晶格振动与晶体的热学性质-习题【范本模板】
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1.什么是简谐近似？
解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动.这个近似即称为简谐近似。
2。试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。
解：由一维单原子链的色散关系2
sin
2qa
m
β
ω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为
2
2sin
qa qa
m
a
q
v p β
ω
== (1)
2
cos qa
m a dq d v g βω==
. 由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当0→q 时，m
a
v p β
=为一常数。这是因为当波长很长时,一个波长范围含有若干个原子，
相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。
由（2）式及结合上图3。1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当0→q ，
m
a
v v p g β
==,体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上,即a
q π
=
时,0=g v ,而
m
a v p β
π2=
，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播,实际上它是
一种驻波。
3.周期性边界条件的物理含义是什么?引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样?
解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2,3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值. 如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
4.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？
解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子,服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为
1
1)()
/()(-=
T k q w j B j e
q n
对于一给定的晶体,它所对应的声子种类和数目不是固定不变的,而是在一定的条件下发生变化。
5。试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子;“声子气体"与真实理想气体有何相同之处和不同之处？
解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时,总能量守恒,但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体"与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒,但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。 6。晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设?各取得了什么成就？各有什么局限性?为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？
解：我们知道晶体比热容的一般公式为
2
)/()/(20
)1()()()(-=∂∂=⎰T k T k B B V V B B m
e d e T k k T E c ωωω
ω
ωρω 由上式可以看出,在用量子理论求晶体比热容时,问题的关键在于如何求角频率的分布函数)(ωρ。但是对于具体的晶体来讲,)(ωρ的计算非常复杂.为此,在爱因斯坦模型中，假设
晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出)(ωρ的表达式。
爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容V c 亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容V c 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以3
T 趋近于零的结果.德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度3
T 成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度D Θ应视为恒定值，适用于全部温度区间,但实际上在不同温度下，德拜温度D Θ是不同的. 在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发,而只有长声学波被激发,对比热容产生影响。而对于长声学波,晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实,所以能得出精确结果。
7.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U 过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗?
解:声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式
n G q q q +=+321
其中上式中的n G 表示一倒格子矢量。
对于0=n G 的情况，即有321q q q =+,在碰撞过程中声子的动量没有发生变化,这种情况称为正规过程，或N 过程，N 过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的.对于0≠n G 的情况，称为翻转过程或U 过程，其物理图像可由下图3。2
在上图3.2中，21q q +是向“右”的，碰撞后3q 是向“左”的，从而破坏了热流的方
向，所以U 过程对热阻是有贡献的。U 过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系.
8.简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？
解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高,但原子间的距离的平均值不会增大,因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。
势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用. 9。已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为
2
12
2)
(2)(-
-=
ωωπ
ωρm
N
。
式中m ω是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N 。
解：由题意可知该晶格的振动模总数为
⎰
⎰-
-=
=
m
m
d N d N m
ωωωπ
ωωωωρ0
2
12
20
)
(2)(
N N N
m
m
=-=
=)02
(2arcsin 20
π
πωωπω 10.若格波的色散关系为2
cq =ω和20cq -=ωω，试导出它们的状态密度表达式.
解：根据状态密度的定义式可知
ω
ωρω∆∆=→∆n
0lim
)( (1)
其中n ∆表示在ωωω∆+→间隔内晶格振动模式的数目.
如果在q 空间中，根据const =)(q ω作出等频率面,那么在等频率面ω和ωω∆+之间的振动模式的数目就是n ∆。由于晶格振动模在q 空间分布是均匀的，密度为3
)2/(πV （V 为晶体体积)，因此有
的等频率面间的体积）
＋和（频率为ωωωπ∆⨯=
∆3
)2(V
n ⎰∆+=
ω
ωω
πdSdq V 3
)2( ……………………（2） 将（2）式代入(1）式可得到状态密度的一般表达式为
⎰
∇=
)
()2()(3
q dS
V q ωπωρ (3)
（3）式中)(q q ω∇表示沿法线方向频率的改变率。 当2
cq =ω时，将之代入（3)式可得
2/12/322
