矩阵对角化方法及相关应用

摘要

矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文尝试通过阐述对角矩阵性质及其应用，体现对角矩阵作为一个有效工具在矩阵理论研究中的重要地位。进而提出了矩阵对角化的一些方法，并通过实例说明矩阵对角化方法在矩阵研究中的作用。更进一步的，介绍了矩阵对角化方法的在其他领域可能的应用。

关键词：对角矩阵,矩阵对角化,特征值,特征向量

Abstract

Matrix, as an important basic concept in Higher Algebra, is one of the major study of algebra. Diagonal matrix is meaningful in the theory researching and the promoting of matrix properties, for its special quality.

This paper attempts to eexpound the properties of the diagonal matrix and the applications of it, to reflect the vital situation of Diagonal matrix, as a useful tools, in theory researching. Then it presentes some methods of matrix diagonalization, and examples the roles in the study of matrix diagonalization. Furthermore, it introduces the possibility applications to the method of matrix diagonalization.

Keywords：Diagonal matrix, Matrix diagonalization, Eigenvalue, Eigenvector

目录

摘要......................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................... II 目录...................................................................................................................... III 1 绪言. (1)

1.1 课题背景 (1)

1.2 课题研究的目的和意义 (3)

1.3 国内外概况 (3)

2 对角矩阵 (5)

2.1 对角矩阵 (5)

2.2 对角矩阵运算及性质 (5)

2.3 方阵与对角矩阵相似的充要条件 (6)

3 可对角化矩阵的应用 (7)

3.1 利用特征值求解矩阵 (7)

3.2 探究矩阵性质 (10)

3.3 求特殊矩阵的特征值 (13)

3.4 可对角化矩阵在其他方面的应用 (14)

4 矩阵对角化条件 (16)

4.1 常用的充要条件 (16)

4.2 最小多项式法 (16)

4.3 几种特殊矩阵的对角化方法 (17)

4.4 两个矩阵同时对角化的条件 (21)

5 矩阵对角化方法的应用 (23)

5.1 计算n阶行列式 (23)

5.2 利用矩阵对角化求实递推式的通项 (24)

5.3 Fibonacci数列的可对角化矩阵解法 (25)

5.4 一种三对角矩阵的特征值及应用 (26)

6 总结与展望 (28)

致谢 (29)

参考文献 (30)

1绪言

高等代数是数学及相关专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

根据矩阵的相似理论，一类矩阵相似意味着其有相同或者近似的性质；又由于矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容，使得其成为解决矩阵各种问题的一种极为有效的方法和工具，更在其他学科，如电子信息工程，量子力学等方面有着重要的应用，为其研究提供了理论依据及方法。

随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机的计算技术的发展，为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。因此学习和掌握矩阵论的基本理论与方法，对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，有着重要的意义和应用价值。

本文尝试通过对角矩阵及其应用，以及矩阵对角化的方法及应用，体现对角矩阵在矩阵研究中的作用；并通过实例说明可对角化矩阵的应用；更进一步的，介绍了矩阵对角化方法的在其他领域可能的应用。

1.1课题背景

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行代数运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统，比如群、环、域等。

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也

就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。[1]

一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，行数和列数可以相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵是作为整体处理的数表。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间

中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

对角矩阵作为一种极为特殊的矩阵，有着很多性质，如：

（1）对角矩阵都是对称矩阵；

（2）对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；

所以，可以通过矩阵相似理论研究对角矩阵的性质来研究一类矩阵的性质，这对矩阵性质的推广有重要意义。

1.2课题研究的目的和意义

从理论上看，研究对角矩阵及矩阵对角化方法的意义是明显的。对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。通过相似这种等价关系，对角矩阵相当于对一类矩阵在相似意义下给出的一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式等。如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的。这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。

