高等数学(上)学习指南
高等数学（上）学习指导
一、选择题
1、参考答案：B
为使函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a ，c 应满足（ ） A ．0a <且0c = B ．0a >且c 是任意实数 C ．0a <且0c ≠ D ．0a <且c 是任意实数
2、参考答案：A
函数 是
奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a x
a x
a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0
3、参考答案：A
下列函数中为奇函数的是
； ；
； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x
==+==--224
22π
4、参考答案：A
答（ ） ．
． ． ． 23)( 23)(65)( 65)(d 130
1
D C B A x x --
=
+?-
5、参考答案：D
2tan xdx ?=（ ）
A ．tan x x C ++
B ．tan x x
C -+ C ．2ses C +
D ．tan x x C -+
6、参考答案：D
答（ ） ，
，． ，，． ，
，． ，，． 为
，则 又设，
，已知 ???
??≤≤-<≤-?????≤≤-<≤????
?≤≤<≤-?????≤≤<≤≤≤=???≤≤<≤=?21110313
1)(2111031)(21103131)(211031)()()20( d )()(2111
0)(333312x x x x D x x x x C x x x x B x x x x A x F x t t f x F x x x x f x
7、参考答案：B
（ ）
答 要条件
的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ 的充要条件
Ⅱ是Ⅰ 的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ 的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ 关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:
)()
(lim )()
()(lim
)(,
0)(lim )(lim 0)(,)(),(00
0D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→
8、参考答案：B
函数cos 2x
π的一个原函数是（ ）
A ．2sin 2x ππ
B ．sin 22x ππ
C ．2sin 2x ππ-
D ．sin 22x ππ-
9、参考答案：B
f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是
有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ）
10、参考答案：D
[]{}[] 答（ ）
，，，， ．， ．． ．限是
定积分所表示的和式极)
21max ()(lim )()
()(lim )()(1
lim )()(lim
)(11
111
1
i i i i n
i i i i i i n
i i i n n
i n n
i n x x n i x x f D x x x f C a b n i f n a
b B a b n i f n
a b A -=→λ-=∞
→=∞→=∞→∈ξ=?=λ?ξ∈ξ?ξ??
?
??
?---??????--∑∑∑∑
11、参考答案：B
)()!
1()()()()!1()()()!1()()(!)()()
10)(()()(!
)0()(,1)(1)1(1
)1(1)1()(1)( 答 设 式中拉格朗日型余项则阶导数有直至设++++++=+θθ++θθ<θ<=+=+∑
n n n n n n n n n n k
n
k k x
n f D x n x f C x
n x f B x n x f A x R x R x k f x f n x f
12、参考答案：A
21
cos dx x ?=（ ）
A ．tan x C +
B ．sec x
C + C ．()2
ln cos x D ．2cos x C -+
13、参考答案：C
) ()()()()()
02)(()0()2()2,0(,212103)(2 有三个 答 有两个 不存在
只有一个 值
的满足则在区间内 当 当设D C B A f f f x x
x x x f ξ-ξ'=-???
??≤<≤≤-=
14、参考答案：A
使函数适合罗尔定理条件的区间是 答 f x x x A B C D ()(),:
()[,]()[,]()[,]()[,]()=----2231011122354
5
15、参考答案：A
)(,)()()()(,0)(,),()();()()(,),(,],[)( 答 也非必要条件
Ⅰ与Ⅱ既非充分Ⅰ是Ⅱ的充要条件
条件Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分件是Ⅱ的充分但非必要条则：使内至少存在在∶Ⅱ∶记内可导在上连续在设D C B I A f b a b f a f I b a b a x f ≡ξ'ξ=
16、参考答案：D
答（ ） ． ．． ．0
)(arctan arctan )(11
)(arctan )(d arctan d d 2
D a b C x
B x A x x x b
a
-+=?
17、参考答案：C
.
arctan )()(arctan )(;arctan )(;)(arctan )(,)
1(arctan 22c x D c x C c x B c x A I dx x x x
I +-+++-=
+=? 则设
答（ ）
18、参考答案：B
[][] ） 答（ ． ． ． ． ，则有，，，令，，上，设在区间
1
32213312321321)()()()()()()(2
1
))((d )(0)(0)(0)(S S S D S S S C S S S B S S S A a b a f b f S a b b f S x x f S x f x f x f b a b
a
<<<<<<<<-+=
-==>''<'>?
19、参考答案：B
()sin x
x e dx -?=（ ）
A ．cos x x e C -+
B ．cos x x e
C --+ C ．cos x x e C -++
D ．cos x x e C ++
20、参考答案：C
) (,,)(,)()()(.