331)2(421)2()(1)2()(ωπππωπωρc
V q cq V dS q V q ⋅=⋅=∇⋅=
⎰ 当20cq -=ωω，将之代入（3)式可得
2/102/32233)(1)2(421)2()(1)2()(ωωπππωπωρ-⋅=⋅=∇⋅=
⎰c
V q cq V dS q V q 11。试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色散关系。当1210ββ=时，求在0=q 和a
q π
=
处的)(q ω，并粗略画出色散关系。
解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图
x 2n-2 x 2n+1 x 2n x 2n+1 x 2n+2 x 2n+3
图3。3
在最近邻近似和简谐近似下，第2n 和第（2n+1）个原子的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)()()()(2122122212122
122121222
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（1） 当1210ββ=时，上述方程组（1）可变为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)(10)()()(102121122212122
122121212
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（2） 为求格波解，令
⎪⎩⎪⎨⎧==-++-]
2)12[(12]2
)2[(2t qa
n i n t qa
n i n Be
x
Ae
x ωω ……………（3） 将(3）式代入（2）式，可导出线性方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=+----0
)11()10(0)10()11(212/2/12/2/12
1B m A e e m
B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ ……………(4） 令
2
01
ωβ=m
，从A ,B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)10)(10()11(2/2/2/2/4
02220=++----iqa iqa iqa iqa e e e e ωωω (5)
由(5）式可解出)101cos 2011(202+±=qa ωω
当0=q 时，1cos =qa ,022ωω=+，0=-ω
当
q π
=
时，1cos -=qa ，20ω,2ω
12。如有一维布喇菲格子，第n 2个原子与第12+n 个原子之间的力常数为β；而第n 2个原子与第12-n 个原子的力常数为'β. （1） 写出这个格子振动的动力学方程； （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3） 求0=q 时，声学波和光学波的频率； （4） 求a
q 2π
±
=(a 为晶格常数)时,声学波和光学波的频率。
解：(1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第n 2和第12+n 个原子的动力学方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)()(')(')(21212222122
1222122
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ (1)
（2）为求出方程组(1)的格波解，可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be
x Ae x ωω ……………（2） 于是将（2）式代入（1）式,可导出线性方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=-+++-=+--+--0
)'()'(0)'()'(22
B m A e m e m
B e m e m A m iqa iqa iqa iqa ωββββββωββ ……………（3） 令20'ωββ=+m ，21ωβ=m ，2
2'ωβ=m
从A 、B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)2cos 2()(2
22142412220=++--qa ωωωωωω (4)
由(4）式可解出
qa 2cos 22
2214241202ωωωωωω++±= (5)
由此可知，ω的取值也有+ω和-ω之分，即存在声学波和光学波 （3）由（5）式可知 当0=q 时,12cos =qa ,有 声学波频率)(222120ωωωω+-=
-，光学波频率)(222120ωωωω++=+
（4)同样由（5）式可知 当a
q 2π
±
=时，12cos -=qa ，有
声学波频率22
2120ωωωω--=
-，光学波频率2
22120ωωωω-+=+ 13.在一维双原子链中，如1/>>m M ，
(1）求证:
qa M
sin 21β
ω=
； 21
22)cos 1(2qa M
m
m +=
βω。 (2）画出ω与q 的关系图（设10/=m M ）。
解:（1）在一维双原子链中，其第n 2个原子与第12+n 个原子的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=++++-)2()2(122222122
212122
22n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ (1)
为解方程组（1）可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be
x Ae x ωω …………………（2） 将(2）式代入（1）式可得出
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--0
)2()cos 2(0)cos 2()2(22
B M A qa M
B qa m A m ωβββωβ …………………（3） 从A 、B 有非零解,方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发,可得
0sin 4)(
2224
=⋅++-qa m
M m M ββωββω 可解出得
qa m M m
M
m
M
222sin 4
)(
)(
β
ββ
β
β
β
ω⋅
-+
±+
= (4)
当（4)式中取“－”号时，有 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+--+=
2
122
2
1
)sin )(41(1)(qa m M Mm m M
m M βω ……………（5） ∵1/>>m M ,∴（5)式中有
m Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
+)
(,
1sin 4sin 4sin )(4222
22<<=≈+qa M m qa M
Mm qa m M Mm 那么(5）式可简化为
qa M qa M m m qa M m m 222
1
221sin 2)sin 4211(1)sin 41(1βββω=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--≈
∴qa M
sin 21β
ω=
当(4）式中取“＋"号时，有
2
12
2
22cos )(41)()
(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+-+
+=
qa m M Mm Mm
m M Mm
m M ββω ……………（6） ∵1/>>m M ,∴（6）式中有
m
Mm
M
Mm
m M βββ=
≈
+)
(,
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
-)
(
1cos 4cos 4cos )(422
2
22<<=≈-qa M m qa M
Mm qa m M Mm 那么（6）式可简化为
)cos 1(2)cos 4211()cos 41(2221
222
qa M
m
m qa M m m m qa M m m m +=⋅++≈++≈ββββ
βω
∴21
22)cos 1(2qa M
m
m +=
βω
(2) 相应的声子能量是多少eV ？
(3) 这3种声子在300K 时各有多少个？
(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段?