另外，对角化突出了矩阵的特征值与特征向量的信息。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化等。

实践中的矩阵对角化作用也很大。由于计算机的广泛应用，基于矩阵理论的算法在各个领域研究时产生的作用越来越大，对角矩阵作为一个实用性极高的工具，在各领域的研究中起到了重要的作用，如量子力学、无线电、电子信息工程等。

1.3国内外概况

在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组洗漱的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。直到18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展为矩阵的发展提供了条件和空间。矩阵的早期发展，使得矩阵理论在内容上发展延伸，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类，还引发了西尔维斯特等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。

由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵。

作为一种基本工具，有关对角矩阵的信息大多以公理的形式出现，这也是近代数学公理化的标志之一。但是，对于矩阵可对角化的条件，以及矩阵对角化方法应用的研究还是吸引了国内外一部分学者的目光。矩阵可对角化的条件及更为简单的方法也成为了可值得研究的课题；三对角矩阵的特征值问题与其应用更是备受关注。近几年来，随着有关三对角矩阵问题研究的深入化与透彻化，五对角矩阵矩阵也成为学者们研究的方向。但是由于知识结构不完整，本文仅简单的介绍了有关三对角矩阵的特征值问题，并没有涉及到五对角矩阵。

2 对角矩阵

对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种。下面将给出对角矩阵的定义及其特性，并通过实例加以说明。

2.1 对角矩阵

对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此n 行n 列的矩阵()n n j i a A ?=,若符合以下的性质：

{}n j i j

i if a j i ,...,2,1,0

,∈?≠=

则矩阵A 为对角矩阵。

例如：????? ??300020001，????

?

??0000000b a ，????

?

?3001，()4等均为对角矩阵。

2.2 对角矩阵运算及性质

对角矩阵的性质决定了其在矩阵论中的基础性与重要性，下面通过对角矩阵的运算与特性两方面描述对角矩阵。

2.2.1 对角矩阵的运算

对角矩阵的加法及乘法都相当简单。若以()n a a a diag ,,,21 表示一个对角线元素依序为n a a a ,,,21 的对角矩阵

（1）矩阵加法为：

()()()n n n n b a b a b a diag b b b diag a a a diag +++=+,,,,,,,,,22112121 ， （2）矩阵乘法为：

()()()n n n n b a b a b a diag b b b diag a a a diag ,,,,,,,,,22112121 =?，

（3）对角矩阵()n a a a diag ,,,21 可逆，当且仅当n a a a ,,,21 均不为零。若上述条件成立，则

()(

)1

1

21

11

21,,,,,,----=n

n a a a diag a a a diag .

2.2.2 对角矩阵的特性

（1）对角矩阵都是对称矩阵；

（2）对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；

（3）单位矩阵n I 及零矩阵恒为对角矩阵，一维矩阵也恒为对角矩阵； （4）一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数λ的乘积：I λ；

（5）对角矩阵()n a a a diag ,,,21 的特征值为n a a a ,,,21 ，而其特征向量为单位向量n e e e ,,21；

（6）对角矩阵()n a a a diag ,,,21 的行列式为n a a a ,,,21 的乘积。

2.3 方阵与对角矩阵相似的充要条件

n 阶方阵可进行对角化的充要条件是，n 阶方阵存在n 个线性无关的特征向量。[2]

推论：

（1）如果n 阶方阵有n 阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵； （2）如果n 阶方阵存在相等的特征值，那么每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

3 可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵由于其自身的特殊性，在理论研究和实际应用中有着重要的意义，其主要体现在简化矩阵运算与探究矩阵性质等方面。下面，将从利用特征值求解矩阵，探究矩阵性质，求解特殊矩阵以及可对角化矩阵在向量空间和线性变换问题等方面，通过分析与举例，阐述可对角化矩阵的应用。

3.1 利用特征值求解矩阵

3.1.1 利用特征值求行列式的值[3-5]

对于具体给出的行列式，常利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，以期新的行列式中出现较多的零元素，从而化为三角行列式直接写出其值或按行（列）展开降低行列式的阶数。求行列式的方法很多，应针对不同的行列式类型采用最便捷的方法。计算抽象矩阵的行列式时，主要是利用行列式的性质及行列式的计算公式。若抽象矩阵可对角化，求其行列式有简单方法。

例 3.1.设A 是n 阶方阵n 2,,4,2 是A 的n 个特征值，I 是n 阶单位矩阵，计算行列式I A 3-的值。

解：已知n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，故存在可逆矩阵P 使得

)2,,4,2(1n d i a g B AP P ==-.