))(()()(,1
)(,0, 答 的具体数值有关与是否存在 不存在有两点 只有一点 成立的点内使则在设b a D C B A a b f a f b f b x a x
x f ab b a ξ-ξ'=-<<=<<
21、参考答案：B
设则 I a x
a x
dx I A a x a a x c B a x
a a x c C a x a x a x c D x
a
a x c
=+-=
+-+--+--+--+?2222222222,()arcsin ;()arcsin '()arcsin ;()arcsin
答( )
22、参考答案：D
设则的一个原函数为
f x x f x A x B x
C x x
D x
x (),()()arcsin ()arctan ()ln ()ln
=--++-1
1121112112
答( )
23、参考答案：C
[][] ） 答（
．
． ． ． 轴围成图形的面积和，，直线上连续曲线，由2
)
()()()(d )()(d )()(d )()()()(a b a f b f D x x f C x
x f B x x f A S x b a b x a x x f y b a b
a
b
a
b a
-+=
<===???
24、参考答案：B ()f x dx '?=（ ）
A ．()f x
B ．()f x
C + C ．()1f x +
D ．()f x dx
25、参考答案：B
设则 I dx
e e I A e e c B e c C e c D e e c x x
x x x x x x =+=
-+++++----?,()()arctan ;()arctan ;()
答( )
26、参考答案：C
设在上连续在内可导则Ⅰ在内与Ⅱ在上则Ⅰ是Ⅱ的 充分但非必要条件必要但非充分条件充要条件
既非充分也非必要条件
答 f x a b a b a b f x a b f x f a A B C D ()[,],(,),()(,)()()(,),()(),()()()()()()()()'≡=0
27、参考答案：C
答（ ） 轴所围图形的面积．与，及直线是曲线． 数和．轴之间各部分面积的代与，及直线是曲线． ．，从而图形的＂高＂，则上述图形面积为零．若 ．以轴所围图形的面积，所与，及直线是由曲线． 可知
，据定积分的几何意义设：x b x a x x f y I D x b x a x x f y I C x f I B I x b x a x x f y I A x x f I b
a
========>====?)()()()(0)(0)(0)()(d )(
28、参考答案：C
设则
I x dx I A x c B x c C x c D x c =-=
-+-+-+-+?(),()();()();()();()().2310232023122231
11
2310991111
答( )
29、参考答案：A
用分步积分法可将cos x xdx ?化为（ ）
A ．sin sin x x xdx -?
B ．cos cos x x xdx -?
C ．22sin cos x x x xdx -?
D ．sin x xdx -?
30、参考答案：B
设在上连续在内可导记ⅠⅡ在内则：Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件Ⅰ是Ⅱ的充要条件
Ⅰ与Ⅱ既非充分也非必要条件
答 f x a b a b f a f b a b f x A B C D ()[,],(,)()()()
()(,)()()()()()()(),()()()()()()()='≡0
31、参考答案：A .
11
)(;)1(2
1arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 22
22C x
D C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-=
=? 则设
答（ ）
32、参考答案：B
[][] 答（ ）
件．
．既非充分也非必要条．充分必要条件 ．充分条件
．必要条件 上可积的，在上连续是，在闭区间
函数)( )()( )()()(D C B A b a x f b a x f
33、参考答案：A
不定积分ln xdx ?=（ ）
A ．()ln 1x x C -+
B ．ln x x
C + C ．ln x x C ++
D ．ln x x C -+
34、参考答案：C
答（ ）
；；
； 的是
下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 121
2)(222
2+--++=+=++=+-=x x x x y D x
x
x y C x x y B y A x x
35、参考答案：D
())
(0
)()
(lim )(0)()(lim
)(0)()
(lim )(0)(lim )(()(),()(!
)()(,)(0
100
000000
答 ）
适合式中其泰勒展开式为
点无限次可导在设=-=-=-=+-∑=→+→∞→∞→=n n x x n n x x n
n n n n n n k k n
k x x x R D x x x R C x x x R B x R A x R x R x x k x f x f x x f
36、参考答案：A
不定积分sin x xdx ?=（ ）
A ．cos cos x x xdx -+?
B ．sin cos x x xdx -?
C ．22cos sin x x x xdx -?
D ．cos x xdx -?