解：(1）由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：
μ
β
ω2max =
+
上式中g M m m M m mM 2424
1068.61
4/11067.151/--⨯=+⨯⨯=+=+=
μ为约化质量
m
βω2min =
+ 所以有：
Hz 13
3
24max 1012.210
1068.65.12⨯=⨯⨯⨯=--+ω Hz 13
3
24min 1090.110
1067.155.12⨯=⨯⨯⨯⨯=
--+ω 而声学波频率的最大值的计算公式为：
m m
M M
⋅==
-β
β
ω22max
所以有：
Hz 123
24max 1050.910
1067.1545
.12⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
---ω （2）相应的声子能量为:
eV J 2211334max max 1040.110236.21012.214.3210625.6---++⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
eV J 2211334min min 1025.110004.21090.114.3210625.6---++⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
eV J 2211234max
max 10625.010002.11050.914
.3210625.6-----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
(3）由于声子属于玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计，则有
140.11
1
1
1)
3001038.1/(10236.2)/(max 2321max ≈=-=
-=
⨯⨯⨯+--+e
e n T k B ω
261.11
1
1
1)
3001038.1/(10004.2)
/(min 2321min ≈=-=
-=
⨯⨯⨯+--+e
e
n T k B ω
465.31
1
1
1)
3001038.1/(10002.1)/(max 2321max ≈=-=
-=
⨯⨯⨯----e
e n T k B ω
(4)如用电磁波来激发光频振动,则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：
m c
513
8max
1088.810
12.210998.214.322-+⨯=⨯⨯⨯⨯==
ωπλ
15.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界a
q 2π
±
=处，声学支格波中所有
轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止.画出这时原子振动的图像。
解：设第n 2个原子为轻原子,其质量为m ，第12+n 个原子为重原子,其质量为M ，则它们的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=++++-)2()2(122222122
212122
22n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ …………………（1） 为解方程组（1）可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be
x Ae x ωω …………………（2） 将（2)式代入（1）式可得出
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--0
)2()cos 2(0)cos 2()2(22
B M A qa M
B qa m A m ωβββωβ …………………（3） 从A 、B 有非零解，方程组(3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
0sin 4)(
2224
=⋅++-qa m
M m M ββωββω 可解出得
qa m M m
M
m
M
222
sin 4
)(
)(
β
ββ
β
β
β
ω⋅
-+
±+
=± (4)
令a
q 2π
±
=,则可求得声学支格波频率为M βω2=
-,光学支格波频率为m
β
ω2=+ 由方程组（3）可知，在声学支中,轻原子m 与重原子M 的振幅之比为
0/2/2/cos 2=-=M
m m
qa B A βββ 由此可知，声学支格波中所有轻原子m 静止。
而在光学支中，重原子M 与轻原子m 的振幅之比为
0/2/2/cos 2=-=m
M M qa A B βββ 由此可知,光学支格波中所有重原子M 静止。 此时原子振动的图像如下图3.6所示：
的频率在a
q 2π
±
=处相等，都等于
M
β2。 而在一维单原子链中，其色散关系为2
sin 422
qa M βω=
，由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即a
q π
±=处，其格波频率为M
β
ω2
=,是双原子链的格波在布里渊
边界的频率值的2倍.
17。设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为
239)(ωωωρm
N
=
。
式中m ω为格波的截止频率。
解：在德拜模型中,假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
q v p =ω ……………………
（1） 那么格波的状态密度为
23
41
)2()(q dq
d V πω
πωρ⋅⋅=
32
2
2p
v V ωπ⋅= ……………………(2） 又根据 ⎰=m
N d ωωωρ0
3)( (3)
将（2)式代入（3）式得
⎰=⋅m
N d v V p ωωωπ
032
2
32 ……………………（4） 由（4）式可得 N
V v m
p
2
3318πω= ……………………（5) 把(5）式代入（2）式即可得
239)(ωωωρm
N
=
18.设晶体中每个振子的零点振动能是ω 2
1
，试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零点振动能。设原子总数为N ，一维晶格长度为L ，二维晶格的面积为S ，三维晶格的体积为V 。
解:(1）一维晶体的总零点振动能为：
)()()()21
)((0j N
q j j N
q j q q n q q n E j
j ωω ⋅-+=∑∑
∑∑==--+-=
N j T k j j N
j T k B j B j
e
e 1)
/(1
)
/(1)21
11
(ωω
ωω
设ωωρd )(表示角频率在ωωωd +→之间的格波数,而且
N d m
=⎰
ωωωρ0
)( (1)
