可对角化矩阵的应用

第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。下面定理1是显然的。定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 rank()i i n n I A αλ=-- 证明特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 dim dim ()i i i n V N I A λαλ==- dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=-- 例1 求123323001A ?? ??=?? ??-?? 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 1 23det()3 2 30 1 I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+- 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2233rank 3331000---?? ??=----=?? ???? 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 3233rank 3231005--?? ??=---=?? ???? 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。证明因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向量12,, ,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基 121,,,,,i i n ααεεεεε+ 设121 []i i n P ααεεεεε+=，则 121 []i i n AP A ααεεεεε+= 121[,]i i i i i n A A ααλελελεεε+= 121 *[]i i i i n i O ααλλεεεεελ +????????=???????? ? PB =

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix

04 矩阵的对角化

第四讲矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变换对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量 1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。 ☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量； ☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称

det()I A λ-为A 的特征多项式。例1 12 22122 2 1A ????=?????? ，求其特征值和特征向量。【解】1 22 det()2 122 21 I A λλλλ----=------ 2 (1)(5)λλ=+-，特征值为 121λλ==-，35λ=，对于特征值1λ=-，由 ()0I A x --=， 1232222220222ξξξ?? ??????=???????????? ， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，

可取基础解系为 1101x ?? ??=?? ??-?? ，2011x ????=????-??，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数. 对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=， 1234222420224ξξξ--?? ??????--=????????--???? ， 123ξξξ== ，可取基础解系为 3111x ?? ??=?????? ，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数. 2. 矩阵的迹与行列式

矩阵对角化及应用论文

矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)

即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程．其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;

可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ，且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因

为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0，所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则例设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=，于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似

矩阵对角化的研究文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵对角化的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）（一）写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新. （二）有关概念首先，我们给出文中常用的符号如下[1]： (i)C 表示实数域； (ii)m n C ?表示实数域上的m n ?阶矩阵的集合； (iii)()n M C 表示n 阶复矩阵的集合； (iv)n n R ?表示n n ?实矩阵集合； (v)()n M R 表示n 阶实矩阵的集合； (vi)n E 表示n n ?阶的单位矩阵； (vii)det A 表示矩阵A 的行列式； (viii)()1122,,,nn diag a a a L 表示主对角线上为元素1122,,,nn a a a L 的对角矩阵；定义1[2]：对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如： ()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ???????????? L L L M M O M L

特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E . 定义2[3]：若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵. （三）综述范围若一个n 阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件，所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件，根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化，在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法. 通常，矩阵可对角化问题与特征值密切相关，除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9]. 本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳，并举例进行说明. （四）主要的问题矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵（如对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵）的对角化问题. 二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子： 323923342326x y z x y z x y z ++=??++=??++=? 为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形： =≡≡ 古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换

定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。二〃矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为：（1）求特征值；（2）求对应的特征向量；（3）将特征向量正交标准化；（4）写出及.

相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式： 2013年11月6 日

摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector

矩阵的对角化及其应用教学文稿

矩阵的对角化及其应用

湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计) 矩阵的对角化及其应用学生姓名：赵远安学号： 021241015 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25

A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Diagonalization of the Matrix and its Applications Student Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25

摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用. 关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式

矩阵的对角化

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

Abstract Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value. Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization. Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization

矩阵对角化方法的研究

目录摘要 ........................................................................................................................................... I Abstract. ................................................................................................................................. II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 1.2 预备知识 (1) 1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识： (1) 1.2.2 相关结论知识： (2) 第二章矩阵对角化方法探究 (5) 2.1 矩阵对角化的方法 (5) 2.1.1 一般矩阵的3种对角化方法 (5) 2.1.2 实对称矩阵的对角化 (10) 第三章运用 (14) 3.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵 (14) 3.2 计算方阵的高次幂 (14) 参考文献: (17) 致谢 (18) .