37、参考答案：D
关于函数的单调性的正确判断是
当时，单调增；
当时，单调减；
当时，单调减；当时，单调增；
当时，单调增；当时，单调增。
答（ ）y x
A x y x
B x y x
C x y x x y x
D x y x x y x
=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1
01
01
0101
0101
()()()()
38、参考答案：A
答（ ） ． ． ． ． 则，，若e
D e C e B e A x x f x e x x x f x +-+-=
???<≥=---?3)(3)(3)(3)(d )(0
)(1
121
39、参考答案：A
设a ，b 为常数，则不定积分cos ax e bxdx ?=（ ）
A ．()2
2cos sin ax e a bx b bx a b ++ B ．()22cos sin ax
e a bx b bx a b +- C ．()22cos sin ax e b bx a bx a b ++ D ．()22cos sin ax
e b bx a bx a b -+
40、参考答案：A
[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是
； ；； 答（ ）
x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22
二、填空题
1、设函数()21
00x e x f x x a x -?-≠?
=??=?
在0x =处连续，则2a =-.
2、函数43341y x x =-+的凸区间是：20,3??????或20,3??
???
3、设 ()()2ln 101cos 0
x x f x x
a x ?-?
≠=?-?=?
, 在0x =连续,则2a =-.
4、二元函数
z =
的定义域是：(){}
22,025x y x y <+<
5、一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为0622=+--z y x .
6、0a >，则函数0ax e dx +∞-=?1
a
7、曲线2
x y e -
=
的向上凸区间是? ??
8、函数sin y x x =-在区间[0,2]π上是单调递增
9、2
22
12(1)x dx x x +=+?1arctan x c x -++
10、()ln 1x y e =+的渐进线方程是y x = 11、曲线sin y x =在()0,2π内的拐点是(),0π
12
、函数z =
+的定义域是：(){}
,0,0x y x y x y +>-> 13、函数xy z sin =的全微分是()()xdy ydx xy +cos . 14、求由方程5
7
230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy dx =6
412125x y
++ 15、定积分21
21sin 11x x dx x
-+=+?2π
. 16
、函数ln 1z x y =
--的定义域是：(){}
222,4,01x y y x x y ≤<+<
17、不定积分ln x xdx =
?2211
ln 24
x x x c -+. 18、()422
sin cos x x x dx π
π-
+=?2
19、函数211
x
y x =
+-的水平和垂直渐近线共有 3 条. 20、函数()arcsin 3y x =-的定义域是：24x ≤≤
21、设2sin y x =, 则dy =2sin x sin d x
.
22、函数1
y x
=-1X ≤且0x ≠
23、已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5
6π，则()2
f '=3
-24、21
x
y x =-的垂直渐近线有2条.
25、()
2
1ln dx
x x =+?
arctan ln x c +. 26、设133
2
3
+--=xy xy y x z ，则=???y
x z
219622--y y x .
27、微分方程044=+'+''y y y 的通解为()x e x C C y 221-+=. 28、函数()arccos z y x =-的定义域是：(){}
,11x y x y x -≤≤+
29、x +21的麦克劳林级数是()n n n n
x ∑∞
=+-012
1. 30、一阶差分方程12135t t y y +-=的通解是：2335
t
t y C ??=?+ ???
三、解答题
1、证明题：恒等式 arcsin arccos 2
x x π
+=，(11)x -≤≤。
证明：设()?x a r c s i n x a r c c o s x
+＝，则()f x 在[-1，1]上连续，在（-1，1）上可导，
且(
)0f x '==。
故，()f x =常数=()02f =
即：()
arcsinx arccosx 2x π
+-≤≤＝１１
2、设???-'='=)
()()(t f t f t y t f x ，其中)(t f 的三阶导数存在，且0)(≠''t f ，求3322,,dx y d dx y d dx dy
解：
t t f t f t f t t f t x t y dx dy ='''-''+'=''=)()()()()()(
)(1
)()(2
2t f t dx d dx dy dx d dx
y d ''=== [][]
3
22233)()
()(1)()())(1())(1()(t f t f t f t f t f dx dt t f dt d t f dx d dx y d dx d dx y d '''''-=''?'''''-=''=''==
3、证明题：不等式 |arctan arctan |||a b a b -≤-。
证明：设()arctan f x x =，则()f x f(x)在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，由拉格朗日中值定理，存在(),a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=?-， 即：2
1
arctan arctan ()1b a b a ξ-=
-+
所以，2
1
|arctan arctan |||||1b a b a b a ξ-=-≤-+，即arctan arctan a b a b -≤-。
4、设),2323(
+-=x x f y 2arcsin )(x x f ='，求0=x dx
dy
解：2
2)23(12)2323arcsin()2323()2323()2323(+?
+-='+-?+-'=+-=x x x x x x x f x x f dx d dx dy 于是，π2
3
3)1(arcsin 0
=?==x dx dy 5、证明题：双曲线2xy a =上任一点处切线与两坐标轴构成三角形面积都等于22a .