上式中:m ω是最大的角频率；N 为晶体中的原子数。则上述的总零点能可以写成：
ωωρω
ωωωρωωωωd e d e E m B m
B T k T k )(1)()2
111
(
0)/(0
)/((0⎰⎰--+-=
ωωωρωd m )(2
10 ⎰= ………………………………………（2) 考虑到一维晶体中，其状态密度为：
ω
ωωρd dq
dq dZ d dZ ⋅
==
)( ………………………………………（3） 由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于弹性波,一个波矢对应一个状态，则有： π
πqL
L q q Z x =
=
∆=/22/2q 故
π
L
dq dZ = ………………………………………(4） 对于弹性波，q v P =ω，则
P v dq
d =ω
………………………………………(5） 将（4）和(5)式代入(2）式，得： P
v L
πωρ=
)( ………………………………………(6） 将（6）式代入(1）式，可得：L
Nv P
m πω=
将（6）式代入(2）式，可得一维晶体的总零点振动能: L
v N d v L
E P P L
Nv P
42120
0 πωπωπ=
=
⎰
(2）对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是
对于（1）式要改为：
N d m
2)(0
=⎰
ωωωρ (7)
而对于二维晶体,其状态密度函数为: 2
)(P
v S πω
ωρ=
(8)
将(8)式代入(7)式可得:2
124⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=S
Nv
P
m πω 将(8）式代入（2)式可得二维晶体的总零点振动能为：
2
3240
04622121
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛S N Sv d v S E P P S Nv P
ππωπω
ωπ (3） 对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相似，
只是对于（1)式要改为:
N d m
3)(0
=⎰
ωωωρ (9)
而对于三维晶体，其状态密度函数为：
3
22
23)(P
v V πωωρ= ………………………………………(10） 将(10)式代入(9）式可得:3
1326⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=V v N P
m πω
将(10)式代入(2)式可得三维晶体的总零点振动能为：
3
42
2
322
60
0616322131
32⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⋅=
⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛V N Vv d v V E P P V v N P
π
πωπω
ωπ 19。应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。
解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
q v p =ω (1)
（1)在一维情况下,晶格振动的状态密度为 p v L dq
d L πωπωρ=⋅⋅=
212)( ……………………（2） 上式中，L 表示一维晶格的总长度。
又由关系式
⎰=m
N d ωωωρ0
)( (3)
将式（3)代入式(2)可得
⎰=m
N d v L
p
ωωπ0
，由此求得L Nv p m πω= 于是德拜温度L
k Nv k B p
B m D πω=
=Θ 晶体的比热容为
ωπωωωωd v L
e e T k k c p
T k T k B B V B B m
⋅-=⎰
2
)/()/(20
)1()(
⎰
-=
)
/(0
2
22)
1(T k x x
p
B B m dx e e x v TL k ωπ （其中T k x B ω =） （2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中,假设纵波和横波的波速相等,都等于p v ，即纵波和横波都有如下的色散关系
q v p =ω
先考率纵波，其状态密度为
22
1221)2()(p v S q dq
d S πω
πωπωρ=⋅⋅
=
类似地可以写出横波的状态密度为222)(p
v S πω
ωρ= 加起来总的状态密度为
2
21)()()(p
v S πω
ωρωρωρ=
+= …………………(4） 又由关系式
⎰=m
N d ωωωρ0
2)( (5)
将（4）式代入（5）式得
⎰=m
N d v S p ωωπω
022,由此可得2
124⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=S
Nv P
m πω 于是得德拜温度为2
12
4⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
=ΘS
Nv
k k P
B B m D πω 而晶体的比热容为 ωπωωωωωd v S e e T k k c p
T k T k B B V B B m
22)/()/(20
)1()(⋅-=
⎰
⎰
-=
)
/(0
2
3222
3)1(T k x x p
B B m dx e e x v S
T k ωπ (其中T
k x B ω
=） 20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m 2,密度为3.5g/cm 3。试计算金刚石的德拜温度D Θ。
解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为
4
3
121069.110
5.3101⨯=⨯⨯==
ρK
v p m/s 而又金刚石的原子密度为29
233
30
10756.11002.610
12105.3⨯=⨯⨯⨯⨯==
-C
M N n ρ 个/m 3
由此可知金刚石的德拜温度为 3/12)6(πωn k v k B
p
B m D ==
Θ 3
/122923
434)14.310756.16(10
381.11069.110055.1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 2817=K
21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10—
10m ，由于非线性相互作用，一个沿［100］方向传播，波矢大小为10103.1⨯=q m
—1
的声子同另一个波矢大小相等当沿［110］
方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢.