于是()I B P P AP P P I A P P I A P I A 333331111-=-=-=-=-----

()()32531132,,1,1-?????-=--=n n diag .

例3.2.已知3阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵235A A B -=.试求：

B 及I A 5-.

解：已知3阶矩阵A 有3个特征值1，1-，2，故存在可逆矩阵P 使得

)2,1,1(1-=Λ=-diag AP P .于是

()22812,6,455523213123-=---=Λ-Λ=-=-=--diag P A P P A P A A B ， ()723,6,455511-=---=-Λ=-=---diag I P P AP P I A .

3.1.2 求方阵的高次幂

求方阵A 的高次幂k A （k 为正整数），一般来说，对其直接求解是比较困难的。但是，如果矩阵A 可对角化，计算k A 是有简单方法的。

实际上，若有B AP P =-1，其中()n n diag B λλλλλλ,,,212

1

=????

??

?

?

?=，即有1-=PBP A ，

则()()()

()()()

1111111

1--------===P PB BP P P P P B P P PB PBP PBP PBP A k k

k ，

而()k n

k k k

diag B λλλ,,,2

1

=.故

1

2

1-??????

?

?

?=P P A k n k k k λλλ . （3.1） 例3.3.设???

?

? ??----=163053064

A ，求100A .

解：由0)2()1(163053

6

42=+--=--------=-λλλ

λλ

λI A ，得A 的特征值121==λλ，23-=λ.

对于特征值121==λλ解方程组0)(=-x I A ，由

????? ??→????? ??----=-000000021063063063

I A ，得???

??==-=3322212x x x x x x ，

即????

? ??+????? ??-=????? ??10001221321k k x x x ，（1k ，2k 均为任意常数）

则121==λλ对应的特征向量为????? ??-=0121P ，???

?? ??=1002P .

对于特征值23-=λ，解方程组0)2(=+x I A ，由

即?????

??--=????? ??1113321k x x x ，（3k 为任意常数）

则23-=λ对应的特征向量为???

??

??--=1113P .

令 ，?

??

??

??------=-021*******

P ，11200010001--=????? ??-=PBP P P A ，则

????

?

??------????? ??????? ??---==-0211210112000100011101011021001

100100P PB A ????

?

??----+-+-=????? ??------????? ??---=122120121202222021121011210201202101

100101

100

101100100100100. 3.1.3 利用特征值和特征向量反求矩阵

已知n 级矩阵A 的特征值和特征向量反求矩阵A ，若A 可对角化，则有简单的方法.事实上，当n 级矩阵A 可对角化时，存在由A 的n 个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，其中Λ是由A 的所有特征值组成的对角矩阵，则

1-Λ=P P A （3.2）

即为所求。

例 3.4.已知3阶方阵A 的3个特征值为1，1，2，对应的特征向量为

(

)T

P 1,2,11=，()T

P 0,1,12=，()T

P 1,0,23-=，试求矩阵A . 分析：若特征向量1P ，2P ，3P 线性无关，则3阶方阵A 相似于对角矩阵，由此可求得矩阵A .

解：取()????? ??-==101012211,,321P P P P ，???

?

? ??=Λ211，

由01≠-=P 知矩阵A 有3个线性无关的特征向量，所以Λ=-AP P 1，

则1

1

101012211211101012211--????

?

??-????? ??????? ??-=Λ=P P A ????

?