矩阵对角化方法的研究学生：胡邦群指导教师：何聪教师摘要对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的3种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关

矩阵对角化的步骤例题

矩阵对角化的步骤例题 1. 【将矩阵A=(12 先求特征值：|λE-A|=|（λ-1 -2 3）(1 λ-4 3) (-1 2 λ-5)|=（λ-2）^2（λ-6）=0所以特征值λ1=λ2=2，λ3=6求特征向量：当λ=2时：λE-A=(1 -2 3) (1 -2 3) (-1 2 -3)解得特征向量分别为：ξ1=(-3 0 1) ξ2=(2 1 0)当λ=6时，λE-A=(5 -2 3) (1 2 3) (-1 2 1)特征向量为ξ3=(1 1 -1)所以P=(-3 2 1) (0 1 1) (1 0 -1)矩阵对角化：P的逆AP=(2 0 0)(0 2 0)(0 0 6)对角矩阵为（2 0 0）(0 2 0)(0 0 6)。 2. 矩阵对角化问题,题目和答案都在这,麻烦写一遍过程,结果是怎么搞设矩阵A的特征值为λ那么 |A-λE|= 3-λ6 6 0 2-λ0 -3 -12 -6-λ =(2-λ) [（3-λ）（-6-λ）+18] =(2-λ)（3+λ）λ=0 解得λ=0,2,-3

λ=0时，A-0E= 3 6 6 0 2 0 -3 -12 -6 r2/2,r3+r1,r1/3 ~ 1 2 2 0 1 0 0 -6 0 r1-2r2,r3+6r2 ~ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-2,0,1）^T λ=2时，A-2E= 1 6 6 0 0 0 -3 -12 -8 r3+3r1

~ 1 6 6 0 0 0 0 6 10 r1-r3,r3/6，交换r2r3 ~ 1 0 -4 0 1 5/3 0 0 0 得到特征向量（4,-5/3,1）^T λ=-3时，A+3E= 6 6 6 0 5 0 -3 -12 -3 r2/5,r1/6,r3+3r1,r3+9r2,r1-r2 ~ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-1,0,1）^T

对角化矩阵的应用论文

毕业论文（设计）对角化矩阵的应用

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矩阵的对角化

矩阵的对角化（李体政徐宗辉） ● 教学目标与要求通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法. ● 教学重点与难点教学重点：一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化. 教学难点：求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵. ● 教学方法与建议先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题: (1) 对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2) 对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化. 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务. ● 教学过程设计 1. 问题的提出我们先引入相似矩阵的概念: 定义1: 对于阶数相同的方阵A 和B , 若存在可逆方阵P , 使得 1 P AP B -= 则称矩阵A 与B 相似, 记为A B , 而对A 进行的运算1 P AP -称为对A 进行的相似变换, 可逆方阵P 称为把A 变为B 的相似变换矩阵. 利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质1: 设 A B , 则有 1) A B =; 2) ()()r A r B =; 3) I A I B λλ-=-, 从而具有相同的特征值. 说明: 性质1表明, 假如矩阵A 与B 相似, 则A 与B 具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若A 与一个对角矩阵Λ相似, 那么Λ的主对角线元素恰好就是A 的n 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会

2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法

2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下: 一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。 1、判断方阵是否可相似对角化的条件： (1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量; (2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足1.jpg (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化; (4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。 2、求方阵的特征值： (1)具体矩阵的特征值：这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算; (2)抽象矩阵的特征值：抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。实对称矩阵的相似对角化理论其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。 1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (1)不同特征值的特征向量一定正交 (2)k重特征值一定满足1.jpg 【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。 2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不

可对角化矩阵的应用

第三章矩阵对角化、若当标准型

矩阵的可对角化及其应用

04 矩阵的对角化

矩阵对角化及应用论文

最新对角化矩阵的应用本科

可对角化矩阵的应用

矩阵对角化的研究文献综述

矩阵可对角化的总结

矩阵的对角化的应用

相似矩阵的性质及应用

矩阵的对角化及其应用教学文稿

矩阵的对角化

矩阵对角化方法的研究

矩阵对角化的步骤例题

对角化矩阵的应用论文

矩阵的对角化

2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法