证明：由2
xy a =得2a y x =，切线斜率22a k y x
'==-.
设()00,x y 为曲线上任一点，则过该点的切线方程为：
()
2
002a y y x x x -=--
令y=0，并注意2
00x y a =，解得200
0022y x x x x a =+=，为切线在x 轴上的截距。
令x=0，并注意2
00x y a =，解得2000
2a y y y x =+=，为切线在y 轴上的截距。
得到此切线与二坐标轴构成的三角型的面积为：
200001
22222S x y x y a ===.
6、设??
???>-==?2
1
220,cos 21)cos()cos(t t udu u t t y t x ，求22
,dx y d dx dy 解：),sin(22t t x -=')sin(22)cos(21
)sin(2)cos(222222t t t t t
t t t y -=?--='
t dx dy = ，)sin(21)()(222t t t dx d dx dy dx d dx y d -===
7、设0a b >>，求证明：ln a b a a b
a b b
--<<。 证明：设a x b =，原不等式变换为：1
1ln 1x x x
-<<-，其中1x >。
证明第一个不等式：1
1ln x
x -<
令()1ln 1f x x x =+-，对其求导得到：2111110x x x x ??
-=-> ???
，
所以，()f x 递增，最小值是()10f =。所以第一个不等式成立。
证明第二个不等式：ln 1x x <-
令()1ln f x x x =--，对其求导得到：1
10x
-
>， 所以，()f x 递增，最小值是()10f =。所以第二个不等式成立。
使用微分中值定理，令()ln f x x =，则()1
f x x
'=。
由拉格朗日中值定理有：存在 0 即：()1 ln ln a b a b c -=-。 那么，()1 ln a a b b c ??=- ???，其中0 所以：ln a b a a b a b b --<<。 8、设)(lim 1 x f x →存在，)(lim 23)(1 2x f x x x f x →+=，求)(x f 解：令l x f x =→)(lim 1 ， 则xl x x f 23)(2+=，323)23(lim )(lim 21 1 -=?=+=+=→→l l l xl x x f x x 故x x x f 63)(2-= 9、求函数11,)sin 1(1sin )sin 1(lim )(≤≤-++++=∞→x x x x x x f n n n πππ 解：（1）显然有0)0(=f ,21)1(=f , 2 1 )1(-=-f （2）当10< →∞=+n n x )sin 1lim(π 所以，x x f =)( （3）当01<<-x 时，,1sin 10<+ →=+n n x 0)sin 1lim(π 所以，x x f πsin )(= 从而，??? ? ?????=<≤<<--=-=1,2110,0 1,sin 1,21)(x x x x x x x f π 10、已知)(x f 在x=a 处可导，且,0)(>x f n 为自然数，求n x a f n a f ????? ???????+∞→)()1(lim 解：n x n x a nf n a f n a f a f n a f ????? ????????-++=????????????+∞→∞→)(11)()1(1lim )()1(lim n a f a f n a f a f n a f a f x a nf n a f n a f ) () ()1 (()1 () ()(11)()1(1lim -+? -+∞→????? ? ???????-++= 因为) ()()(11) ()1(lim )()()1(lim a f a f a f n a f n a f n a f a f n a f n n '= ?-+=-+∞→∞→ 所以，)() ()()1(lim a f a f n x e a f n a f '∞ →=???? ? ???????+ 高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 2018年福建省专升本公共基础课(大学英语、高等数学)考试大纲 福建省高校专升本统一招生考试 大学英语水平测试大纲 （非英语专业） 一、总则 国家教育部高教司在“关于印发《高职高专教育英语课程教学基本要求》（试行）的通知”[(2000)57号文件]中指出，高职高专教育以培养学生实际运用语言能力为目标，突出教学内容的实用性和针对性；针对目前高职高专学生入学水平参差不齐的情况，实行统一要求、分级指导的原则。《高职高专教育英语课程教学基本要求》（以下简称《基本要求》）对英语教学提出了应达到的合格要求，把教学和测试分为A、B两级。B级是过渡要求，A级是标准要求。 福建省高职高专升本科英语水平测试根据《基本要求》的精神，参照福建省教育厅组织编写的《英语基础教程》（高职高专版）系列教材的教学内容，全面考核《基本要求》中所提出的各项目标。《基本要求》中指出：高职高专教育英语课程的教学目的是，经过180-220学时的教学，使学生掌握一定的英语基础知识技能，具有一定的听、说、读、写、译的能力，从而借助词典阅读和翻译有关英语业务资料，在涉外交际的日常活动中进行简单的口头和书面交流，并为今后进一步提高英语的交际能力打下基础。为此，这项考试主要考核学生运用语言的能力，同时也考核学生对语法结构和词语用法的掌握程度。 本考试是一种标准化考试。考试范围主要是《基本要求》中所规定的A级要求。为保证试卷的信度和效度，试卷采用主观题与客观题相结合的形式，能较全面地考核学生有关语言的基础知识和运用语言的能力。考试每年组织一次，由省教育厅组织实施。 二、考试内容 本考试包括五个部分：听力理解（暂不考）、阅读理解、词语用法与语法结构、完形填空或英译汉、短文写作。全部题目按顺序统一编号。 