??--=????? ??----????? ??????? ??-=011010223111432211211101012211. 例3.5.设3阶实对称矩阵A 的特征值为11-=λ，132==λλ，对应于1λ的特征向量为()T

P 1,1

,01=，求矩阵A . 分析：实对称矩阵A 是可对角化的，为得到变换矩阵P ，还须求出对应于

132==λλ的两个线性无关的特征向量，这可利用实对称矩阵的不同特征值对应

的特征向量正交这一性质。

解：设对应于132==λλ特征向量为()T

x x x P 321,,=，它应与特征向量1P 正

交，即00321=++?x x x ，该齐次方程组的基础解系为()T

P 0,0,12=，()T

P 1,1,02-=，

它们即是对应于132==λλ的特征向量。

取()????? ??-==101101010,,321P P P P ，????

?

??-=Λ100010001，则Λ=-AP P 1

.

于是1

1

101101010100010001101101010--????

? ??-????? ??-????? ??-=Λ=P P A ???

?? ??--=????

? ??-????? ??-????? ??-=01010000100010100010001101101010212121

21.

3.2 探究矩阵性质

本节将从如下两个方面阐述对角矩阵在探究矩阵性质时的应用：

（1）判断矩阵是否相似；

（2）讨论幂等矩阵的秩与迹的关系。 3.2.1 矩阵的相似

已知n 级矩阵A 和B ，存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1，则A 与B 相似，记为A ~B .

例 3.6.设n 级方阵A 的n 个特征值互异，又设n 级方阵B 与A 有相同的特征值，求证：A ~B .

证明：因n 级方阵A 的n 个特征值互异，设为n λλλ ,,21，于是存在可逆矩阵1P ，使得

),,,(21111n diag AP P λλλ =-.

又n λλλ ,,21也是B 的特征值，从而有可逆矩阵2P ，使得

),,,(21212n diag BP P λλλ =-.

因此212111BP P AP P --=，即B P AP P P =--121112，令1

21-=P P P ，则P 可逆且

B AP P =-1，故A ~B .

注：当n 级方阵A 与B 有相同的特征值（不一定互异），且均可相似于对角矩阵，必有A ~B .这在判断两个具体的方阵是否相似时，经常使用。

例3.7.判断下列两矩阵A ，B 是否相似，

??

?

??

??

??=111111111

A ，??

??

?

?

?

??=001001

00 n

B . 证明：因1))((---=-n n I A λλλ，A 的特征值为n =1λ，02===n λλ ，

又A 是实对称矩阵，存在可逆矩阵1P 使得)0,,0,(11

1 n diag AP P =Λ=-.还可求

得1))((---=-n n I B λλλ，即B 与A 有相同的特征值。则其对应的特征值

02===n λλ 有1-n 个线性无关的特征向量，故存在可逆矩阵2P 使得

Λ=-212BP P ，从而212111BP P AP P --=，即B P AP P P =--121112，故A ~B .

3.2.2 幂等矩阵的秩与迹的关系

为了便于下文理解，首先给出如下定义[2]： （1）如果A A =2，则方阵A 称为幂等矩阵。

（2）向量组的极大线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩；矩阵A 的行秩（矩阵A 的行向量组的秩）与列秩（矩阵A 的列向量组的秩）统称为矩阵A 的秩。

（3）设A 是一个n 阶矩阵，A 的对角线元素之和为A 的迹，记做()A tr ：

()()n i A A tr i

ii ,,2,1, ==∑. （3.3）

（4）从一般意义上讲，矩阵的相似标准形就是一种与n 阶方阵相似的并且具有某种特殊形状的矩阵。矩阵与其相似标准型有相同的性质。

由于矩阵的秩与迹都是相似关系下的不变量，因此我们可以先求出幂等矩阵

A 的相似标准形D ，从D 容易看出它的秩与迹有什么关系，进而了解A 的秩与迹的关系。

例 3.8.证明：数域K 上的幂等矩阵一定可对角化，并且它的相似标准形是

)0,(Ir diag ，其中r 是该幂等矩阵的秩。

证明：设A 是数域K 上的一个n 级幂等矩阵，它的秩为r .如果0=r ，则

0=A ，结论显然成立。如果n r =，则A 可逆，从而由A A =2得I A =，结论也

成立。下面设n r <<0.