解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢1b 、2b 和3b 互相垂直，长度为
10101014.310
214
.322⨯=⨯⨯=-a πm —1,第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体。
又因为
)102
23.110223.1(103.110101021j i i q q ⨯⨯+⨯⨯
+⨯=+ j i 10101092.01022.2⨯+⨯=
由此可知21q q +落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U 过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有
n G q q q +=+321 （其中n G 表示一倒格矢） 为使3q 落在第一布里渊区里，取i G 101014.3⨯=n ,则有
i j i G q q q 1010102131014.31092.01022.2⨯-⨯+⨯=-+=n j i 10
101092.01092.0⨯+⨯-=
其大小为10
10103103.11092.01092.0⨯=⨯+⨯-=j i q m —
1
22.设某离子晶体离子间的相互作用势能为
2024)(r
B r
e r u +
-
=πε。 式中B 为待定常数;r 为近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离
为3×10—
10m 。
解：由平衡条件
0)
(0
=r dr r du ，可得
02430
2
002
=-r B
r e πε 由此可得0028πεr e B = 于是可求得
3002228))((!210r e dr r u d C r πε==， 4
002334))((!310r e dr r u d g r πε=
-= 那么线膨胀系数为
2
002012431e
r k r C gk dT d r B B πεδα===
2
1910
2312)106.1(10310381.110854.814.312----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
5
104.5-⨯=K -1
晶格振动与晶体的热学性质-习题【范本模板】
第三章 晶格振动与晶体的热学性质 1.什么是简谐近似？ 解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动.这个近似即称为简谐近似。 2。试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。 解：由一维单原子链的色散关系2 sin 2qa m β ω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为 2 2sin qa qa m a q v p β ω == (1) 2 cos qa m a dq d v g βω== . 由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当0→q 时，m a v p β =为一常数。这是因为当波长很长时,一个波长范围含有若干个原子，
相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。 由（2）式及结合上图3。1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当0→q ， m a v v p g β ==,体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上,即a q π = 时,0=g v ,而 m a v p β π2= ，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播,实际上它是 一种驻波。 3.周期性边界条件的物理含义是什么?引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样? 解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2,3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值. 如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。 4.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子,服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为 1 1)() /()(-= T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体,它所对应的声子种类和数目不是固定不变的,而是在一定的条件下发生变化。 5。试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子;“声子气体"与真实理想气体有何相同之处和不同之处？ 解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时,总能量守恒,但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体"与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒,但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。 6。晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设?各取得了什么成就？各有什么局限性?为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？ 解：我们知道晶体比热容的一般公式为 2 )/()/(20 )1()()()(-=∂∂=⎰T k T k B B V V B B m e d e T k k T E c ωωω ω ωρω 由上式可以看出,在用量子理论求晶体比热容时,问题的关键在于如何求角频率的分布函数)(ωρ。但是对于具体的晶体来讲,)(ωρ的计算非常复杂.为此,在爱因斯坦模型中，假设
固体物理习题答案
第一章晶体的结构 习题解答 1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比. [解答]设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为,单位体积 晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为 ,晶胞的体积为 ,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为 . 因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为： =0.909。 2．解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？ [解答]晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。 3．与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？ [解答]正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面与倒格式 垂直,则倒格晶面与正格 矢正交。即晶列 与倒格面垂直。 4．高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？ [解答]对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式
2d h k l s inθ=nλ 可知,面间距d h k l 大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ面间距d h k l 小的晶面，对应一个 大的光的掠射角θ。θ越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。 5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，π /6；（2）体心立方，； （3）面心立方，；（4）六角密积，； （5）金刚石结构，。 [解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度 （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚球堆积，如图1 · 2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。因为a=2r，V=a3，晶胞内包含1个原子，所以 （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1·2所示，体心位置O的原子与处在8个角顶位置的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长为 ，晶胞内包含2个原子，所以
习题 研究生
固体物理练习题 其中带* 的为附加题 第1讲晶体结构 1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2利用钢球密堆模型，求致密度： （1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。 1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4画出正四面体的所有基本对称操作。 1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积 1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109o28'。 1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。
1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为 123222 2a a a a c = +=- + =a i j a i j a k 试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl （1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面； （2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有 2 2 2 2 2 ()/()d h k l a h k l =++。 1.13 证明第一Brillouin 的体积为3 (2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。 1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。 1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。 （1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。 （2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A ? f B │2 ，h 为偶数 时正比于│f A + f B │2。
固体物理习题指导