第一部分：听力理解（暂不考）（PartⅠ: 导数公式： (tgx) sec 2 x (ctgx) csc 2 x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x ln a (log a x) 1 x ln a 基本积分表： 高等数学复习公式 高等数学公式 1 (arcsin x) x 2 1 (arccos x) 1 1 x 2 1 ( arctgx ) 2 1 x ( arcctgx ) 1 x 2 1 tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2 2 a x x 2 a 2 dx 2 2 a x a 2 x 2 ln cosx C ln sin x C ln secx tgx C ln cscx ctgx C 1 arctg x C a a 1 ln x a C 2a x a 1 ln a x C 2a a x x C arcsin a dx sec 2 xdx tgx C cos 2 x dx csc 2 xdx ctgx C sin 2 x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x 2 a 2 ) C x 2 a 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 1 u 2 注册电气工程师执业资格考试基础考试大纲（供配电） 1、 高等数学 1.1 空间解析几何 1.1.1 向量代数 一、向量的概念 1、空间直角坐标系 空间两点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离 2、向量 既有大小又有方向的量称为向量。常用有向线段表示向量，其长度为向量的大小称为向量的模，其方向为向量的方向。用a 或a 表示。 模为1的向量称为单位向量。模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不定。和向量a 大小相同方向相反的向量称为向量a 的负向量，记作-a 。 设a =(a 1，a 2，a 3)， b =(b 1，b 2，b 3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握： （1）模 a =2 32221a a a （2）方向余弦 a a a a a a 321cos ,cos ,cos 且C os 2 +C os 2 +C os 2 =1。 （3）向量的加减法 a ± b =(a 1±b 1,a 2±b 2,a 3±b 3). (4)数乘向量 λa =（λa 1，λa 2，λa 3），其中λ为数量，λa 为与a 平行的向量。 （5）数量积 332211,cos b a b a b a b a b a b a ，两个向量的数量积是一个数. （6）向量积 3 21 321 b b b a a a k j i b a =(a 2b 3－a 3b 2，a 3b 1－a 1b 3，a 1b 2－a 2b 1)，两个向量的向量积是一个向量. b a b a b a b a b a b a b a ,,;)(;,sin 和成右手系. （7）两个向量平行或垂直的充分必要条件 b k a b a ∥或 0 b a b a ∥ 3．向量的坐标表达式 将向量的始点移到空间直角坐标系的原点O 。设向量的终点为M （x ，y ，z ），且Ox 轴、Oy 、Oz 轴正方向上的单位向量依次为i ，j ，k ，则 ,或记为 。称上述两种表达式 为向量的坐标表达式。 注册电气工程师考试公共基础公式总结 高等数学 1. 两平面的交线的方向向量：z y x z y x b b b a a a k j i b a s =?= 2. 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为() 0,22=+±z x y f 3. ()???z A A z z A ??+??=?? 4. 22x z A ??=，y x z B ???=2，22y z C ??=，02>-B AC ，是极值点，02<-B AC ，不是极值点 5. 1sin lim 0=→x x x ，e x x x =?? ? ??+∞→11lim 6. ()111 -≠++= +?μμμμ C x dx x 7. C x x dx +=-?arcsin 12 8. C x xdx x dx +==?? tan sec cos 22 9. C x xdx x dx +-==??cot csc sin 22 10. C a a dx a x x +=?ln 11. x dx x 21=? 12. x dx x 1 12 -=? 13. () θθθθ2sin 241 cos 2+=?d 14. ()()θρρθρθρd d f dxdy y x f D D ????=sin ,cos , 15. 当 12 1 < 16. 椭圆抛物面方程z y x =+22，圆锥面方程 222z y x =+。 17. 平面曲线的弧长() dx y s b a ? +=2 /1，（直角坐标形式）。 18. 几何级数∑∞ =-1 1n n aq ，当1 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 3.隐函数求导法 对方程0=),(y x F 两边关于自变量求导，将因变量的函数当复合函数对待，再解出y '则可。或使用公式：x y F dy dx F =- 【例题3-7】若)(x g y =由方程y e xy e +=确定，则(0)y '等于： (A)y y e - (B)y y x e -+ (C)0 （D)1e - 解：将0x =代入y e xy e +=，解得1y =。再对y e xy e +=两边关于x 求导得， 0y e y y xy ''?++=，将一0,1x y ==代入得，(0)10ey '+=，解得1(0)y e '=-。 应选D 。 如果用套公式的方法做，则(,),,y y x y F x y e xy e F y F e x =+-==+ x y y F dy y dx F e x =-=-+，11(0)0y e e '=-=-+。 4.参数方程求导法 设???==)()(t y t x ψ?，则()()dy t dx t ψ?'='，)(/))()((22t t t dt d dx y d ??ψ'''= 【例题3-8】已知2arctan ln(1) x t t y t =-??=+?，则1t dy dx =等于 A.1 B.1- C.2 D.12 解：222 2211dy t dy dt t dx t dx t dt t +===+，12t dy dx ==。答案：C 5.微分计算 dx x f dy )('= 【例题3-9】函数21x x y -=在x 处的微分是: (A)dx x 23 2)1(1 - (B)dx x 212- (C)xdx (D)dx x 2 11- 解:dx x dx y dy 23 2)1(1 -='=,故应选(A). 第三节 中值定理 1．罗尔定理：若函数)()(),(],[)(b f a f b a b a x f ＝内可导，上连续，在在，则存在 0)('),(=∈ξξf b a ，使。 