设0λ是A 的一个特征值，则有n K 中非零列向量α，使得αλα0=A ，两边左

乘A 得：αλαA A 02=，由此得出αλα20=A ，即αλαλ2

00=，亦即0)1(00=-αλλ.

由于0≠α，因此，00=λ或10=λ.

因此00=-=-A A I ，所以0是A 的一个特征值。齐次线性方程组

0)0(=-x A I 的解空间的维数为：

r n A rank n A rank n -=-=--)()(. （3.4）

因为A A =2，所以0)(=-A I A ，于是

n A I rank A rank ≤-+)()(. （3.5）

又有)()())(()(A I rank A rank A I A rank I rank n -+≤-+==，

因此得到n A I rank A rank =-+)()(， 从而得到r n A rank n A I rank -=-=-)()(，

由于0>r ，所以n r n A I rank <-=-)(，从而0=-A I .由此得出，1是A 的一个特征值。齐次线性方程组0)(=-x A I 的解空间的维数等于

r r n n A I rank n =--=--)()(. （3.6）

综上述，A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n r r n =+-)(，因此A 可对角化。A 的相似标准形中，特征值1在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数r ，特征值0在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数r n -.于是A 的相似标准形为)0,(Ir diag .

例3.9.证明：数域K 上的幂等距阵的秩等于它的迹。

证明：设A 是数域K 上的一个n 级幂等矩阵，它的秩为r .如果0=r ，则

)(0)(A Tr A rank ==，)(A Tr 表示矩阵A 的迹，即主对角线元素之和。如果n r =，

则I A =.从而)()(A Tr n A rank ==.下面设n r <<0.由例11，A 相似于)0,(Ir diag .于是)())0,(()(A Tr Ir diag Tr r A rank ===.

结论：求数域K 上幂等距阵A 的秩有简单方法，即把A 的主对角元相加即得

)(A rank .

3.3 求特殊矩阵的特征值

例3.10.设A 为n 阶实对称矩阵，且A A 22=，又()n r A r <=， 求（1）A 的全部特征值；（2）行列式A E -的值。

解：（1）设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的对应于特征值λ的特征向量，所以λξλ=A ，有ξλλξλ22==A A ，又因为A A 22=，所以λξλλ222==A A ，所以λλ22=，由此可得02或=λ，因为A 是实对称矩阵，所以A 必能对角化

即A ~????

????

?

?

??=0002

02B ，且()()B r A r =，故2的个数为A 的秩数， 即A 的特征值为r 个2及()r n -个0.

（2）因为有（1）可得A ~B ，即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =-1，故有

1-=CBC A ，

B E

C B E C CBC CEC CBC E A E -=-=-=-=-----1111

()γ

11

1

1

1

-=--=

.

3.4 可对角化矩阵在其他方面的应用

3.4.1 在向量空间中的应用

例 3.11.设V 是n 维列向量空间，A 是n 阶复矩阵，α是任一复数，令

(){

}V A aE W ∈-=ββ1，(){}02=-∈=ββA aE V W ，则若A 相似与对角阵，有{}021=IW W .

证明：对任意210IW W X ∈，有()βA aE X -=0和()00=-X A aE ，所以

()02=-βA aE .

又因为A 相似于对角阵，()00=-X A aE 与()02

=-βA aE 的解空间相同，所

以()β2

0A aE -=和()00X A aE =-=β，所以{}021=IW W .

3.4.2 在线性变化中的应用

例3.12.设[]()1>n X P n 为数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式的全体，

则微分变换τ，在[]n X P 的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。

证明：取[]n

X P 的一组基()!1,,!

2,,11

2-Λ-n x x x n ，则τ在这组基下的矩阵为

????

?

