学生。例如：数形结合思想的培养。在涉及这方面知识时，先从图形入手，在图形上标出已知数据，未知量打上问号，要解决问题，应该用什么定理等。通过一段时间训练，再挑明这是什么思想，是代数和几何结合形成的思想。这样学生接受起来既自然又顺利，数和形兼备，解题方法也就信手拈来，问题迎刃而解。通过这些，说明数学思想的形成，教师要做到深入浅出、言简意赅、浅显易懂。 二、在合作探究中渗透数学思想 渗透，就是把某些抽象的数学思想逐步在课堂教学中实施，使学生由最初的直觉和感知上升到理性的认知，并贯穿于整个数学学习过程中。这种渗透，是随着知识的增加，年级的上升逐步深化的。同时也融合了综合的能力。这方面，数学中的化归思想就是典型。从学习勾股定理开始，到圆中各有关知识，很多计算问题都离不开直角三角形的勾股定理，但很多题型不会直接给出直角三角形，而是需将图形转化在直角三角形中去解决。那么该连接的要连接、该作垂直的作垂直，用适当的辅助线，构造直角三角形，再运用勾股定理解决问题。因此教师在课堂上讲解有关问题时，从七年级到九年级，都要渗透化归思想。这里的化归思想还有很多，如化分式方程为整式方程、化多元方程为二元方程、将四边形问题化为三角形等等。教师在平时逐步渗透，学生日积月累，就能在解决问题时，水到渠成，难度相对就小了。如我在教学“从勾股定理到勾股定理逆定理”时，通过“问题—猜想—验证—归纳”的教学方法，学生在合作探究活动中，经历了从迷惑不解到茅塞顿开、从具体到抽象、从个别到一般的数学学习过程中，学会了数学问题探索的简单方法，逐步领悟了数学基本思想，体验了思想放飞的喜悦。 三、返璞归真凸显数学思想 我在教学“销售问题”时，试图给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，我们不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，再来解决复杂问题。数学课堂上这样的问题解决活动，不仅凸显了数学建模的思想，而且使学生在探索活动中领悟到数学思想在文体解决中的重要作用。 方程贯穿于整个数学而且渗透到其他各学科之中，它的作用不可估量，抓住了方程的本质，就抓住问题的关键所在，解决问题就不在话下。所以教师在强调方程思想的重要性时，还要突出它的巨大作用。并且潜移默化方程中的未知量就是变量，与函数思想相联系，突出两个变量，这样数学就与实际生活结合，验证了数学来源于生活又高于生活并运用于生活的真理。教师之所以要对这些数学思想进行强调和突出，其目的在于最大限度发挥它们的功能，帮助学生针对不同的问题，用对应的数学思想和方法去解决。实质上就达到了要求学生灵活解决问题的能力。 四、在归纳总结中提炼数学思想 在课堂归纳总结中，我们不仅仅要关注学生的基础知识、基本技能，还应引导学生积极反思在数学活动中解决问题的数学思想，引导学生掌握科学的解决问题的方法。数学基本思想是把数学知识转化为能力的一座桥梁。作为一名中学教师，我们要将数学基本思想根植于数学课堂教学之中，深刻钻研，同时还要采取各种有效策略，使学生领悟和掌握数学思想。数学思想的培养，最终的目标就是培养学生有敏锐的观察能力、敏捷的数学思维，以及综合解决问题的能力。所以，在渗透强调数学思想的同时，还要注意数学方法的培养。 数学方法是形成学生良好认知的桥梁和纽带，是将知识转化为能力的工具。数学思想不是孤立的，它与数学方法是紧密联系相辅相成的，思想指导方法、方法实现思想。 参考文献 [1]《中学生数理化》.2014年第2期。 [2]《更高更妙的数学思想与方法》.浙江大学出版社。
小学数学的八大思维方法
小学数学八大思维方法 目录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法
一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果， 解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉
序是一致的。 如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法： ①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少 列式计算为： 由此，可得出下列算式： 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。
二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？ 这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题中只有20本这唯一具体的
初中学生数学思维能力的培养