2．拉格朗日中值定理（微分中值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在),,(b a ∈ξ使()()()f b f a f b a ξ-'=-,或()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 如果,a x b x x ==+?，则有()()()y f x x f x f x ξ'?=+?-=?。 3．推论如果在区间I 上,0)('=x f 则在区间I 上()f x ≡常数 【例题3-10】设()(1)(2)f x x x x =--，则方程()0f x '=的实根个数是： A ．3 B.2 C.1 238 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学（上）学习指导 一、选择题 1、参考答案：B 为使函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a ，c 应满足（ ） A ．0a <且0c = B ．0a >且c 是任意实数 C ．0a <且0c ≠ D ．0a <且c 是任意实数 2、参考答案：A 函数 是 奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 3、参考答案：A 下列函数中为奇函数的是 ； ； ； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+==--224 22π 4、参考答案：A 答（ ） ． ． ． ． 23)( 23)(65)( 65)(d 130 1 D C B A x x -- = +?- 5、参考答案：D 2tan xdx ?=（ ） A ．tan x x C ++ B ．tan x x C -+ C ．2ses C + D ．tan x x C -+ 6、参考答案：D 答（ ） ， ，． ，，． ， ，． ，，． 为 ，则 又设， ，已知 ??? ??≤≤-<≤-?????≤≤-<≤???? ?≤≤<≤-?????≤≤<≤≤≤=???≤≤<≤=?21110313 1)(2111031)(21103131)(211031)()()20( d )()(2111 0)(333312x x x x D x x x x C x x x x B x x x x A x F x t t f x F x x x x f x 7、参考答案：B （ ） 答 要条件 的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ 的充要条件 Ⅱ是Ⅰ 的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ 的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ 关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(: )() (lim )() ()(lim )(, 0)(lim )(lim 0)(,)(),(00 0D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→ 8、参考答案：B 函数cos 2x π的一个原函数是（ ） A ．2sin 2x ππ B ．sin 22x ππ C ．2sin 2x ππ- D ．sin 22x ππ- 9、参考答案：B f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是 有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ） 10、参考答案：D []{}[] 答（ ） ，，，， ．， ．． ．限是 定积分所表示的和式极) 21max ()(lim )() ()(lim )()(1 lim )()(lim )(11 111 1 i i i i n i i i i i i n i i i n n i n n i n x x n i x x f D x x x f C a b n i f n a b B a b n i f n a b A -=→λ-=∞ →=∞→=∞→∈ξ=?=λ?ξ∈ξ?ξ?? ? ?? ?---??????--∑∑∑∑ 高等数学公式手册 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-= =+= -= ----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x ·倍角公式： ·半角公式： αα αααααααααααα α ααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 2 cos 12cos 2cos 12 sin -= +=-+±=+=-=+-± =+±=-±=ctg tg ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -=2 arccos 2 arcsin π π α ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --= -=-=α α αααααααααα αα22222212221 2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -= -= -=-=-== 高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= 《高等数学》课程学习指导（部分） 绪论 《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到大学要学习的第一门数学课，也是理工科院校大学生最重要的基础课之一。在开始学习这门课程的时候，如果对该课程研究的对象是什么及研究的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！如果将学习这门课看作是对微积分这座神秘的科学殿堂的一次探索，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简单的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍 微积分研究的对象和基本思想 在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。 