第9章第1讲 随机抽样

第九章统计与统计案例

第1讲随机抽样

[考纲解读] 1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．

2．了解分层抽样与系统抽样的意义，能利用分层抽样与系统抽样解决实际问题．(重点)

[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲内容为高考中的冷考点．预测2021年高考对本讲将会以实际应用为背景命题考查分层抽样或系统抽样，同时也可能与统计相结合命题．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中、低档题目为主.

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个□01不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都□02相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：□03抽签法和□04随机数表法．

2．系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

①先将总体的N个个体编号；

②确定□01分段间隔k，对编号进行分段，当N

n(n是样本容量)是整数时，取k

＝N

n；当

N

n不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k＝

N－x

n；

③在第1段用□

02简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号□03l

＋k，再加k得到第3个个体编号□

04l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成□0

1互不交叉的层，然后按照一定的比例，从

各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)应用范围：当总体是由□02差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

注：三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随

机抽样

是不放回抽

样，抽样过程

中，每个个体

被抽到的机会

(概率)相等从总体中逐个抽取—

总体中的

个数较少

系统抽样将总体均分成几部

分，按事先确定的规

则，在各部分抽取

在起始部分抽样

时，采用简单随

机抽样

总体中的

个

数比较多

分层抽样将总体分成几层，分

层进行抽取

各层抽样时，采

用简单随机抽样

或者系统抽样

总体由差

异

明显的几

部

分组成

1．概念辨析

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()

(3)在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体抽取到的可能性越大．()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

2．小题热身

(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()

A．总体

B．个体

C．样本容量

D．从总体中抽取的一个样本

答案 A

解析从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．

(2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()

A．p1＝p2

C．p1＝p3

答案 D

解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等．故选D.

(3)某中学将参加期中测试的1200名学生编号为1,2,3，…，1200，现从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为() A．68 B．92

C．82 D．170

答案 B

解析第四组中抽取的学生编号为20＋(1200÷50)×3＝92.

(4)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18

解析由题意，知应从丙型产品中抽取

60×

300

200＋400＋300＋100

＝60×3

10

＝18(件)．

题型一简单随机抽样

1．下列抽样检验中，适合用抽签法的是()

A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案 B

解析A，D中总体的个体数较多，不适宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜用抽签法．故选B.

2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次

抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为1

3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽

到的概率为()

A.1

4 B.

1

3

C.5

14 D.

10

27

答案 C

解析根据题意，

9

n－1

＝1

3

，解得n＝28.

故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为10

28＝5 14.

3．(2019·衡水二模)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，如下提供是随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是________．

答案578

解析从第6行第6列的数开始，满足条件的6个编号依次为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.

1．简单随机抽样的特点

(1)抽取的个体数较少．(2)是逐个抽取．(3)是不放回抽取．(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

2．抽签法与随机数表法的适用情况

(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况．

(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的为()

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案 D

解析A，B是系统抽样，C是分层抽样，D是简单随机抽样．

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()

7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07

C．02 D．01

答案 D

解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.

题型二系统抽样

(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()

A．8号学生B．200号学生

C．616号学生D．815号学生

答案 C

解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1000

100

＝10.因为46

除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.

结论探究本例条件不变，则被抽到的学生的最小编号为________，最大编号为________．

答案6996

解析根据题意，可知此系统抽样的抽样间隔为1000

100

＝10，共分100组，46

号在第5组，故被抽到的最小编号在第一组，是46－10×4＝6，最大编号在第100组，是46＋10×95＝996.

系统抽样的注意点

(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

(2)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．

(3)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．

(4)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．

1．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()

A．16 B．17

C．18 D．19

答案 C

解析∵从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔

为1000

40

＝25.设第一组随机抽取一个号码为x，则第18组的抽取编号为x＋17×25＝443，∴x＝18.

2．(2019·安徽芜湖模拟)为了解高中生在寒假期间每天自主学习的时间，某校采用系统抽样的方法，从高三年级900名学生中抽取50名进行相关调查．先将这

900名高中生从1到900进行编号，求得间隔数k＝900

50＝18，即每18名高中生中

抽取1名，若在编号为1～18的高中生中随机抽取1名，抽到的高中生的编号为6，则在编号为37～54的高中生中抽到的高中生的编号应该是________．答案42

解析根据题意，采用系统抽样，且分段间隔为18，首组所取的号码为6，故后面的组抽取的号码为18n＋6(1≤n≤49，n∈N)，令37≤18n＋6≤54，得n＝

2，故所抽取的号码为2×18＋6＝42.

题型三分层抽样

角度1求总体容量或样本容量

1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()

A．101 B．808

C．1212 D．2012

答案 B

解析甲社区每个个体被抽到的概率为12

96

＝1

8

，样本容量为12＋21＋25＋43

＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N＝101

1

8

＝808.

2．(2019·安徽六校教育研究会联考)某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品的数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为()

A．15 B．25

C．50 D．60

答案 C

解析解法一：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比

为2

2＋3＋5＝1

5.因为A产品有10件，所以n＝

10

1

5

＝50.故选C.

解法二：由题意，得2

2＋3＋5＝10

n

，解得n＝50.故选C.