初中学生数学思维能力的培养 发表时间：2012-10-18T11:22:57.403Z 来源：《少年智力开发报（数学专页）》2012-2013学年第一期作者：黄华梅 [导读] 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。 黄华梅湖北省荆门市象山中学 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。本人通过十多年的教学经验，谈谈初中学生数学思维培养的几点看法。 一、要善于调动学生内在的思维能力 培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。新教材中安排的“想一想”、“读一读”不仅能扩大知识面，还能提高同学的学习兴趣，是比较受欢迎的题材。适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一些准备工作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未知之间的内在联系。通过画草图列表，配以一定数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。并在此基础进行提高，指出同一题目由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分同学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极的分析思维。 二、要教会学生思维的方法 孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。 要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。 在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由教师讲出自己的寻找过程。 在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算公式。在解（证）题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用。 初中数学研究对象大致可分为两类，一类是研究数量关系的，另一类是研究空间形式的，即“代数”、“几何”。要使同学们熟练地掌握一些重要的数学方法，主要有配方法、换之法、待定系数法、综合法、分析法及反证法等。 三、要培养学生良好的思维品质 在学生初步学会如何思维和掌握一定的思维方法后，应加强思维能力的训练及思维品质的培养。 要注意培养思维的条理性与敏捷性。根据解题目标，确定解题方向。要训练学生思维清晰，条理清楚，遇到问题能按一定顺序去分析、思考，对复杂问题应训练学生善于于局部到整体再从整体到局部的思维方法。学生在思维过程中，要能迅速发现问题和解决问题。 要注意培养思维的严密性和灵活性。每个公式，法则、定理都有它的来龙去脉，都有使它成立的前提条件，都有它特定的使用范围，要做到言必有据。选择一些习题让学生先做，再针对学生思维中的漏洞进行教学分析。例：Ｋ是什么数时，方程ＫＸ2－（2Ｋ＋1）Ｘ＋Ｋ＝0有两个不相等的实数根？很多同学只注意由△＝［－（2Ｋ＋1）］2－4Ｋ·Ｋ＝4Ｋ2＋4Ｋ＋1－4Ｋ2＝4Ｋ＋1＞0，推得Ｋ＞－14。而如果把Ｋ＞－14作为本题答案那就错了，因为当Ｋ＝0时，原方程不是二次方程，所以在Ｋ＞－14还得把Ｋ＝0这个值排除。正确的答案应是－14＜Ｋ＜0或Ｋ＞0时，原方程有两个不相等的实数根。 在复习时要精选一些有代表性、巩固性和灵活性的习题，从各种不同角度，寻求不同的解（证）法，进行“一题多解”的训练，还可改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练。这是综合运用数学知识和方法提高解题能力的重要措施。培养学生思维能力的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最根本的一条，就是要调动学生学习数学的积极性，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，使学生变学为思。 当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。
初中数学的逆向思维培养和提高解题效率