一、教学内容 微积分研究的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。 二、教学要求 1．了解初等数学研究的对象是：常数或常量，简单的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学研究的对象是：变数或变量、函数，复杂的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。 2．初步理解微积分的基本研究方法——微元分析法，即 (1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值； (2) 通过极限，将近似值转化为精确值。 3．导数是研究函数在一点处变化的快慢程度(变化率)。在均匀变化情况下，需用除法计算的量，在非均匀变化的情况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。 4．函数是微积分研究的对象，极取是微积分的理论基础。 5．学习方法的建议： (1) 培养自学的能力，在学习过程中特别要特别注重概念、理论和思想方法的理解； (2) 勤于思考，敢于和善于发现问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培养自己的创新精神和创新能力。 (3) 培养应用数学的意识、兴趣和能力。 第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时) 函数是微积分研究的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依赖 《简单的线性规划及其应用 课题： 简单的线性规划及其应用 一、教学目标： 1 ． 知识目标： 1 、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力； 2 、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力； 3 、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。 2 ． 能力目标 : 1 、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可 行解、可行域和最优解等概念； 2 、理解线性规划问题的图解法； 3 、会利用图解法求线性目标函数的最优解； 4 、 让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数 学的快乐。 3 ． 情感目标： 1 、 培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神； 2 、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、 从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想 《高等数学》课程标准 一、课程描述 1、课程性质 数学是反映客观世界的科学，是对客观世界定性把握和定量描述，进而逐渐抽象概括形成 方法和理论，并且进行广泛应用的科学。数学是一种工具，也是一种文化。作为工具，数学应用于各门科学，可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，有助于人们收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题；作为一种文化，数学一直是现代文化的主要力量，数学知识的学习过程，能培养人们形成理性和客观的生活态度与工作理念，使人们的思维习惯与语言表达趋于严密和精炼。 在高职院校中，《高等数学》课程是各专业一门必修的公共基础课。它将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。基于高职教育的特点，在高等数学的教学中必须遵循“以必需，够用为度”的原则，注重对学生基本运算能力和数学思维方式的训练，强调对基本数学概念的理解和应用，以努力提高学生的数学修养和素质。 在高等职业技术教育中，高等数学是一门必修的公共基础课。 2、课程的基本理念 （1）优化课程结构，适应高等职业教育人才培养模式 高等职业技术教育是以培养高等技术应用性专门人才为根本任务，以适应社会需要为目标，以培养技术应用能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。因此，课程的教学内容体系应突出“应用”的主旨，从而与经济建设、科技进步和社会发展要求相适应，与人的全面发展需求相适应，与高等教育课程改革要求相衔接。 （2）以素质、能力培养为目标，充分体现课程的基础性、应用性和发展性 数学是一种普适性工具，在数据处理，表达计算、演绎推理等方面为其它学科提供了一种特有的语言、思想和方法，数学的基础性地位无可替代，更不能偏废。高等职业技术教育中，高等数学作为公共基础课程，应充分遵循“需有所学、学有所用”的原则，教学过程中应从素质、能力培养出发，开发学生的创新思维。 （3）以学生为中心，充分发挥学生的学习能动性 高等数学的学习内容应当根据实际需求进行调整，而内容的呈现也应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，同时教学活动必须建立在学生的接受能力基础之上。而教师也不是被动的，应调动一切可行的手段，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，为学习和实践提供有效的知识工具和良好的思维素质。 （4）加强计算机与数学教学的整合，促进教学改革，提高教学质量 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，加强计算机与数学教学的整合，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，把学生的学习活动整合到现实的、探索性的数学活动中去。 （5）构建本课程新的评价体系，考察学生的“输出”能力 评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，考察学生的实际能力，同时激励学生的学习和改进教师的教学。但以往的评价手段过于单一，不能全面反映学生的真实情况，而且评价的价值取向犹为偏颇。