固体物理习题指导 第一章 晶体的结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格振动与晶体热学性质 第四章 晶体的缺陷 第五章 能带 第六章 自由电子论和电子的输运性质 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为 ()3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43 R ,单位体积晶体中的原子数为()3 3/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43 R , 单位体积晶体中的原子数为()3 2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心 立方晶体中的原子数之比为2/323 ? ??? ??=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a +i 23a , 又 为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-,
(整理)第三章晶格振动与晶体热学性质习题解答
第三章晶格振动与晶体热学性质习题解答 1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答] 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比 (1) 其中m原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于
= ， 则由(4)(5)两式可得, . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答] (1)(1)方便于求解原子运动方程. 由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. (2)(2)与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
固体物理学答案朱建国版完整版
固体物理学答案朱建国 版3 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编着）》使用 2020年11月25日
第1章晶体结构 (1) 第2章晶体的结合 (12) 第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20) 第4章晶体缺陷 (32) 第5章金属电子论 (35)
第1章 晶体结构 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b 那么， Rf Rb =3 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点若ABC 面的指数为（234），情况又如何 答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角 ，如下表所示。
复习-固体物理习题与思考题
第一章 晶体结构 思 考 题 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为()33/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43R ,单位体积晶体中的原子数为()33/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()32/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43R , 单位体积晶体中的原子数为()3 2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323 ???? ??=0.272. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a +i 23a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a =??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2a ()k j i -+. w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若 =3a ()k j +2a +i 23a , 则晶体的原胞的体积 23 321a Ω=??=a a a ,
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移 为，μ= a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj) j j （1） μ2 n = ? ? ? ∑ μ j nj ? ? ? ? ? ? ∑ μ j * nj ? ? ? = ∑ μ j 2 nj + ∑ μ μnj*nj′ j j′ 由于μ μnj?nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项 μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2= ∑ μ 2 nj n j 由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j a j sin( t naq j j j)dt a =j （2） T 0 2 已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为 1 L T ? 1 ? d μ?2 ?ρw a2 T 1 = ∫ ∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w La nj T 0 0 0 ? 2 ?dt??2T 0 j j j j 4 j j 其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。 1221 所以T nj = ρ w La j j=KT（3） 4 2 μKT 因此将此式代入（2）式有 nj 2 = ρ ωL 2 j
晶格振动与晶体热学性质习题原子质量为m间距为a恢复
第三章 晶格振动与晶体热学性质 1． 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为 的一维简单晶格，频率为 ω 的格波 )cos(qna t A u n -=ω，求 （1） 该波的总能量， （2） 每个原子的时间平均总能量。 [解答] （1） 格波的总能量为各原子能量的总和。其中第n 个原子的动能为 ,)(212t u m n ?? 而该原子与第n+1个原子之间的势能为 21)(2 1 --n n u u β 若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为 ,)(21)(21212--+??=∑∑n n n n n u u t u m E β 将)cos(pna t A u n -=ω 代入上式得 ,2 sin ])12(21[sin 421)(sin 22222 221qa qa n t A qna t A m E ?+-+-=∑∑ωβω?? 设T 为原子振动周期，利用 2 1 )(sin 102= -?dt t T T ?ω 可得 ()dt qa n t T A dt qna t T A qa T n T n 2 22102221 0222sin ]12([sin 14)(sin 121?+-+-=E ?∑?∑ωβωω = 2 4 1 ωm A 2N +2 sin 2 2 qa N A β. 式中N 为原子总数。 （2） 每个原子的时间平均总能量为 2 sin A A 412 222qa m N E βω+=- 再利用色散关系2 sin 4)cos 1(22 2 qa m qa m ββ?=-= 便得到每个原子的时间平均能量 222 1 A m N E ?=- 2． 一维复式格子，原子质量都为m ，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别 为1β和2β，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系. [解答] 图3.2 一维双原子分子链 此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ;一个分子内两原子力常数 1β;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为211,,,++-n n n n u u u u .第n-1与第n+1个原子属
固体物理填空、简答, 有答案版
第一章 晶体结构 1、填空题 1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型 1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ） 1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 ) 1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子 1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ） 1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子. 1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为 ( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 343R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j a a k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= ）。 2、简答题 1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 1.11 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 1.12六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 解答 六角密积属六角晶系 一个晶胞平行六面体包含两个原子. 1.13 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答]晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.14 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
固体物理答案