角度2求每层中的样本数量

3．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是()

A．甲应付5141 109钱

B．乙应付3224 109钱

C．丙应付1656 109钱

D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案 B

解析依题意由分层抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝10 109

，

则甲应付：10

109×560＝5141

109(钱)；

乙应付：10

109×350＝3212

109(钱)；

丙应付：10

109×180＝1656

109(钱)．

分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量

＝

各层样本数量

各层个体数量

”．

提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·

N i

N (i ＝1,2，…，k )个个体(其中i 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层中个体的个数，N 是总体容量)．

1．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都为1

12，则总体中个体的个数为( )

A ．150

B ．200

C ．500

D ．600

答案 D

解析 运用分层抽样的方法，在不同层中每个个体被抽到的概率相等，都等于样本容量总体容量

.设总体中个体的个数为N ，则50N ＝112.解得N ＝600.故选D. 2．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100，那么n ＝( )

A ．200

B ．300

C ．400

D ．500 答案 A

解析 每个个体被抽到的概率等于100800＝18，应抽取的教师人数为200×1

8＝25，应抽取的女学生人数为600×1

8＝75，故样本容量n ＝25＋75＋100＝200.

3．(2019·河北一模)随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机

对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来．为了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例如图所示，则这个群体里老年人人数为()

A．490 B．390

C．1110 D．410

答案 B

解析由题图，知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例为26%,34%,40%，则这个群体里老年人人数为26%×1500＝390.

组基础关

1．(1)某学校为了了解2019年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．

(2)从30名家长中抽取5名参加座谈会．

Ⅰ.简单随机抽样法'Ⅱ.系统抽样法'Ⅲ.分层抽样法

问题与方法配对正确的是()

A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ

C．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ

答案 A

解析(1)是分层抽样，(2)是简单随机抽样．

2．(2020·北京西城区模拟)某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库(简称“CIMS 系统”)中随机选取参加测试的学生，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30

的样本进行检测，那么应抽取女生的人数为()

A．12 B．15

C．18 D．20

答案 A

解析某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用分层抽样

的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，则应抽取女生的人数为30×400

1000

＝12.

3．(2019.唐山三模)为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验．先将500件产品编号为000,001,002， (499)

在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读(为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是()

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75

A．548 B．443

C．379 D．217

答案 D

解析从第6行第8列的数4开始向右读，则选出的前4个号码是：439,495,443,217，∴选出的第4个号码是217.

4．某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且从甲、丙两个车间总共抽取的产品数量为60件，则乙、丁两车间生产的产品总共有()

A．1000件B．1200件

C．1400件D．1600件

答案 D

解析由已知条件得，抽样比为140

2800

＝1

20

，∵从甲、丙两个车间总共抽取的

产品数量为60件，∴从乙、丁两个车间抽取的产品数量为140－60＝80件，∴乙、

丁两车间生产的产品总共有80

1

20

＝1600件．

5．(2019·保定二模)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了45件，则m＝()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 C

解析设该工厂生产A型号的产品数量为mk，则生产B型号的产品数量为

3k，生产C型号的产品数量为2k，则45

mk

＝120

mk＋3k＋2k

，解得m＝3.

6．(2019·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()

A．480 B．481

C．482 D．483

答案 C

解析根据系统抽样的定义，知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，

则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤518

25

，n的最大值为20，得最大的编号为7＋25×19＝482.

7．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)．若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．答案 6

解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是160

20×15＋x＝

126，∴x＝6.

8．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：

类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类

种类40103020

取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________．

答案 6

解析因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义

可知，抽取的植物油类食品种数为10

100×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为20

100×20

＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6.

组能力关

1．(2019·湖北荆州模拟)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三乡中共抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出的人数为()

A．20 B．60

C．80 D．200

答案 C

解析北乡8100人，西乡9000人，南乡5400人，对应的人数比为8100∶

9000∶5400＝9∶10∶6，则西乡抽取的人数为

10

9＋10＋6

×500＝200，南乡抽取人

数为6

9＋10＋6

×500＝120，则西乡比南乡多200－120＝80人．故选C.

2．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策．随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四

居室共200户，所占比例为1

3，二居室住户占

1

6.如图2是用分层抽样的方法从所有

调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是()

A．样本容量为70

B．样本中三居室住户共抽取了25户

C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户

D．样本中对三居室满意的有15户

答案 D

解析可先根据题图1求出总体数量及样本容量，再根据分层抽样及题图2确定样本中三居室户数及满意人数．

选项正误原因

A ×总体容量为600，样本容量为600×10%＝60

B ×样本中三居室住户共抽取300×10%＝30(户)

C ×对四居室满意的住户共有200×40%＝80(户)

D √样本中三居室住户有300×10%＝30(户)，对三居室满意的住户有

30×50%＝15(户)

编为1～40号，再用系统抽样的方法从中抽取8人，则其中成绩在区间[123,134]上的学生人数为________．

答案 3

解析根据茎叶图，成绩在区间[123,134]上的数据有15个，所以用系统抽样的方法从所有的40人中抽取8人，

＝3.

成绩在区间[123,134]上的学生人数为8×15

40