所以应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注数学知识的掌握，也要关注数学知识的运用。总之，评价的结果优劣要经得起实践检验。 3、课程设计理念 依据课程的基本理念，根据不同系的不同专业，在内容的选择上，要从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容，大胆取舍，以满足专业岗位的需求。针对不同专业的学生特点及专 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 《高等数学》课程自学指导书 一、前言 1．课程的性质 高等数学的主要内容源于十七世纪著名数学家牛顿和莱布尼茨提出的微积分。这些理论从提出之初就吸引了数学界和物理学界乃至整个科学界的极大关注，并随着其理论的完善和广泛的应用，被普遍的认为是人类文明史上最伟大的发明之一。其概念、思想和方法已深深融入了所有的理工学科中，这也使得该课程成为国内外所有理工专业的基础课。 高等数学包含一元函数微积分内容。该课程是辽宁科技大学继续教育学院各工科专业本科阶段的学生的基础课。在这些专业培养计划中起着基础性的地位和作用，是一门主干课程。该课程的基本思想、基本技巧和基本计算能力是理解诸如力学、电学和经济学等专业课程基础的关键。在这些学生的专业素质培养和能力塑造中其决定性的作用。 2．课程的任务与作用 通过这门课程的学习，学生应了解包括一元函数微积分内容的基本问题和提出的主要背景，理解解决这些问题的基本数学思想和主要技巧；在此基础上，培养学生较强的自学能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模的初步能力、借助数学软件计算基本数学问题的能力和基本运算能力，为专业课程的学习奠定必要的数学基础。 3．课程的主要内容、难点与重点 第一章函数、极限与连续 学习重点: 1复合函数的复合关系分析 2极限的性质 3重要极限e 4函数极限的运算法则（四则运算法则、复合函数的极限法则） 5无穷小的概念和无穷小的比较以及利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限 6 函数的连续的概念 7初等函数的连续性 8间断点的求法及间断点类型的判断 9闭区间上连续函数的性质及应用。 学习难点： 1利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限 2函数间断点的求法及间断点类型的判断 3闭区间上连续函数的性质及其应用 第二章导数与微分 学习重点: 1导数、微分和高阶导数的概念 2函数的和、差、积、商的求导法则与初等函数的导数 3复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 4利用函数的左右导数进行函数的可导性判定以及可导与连续的关系 5基本求导和微分公式 数学教学部期末工作指导 《高等数学》（48学时） （通信、物联、软件、网络、计媒、嵌设、系统、移设、电商专业）一、复习要点 范围：第5章常微分方程，第6章无穷级数，第8章矩阵及其应用，第10章应用概率，第13章命题逻辑 要求：1. 一阶微分方程的解法，二阶常系数线性齐次微分方程的解法； 2．正项级数敛散性的判别法，交错级数收敛的判别定理（莱布尼茨定理）；极限的性质与运算法则； 3．幂级数的收敛半径与收敛区间，以及幂级数在收敛域内的和函数； 4．矩阵的运算，三阶行列式的计算，矩阵的初等变换（求方阵的逆，解线性方程组，求矩阵的秩，解矩阵方程），线性方程组有解判别定理； 5. 古典概型的概率计算，n重伯努利概型概率的计算，利用完备性计算连续型随机变量的概率密度函数，以及随机变量落在某一区间的概率，随机变量的数学期望与方差； 6．利用真值表证明命题公式等价。 二、期末教学要求 希望任课教师认真按学院要求作好各项教学工作，确保教学任务的顺利完成。针对期末考试前有实训的班级一定要督促学生做好复习工作。 三、阅卷事宜 请任课教师在考试完领取试卷（考试时间：第19周）。 四、本学期结束前要上交的教学文件 1．期末考试试卷（请将成绩登记在试卷袋上并签名） 2．原始成绩登记册（其上应登记有平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩、总评成绩等） 3．总评成绩打印稿（总评成绩登录校园网的教务查询系统进行录入并打印）4．考试总结表的打印稿和电子稿（空表见下页） 5．总评成绩计算方法：学习过程评价（即平时作业、期中考试等）成绩占40%， 结果性评价（即期末考试）成绩占60% 数学教学部2013．06 【关键字】大全 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式： ·和差化积公式： ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理： ·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限 【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。 【解】=4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限 【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；高等数学公式汇总(大全)
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p 时，级数收敛。 23. 一阶线性非齐次方程的通解为()()()?? ????+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P 24. 一对共轭复根βαi r ±=2,1，通解为()x C x C e y x ββαsin cos 21+= 线性代数 若α，β，γ三线共面，则三条线的方向向量0=i h g f e d c b a 。 概率论 1. 当X 为连续型随机变量时，如果X 的概率密度函数为()x p ，那么规定X 的数学期望为 ()()dx x xp X E ?+∞ ∞ -=。 2. 当),(~2σμN X ，有()() 2 ,~σμa b a N b aX ++。 3. 正态分布()()2 2 221σμσ π-- = x e x p ，其μ=EX ，2σ=DX
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