逆向思维在数学解题中的应用 （成都市武侯高级中学 610043） 张信联 思维就是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维，中学数学课本中的逆向思维，中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使 问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。 1.定义的逆用 在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。 例1 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5，求x 的取值范围。 分析：原式=|1-x|-|x-4| 根据题意，要化成：x-1-（4-x ）=2x-5 从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是： 1-x ≤0，且x-4≤0 ∴x 的取值范围是：1≤x ≤4 例2、a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0，且1-ab 02 ≠。则199322)1(a b ab ++的值是______. 分析：常见的方法是先解出a ，b 的值，然后再代入199322)1(a b ab ++中求解，这样将十分麻烦，但如果我们逆用方程根的定义，把199322)1(a b ab ++化成199322 )1(a a b b ++，把a 1,2b 看成是一个方程的两个根，这样可以使此题的运算量减少，解答非常简捷。 解：∵a 2+2a-1=0，∴a 0≠.011·2)1(2=--a a 又∵012)(22=-- b b 而1-ab 02≠.即21b a ≠ ∴2,1b a 是方程0122=--x x 的两个实数根。 ∴1·1,2122-==+b a b a ∴199322)1(a b ab ++=199322)1(a a b b ++=(2-1)1993=1
初二数学思维训练
八年级下思维训练一（2019、3、8） 班级姓名 1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论： ①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为； ③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+． 其中正确结论的序号是（） A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④ 2．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是． 3．在?ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG． ①求证：BE＝BF． ②请判断△AGC的形状，并说明理由； （2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
4．提出问题： 如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？ 猜想结论： 经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等． 证明猜想： （1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG＝S△ABC． 结论应用： （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．
成功者的12个逆向思维法
成功者的12个逆向思维法 人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力所在。 原谅他人，其实是升华自己。 曼德拉曾被关压27年，受尽虐待。他就任总统时，邀请了三名曾虐待过他的看守到场。当曼德拉起身恭敬地向看守致敬时，在场所有人乃至整个世界都静了下来。他说：当我走出囚室，迈过通往自由的监狱大门时，我已经清楚，自己若不能把悲痛与怨恨留在身后，那么我仍在狱中。 成功除了勤奋、创新，还有另一个朋友——危机感。 14岁的李嘉诚开始"行街仔"的推销生涯，从此渐入佳境，直至连续15年蝉联华人首富宝座。他这样工作：不论几点睡觉，一定在清晨5点59分闹铃响后起床。随后，他听新闻，打一个半小时高尔夫。他认为重点是打每一球时都保持冷静，有规划。一定在每天六点下班，回家
后，除了拨打越洋电话，还有两件必修功课：跟着有字幕的英语节目大声朗读，以及夜晚的阅读。这两个工作都意味着一点：他最大的恐惧在于错过见证世界的变化。 当前后左右都没有路时，命运一定是鼓励你向上飞了。 事业初创期，被女友劈腿；成立公司遭遇失败，刘德华被封"烂片之王"；即使这样，他从不放弃对事业的追求，就像一架永不停歇的发动机，今天的刘德华似乎已经成为了一面迎风不倒的精神旗帜。被所有的媒体神化的一个艺人，都说他勤奋、他努力、他不会干坏事、他可以不吃、不眠、不喝，光是呼吸就可以活到五十二岁。 抓住人性的弱点，无事不成。 有个老人爱清静，可附近常有小孩玩，吵得他要命，于是他把小孩召集过来，说：我这很冷清，谢谢你们让这更热闹，说完每人发三颗糖。孩子们很开心，天天来玩。几天后，每人只给2颗，再后来给1颗，最后就不给了。孩子们生气说：以后再也不来这给你热闹了。老人清静了。 为客户节省时间，钱才能进来快些。