1.“晶格振动”理论是半经典理论。 答：晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格振动的研究是从晶体热力学性质开始的杜隆-珀替定理总结了固体热容量在室温和更高的温度适合而在较低的温度下固体的热容量开始随温度的降低而不断降低，从而进一步发展出了量子热熔理论。但是经典晶格振动理论知识局限于固体的热学性质，故是半经典理论。首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。 2.声学波和光学波的区别。长光学支格波与长声学支格波的本质差别。格波支数的关系。 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，光学波描述了元胞内原子的相对运动。描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 独立的波矢q 总点数＝晶体的总胞数N ； 格波总个数＝晶体原子振动自由度数，3nN 个； 格波总支数＝3n ，其中3 支声学波，3(n-1)支光学波。 3.金属的比热与温度的联系。 低温时，由德拜模型，V C 随温度下降而快速下降。当温度趋于零时，V C 亦趋于零。比热随温度的下降速 度T3。 高温时，比热与温度的关系更加符合爱因斯坦模型。比热与温度的一次方呈正比。 当温度T 极大时 3V B C Nk ≈，恰为经典理论的结果。这是因为在高温区，振子的能量近似B k T ，而当B k T 远大于能量量子（?ω）时，量子化效应可以忽略。 4.导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 5.费米分布函数的物理意义。费米能级。接触电势差。 费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。 费米能级是绝对零度时电子的最高能级，当f （E ）=1/2时，得出的E 的值对应的能级为费米能级 接触电势差：两种不同的金属相互接触时在它们之间产生的电势差。 其数值决定于金属的性质和接触面的温度。因不同金属的功函数(电子逸出金属表面所需的功)不同而产生。 与功函数的关系：Va-Vb=1/e(Φb -Φa) 产生接触电势差的原因是：⑴两种金属电子的逸出功不同。⑵两种金属的电子浓度不同。若 A 、 B 两种金属的逸出功分别为Va 和Vb ，电子浓度分别为Na 和Nb ，则它们之间的接触电势差为Vab=Va-Vb+(kT/e)×ln(Na/Nb) 式中的k 为玻尔兹曼（Boltzmann ）常数，e 是电子电量，T 是金属的绝对温度。几种金属依次连接时，接触电势差只与两端金属的性质有关，与中间金属无关。 6.晶体结合的基本类型。 7.金属自由电子论的假设与结果。 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 3 cT c VD =
固体物理期末复习题目及答案
第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ⋅==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以43 a R = 33 3 44 23330.68843n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以4 2 a R = 33 3 4442330.74642n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为83R a = 33 3 4483330.341683n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803
3、证明：倒格子原胞体积为 ()3 * 2 c v v π =，其中v c为正格子原胞的体积。
4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111）面与不等价，前者为As 面而后者为Ga 面；它们在许多物理、化学性质上都不一样，如腐蚀速度，生长速度等就不一样。 a x y z A B D C G F E O I H y x A a K O G L N M z 图1.36 解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED 的晶列指数为[111]，晶列FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++=
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质 3-1 一维晶格的振动 一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。 用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。 (2)振动方程和解 平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =- )(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ， t 时刻为)()(0r r u r u δ+= )()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332 220)(d d 61)(d d 21d d )(000 r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33322200 00 d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力: ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2 33220 0d d 21d d d d nk r nk r nk x r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。 (忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。) 得: nk nk r nk x x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 0 22d d r r u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β
固体物理
课程内容结构 ?绪言 ?第一章晶体结构 ?第二章固体的结合 ?第三章晶格振动与晶体的热学性质 ?第四章晶体中的缺陷 ?第五章金属电子论 ?第六章能带理论 固体物理 ?固体物理: 研究固态物质的宏观物理性质、内部微观结构、内部各种粒子的相互作用,运动规律，以及宏观性质与微观运动间的联系的科学。 第一章晶体结构 二、布拉伐晶格(Bravais lattice) 基元:放置在格点上的原子或原子团称为基元是一个格点所代表的物理实体。 由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉伐晶格，布拉伐晶格是一种数学上的抽象，是格点在空间中周期性的规则排列，其每个格点是几何等价的。 简单晶格与复式晶格图示 ?3 简单晶格必须由同种原子组成； ?反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格，如：金刚石、Mg、Zn等晶格都是复式晶格, 如: 相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体金刚石。 ?4由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为Bravais晶格. ?5 只有将基元以同样方式放置在每个格点上才能得到晶体结构。即：晶体结构是基元与Bravais晶格相结合的结果： 基元+Bravais晶格=晶体结构 ?6 基元可以含有一个或多个原子，但所含原子必定不等价，否则还可以进一步划分为更小的单元，这是构成基元的必要条件。 ?7 Bravais晶格反映晶体结构的几何性质，最主要特点是周期性，每个格点在几何上完全等价的。 三、原胞，晶胞 三维晶格的原胞与基矢 晶胞 定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研究晶格结构，为同时反映周期性与对称性，称为晶胞。
立方格子的特征 原胞与晶胞的区别与联系 例：以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、晶胞，并说出它们各自的特点 四晶面与密勒指数 1、晶面的概念 布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，格点在每个平面上的分布是相同的，这种平面称为晶面。整个晶格可以看作无数互相平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有格点都处于这族晶面上。 立方结构的晶格的晶向与晶面问题 ?立方结构的晶格(如面心立方，体心立方等)均以立方单胞(即晶胞)为单位来研究晶向与晶面的问题。 晶面指数与晶面间距 关系分析 画出体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列 （2）面心立方晶格 2 对称原素与对称操作 (一) n度旋转对称轴 证明n度旋转轴中n只能取1、2、3、4、6 ?任何一种晶体一定属于7个晶系之一,其晶格一定是14种Bravais晶格之一， ?Bravais晶格即反映晶格的周期性也反映其对称性。 ?32点群，230空间群 2、倒格子定义 3、倒格子与正格子的关系 3.2 倒格子与正格子基矢间关系 3.3位矢之间关系 小结 习题 二维正方格子的布里渊区 二维正方格子布里渊区图示（演示） 按照原子相互作用力的类型，晶体可分为五种类型 5 氢键晶体 共价键、金属键、范德瓦尔斯键共存的石墨结构 2.1.6 原子电负性 §2.3 非晶体 ?固态物质的基态应该是长程有序结构的晶体,体系自由能最低. ?非晶态是一种热力学的亚稳态,在一定条件下可以转变为晶态----晶化 ?此外在急冷过程中所形成的亚稳非晶态不一定是唯一的,可能会向更稳定的亚稳态转变,此现
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
第三章晶格振动和晶体的热学性质 [引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0 C=的规律不符。1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论， V 认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0 C=的规律的结论，但与低温 V 下3 C T的实验结果不符。1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质， ~ V 晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3 ~ C T的结果。随后，玻恩及玻 V 恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。 因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。这种近似称为绝热近似。晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。 本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情
况，最后讨论晶体的热学性质。 [本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程 §3-1一维单原子链 考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0 ………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ?，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为： ()∑≠=N j i ij x U ?21……………………………………………(3-1-2) 式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0 是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对 位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将?展开为： ………………(3-1-3) 于是有：() ∑∑∑≠≠≠+???? ????+???? ????+=j i ij ij j i ij ij j i ij u x u x x U Λ20 2200 412121???…………… (3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格 ()()() Λ+??? ? ????+???? ????+=+=2 220021ij ij ij ij ij ij ij ij u x u x x u x x ?????