?-0001n E ，所以n A E λλ=-，若τ在某一组基下的矩阵B 为对角矩阵，由A ~B 只A 可对角化，存在可逆矩阵T 使得B AT T =-1，所以1-=TBT A ，由τ的特征值全为0知0=B ，所以0=A ，而这是不可能的。所以微分变换τ在[]n X P 的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。

4 矩阵对角化条件

矩阵对角化是高等代数中非常重要的内容之一，同时也是实际工程中应用最为广泛的工具。除了一些线性变换的矩阵在其某组适当的基下可以是对角矩阵外，还有很多特殊的矩阵在一些充分（或充要）条件，可以使矩阵成为对角矩阵。本节将用实例或者证明，介绍一些常用的矩阵对角化条件和方法。

4.1 常用的充要条件

矩阵可对角化问题已经经过长时间的研究，其中有一些常见的充要条件，并不需要特殊说明，所以仅在这里简单说明：

（1）A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量； （2）A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ； （3）A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的；

（4）A 可对角化当且仅当A 的最小多项式()λA m 无重根。[2-5]

4.2 最小多项式法

通常情况下，对于一个n 阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有n 个线性无关的特征向量，往往比较复杂。这里将利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的另一个充要条件，希望达到更加简洁、实用的目的。

首先，给出一条已知结论：

n 阶矩阵A 是其特征多项式的根,即有：()0=A f A .

由此对任何矩阵A 至少存在一个非零的多项式()λf 使()0=A f A ，我们把凡具有这种性质的多项式，叫A 的零化多项式，显然A 的零化多项式不只一个，如

()λf 的任一倍式()()λλf g ，都是A 的零化多项式。

现定义，在在n 阶矩阵A 的零化多项式中, 次数最低且首项系数为1的多项式，叫A 的最小多项式，记为()λA m .

下面给出零化多项式与最小多项式的关系：[6]

（1）()λf 是n 阶矩阵A 的零化多项式，()λA m 是A 的最小多项式，则

)()(λλf m A ，特别的)()(λλA A f m ；

（2）设A 是一个n 阶矩阵，)(λd 是()A E -λ中所有元素的最大公因式，则有

()()

()

λλλd f m A A =

；

（3）n 阶矩阵A 可对角化?A 的最小多项式无重跟。

例4.1设 ,2,1,==k E A k ，则A 与对角矩阵相似。

证：由E A k =，知A 为多项式()1-=k f λλ的零点，即()0=A f 。因A 的最小多项式)()(λλf m A ，而()λf 没有重根，所以)(λA m 没有重根，故由上（3）知：

A 与对角矩阵相似。

4.3 几种特殊矩阵的对角化方法

4.3.1 幂等矩阵对角化方法

设A 是数域F 上的n 阶矩阵，如果A A =2，则称A 为幂等矩阵。

如果A ，B 分别是n s ?，m n ?矩阵，若0=AB ，则()()n B rank A rank ≤+. 由此可以得到如下结论：

（1）如果n 阶矩阵A 是幂等矩阵，则()()n A I rank A rank =-+； （2）幂等矩阵的特征值为0或1；

（3）n 阶幂等矩阵A 一定可以对角化，并且A 的相似标准型是???

? ?

?00

0r

I ，其中()A rank r =，r I 是r 阶单位矩阵，并约定00=I .

4.3.2 对合矩阵的对角化方法

如果I A =2（I 表示单位矩阵），则称A 为对合矩阵。 对n 阶对合矩阵A ，有如下结论：

（1）如果n 阶矩阵A 是对合矩阵，则()()n A I rank A I rank =++-； （2）对合矩阵的特征值为1或-1；

（3）n 阶对合矩阵A 一定可以对角化，并且A 的相似形为???

? ?

?--r n r

I I 0

0，其中()A I rank r +=.

4.3.3 行和相等矩阵对角化方法

下面给出各行的行和均相等的实对称矩阵A 对角化的一种简便方法。首先给