浅谈初中数学思维能力的培养
浅谈初中数学思维能力的培养 ——从提问和解题培养学生的数学思维 数学教学的一个重要目标是教学生会思维，会数学思维。思维是人的理性认识过程。数学思维是指关于数学对象的理性认识过程，准确地说是应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。 培养学生的思维能力必须要在具体的实际教学过程中实现。它体现在教学过程中的各个环节，需要教师精心备课、设计教案。下面就课堂教学中的提问与解题两个方面浅谈数学思维能力的培养。 一、从提问培养数学思维 提问是用疑问的形式提出问题，明知故问，以引起学生的思维，促进学生积极思考，提问要有逻辑性、启发性与诱导性。充分调动学生的学习积极性，使他们独立思考，深入钻研，透彻地理解知识，达到融会贯通，举一反三、触类旁通的目的。提问要从学生的认识规律出发，要找到新旧知识的“接触点”与“结合部”，新旧知识的联系增强启发性，它是促进数学思维的前提，而新旧知识的矛盾，也增强启发性，它是促进数学思维理解的核心。 例如：为了将x4＋6x2＋8，（a＋b）2－4(a＋b）＋3和x2－3xy ＋2y2分解因式，可设计如下提问：（1）y2＋6y＋8与x4＋6x2＋8的
因式分解有什么联系？又有什么区别？（2）y2＋6y＋8是y的二次三项式，x4＋6x2＋8是谁的二次三项式？其二次项系数，一次项系数与常数项分别是什么？（3）若将x2－3xy＋2y2分解因式，它是谁的二次三项式，是否有两种看问题的方法？指出每种看法的二次项系数，一次项系数及常数项。 二、从解题培养数学思维 学生思维能力的差异最终体现在解题的速度、技巧，综合分析问题的能力上。因此解题是培养数学思维能力的重要途径。下面举例说明： 1、综合分析，进行整体思考。 对问题要从全局整体着眼处理，观察分析数学材料的整体结构，理解和认识问题的实质，概括出数学关系，进而确定解题策略，培养整体思维能力。 例如：已知一次函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）（A）y＝1/2x－3 （B）y＝1/2x＋3 （C）y＝－1/2x－3 （D）y＝－1/2x＋3 析解：本题一般思路是由直线经过点（0，3）和（6，0）两点，将坐标代入直线y＝kx＋b，解方程组得k＝－1/2，b＝3，得解析式y＝－1，若从整体上分析，用图象的性质，直线过二、四象限可判
七年级数学思维训练
第25届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第1试 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1．100 9998976543211009998976543212 222222222++++++++++-+-++-+-+- =（ ） (A)?5050 (B) ?1 (C)1. (D)5050 2.在下列图形中,恰有三条对称轴的是( ) (A)平行四边形 (B)圆 (C)等边三角形 (D)正方形 3.若a+b+c=0,则|a|+|b|+|cl+|ab|+|ac|+|bc|+|abc|的值为( (A) ?7 (B) ?1 (C)1 (D)7 4.已知a,b,c,d 都是有理数,则下列说法中正确的是( ) (A)若a>b>c,则ab>bc (B)若a
如何培养数学思维
转眼间大家都已升入初三，而且升入初三的第一次月考刚刚结束，相信大家还沉浸在考试成功的喜悦与考试失利的悲伤中，不管你考的好与坏，我觉得那都不重要了，重要的是你要通过这次月考发现自己在哪些方面还存在问题，还有不到一个月的时间初三第一次大考——期中考试就要到了，一定要改掉上次的不足，争取期中考试的好成绩。 期中考试是我们进入初三后第一次重大考试，它的成败会直接影响到大家的学习情绪，考好了，信心大增。考的不满意，肯定会情绪比较低落，信心受到影响。有的学校在签约上还会参考这次期中考试成绩，所以它的重要性，我就不再多说了，希望大家积极备战。 我现在对如何备战初三数学期中考试谈一下我的看法，希望能对同学们有所帮助。 首先同学们要赶快走出上次月考成功的喜悦与失败的阴影，初三考的不仅仅是你的学习，而且需要过硬的心态，不能被一时的成功冲昏头脑，更不能因一时的失败而丧失信心。 其次上课一定注意听讲，因为现在每个学校的进度都非常快，而知识点又非常难，相信很多同学都跟不上老师的进度，那上课一定注意听讲，把不会的知识点在课上记下来，课下一定要主动问老师。一定要注意老师上课讲的题是最精华，一定要弄懂。现在是初学不在乎你做多少题，关键在于你会多少题。一定要准备错题本，反复看，只要你能保证再出现以前错过的题不再出错，那我相信你的成绩会非常理想的。 