第三部分 晶格振动
第三部分 晶格振动 1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？ 牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。 2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？ 采用了近邻近似和简谐近似。 3. 什幺是近邻近似和简谐近似？ 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。 4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？ 晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数， 在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期 边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨 论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信 息。 5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度v p 等于什幺？ ω=421 2βm qa ⎛⎝ ⎫⎭⎪sin v p =ωq 6. 一维格波波矢q 的的取值范围是什幺？q 在第一B 、Z 内取值数是多少？ q 的取值范围：为保证唯一性，g 在第一B.Z 内取值，即－ ππa q a 〈≤ q 在第一B.Z 内取值数为N （初基元胞数）。 7． 一维格波波矢q 有哪些特点？ q 不连续（准连续）；均匀分布；密度 Na L 22ππ= 8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？ ωββββββ212 1222121212＝＋m m qa ±++(cos ) 9. 在三维晶体中，格波独立的q → 点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分 别等于多少？ 独立的q → 点数＝晶体的初基元胞数N ； 格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS 个； 格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1) 支光学波。 10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？ 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动， 光学波描述了元胞内原子的相对运动。 描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 11. 格波模式密度g(ω)的定义是什幺，g(ω)是如何表示的？ 模式密度g(ω)的定义：单位频率间隔的格波数。
晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答 晶格振动部分习题参考解答 9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为 a/2，求在q=0,q= a π 处的(q).并定性画出色散曲线。m m 10 m m ____________________________________________________ →← →← 2 2 a a 解：已知 21 )cos 2(12122212 12 qa m m A ββββββω++- += (1) 21 )cos 2(12122212 12 0a m m ββββββω++- += (2) 由题意 2＝10 1＝10
代入（1）式 得 21 )cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21 )cos 20101(11qa m m +-ββ = []2 1)cos 20101(11qa m +-β 当q=0时 0)1111(0 2=-==m q A β ω 当q=a π时 m m a q A β β ωπ2)911(2 = -= = 把 2=10 1=10 代入（2）式 得 []2 1)cos 20101(1120qa m
++β ω＝ 当q=0时m q βω220 2 == 时a q π±= m a q β ωπ 202 0= = 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)= 0－Aq 2 （A 0），求证光学波 频率分布函数(格波密度函数)为：g()= ∑ -=) 1(31 s i 24πV 2 321 )(0A i ωω- i ω≤0 g()=0 i ω>0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为 g (i ω)d i ω= q d d V i
第三章晶格振动和晶体热学性质
第三章 晶格振动与晶体热学性质 一维原子链的晶格振动 一维简单晶格 在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是U(a),令δ=x n+1-x n ,则产生相对位移后，彼此作用势能变成U(a+δ)在平衡位置周围用泰勒级数展开，取得： ()() +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+222!21δδδa a dr U d dr dU a U a U 式中首项为常数，次项为零。当δ很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到δ2项，则恢复力为 βδδδ-=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-22dr U d d dU 这叫做简谐近似，上式中的β称为恢复力常数，a dr U d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22β 若是只考虑相邻原子的互作用，则第n 个原子的运动方程可写成 ()()N n x x x dt x d m n n n n ,2,121122 =-+=-+β 对于每一个原子，都有一个类似的运动方程，因此方程的数量和原子数相同。 设方程组的解为()t qna i n Ae x ω-=式中qna 表示第n 原子振动的位相因子，若是第n ’个和第n 个原子的位相因子之差(qn ’a-qna)为2π的整数倍时， ()()n t qna i t a qn i n x Ae Ae x ===--ωω'' 由此可见晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系，也即在晶格中存在着角频率为ω的平面波，这种波称为格波(如图所示)。
将格波方程代入运动方程组可得，(){}qa m cos 122-= β ω 亦即⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 22 1 qa m βω 该式代表一维简单晶格中格波的色散关系，图为ω~q 关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取qa 介于(-π，π)之间。 一维复式格子 考虑由两种不同原子组成的一维复式格子，相邻同种原子的距离为2a(复式格子的晶格常数)，原子质量别离为 M 和 m (M ＞ m)。类似一维简单格子，可得： ()122222 1222+++-+=n n n n x x x dt x d m β ()2212322 2222++++-+=n n n n x x x dt x d M β