初中的题目有一点非常好，题型有很多相同性，等到你以后做题做多了，你会慢慢发现。所以我还可以教大家一招，当你看到非常容易出现的题型的时候，如果你实在不能理解，那我希望你暂时能背下来，第一可以保证此次期中考试的成绩，同时你会随着时间的推移慢慢理解它。 还有就是尽可能找一下学校去年的试卷自己检测一下自己，看看自己还有那些问题。 因为我们知道期中考试的难点有二次函数，所以最后把二次函数当中经常考的题型和大家分享一下： 二次函数： 1.求二次函数解析式。 (1)当出现任意三个点坐标的时候，直接带入求出解析式。 (2)当出现(X1,0)，(X2,0)的时候，用双根式求解析式。 (3)当出现(h，k)时，就用顶点式求解析式。 2.根据函数图象判断正负(a，b，c，a+b+c，a-b+c，2a+b) a看开口方向(a>0开口向上，a<0开口向下)，b看对称轴(左同右异，a和b共同决定对称轴)，c看与y轴交点(c>0交y轴正半轴，=0过原点，<0交负半轴)，a+b+c看当x=1
初中数学教学中学生的逆向思维能力
初中数学教学中学生的逆向思维能力 摘要：在教育的范畴中，逆向思维是作为一种富有创造力的思维模式。对于初 中阶段的数学科目来说，为了更好的将其本身抽象学科的特点发挥出来，需要在 教育时对学生进行逆向思维的培养。本文笔者主要对数学科目中对逆向思维的应 用进行分析探究，在具体分析数学概念、定力以及公式的逆向思维应用基础上， 对其科目本身的逆向思维的应用技巧进行探讨，并且适当的结合反证以及分析， 将学生逆向思维能力的培养问题进行探讨。 关键词：逆向思维；初中数学；培养 一、前言 在初中数学科目的学习中，有许多知识点需要用到逆向思维，比如乘方、加 减以及开方等，在针对数学问题的过程中，将正向思维以及逆向思维进行应用， 是学习过程中必然要用到的两种思维模式。对于初中阶段的学生来说，对于数学 问题的解决，如果单一的只从正向思维出发，会有很大的局限性，因此，为了促 进初中阶段数学科目更好的学习，将其学生思维打开，需要将逆向思维加入到学 生的训练当中，以此来对学生的思维定势进行打破。作为教师，要将其作为重任，并且不断地鼓励学生进行思考，培养学生灵活的思维，提高学生的学习兴趣。 二、逆向思维培养的问题 （一）定势思维的影响 由于人们在固定模式中进行生活和学习，以往的思维形成了一定的固定模式 和习惯，当人们面对一个问题时，优先选择的是用定势思维去进行思考，而不会 首先去选择另外一个角度和方向去对问题进行分析。在数学科目的学习过程中， 学生经过一定阶段的学习之后，对于数学的概念以及解题方式有了固定的思维模式，会出现很多学生在解题的时候，只会很机械地对例题进行照搬，思维的方向 较为单一，也不会往不同的方向去引发思考，对于解题方法不会灵活的应用，久 而久之，就会在定势思维的影响下，在面对数学题的时候，之后用固定的思维模 式去进行分析，缺少一定的灵活性和变通性。 （二）传统教学观念的影响 随着应试教育的出现，在面对数学科目的学习时，学校教育会直接以考试需 要选择的范围和解题思路来进行教学，特别是在传统教学观念的影响下，老师会 引导学生只针对概念公式进行记忆，做题的时候直接用来套公式，应付考试，整 个流程下来，学生自然形成了一种固定的思维模式，面对难题时不会学着去变通，更不会去换个角度思考问题，在逆向思维的培养方面就完全缺失，得不到真正的 锻炼和培养。在这样的一种教育模式下，只会对学生的基础知识以及能力进行培养，并不能拓宽学生的思维，所以，在学生面对变化较大的难题时，往往会束手 无策，找不到正确的思路和方法去解决。 三、数学教学中对学生逆向思维能力的培养策略 （一）加强学生对于数学概念的逆向运用 在数学科目的学习过程中，概念的理解问题一向成为了学生的一道难题，对 于教师来讲，教学的初期如果只注重对概念进行传授，就会使学生成为一个单一 思考的载体，在针对问题的时候，受到思维定势的影响较大。因此，作为数学教师，对于数学概念的教学过程中，需要将正反思维进行灌输，将学生的思维方式 的选择项放大延伸，引导学生利用两种思维去理解数学概念，并且在实际的概念 解决问题上进行运用，将其思维进行锻炼培养，以此来促进学生对数学概念方面
初二数学思维训练
数学思维训练1 【知识精读】 1. 几何证明和计算是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【实战演练】 1、如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ） A ．125 B ．65 C ．245 D ．不确定 第1题图 3题图 2、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂 线交ED 于点P ．若1AE AP ==， 5PB =．下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2； ③EB ED ⊥；④16APD APB S S ??+=+；⑤46ABCD S =+正方形． 其中正确结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 3、如图，正方形ABCD 的边长是2，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和 AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值为 ． 4、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点， ∠BEG>60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 初二校本课程 2题图 A P E D C B B A G C D H E (第4题图)
【正文】逆向思维在数学中的运用
【正文】逆向思维在数学中的运用
逆向思维在数学中的运用 【摘要】新课程标准指出，数学教学不应该只让学生获得数学知识和技能，更重要的是启发学生的思维，培养学生分析问题，解决问题的能力，促进学生的全面发展。在数学课堂上培养学生的运算能力，能有效地为将来学生数学学习奠定了良好的思维能力基础等，这也成为了数学教师的重要任务。本文主要分析了影响数学教学中的逆向思维的因素，并提出了对学生的数学思维策略的培养。 关键词：数学；教学改革；思维；方法 一、逆向思维概述 逆向思维属于发散思维的范畴，是对学习工作生活中似乎已成定论的观点进行反方向思考的一种不唯书、不唯师、不唯权、只唯实的创造性求异思维，被称为思维学上的革命。当我们面对新的东西，新的问题时，应该从事物的不同角度，学会学习新事物，解决新问题。逆向思维是普遍的，新颖的，和关键性的。它不主张在思考不受限制地胡思乱想，但是在思维活动中训练关注小概率可能性的思维。逆向思维有助于克服思维的局限性，它是发现问题，分析问题和解决问题的重要手段。 二、影响数学学生逆向思维能力的因素 （一）学生自身因素 生物遗传因素。研究表明，同卵双胞胎即使有相同的DNA，但是由于环境的不同，而在爱好兴趣，学习成绩和智力依然存在差异，有时甚至差别很大。也就是说生物遗传因素仅为它的发展提供了前提，而不是逆向思维能力的发展的决定因素。生物遗传因素并不对个人的知识，能力，态度，道德品质产生影响，如果没有后天的社会生活和教育，生物基因不可能让人类发展的可能性也成为现实。因此，人类思维能力的发展，不能否认的生物遗传因素的影响，但也不能随意夸大它的作用。 人格特征因素的影响。研究发现，思维能力好的人有一个共同的性格特点：（1）对职业生涯有浓厚的兴趣；（2）总是固执地继续探索一些简单的事实；（3）
如何培养初中学生的数学思维能力
如何培养初中学生的数学思维能力 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。本文谈谈初中学生数学思维的培养的几点尝试。 一、要善于调动学生内在的思维能力 培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。新教材中安排的“想一想”、“读一读”不仅能扩大知识面，还能提高同学的学习兴趣，是比较受欢迎的题材。适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一些准备工作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未 知之间的内在联系。通过画草图列表，配以一定数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。并在此基础进行提高，指出同一题目由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分
同学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极的分析思维。 鼓励学生独立思维。初中生受经验思维的影响，思维容易雷同，缺乏探索精神。因而要多鼓励学生敢于发表不同的见解。例如比较大小，大部分同学都根据以往经验，利用通分，化为同分母进行比较，因而使计算量大，但也有一些聪明的学生已看出问题。对这种同学应该赞扬与肯定，促进学生思维的广阔性。 二、要教会学生思维的方法 孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。 在例题课中要把解(证)题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由教师讲出自己的寻找过程。 在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算公式。在解(证)题过程中尽量要学会